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%Tapuscrit : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise}  
\lfoot{\small{Centres étrangers\hspace{1em}correction}}
\rfoot{\small{juin 2012}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~ Corrigé du baccalauréat STG Mercatique  Centres étrangers \decofourright\\ juin 2012}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}
{\footnotesize
\emph{Calculatrice autorisée, conformément à la circulaire \no 99-186 du 16 novembre 1999.\\
Le candidat doit traiter les quatre exercices.\\
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète
ou non fructueuse, qu'il aura développée.\\
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.}

L'annexe doit impérativement être rendue avec la copie.
}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\medskip
{\footnotesize
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).

Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.

On vous demande de recopier sur votre copie celle que vous pensez correcte. Aucune justification
n'est demandée.

\emph{Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.}
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $f$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ par $f(x) = \text{e}^{-3x+5}$. 

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. On a pour tout réel $x$ :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} \psframebox[linewidth=0.05pt]{$f'(x) = - 3\text{e}^{-3x+5}$ }&\textbf{b.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$f'(x) = \text{e}^{-3x+5}$} \\
\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$f'(x)=(-3x + 5)\text{e}^{- 3x + 5}$} & \textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$f'(x) = - 3\text{e}^{-3x}$}
\end{tabularx}
\medskip
\item L'équation $\ln (2x + 1) = 1$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $\left]- \frac{1}{2}~;~+\infty\right[$ :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}\psframebox[linewidth=0.05pt] {a pour solution : $\dfrac{\text{e} - 1}{2}$}&\textbf{b.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ a pour solution : $\dfrac{\text{e}}{2} - 1$}\\
\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{a pour solution : $\text{e} - \dfrac{1}{2}$}& \textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{n'a pas de solution sur cet intervalle}
\end{tabularx}
\medskip

\item La suite $\left(u_n\right)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 100$ et de raison $r = -2,3$.
{\footnotesize
On donne ci-dessous un extrait d'une feuille de calcul.

\begin{center}
\begin {tabularx}{0.5\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B\\ \hline
1&$n$& $u_n$\\ \hline
2&0& 100\\ \hline
3&1&\\ \hline
4&2&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

La formule à entrer en B3 et à recopier vers le bas pour obtenir les termes successifs de la suite $\left(u_n\right)$ est :
}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{= B\$2 $- 2,3$}&\textbf{b.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{= \$B\$2 $- 2,3$}& \textbf{c.~~} \psframebox[linewidth=0.05pt]{= B2 $- 2,3$}& \textbf{d.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{= $100 - 2,3$}
\end{tabularx}

{\footnotesize on aurait pu aussi écrire =\$B2 $-\np{2.3}$}
\medskip
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

Le but de l'exercice est d'étudier l'évolution de l'indice de fécondité en Algérie depuis 1995
(la définition de cet indice n'est pas nécessaire pour traiter l'exercice).

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude de la période 1995-2005}

\medskip
{\footnotesize
Voici l'évolution de l'indice de fécondité en Algérie de 1995 à 2005 :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 				&1995	&2000	&2005\\ \hline
Indice de fécondité	& 3,45	&2,62	&2,43\\ \hline
\multicolumn{4}{r}{\emph{Source : La Banque Mondiale}}
\end{tabularx}
\end{center}
}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculons le taux d'évolution global de l'indice de fécondité en Algérie entre 1995 et 2005.
		
		Le taux d'évolution $\mathcal{T}$ est défini par $\mathcal{T}=\dfrac{\text{valeur finale}-\text{ valeur initiale}}{\text{{valeur initiale}}}$.
$\mathcal{T}=\dfrac{\np{2.43}-\np{3.45}}{\np{3.45}}\approx -\np{0.2957}$.

Le taux d'évolution global de l'indice de fécondité en Algérie entre 1995 et 2005 a baissé d'environ \np{29.57}\,\%.	
%Arrondir le résultat à 0,01\,\%.
		\item Calculons le taux d'évolution annuel moyen de l'indice de fécondité en Algérie entre 1995 et 2005.

En appelant $t_m$ le taux moyen, le coefficient multiplicateur global est aussi $(1+t_m)^{10}$ puisque le taux a subi 10 évolutions durant cette période. 

$(1+t_m)^{10}=\np{0.7043}$ par conséquent $t_m=\np{0.7043}^{\tfrac{1}{10}}-1\approx -\np{0.03444}$.

