\documentclass[10pt,a4paper,french]{article} \usepackage{babel} \DecimalMathComma \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{xspace} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,amstext,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage[euler]{textgreek} \usepackage{textcomp,enumitem} \usepackage[table]{xcolor} \usepackage{lscape} \usepackage{graphicx} % tapuscrit Denis Vergès % corrigé François Hache \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-tree,pst-plot,pst-text,pst-eucl,pst-func,pst-math,pst-node,pstricks-add} \definecolor{aliceblue}{rgb}{0.94, 0.97, 1.0} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat STHR}, pdftitle = {Antilles-Guyane - 4 septembre 2020}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \renewcommand\arraystretch{1.4} \newcommand{\e}{\,\text{e\,}}%%% le e de l'exponentielle \renewcommand{\d}{\,\text d}%%% le d de l'intégration \renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%%% le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat STHR -- corrigé} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{4 septembre 2020}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{ \textbf{\decofourleft~\Large Corrigé du baccalauréat STHR Antilles-Guyane ~\decofourright\\[5pt] 4 septembre 2020}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \medskip Ces dernières années, la cuisine japonaise a connu un énorme essor en dehors du Japon. Une étude du ministère japonais de l'Agriculture, des Forêts et de la Pêche a permis d'obtenir les données suivantes : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{~} &\multicolumn{3}{c|}{Nombre de restaurants de cuisine japonaise}\\ \cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{~} &Année 2013 &Année 2015&Taux d'évolution de 2013 à 2015\\ \hline Monde (hors Japon) & \np{55000} & \np{89000} &\\ \hline Europe uniquement & \np{5500} & \np{10555} &91,9\,\%\\ \hline \multicolumn{4}{r}{\footnotesize \emph{Ministère japonais de l'Agriculture, des Forêts et de la Pêche}}\\ \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item% Comparer, en justifiant, le taux d'évolution du nombre de restaurants de cuisine japonaise de 2013 à 2015 en Europe et dans le monde. Le taux d'évolution du nombre de restaurants de cuisine japonaise de 2013 à 2015 dans le monde est $\dfrac{\np{89000} - \np{55000} }{\np{55000} }\times 100 \approx 61,8\,\%$. Il est donc inférieur à celui de l'Europe. \item %Montrer que le taux d'évolution moyen annuel du nombre de restaurants de cuisine japonaise en Europe entre 2013 et 2015 est d'environ 38,5\,\%. Il y a 2 années entre 2013 et 2015, et le pourcentage d'augmentation est de $91,9\,\%$. Le taux d'évolution moyen annuel du nombre de restaurants de cuisine japonaise en Europe entre 2013 et 2015 est le nombre $t$ tel que $\left (1+\dfrac{t}{100} \right )^2= 1+\dfrac{91,9}{100}$. Donc $1+\dfrac{t}{100} = \ds\sqrt{1,919}$ soit $t= \left ( \ds\sqrt{1,919}-1\right )\times 100 \approx 38,5$. Le taux d'évolution moyen annuel du nombre de restaurants de cuisine japonaise en Europe entre 2013 et 2015 est donc de $38,5\,\%$. \item On considère que le nombre de restaurants de cuisine japonaise en Europe continue de croître de 38,5\,\% tous les ans à partir de l'année 2015. On note $u_n$ le nombre de restaurants de cuisine japonaise en Europe durant l'année $2015 + n$ sous cette hypothèse. On a $u_0 = \np{10555}$. %Par la suite, tous les résultats seront arrondis à l'unité. \smallskip \begin{enumerate} \item $u_1 = u_0 + u_0 \times \dfrac{38,5}{100} = \np{10555} + \np{10555}\times \dfrac{38,5}{100} \approx \np{14619}$ \item %Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Donner sa raison. Augmenter de $38,5\,\%$, c'est multiplier par $1+\dfrac{38,5}{100}$ soit $1,385$.