\documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx,multirow} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{colortbl} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Sujet aimablement fourni par Hamid Laaroussi %Tapuscrit : Denis Vergès %Corrigé : Jean-Claude Souque \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=2cm, right=2cm, top=1.8cm, bottom=2.7cm]{geometry} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} % \setlength{\textheight}{23,5cm} % \setlength{\textwidth}{13.5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} % \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat STG}, pdftitle = {CGRH Centres étrangers juin 2013}, allbordercolors = white } \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé STG : {} C. G. R. H.} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{juin 2012}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STG CGRH Centres étrangers \decofourright\\ juin 2012}} \end{center} \vspace{0,25cm} {\footnotesize \emph{L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.} \emph{L'annexe est à rendre avec la copie.} \emph{Le candidat doit traiter les trois exercices.} \emph{Le candidat est invité à faire figurer toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.} } \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points} \begin{center} \textbf{Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes} \end{center} {\footnotesize \textbf{Partie A} \medskip Cette partie est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, parmi les quatre réponses proposées, une seule est correcte. Pour chaque question, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. \medskip \emph{Chaque réponse correcte rapporte $1$ point, une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.} \medskip Le tableau ci-dessous donne, en millions d'unités, le nombre de SMS (Short Message Service) émis chaque année en France entre 2006 et 2008. } \begin{center} \begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline année &2006 & 2007 & 2008\\ \hline nombre de SMS émis &\np{15050} & \np{19236}& \np{34396}\\ \hline \multicolumn{4}{c}{\footnotesize \emph{Source : Autorité de Régulation des Communications Électroniques et des Postes (ARCEP)}} \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Le nombre de SMS a augmenté de 15,1\,\% entre 2005 et 2006. Le nombre de SMS émis en 2005, arrondi au million, était: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{$\bullet~~$\centering \arraybackslash}X}} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\np{15036}}& \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\np{12777}}& \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\np{14823}} &\psframebox[linewidth=0.05pt]{\np{13076}} \end{tabularx} \medskip \item Le taux d'évolution global entre 2006 et 2008, arrondi à 0,01\,\%, est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{$\bullet~~$\centering \arraybackslash}X}} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{43,76\,\%} & \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{106,62\,\%} &\psframebox[linewidth=0.05pt]{128,54\,\%} &\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ 53,31\,\%} \end{tabularx} \medskip \item Le taux annuel moyen entre 2006 et 2008, arrondi à 0,01\,\%, est: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{$\bullet~~$\centering \arraybackslash}X}} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ 53,31\,\%}& \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{31,72\,\%} & \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{106,62\,\%} & \psframebox[linewidth=0.05pt]{51,18\,\%} \end{tabularx} \medskip \item Le nombre de SMS émis entre 2008 et 2009 a augmenté de 92\,\%. Le taux d'évolution réciproque, arrondi à 1\,\%, est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{$\bullet~~$\centering \arraybackslash}X}} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$-47$\,\%} &\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $- 92$\,\% }& \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$-8$\,\%} &\psframebox[linewidth=0.05pt]{ $-48$\,\%} \end{tabularx} \medskip \item Les nombres de SMS émis successivement en 2006, 2007 et 2008 sont des termes consécutifs d'une suite: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{$\bullet~~$}X}} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{arithmétique}&\psframebox[linewidth=0.05pt]{qui n'est ni géométrique, ni arithmétique} \\ \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{géométrique de raison 1,28} &\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ géométrique de raison 1,79}\\ \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip {\footnotesize On suppose qu'à partir de l'année 2008, le nombre de SMS émis augmente de 51\,\% par an. On note $u_n$ le nombre, en millions d'unités, de SMS émis l'année $2008 + n$. On a donc $u_0 = \np{34396}$. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C\\ \hline 1 &année& rang $n$ de l'année&$u_n$\\ \hline 2 & 2008& 0& \np{34396}\\ \hline 3& 2009& 1&\\ \hline 4& 2010&&\\ \hline 5& 2011&&\\ \hline 6& 2012&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} } \medskip \begin{enumerate} \item Une formule pouvant être entrée dans la cellule C3 puis recopiée vers le bas pour obtenir le contenu des cellules de la plage C3\,:\, C6 est : =~\$C2*1,51, ou =C2*\np{1.51}. \item Exprimons $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. À un taux d'évolution $t$ correspond un coefficient multiplicateur de $1+t$. À une hausse de 51\,\% correspond un coefficient multiplicateur de \np{1.51}. Par conséquent $u_{n+1}=\np{1.51}u_n$. La suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{1.51} et de premier terme $u_0=\np{34396}$ puisque chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par un même nombre. \item Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0q^n$ donc ici, $u_n=\np{34396}\times(\np{1.51})^n$ \item Dénombrons la quantité de SMS émis en 2012. En 2012, $n=4$, $u_4=\np{34396}\times(\np{1.51})^4\approx \np{178820}$. En 2012, il sera émis environ 178 milliards 820 millions de SMS. % On arrondira le résultat au million d'unités. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \medskip {\footnotesize Le personnel d'un hôpital est réparti en trois catégories: - les médecins, - les personnels soignants autres que les médecins, - les personnels administratifs et techniques . Parmi les $350$~membres du personnel de cet hôpital, 70 sont des hommes et 250 sont des personnels soignants autres que les médecins. Parmi les personnels soignants autres que les médecins, 230 sont des femmes. Parmi les hommes, 28 sont des médecins. De plus, parmi les médecins, il y a deux fois moins de femmes que d'hommes. } \medskip \begin{enumerate} \item Le tableau donné dans \textbf{l'annexe à rendre avec la copie} y est complété. \item On choisit, au hasard, une personne dans la liste du personnel de l'hôpital. On admet que chaque personne a la même probabilité d'être choisie. L'univers est l'ensemble du personnel d'un hôpital.La loi mise sur cet univers est la loi équiprobable.La probabilité d'un évènement $A$ est $p(A)=\frac{\text{ nombre d'éléments de }A}{\text{nombre d'éléments de l'univers}}$ Calculons la probabilité de chacun des évènements suivants : $A$ : \og La personne choisie est une femme \fg. Il y a 280 femmes parmi les 350 personnes donc $p(A)=\dfrac{280}{350}=\dfrac{4}{5}=\np{0.8}$. $B$ : \og La personne choisie est un médecin \fg. Il y a 42 médecins parmi les 350 personnes donc $p(B)=\dfrac{42}{350}=\dfrac{3}{25}=\np{0.12}$. \item \begin{enumerate} \item $A \cap B$ est l'évènement : \og la personne choisie est une femme et est médecin\fg. \item Calculons la probabilité de cet évènement. Il y a 14 femmes médecins parmi les personnes donc $p(A\cap B)=\dfrac{14}{350}=\dfrac{1}{25}= 0,04$. \end{enumerate} \item Calculons les probabilités suivantes: \begin{enumerate} \item $p(A \cup B)$. $p(A \cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)=\np{0.8}+\np{0.12}-\np{0.04}=\np{0.88}$ \item $P_A(B)$. $P_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}=\dfrac{\np{0.04}}{\np{0.8}}=\dfrac{1}{20}=\np{0.05}$ \end{enumerate} \item Les évènements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$. $p(A)\times p(B)= \np{0.8}\times \np{0.12}=\np{0.096}$. $p(A\cap B)\not= p(A)\times p(B)$, les évènements ne sont pas indépendants. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \medskip {\footnotesize On trouve sur le site Eurostat le tableau ci-dessous qui indique la production, en kg, de déchets municipaux collectés en France par personne et par an. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{12}{>{\scriptsize \centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1996& 1997& 1998& 1999& 2000& 2001& 2002& 2003& 2004& 2005& 2006& 2007\\ \hline Rang de l'année $\left(x_i\right)$& 1& 2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11 &12\\ \hline Production en kg par personne $\left(y_i\right)$& 486& 497 &508 &509 &516 &528 &532 &513 &523& 532 &538 &541\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On a représenté, dans \textbf{l'annexe à rendre avec la copie}, le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ dans un repère orthogonal. } \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On appelle G le point moyen de ce nuage. Calculons les coordonnées du point moyen $G$ de ce nuage. Les coordonnées de G sont ($\overline{x}~;~\overline{y}$) \[ \overline{x}_G=\frac{1+2+3+\dots+10+11+12}{12}=\np{6.5} \quad \overline{y}_G=\frac{486+497+508+\dots+532+538+541}{12}\approx\np{518.6}\] G $\left( \np{6.5}~;~\np{518.6} \right)$. {\scriptsize \emph{ les coordonnées du point} G \emph{ sont arrondies au dixième}}. \item Le point G est placé sur le graphique donné dans \textbf{l'annexe à rendre avec la copie}. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, une équation de la droite $\mathcal{D}$ qui réalise un ajustement affine du nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ obtenue par la méthode des moindres carrés est $y=\np{4.22}x+\np{491.15}$ {\scriptsize (les coefficients sont arrondis au centième).} \item La droite $\mathcal{D}$ est tracée dans le repère de \textbf{l'annexe à rendre avec la copie}. \item En supposant que l'ajustement affine réalisé par la droite $\mathcal{D}$ reste valable durant les cinq années suivantes, donnons une estimation de la production, en kg par personne, de déchets municipaux en 2012. Pour ce faire, calculons la valeur de $y$ en remplaçant $x$ par 17, rang de l'année 2012. $y=\np{4.22}\times 17+\np{491.15}=\np{562.89}$ Une estimation, arrondie au kg, de la production, par personne, de déchets municipaux en 2012 est d'environ \np[kg]{563}. \end{enumerate} \item Un cabinet de statistique constate que la production de déchets municipaux a tendance à se stabiliser. Il apparaît vraisemblable aux statisticiens de ce cabinet que la production de déchets va diminuer dans les années à venir. Ils choisissent de modéliser la production de déchets à partir de l'année 1996 par la fonction $f$ dont l'expression est : $f(x) = - 0,19x^2 + 6,90x + 484,31$, où $x$ représente le rang de l'année et appartient à l'intervalle [1~;~25]. $x = 1$ correspond donc à l'année 1996. \begin{enumerate} \item $f'$ est la dérivée de la fonction $f$. $f'(x)=-\np{0.19}(2x)+\np{6.90}$. Pour $x \in[1~;~25],\quad f'(x)=-\np{0.38}x+\np{6.90}$. \item {\footnotesize\textbf{ Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}} On suppose que la modélisation par la fonction $f$ reste valable jusqu'en 2021. Déterminons à partir de quelle année la production de déchets va diminuer. \'Etudions d'abord les variations de $f$. $f'(x)=0$ si et seulement si $x=\dfrac{\np{6.90}}{\np{0.38}}\approx\np{18.16}$. Posons $M=\dfrac{\np{6.90}}{\np{0.38}}$ Sur $[1~;~M[$, $f$ est une fonction croissante car $f'(x)>0$ et sur $]M~;~25]$, $f$ est décroissante car $f'(x)<0$. Par conséquent, $f$ admet un maximum pour $x=M$. La production de déchets, selon ce modèle, diminuera à partir de 2014 (1995+19). \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large Annexe à rendre avec la copie} \vspace{2cm} \textbf{EXERCICE 2} \vspace{0,5cm} \begin{tabular}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}m{2.55cm}|}}\hline &Nombre d'hommes&Nombre de femmes & Total\\ \hline Médecins &28 &14 &42\\ \hline Personnels soignants autres que les médecins &20 &230 &250\\ \hline Personnels administratifs et techniques &22 &36 &58\\ \hline Total &70&280&350\\ \hline \end{tabular} \vspace{3cm} \textbf{EXERCICE 3} \vspace{0,5cm} \psset{xunit=0.65cm,yunit=0.065cm} \begin{pspicture}(-0.8,-10)(18,120) \multido{\n=0+1}{19}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,120)} \multido{\n=0+10}{13}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](0,\n)(18,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=450,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(18,120) \uput[u](16.5,0){Rang de l'année} \uput[r](0,115){Production en kg par personne} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](1,36)(2,47)(3,58)(4,59)(5,66)(6,78)(7,82)(8,63)(9,73)(10,82)(11,88)(12,91) \psplot[plotpoints=4000,linewidth=0.75pt,linecolor=violet]{0}{18}{x 4.22 mul 41.15 add} \psdots[dotstyle=square,fillcolor=red,dotangle=45,dotscale=1.5,](6.5,68.6) \uput[d](6.5,68.6){$G$} \end{pspicture} \end{center} \end{document}