En moyenne, chaque année, le taux de fécondité en Algérie a baissé de \np{3.44}\,\%.
 %Arrondir le résultat à 0,01\,\%.
	\end{enumerate}
\item On décide de modéliser l'évolution de l'indice de fécondité en Algérie par une baisse annuelle constante de 3,4\,\%. On définit une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente la valeur de l'indice de fécondité selon ce modèle pour l'année (1995 + n). Ainsi $u_0 = 3,45$.
	\begin{enumerate}
		\item À une baisse de \np{3.4}\,\% correspond un coefficient multiplicateur de (1-\np{0.034}) c'est-à-dire de \np{0.966}. La suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{0.966} puisque chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par ce même nombre, le premier étant $u_0 = \np{3.45}$.
		\item Le terme général d'une suite  géométrique  de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0\times (q)^{n}$. 

$u_{n}=\np{3.45}\times(\np{0.966})^n$


		\item D'après ce modèle  l'indice de fécondité en Algérie en 2010 serait $u_{15}$. $u_{15}=\np{3.45}\times(\np{0.966})^{15}\approx\np{2.05}$. %Arrondir le résultat à $0,01$.
		
		Selon ce modèle, l'indice de fécondité en Algérie serait, arrondi au centième, de \np{2.05}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude de la période 2001-2005}

\medskip

Le tableau suivant donne l'évolution de l'indice de fécondité en Algérie de 2001 à 2005.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 						&2001	& 2002	& 2003	& 2004	& 2005\\ \hline
Rang de l'année : $x_i$		& 1		& 2		& 3		& 4		& 5\\ \hline
Indice de fécondité : $y_i$	& 2,56	& 2,52	& 2,48	& 2,46	& 2,43\\ \hline
\multicolumn{6}{r}{\emph{Source : La Banque Mondiale}}
\end{tabularx}
\end{center}

Une représentation du nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ associé à cette série statistique est donnée dans un repère orthogonal en \textbf{annexe}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  À l'aide de la calculatrice, une équation de la droite $(D)$ d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés est $y = -\np{0.032}x +\np{2.586}$({\scriptsize les coefficients sont arrondis au millième}).
\item  On suppose qu'une équation de la droite $(D)$ est : $y = -0,03x + 2,59$.
	\begin{enumerate}
		\item  La droite $(D)$ est tracée sur le graphique fourni en \textbf{annexe} à rendre avec la copie.
		\item D'après ce modèle, déterminons l'indice de fécondité en Algérie en 2010. Pour ce faire, remplaçons $x$ par le rang de 2010 c'est-à-dire 10.
		
	$y = -0,03\times 10 + 2,59=\np{2.29}$.	
	
	Selon ce modèle, l'indice de fécondité en Algérie serait, arrondi au centième, de \np{2.29}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C : Choix du modèle}

\medskip

L'indice de fécondité en Algérie en 2009 était de $2,34$. Des deux modèles étudiés, celui qui  paraît le plus pertinent pour prévoir l'indice de fécondité en Algérie en 2010 est  celui utilisant la régression linéaire puisque l'erreur commise dans la prévision serait moindre.%Justifier votre réponse.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip
{\footnotesize 
Un cinéma diffuse trois types de films. 

Parmi ces films, 20\,\% sont des films de science-fiction,
30\,\% sont des films d'animation et 50\,\% sont des films d'action.

On sait aussi que 20\,\% des films de science fiction, 25\,\% des films d'animation et 15\,\% des films d'action nécessitent des lunettes 3D.

On interroge une personne au hasard sortant de ce cinéma. On suppose que chaque personne a la
même probabilité d'être choisie.

On note :

$F$ l'événement : \og La personne a vu un film de science fiction \fg,

$G$ l'événement : \og La personne a vu un film d'animation \fg,

$H$ l'événement : \og La personne a vu un film d'action\fg,

$L$ l'événement: \og La personne a utilisé des lunettes 3D pour voir le film \fg,

$\overline{L}$ l'événement : \og La personne n'a pas eu besoin de lunettes 3D pour voir le film \fg.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item  Donnons :
		\begin{description}
		\item[] la probabilité de l'événement $F$, notée $P(F)$. $P(F)=\np{0.2}$ car 20\,\% sont des films de science-fiction. 
		\item[] la probabilité conditionnelle de l'événement $L$ sachant $F$, notée $P_F(L)$. $P_{F}(L)=\np{0.2}$ car 20\,\%  des films de science-fiction nécessitent des lunettes 3D.
		\end{description}
\item  L'arbre de probabilité fourni en \textbf{annexe} illustrant l'ensemble des données de l'énoncé y a été complété.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  $G \cap L$ est l'événement : \og la personne a vu un film d'animation et a utilisé des lunettes 3D pour le voir \fg.
		\item Calculons $P(G \cap L)$. $P(G \cap L)=P(G)\times P_{G}(L)=  \np{0.3}\times \np{0.25}=\np{0.075}$.