\\ Donc pour tout $n$, $u_{n+1} = 1,385\times u_n$. La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $q=1,385$ et de 1\ier{} terme $u_0 = \np{10555}$. \item %Calculer $u_5$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice. Pour tout $n$, $u_n=u_0\times q^n = \np{10555}\times 1,385^n$ donc $u_5 = \np{10555}\times 1,385^5 \approx \np{53791}$. $n=5$ correspond à l'année $2015+5$ soit 2020, donc on peut estimer à environ $\np{53791}$ le nombre de restaurants de cuisine japonaise en Europe en 2020. \item On souhaite déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de restaurants de cuisine japonaise en Europe dépassera les \np{25000} établissements. On complète l'algorithme suivant pour qu'à la fin de son exécution la variable A donne la réponse à cette question. \begin{center} \fbox{ \begin{tabular}{l} $U \gets \np{10555}$\\ $A \gets 2015$\\ Tant que $\blue U \leqslant \np{25000}$\\ \qquad $U \gets \blue U\times 1,385$\\ \qquad $A \gets A + 1$\\ Fin Tant que\\ \end{tabular} } \end{center} \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \medskip La boutique d'un hôtel de style japonais vend des bentô (boîtes compartimentées contenant les mets d'un repas) faits maison. On note $f(x)$ le coût de fabrication, en euros, de $x$ bentô. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip On a représenté la fonction $f$: \begin{center} \psset{xunit=0.5cm,yunit=0.1cm} \begin{pspicture}(-1,-5)(20,85) \multido{\n=0+1}{21}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,85)} \multido{\n=0+5}{18}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](0,\n)(20,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=30,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(20,85) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{20}{x dup mul 0.2 mul 0.4 x mul sub 9.2 add}%%% décalage de 30 en y \uput[u](19.5,0){$x$} %\uput[r](0,83){$y$} \uput[d](17.2,-5){Nombre de bentô} \uput[r](0,82){Coût de fabrication} %%%%%%%%%% correction \psset{linestyle=dashed,linecolor=red} \psline(10,0)(10, 25.2)(0,25.2) \uput*[l](0,25.2){\red $55~$} \psline(0,70)(18.46,70)(18.46,0) \uput*{9pt}[d](18,0){\red $18$} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide du graphique, on peut estimer le coût de fabrication de $10$ bentô à 55~\euro. \item D'après le graphique, le nombre maximal de bentô que la boutique peut préparer chaque jour si son budget quotidien ne doit pas dépasser $100$~euros est 18. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip La fonction $f$ est définie sur [1~;~20] par $f(x) = 0,2x^2 - 0,4x + 39,2$. Le coût unitaire d'un bentô est donné par : $g(x) = \dfrac{f(x)}{x}$. \smallskip \begin{enumerate} \item $g(x) = \dfrac{0,2x^2 - 0,4x + 39,2}{x} = \dfrac{0,2x^2}{x} - \dfrac{0,4x}{x} + \dfrac{39,2}{x} = 0,2x - 0,4 + \dfrac{39,2}{x}$ \item $g'(x) = 0,2 - 0 + 39,2\times \dfrac{-1}{x^2} = 0,2 - \dfrac{39,2}{x^2} = \dfrac{0,2x^2-39,2}{x^2}$ \item On admet que $g'(x)$ peut s'écrire sous la forme: $g'(x) = \dfrac{0,2(x - 14)(x + 14)}{x^2}$. \begin{enumerate} \item On étudie le signe de $g'(x)$ sur l'intervalle [1~;~20]: \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.2} \def\esp{\hspace*{1.5cm}} $\begin{array}{|c | *{5}{c} |} \hline x & 1 & \esp & 14 & \esp & 20 \\ \hline x+14 & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} & \\ \hline x-14 & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \\ \hline x^2 & & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} & \\ \hline g'(x) & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \\ \hline \end{array}$ \renewcommand{\arraystretch}{1} \end{center} \item La fonction $g$ est donc décroissante sur l'intervalle [1~;~14], puis croissante sur l'intervalle [14~;~20]. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item La fonction $g$ admet un minimum pour $x=14$; il faut donc préparer 14 bentô chaque jour pour que le coût unitaire soit minimal. \item% Quel est le coût total de fabrication de ce nombre de bentô ? Le coût unitaire minimal est $g(14)=5,2$~\euro. Le coût total de fabrication de ces 14 bentô est de $14\times 5,2$ soit $72,80$~\euro. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Le propriétaire du restaurant \og Aux $100$ sushis \fg{} a répertorié ses bénéfices lors des années précédentes dans le tableau ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.8cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2014 &2015 &2016 &2017 &2018 &2019\\ \hline Rang de l'année $x_i$ &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline Bénéfice $y_i$ (en milliers d'euros) &67,4 &69,3 &72,9 &73,1 &74,8 &78,2\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item On représente ci-dessous, le nuage de points associé au bénéfice annuel de ce restaurant. \begin{figure}[!h] \centering \psset{xunit=0.9cm,yunit=0.4cm} \begin{pspicture}(-0.5,63)(13,92) \psgrid[,xunit=0.9cm,yunit=0.2cm,gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=gray!50,subgridcolor=lightgray!50](0,128)(13,184) \psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=64,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,64)(0,64)(13,92) %%%% corrigé { \psset{linecolor=blue,dotstyle=x,dotscale=1.5} \psdots(1,67.4)(2,69.3)(3,72.9)(4,73.1)(5,74.8)(6,78.2) \psplot[plotpoints=1000]{0}{13}{2 x mul 65.5 add} } \psdots(3,71.5)(10,85.5) \uput[dr](3,71.5){A} \uput[dr](10,85.5){B} \psline[linecolor=red, linestyle=dashed](12,64)(12,89.5)(0,89.5) \uput*{5pt}[l](0,89.5){\red \footnotesize 89.5} \end{pspicture} \end{figure} \item On détermine à la calculatrice et par la méthode des moindres carrés une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ de ce nuage: $y=2,02x+65,547$ \item On utilisera par la suite l'ajustement affine suivant : $y = 2x + 65,5$. \begin{enumerate} \item Si $x=3$, alors $y=71,5$. Si $x=10$, alors $y=85,5$. On trace la droite passant par les points A\,$(3~;~71,5)$ et B\,$(10~;~85,5)$. \item On admet que cet ajustement reste valable pour les années suivantes.\\ L'année 2025 correspond à $x=12$.%, quel bénéfice ce restaurateur peut-il prévoir pour l'année 2025 ? Pour $x=12$, $y=2\times 12+ 65,5$ donc $y=89,5$. En 2025 le restaurateur peut prévoir un bénéfice de $89,5$ milliers d'euros. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Une échoppe japonaise propose un service de plats à emporter. Elle est très célèbre pour ses ramen au porc (spécialité culinaire japonaise) et pour la réduction faite aux clients qui apportent leur propre bol. Durant l'année 2019, 71\,\% des commandes à emporter étaient des ramen au porc; pour 43\,\% de celles-ci, le bol était apporté par le client. Pour les commandes ne concernant pas des ramen au porc, le restaurateur a fourni un bol dans 65\,\% des cas. On choisit au hasard l'une des commandes de l'année 2019. On note: \setlength\parindent{12mm} $R$ l'évènement \og il s'agit d'une commande de ramen au porc \fg{} ; $B$ l'évènement \og le client a apporté son propre bol pour la commande \fg. \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item On complète l'arbre pondéré décrivant cette situation: \begin{center} \bigskip \pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=3cm,nrot=:U,treesep=1.3cm]{\TR{}} {\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$R$} \naput{0,71}} {\TR{$B$} \naput{\blue $0,43$} \TR{$\overline{B}$}\nbput{\blue $1-0,43=0,57$} } \pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline{R}$} \nbput{\blue $1-0,71=0,29$}} {\TR{$B$} \naput{\blue $1-0,65=0,35$} \TR{$\overline{B}$} \nbput{0,65} } } \bigskip \end{center} \item $P(R \cap B) = P(R)\times P_R(B) =0,71\times 0,43 = \np{0,3053} $. On peut dire qu'il y a $30,53\,\%$ des clients qui prennent du ramon au porc et qui apportent leur bol. \item $P(B) = P(R\cap B) + P\left (\overline{R}\cap B\right ) = \np{0,3053} + 0,29\times 0,35 = \np{0,4068}$ \item On choisit une commande au hasard parmi celles où le client a apporté son propre bol. La probabilité que la commande soit des ramen au porc est:\\ $P_B(R) = \dfrac{P(R\cap B)}{P(B)} = \dfrac{\np{0,3053}}{\np{0,4068}} \approx 0,75$. \end{enumerate} \end{document}