\documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{xspace} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,amstext,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage[euler]{textgreek} \usepackage{textcomp,enumitem} \usepackage[table]{xcolor} \usepackage{lscape} \usepackage{graphicx} %tapuscrit Jean-Claude Souque %Corrigé François Hache \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-all,pst-func} \definecolor{aliceblue}{rgb}{0.94, 0.97, 1.0} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \makeatletter \def\hlinewd#1{% \noalign{\ifnum0=`}\fi\hrule \@height #1 % \futurelet\reserved@a\@xhline} \makeatother \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat STHR}, pdftitle = {Antilles-Guyane - 18 juin 2019 }, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} %\renewcommand\arraystretch{1.4} \newcommand{\e}{\,\text{e\,}}%%% le e de l'exponentielle \renewcommand{\d}{\,\text d}%%% le d de l'intégration \renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%%% le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle}%\frenchbsetup{StandardLists=true} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat STHR} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{18 juin 2019}} %\renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STHR~\decofourright\\[5pt] Antilles-Guyane 18 juin 2019}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 9 points} \medskip %\textbf{Les trois parties sont indépendantes.} % %\vspace{0.25cm} \textbf{Partie A} \medskip Le temps passé, en minutes, par un client dans un restaurant gastronomique peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale dont la courbe de densité est donnée ci-dessous. \begin{center} \psset{xunit=0.025cm,yunit=300cm,arrowsize=5pt,comma=true,labelFontSize=\scriptstyle,yAxis=false} \begin{pspicture}(-0.1,-0.0004)(350,0.012) \psGauss[linecolor=blue,linewidth=1pt,mue=150,sigma=40]{0}{300} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linecolor=blue] { \psGauss[linecolor=blue,linewidth=1pt,mue=150,sigma=40]{100}{200} \psplot{200}{100}{0} \closepath % indispensable ! } \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=50]{->}(0,0)(350,0.05) \psline[linewidth=0.75pt](150,0)(150,0.012) \psGauss[linecolor=blue,linewidth=1pt,mue=150,sigma=40]{0}{300} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item % Déterminer, en justifiant, l'espérance $m$ de cette variable aléatoire. La fonction de densité d'une loi normale d'espérance $m$ est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=m$. La fonction de densité tracée est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=150$ donc l'espérance $m$ vaut 150. \item On admet que la probabilité de l'événement $100\leqslant X\leqslant 200$ représentée par l'aire grisée sur le graphique est égale à \np{0,7887}. %Déterminer $p(X\leqslant 100)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. On a $p(X\leqslant 100) + p(100\leqslant X\leqslant 200) + p(X\geqslant 200) =1$ et, pour des raisons de symétrie, \\ $p(X\leqslant 100) = p(X\geqslant 200)$; donc $p(X\leqslant 100) = \dfrac{1-p(100\leqslant X\leqslant 200)\rule{0pt}{9pt}}{2} = \dfrac{1-\np{0,7887}}{2} = \np{0,10565}$. \item On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance 150 et d'écart type 40. La probabilité qu'un client reste plus de 3 heures à table, donc plus de 180 minutes, est \\ $p(X>180) \approx 0,227$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip À la recherche d'investissements pour s'agrandir, le propriétaire du restaurant affirme que 90\,\% de ses clients sont satisfaits de son établissement. Un investisseur potentiel réalise un sondage auprès de 300 clients du restaurant ; 260 d'entre eux sont satisfaits. On fait l'hypothèse que le pourcentage de clients satisfaits est $0,9$ et on va tester cette hypothèse sur un échantillon de taille $n=300$. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% est \begin{center} $I=\left [p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;\, p+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right ] = \left [ 0,9 - \dfrac{1}{\sqrt{300}}~;\, 0,9 + \dfrac{1}{\sqrt{300}}\right ] \approx \left [0,842~;\, 0,958 \strut\right ]$ \end{center} La fréquence dans l'échantillon étudié est $f=\dfrac{260}{300}\approx 0,867$. $f\in I$ donc il n'y a pas de raison de remettre en cause l'affirmation du restaurateur. \smallskip \emph{Remarque: le programme officiel paru au BO \no{}11 du 17/03/2016 précise que, pour utiliser un intervalle de fluctuation, il faut que la proportion soit comprise entre $0,2$ et $0,8$, ce qui n'est pas le cas ici.} %Ce résultat remet-il en cause l'affirmation du restaurateur ? % %Argumenter la réponse à l'aide d'un intervalle de fluctuation. \medskip \textbf{Partie C} \medskip Le restaurateur propose des burgers. Voici le tableau décrivant les différentes tâches à réaliser pour la préparation des burgers. Pour réaliser cette recette, on convient que certaines tâches peuvent être réalisées simultanément par plusieurs personnes. \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\small}m{8.cm}|c|m{0.88cm}|X|} \hline Tâches&&Durées (min)&Tâches immédiatement antérieures\\\hline Dans un saladier, mélanger la farine, la levure, le sucre et le sel.&A&2&\\\hline Dans une casserole, faire chauffer l'eau, le lait et le beurre.&B&5&\\\hline Mélanger les deux préparations.&C&5&A et B\\\hline Pétrir en ajoutant les jaunes d'\oe ufs un à un.&D&15&C\\\hline Laisser pousser la pâte.&E&90&D\\\hline Préchauffer le four thermostat 7.&F&20&\\\hline Former des boules de pâte (pâtons) et les laisser reposer.&G&60&E\\\hline À l'aide d'un pinceau, badigeonner de lait les pâtons et les parsemer de graines de sésame.&H&5&G\\\hline Enfourner et cuire les pâtons.&I&11&F et H\\\hline Émincer les oignons.&J&7&\\\hline Faire caraméliser les oignons dans une poêle.&K&15&J\\\hline Préparer la mayonnaise.&L&15&\\\hline Couper les pains en deux.&M&5&I\\\hline Faire cuire les steaks.&N&8&\\\hline Faire fondre du fromage sur chaque steak.&O&6&N\\\hline Garnir les pains.&P&7&M, L, K et O\\\hline \end{tabularx} \medskip % %Par exemple, la tâche I désigne la cuisson des pains. Elle a une durée de 11 minutes et ne peut débuter qu'après l'exécution des tâches F et H. \begin{enumerate} \item On complète le graphe de cette recette (voir annexe page \pageref{schema}). \item% Quel est le temps incompressible de cette recette, c'est-à-dire le temps minimum nécessaire pour la réaliser ? Expliquer la démarche. Le plus long chemin pour aller du début à la fin est: \begin{center} \fbox{Début} $\longrightarrow$ B $\stackrel{5}{\longrightarrow}$ C $\stackrel{5}{\longrightarrow}$ D $\stackrel{15}{\longrightarrow}$ E $\stackrel{90}{\longrightarrow}$ G $\stackrel{60}{\longrightarrow}$ H $\stackrel{5}{\longrightarrow}$ I $\stackrel{11}{\longrightarrow}$ M $\stackrel{5}{\longrightarrow}$ P $\stackrel{7}{\longrightarrow}$ \fbox{Fin} \end{center} Il est d'un longueur totale de 203 minutes, donc le temps incompressible de cette recette est de 3 heures et 23 minutes. \item Le restaurateur souhaite pouvoir servir les premiers burgers à 19h30. %À quelle heure faut-il allumer le four ? Il doit allumer le four en F; le trajet contenant F est \begin{center} \fbox{Début} $\longrightarrow$ F $\stackrel{20}{\longrightarrow}$ I $\stackrel{11}{\longrightarrow}$ M $\stackrel{5}{\longrightarrow}$ P $\stackrel{7}{\longrightarrow}$ \fbox{Fin} \end{center} La tâche F est située $20+11+5+7=43$ minutes avant la fin, donc doit être effectuée 43 minutes avant la fin. Il faut donc allumer le four 43 minutes avant 19h30 soit à 18h47 au plus tard. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \medskip Une entreprise fabrique des robots pâtissiers connectés et les vend ensuite à des enseignes spécialisées dans les articles de cuisine. Le tableau suivant donne le chiffre d'affaires en millions d'euros de l'entreprise de 2012 à 2017. %\smallskip \begin{center} \begin{tabular}{|m{3.85cm}|*{6}{c|}} \hline \centering Année&2012&2013&2014&2015&2016&2017\\\hline Chiffre d'affaires (en millions d'euros)&5,43&6,03&6,63&6,50&7,54&9,17\\\hline Indice du chiffre d'affaires (base 100 en 2012)&100&111,05&&119,71&138,86&168,88\\\hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Le taux global d'évolution du chiffre d'affaires de l'entreprise entre 2012 et 2017 exprimé en pourcentage est $\dfrac{9,17-5,43}{5,43}\times 100 \approx 68,9$. \smallskip On retrouve ce résultat en travaillant sur les indices: passer de l'indice $100$ de 2012, à l'indice $168,88$ de 2017, c'est augmenter de $68,88\,\%$. \item Le taux d'évolution annuel moyen du chiffre d'affaires de l'entreprise entre 2012 et 2017, donc sur 5 ans, exprimé en pourcentage, est le nombre $t$ tel que $\left (1+\dfrac{t}{100}\right )^{5} = 1+\dfrac{68,9}{100}$. On trouve $t\approx 11,1\,\%$. \item L'indice du chiffre d'affaires de l'entreprise en 2014 est $\dfrac{6,63\times 100}{5,43} \approx 122,10$. \end{enumerate} Pour les questions qui suivent, on estime que le chiffre d'affaires augmente de 11\,\% par an à partir de l'année 2017. \begin{enumerate}[resume] \item % Donner une estimation du chiffre d'affaires de l'entreprise en 2022. Augmenter de $11\,\%$, c'est multiplier par $1,11$. Augmenter de $11\,\%$ pendant 5 ans, pour passer de 2017 à 2022, c'est multiplier par $1,11^5$. Une estimation du chiffre d'affaires de l'entreprise en 2022 est donc, en millions d'euros, de\\ $9,17\times 1,11^5 \approx 15,45$. \item Le directeur se demande à partir de quelle année le chiffre d'affaires de l'entreprise dépassera 20 millions d'euros. On complète l'algorithme suivant afin que la variable $n$ contienne en fin d'exécution la réponse à la question du directeur. \begin{center} \begin{tabular}{|l} $n\leftarrow 0$\\ $c\leftarrow 9,17$\\ Tant que $\blue c \leqslant 20$ \\ \hspace*{1cm} $n \leftarrow n+1$\\ \hspace*{1cm} $c \leftarrow \blue c\times 1,11$\\ Fin Tant que \end{tabular} \end{center} La réponse à donner au directeur est alors $2017+n$. \emph{Remarque: pour que l'algorithme réponde à la question, il faudrait initialiser la variable $n$ à $2017$.} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points} \medskip Un pâtissier propose des gâteaux de mariage qu'il fabrique et vend sur commande 200 \euro{} pièce. Chaque mois, il vend toute sa production. \medskip \textbf{Partie A :} Lecture graphique \medskip Le graphique ci-dessous représente les fonctions coût et recette dans un repère orthogonal. \begin{center} \psset{xunit=0.6cm,yunit=0.0015cm,labelFontSize=\scriptstyle} \begin{pspicture}(-1,-200)(21,5200) \multido{\n=0+1}{21}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](\n,-250)(\n,5200)} \multido{\n=-250+250}{22}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](0,\n)(20,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=500,]{->}(0,0)(0,-250)(21,5300) % \def\Funct{x 2 exp 10 mul x 40 mul add 150 add} \def\Func{x x 10 mul 40 add mul 150 add} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{\Func} % \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=black]{0}{20}{\Funct} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{20}{x 200 mul} \uput[r](17,4250){\blue \footnotesize coût} \uput[d](18,3500){\cyan\footnotesize Recette} \uput[ur](0,5050){\footnotesize prix en euros} \uput[u](19,5){\footnotesize nombre de gâteaux} %%% Corrigé \psset{arrowsize=3pt 3} \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed,ArrowInside=->](8,0)(8,1110)(0,1110) \uput*[l](0,1000){\white 1000} \uput*[l](0,1110){\blue \footnotesize 1100} \psline[linecolor=cyan,linestyle=dashed,ArrowInside=->](8,1110)(8,1600)(0,1600) \uput*[l](0,1500){\white 1500} \uput*[l](0,1600){\cyan \footnotesize 1600} \psline[linecolor=red,linestyle=dashed](17,0)(17,3720) \psdots[linecolor=red](17,3400)(17,3720) \psline[linecolor=red, linewidth=1.5pt]{]-[}(1,0)(15,0) \psline[linecolor=red,linestyle=dashed](1,0)(1,200) \psline[linecolor=red,linestyle=dashed](15,0)(15,3000) \end{pspicture} \end{center} %En vous appuyant sur le graphique ci-dessus, répondre aux questions suivantes : \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D'après le graphique, le coût de fabrication pour 8 gâteaux produits est d'environ \np{1100}~\euro. \item D'après le graphique, la recette réalisée pour 8 gâteaux vendus est d'environ \np{1600}~\euro. \item Le bénéfice réalisé pour 8 gâteaux vendus est, en euro, d'environ $\np{1600}-\np{1100}=500$. \end{enumerate} \item Pour 17 gâteaux, le coût est supérieur à la recette donc ce n'est pas rentable de confectionner et vendre 17 gâteaux. \item L'entreprise est bénéficiaire quand la courbe représentant la recette est au-dessus de la courbe représentant le coût, donc le nombre de gâteaux peut varier entre 2 et 14 pour que l'entreprise soit bénéficiaire. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B :} Étude du bénéfice \medskip Le bénéfice réalisé pour une commande de $x$ gâteaux, exprimé en euros, est noté $B(x)$. La fonction $B$ est définie sur l'intervalle [0 ; 20] par : $B(x)=-10x^2 + 160x -150$. \begin{enumerate} \item% Étudier le signe de $B$ sur l'intervalle [0 ; 20]. $B(x)$ est un polynôme du second degré dont on va étudier le signe. $\Delta=160^2 - 4(-10)(-150) = \np{19600} = 140^2$ $B(x)$ admet deux racines $x'=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-160-140}{-20}=15$ et $x''=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-160+140}{-20}=1$ $B(x)$ est du signe de $a=-10$ donc négatif à l'extérieur des racines: \begin{center} { \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \def\esp{\hspace*{2cm}} $\begin{array}{|c | *{7}{c} |} \hline x & 0 & \esp & 1 & \esp & 15 & \esp & 20 \\ \hline B(x) & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &\\ \hline \end{array}$ } \end{center} \item On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$ définie sur l'intervalle [0 ; 20]. $B'(x)=-10\times 2x +160 = -20x+160$; $B'(x)>0 \iff -20x + 160 >0 \iff 160 > 20x \iff 8>x$ $B(8)=490$; on établit le tableau des variations de $B$: \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}% paramètres \def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{10pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c|*5{c}|} \hline x & 0 & \esp & 8 & \esp & 20 \\ \hline B'(x) & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline & & & \Rnode{max}{490} & & \\ B(x) & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \Rnode{min1}{\quad} & & & & \Rnode{min2}{\quad} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max} \ncline{->}{max}{min2} \\ \hline \end{array} $ } \end{center} %Calculer $B'(x)$ et dresser le tableau de variation de la fonction $B$ sur [0 ; 20]. \item \begin{enumerate} \item Le bénéfice est maximal pour 8 gâteaux. \item Ce bénéfice maximal est alors de 490~\euro. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{Annexe à compléter et à remettre avec la copie} \textbf{\textsc{Exercice} 1 partie C} \medskip { \setlength {\fboxrule }{1.1pt} \psset{xunit=0.8cm,yunit=1cm,arrowsize=3pt 2} \begin{pspicture}(0.5,0)(19.5,12) %\psgrid[subgriddiv=2, gridcolor=gray]%gridlabels=0, \rput(1,6){\rnode{X}{\psframebox{\small Début}}} \rput(3,11){\rnode{A}{\framebox[1.5em]{A}}} \rput(3,9){\rnode{B}{\framebox[1.5em]{B}}} \rput(3,7){\rnode{F}{\framebox[1.5em]{F}}} \rput(3,5){\rnode{J}{\framebox[1.5em]{\blue J}}} \rput(3,3){\rnode{L}{\framebox[1.5em]{\blue L}}} \rput(3,1){\rnode{N}{\framebox[1.5em]{N}}} \rput(5,10){\rnode{C}{\framebox[1.5em]{\blue C}}} \rput(7,10){\rnode{D}{\framebox[1.5em]{D}}} \rput(9,10){\rnode{E}{\framebox[1.5em]{\blue E}}} \rput(11,10){\rnode{G}{\framebox[1.5em]{\blue G}}} \rput(13,10){\rnode{H}{\framebox[1.5em]{\blue H}}} \rput(13,7){\rnode{I}{\framebox[1.5em]{\blue I}}} \rput(15,7){\rnode{M}{\framebox[1.5em]{\blue M}}} \rput(17,7){\rnode{P}{\framebox[1.5em]{\blue P}}} \rput(6,5){\rnode{K}{\framebox[1.5em]{K}}} \rput(11,1){\rnode{O}{\framebox[1.5em]{\blue O}}} \rput(18.5,7){\rnode{Y}{\psframebox{\small Fin}}} %\small \ncline{->}{X}{A} \ncline{->}{X}{B} \ncline{->}{X}{F} \ncline{->}{X}{J} \ncline{->}{X}{L} \ncline{->}{X}{N} \ncline{->}{A}{C} \ncput*{\blue 2} \ncline{->}{B}{C} \ncput*{5} \ncline{->}{C}{D} \ncput*{\blue 5} \ncline{->}{D}{E} \ncput*{\blue 15} \ncline{->}{E}{G} \ncput*{\blue 90} \ncline{->}{G}{H} \ncput*{\blue 60} \ncline{->}{H}{I} \ncput*{\blue 5} \ncline{->}{F}{I} \ncput*{\blue 20} \ncline{->}{I}{M} \ncput*{11} \ncline{->}{M}{P} \ncput*{\blue 5} \ncline{->}{P}{Y} \ncput*{\blue 7} \ncline{->}{J}{K} \ncput*{\blue 7} \pnode[16.7,6.9]{P_1}{} \ncline{->}{K}{P_1} \ncput*{15} \pnode[16.7,6.8]{P_2}{} \ncline{->}{L}{P_2} \ncput*{\blue 15} \ncline{->}{N}{O} \ncput*{\blue 8} \pnode[16.9,6.75]{P_3}{} \ncline{->}{O}{P_3} \ncput*{6} \end{pspicture} } \label{schema} \end{document}