 La probabilité de cet événement est égale à $0,075$.
 	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculons la probabilité 
		\begin{description}
\item[] de $F \cap L$. $P(F \cap L)=P(F)\times P_{F}(L)=  \np{0.2}\times \np{0.2}=\np{0.04}$ ;
\item[] de $H \cap L$. $P(H \cap L)=P(H)\times P_{H}(L)=  \np{0.5}\times \np{0.15}=\np{0.075}$.
\end{description}		
		\item Montrons que la probabilité de l'événement $L$ est égale à $0,19$.
		
		$P(L)=P(G \cap L)+P(F \cap L)+P(H \cap L)=\np{0.075}+\np{0.04}+\np{0.075}=\np{0.19}$.
	\end{enumerate}
\item Sachant que la personne interrogée a vu le film avec des lunettes 3D, la probabilité qu'elle ait vu un film d'animation  est notée $P_{L}(G)$. 
$P_L(G)=\dfrac{P(G \cap L)}{P(L)}=\dfrac{\np{0.075}}{\np{0.19}}\approx \np{0.3947}$.

La probabilité que la personne ait vu un film d'animation sachant qu'elle l'a vu avec des lunettes 3D est à $0,01$ près de \np{0.39}.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip
{\footnotesize
Une entreprise fabrique un produit dont la production mensuelle $x$ exprimée en tonnes est comprise entre 1 et 9. Le coût total de fabrication mensuel, exprimé en centaines d'euros, est donné par la fonction $c$ définie sur l'intervalle [1~;~9] par $c(x) = x^3 -12x^2 + 56x - 20$.

Chaque tonne de ce produit est vendue \np{2000}~euros. La recette mensuelle, exprimée en centaines d'euros, est donc donnée par la fonction $r$ définie sur l'intervalle [1~;~9] par $r(x) = 20x$.

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $c$ et $\mathcal{R}$ celle de la fonction $r$. Ces courbes sont représentées dans le repère ci -dessous.
}
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.03333cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-20)(10,250)
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,250)}
\multido{\n=0+10}{25}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](0,\n)(10,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(10,250)
\uput[u](9.7,0){tonnes} \uput[r](0,245){centaines d'euros}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{9}{x 3 exp x dup mul 12 mul sub 56 x mul add 20 sub}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{1}{9}{20 x mul}
\uput[ur](8.7,165){$\mathcal{R}$}\uput[u](8.7,231){$\mathcal{C}$}
\psset{arrowscale=1.75}
\def\Func{x 3 exp x dup mul 12 mul sub 56 x mul add 20 sub}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.75pt,linecolor=cyan,ArrowInside=-<]{<-}(!0 /x 1 def \Func)(!1 /x 1 def \Func)(1,0)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.75pt,linecolor=violet,ArrowInside=-<]{<-}(!0 /x 6 def \Func)(!6 /x 6 def \Func)(6,0)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.75pt,linecolor=orange,ArrowInside=->]{->}(3.6635,73.27)(3.6635,0)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.75pt,linecolor=orange,ArrowInside=->]{->}(7.6201,152.402)(7.6201,0)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.25pt,linecolor=orange]{<->}(3.6635,25)(7.6201,25)
\uput[d](5.65,25){\tiny Zone de bénéfice}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie, on répondra aux questions en utilisant uniquement le graphique ci-dessus. Les
réponses seront données avec la précision que permet le graphique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item le coût de fabrication 
\begin{itemize}
\item pour 1 tonne produite est d'environ \np{2500} euros. Nous lisons l'ordonnée du point de $\mathcal{C}$ d'abscisse 1 correspondant  au coût en  centaines d'euros .
\item pour 6 tonnes produites est d'environ \np{10000} euros.  même méthode que pour $x=1$
\end{itemize}

\item  En comparant la position de la courbe $\mathcal{C}$  par rapport à la droite $\mathcal{R}$  pour la même abscisse,
	\begin{enumerate}
		\item il n'est pas rentable pour l'entreprise de produire 1 tonne, en revanche cela l'est pour 6 tonnes.  %Justifier la réponse.
		\item L'entreprise gagne de l'argent pour des productions mensuelles comprises  entre environ \np{3.6} et \np{7.6} tonnes.
		\item Une valeur approximative du bénéfice maximal que l'entreprise peut faire est de \np{2000} euros. Ce bénéfice correspond à une production de 6 tonnes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le bénéfice mensuel, exprimé en centaines d'euros, est donné par une fonction $b$ définie sur [1~;~9].

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrons que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~9], $b(x) = - x^3 + 12x^2 - 36x + 20$.
		
Le bénéfice est la différence entre la recette et les coûts. 

$b(x)=20x-\left(x^3-12x^2+56x-20\right)=-x^3+12x^2-36x+20$.	Nous obtenons le résultat attendu.
		
		\item   $b(1)= - 1^3 + 12\times( 1)^2 - 36\times 1 + 20=-5,\quad b(9)= - 9^3 + 12\times 9^2 - 36\times 9 + 20=-61$.
	\end{enumerate}
\item  On suppose que la fonction $b$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~9] et on note $b'$ sa fonction dérivée.

$b'(x)=-3x^2+12(2x)-36=-3x^2+24x-36$.
	
Vérifions que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~9], $b'(x) = 3(x - 2) (6 - x)$. 

Pour ce faire, développons $3(x-2)(6-x)$. $3(x-2)(6-x)=3\left(6x-x^2-12+2x\right)=-3x^2+24x-36=b'(x)$

Pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~9], $b'(x) = 3(x - 2) (6 - x)$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Étudions le signe de $b'(x)$ sur l'intervalle [1~;~9]. %On pourra utiliser un tableau de signes.
		
		Sur $\R$, $x-2>0$ si et seulement si $x>2$ et $6-x>0$ si et seulement si $x<6$.
		
		Résumons cela dans un tableau de signes.
		
		\begin{center}
		\begin{tabular}{|c|*{7}{c}|}\hline
		$x$&	1&	&	2&	&	6&	&9\\\hline
		3&	&+&\vrule	&+&\vrule&+&\\\hline
		$x-2$&&$-$&0&+&\vrule&+&\\\hline
		$6-x$&&+&\vrule & +&0&$-$&\\\hline
		$b'(x)$&&$-$&0&+&0&$-$&\\\hline		
		\end{tabular}		
		\end{center}
		\item Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$. 
		
		$f'(x)>0$ pour $x\in]2~;~6[$, par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I, \:f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$. 

Sur $[1~;~2[$ ou sur $]6~;~9],\: f'(x)<0$, par conséquent $f$ est strictement décroissante sur chacun de ces intervalles.

Dressons le tableau de variation de $b$ sur l'intervalle [1~;~9].

 \begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$1$} \uput[u](3.15,2.45){$2$} \uput[u](5.75,2.45){$6$} \uput[u](7.75,2.45){$9$}
\uput[u](0.5,1.9){$b^{\prime}(x)$} \uput[u](3.15,1.97){$0$} \uput[u](4.55,1.97){$+$} \uput[u](6.75,1.97){$-$} \uput[u](2.05,1.97){$-$} \uput[u](5.75,1.97){$0$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $b$}
 \uput[ur](1,1.5){$-5$}\uput[d](3.115,0.55){$-12$}\uput[u](5.75,1.5){$20$}\uput[d](7.42,0.55){$-61$}
\psline{->}(1.35,1.485)(3.1,0.5) \psline{->}(5.75,1.485)(7.3,0.5)\psline{->}(3.22,0.5)(5.65,1.485)
\end{pspicture}
\end{center}
		\item La fonction $b$ admet un maximum pour $x=6$ et celui-ci vaut 20.
		
Ces deux valeurs pour l'entreprise représentent respectivement la production mensuelle à fabriquer pour réaliser un bénéfice maximal et la valeur du bénéfice maximal en centaines d'euros.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE}

\vspace{1cm}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{EXERCICE 2}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.8,-0.2)(11,1.1)
\multido{\n=0+1}{12}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](\n,-0.2)(\n,1.1)}
\multido{\n=-0.2+0.1}{14}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=cyan](0,\n)(11,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=2,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.8,-0.2)(11,1.1)
\uput[u](9.5,0){Rang de l'année} \uput[r](0,1.05){Indice de fécondité}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.3](1,0.56)(2,0.52)(3,0.48)(4,0.46)(5,0.43)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{x 0.03 neg mul 0.59 add}
\uput[u](10,0.3){(D)}
\end{pspicture}

\vspace{2cm}

\textbf{EXERCICE 3}

\vspace{1cm}

\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt,levelsep=2.5cm,labelsep=0.1pt]{\TR{}}
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