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%tapuscrit Jean-Claude Souque
%Corrigé Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  Sciences et Technologies de l’Hôtellerie et de la Restauration}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{27 novembre 2020}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large  \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STHR  Nouvelle Calédonie~\decofourright\\[5pt]   27 novembre 2020}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
 
% L’usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé,
% 
%l’usage de calculatrice sans mémoire, \og type collège \fg est autorisé.

 L’annexe (page \pageref{schema} ) est à rendre avec la copie.
 
 \vspace{0.5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 9 points}  

\medskip

%\textbf{Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante.}
%
%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%Une entreprise produit et commercialise des pizzas dans deux points de vente.
%
%On dispose des informations suivantes :
%
%\begin{itemize}
%\item 60\,\% de la production est vendue dans le premier point de vente, le reste est vendu dans le second.
%\item Dans le premier point de vente, 10\,\% des pizzas vendues sont des pizzas Margherita, 40\,\% des pizzas 4 fromages.
%\item Dans le second, 20\,\% des pizzas vendues sont des pizzas Margherita, 35\,\% des pizzas 4 fromages.
%\end{itemize}
%
%On prélève au hasard une pizza à la sortie du laboratoire de production.
%
%On considère les évènements suivants :
%\begin{itemize}
%\item $V_1$ : \og la pizza sera vendue dans le premier point de vente \fg
%\item $V_2$ : \og la pizza sera vendue dans le second point de vente \fg
%\item $M$ : \og la pizza est une pizza Margherita \fg
%\item $F$ : \og la pizza est une pizza 4 fromages \fg
%\item $A$ : \og la pizza n’est ni une pizza Margherita, ni une pizza 4 fromages \fg
%\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Compléter l’arbre donné dans l’\textbf{annexe 1, à rendre avec la copie}.
Voir l’annexe à la fin.
\item %Traduire par une phrase l’évènement $V_2 \cap F$ , puis calculer sa probabilité.
$V_2 \cap F$ : \og la pizza sera vendue dans le second point de vente et sera une pizza 4 fromages \fg.

On a $P\left(V_2 \cap F \right) = P\left(V_2 \right) \times P_{V_2}(F) = 0,4 \times 0,35 = 0,14$. 
\item %Montrer que $p(F)=0,38$.
D’après la loi des probabilités totales $P(F) = P\left(V_2 \cap F \right) + P\left(V_1 \cap F \right)$.

Or $P\left(V_1 \cap F \right) = P\left(V_1 \right) \times P_{V_1}(F) = 0,6 \times 0,4 = 0,24$.

Donc $P(F) =  0,14 + 0,24 = 0,38$.
\item %La pizza prélevée est une pizza 4 fromages. Quelle est la probabilité, arrondie à 0,01, que la pizza soit vendue dans le second point de vente ?
Il faut trouver $P_{F}\left(V_2\right) = \dfrac{P\left(V_2 \cap F \right)}{P(F)} = \dfrac{0,14}{0,38} \approx \np{0,368}$ soit 0,37 au centième près.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Dans cette partie, les probabilités seront arrondies au millième.

Le laboratoire de cette entreprise produit des pizzas dont la masse, exprimée en grammes, peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d’espérance $\mu = 400$ et d’écart-type $\sigma = 12$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer $P(388 \leqslant X\leqslant 412)$ et interpréter le résultat.

On a $P(388 \leqslant X\leqslant 412) = P(\mu- \sigma \leqslant X \leqslant \mu + \sigma) \approx \np{0,7263} soit 0,726 au millième d'après la calculatrice.$
\item %On estime qu’une pizza est commercialisable si sa masse est supérieure à \np[g]{380}. Déterminer la probabilité qu’une pizza choisie au hasard soit commercialisable.
La calculatrice donne $P(X < 380) \approx \np{0,0478}$ et par conséquent :

$P(X \geqslant 380) = 1 - P(X < 380) \approx \np{0,9522}$, soit 0,952 au millième près.

Environ 95,2\,\% des pizzas sont commercialisables.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Partie C}  

\medskip

%Après leur production, les pizzas doivent être livrées au point de vente V depuis le laboratoire de production L en passant par différents carrefours B, C, D, E, F et G.
%Voici les différentes étapes possibles et le temps nécessaire pour les parcourir :
%
%\begin{center}
%
%\begin{tabular}[]{|*{2}{>{\centering \arraybackslash} m{3cm}|}}
%\hline
%Étapes& Temps en minutes\\\hline
%L~--~B& 1\\\hline
%B~--~C& 5\\\hline
%B~--~D& 4\\\hline
%C~--~E& 4\\\hline
%C~--~F& 6\\\hline
%D~--~F& 9\\\hline
%D~--~G& 7\\\hline
%E~--~V& 9\\\hline
%F~--~V& 4\\\hline
%F~--~G& 1\\\hline
%G~--~V& 6\\\hline
%\end{tabular}
%\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Compléter le graphe pondéré donné en \textbf{annexe 1 à rendre avec la copie} avec les données du tableau ci-dessus.
Voir à la fin.
\item %Déterminer le parcours le plus rapide entre le laboratoire de production L et le point de vente V. Quelle est alors la durée du parcours ?
Chemin LBCEV : 19

Chemin LBCFV : 16

Chemin LDFV : 18

Chemin LBDGV : 18

Le chemin LBCFV permet de livrer les pizzas en 16 minutes.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}  

\medskip

%Les membres du C. V. L. (Conseil de la Vie Lycéenne) d’un lycée ont lancé une campagne de sensibilisation visant à réduire le gaspillage alimentaire.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Après une semaine de sensibilisation, on a constaté que la masse moyenne de déchets par repas est passée de \np[g]{131}  à \np[g]{124}.

%Calculer le taux d’évolution, exprimé en pourcentage, correspondant à cette baisse. Le résultat sera arrondi à 0,01\,\%.
Le taux d'évolution est égal à $\dfrac{124 - 131}{131} \times 100 = - \dfrac{7}{131} \times 100 \approx 5,343$, soit 5,34\,\% à 0,01 près.
\item %On suppose que pour les semaines qui suivent la masse moyenne de déchets par repas diminue de 5,3\,\% par semaine. On note $u_n$ la masse moyenne de déchets par repas, exprimée en grammes, où $n$ représente le nombre de semaines écoulées après cette semaine de campagne de sensibilisation. On a ainsi : $u_0 = 124$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $u_1$.
%On arrondira le résultat à l’unité.
Retrancher 5,3\,\% c'est multiplier par $1 - \dfrac{5,3}{100} = 1 - 0,053 = 0,947$.

Donc $u_1 = 124 \times 0,947 = 117,428$, soit 117 à l'unité près.
		\item %Justifier que $u_n$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
On passe d'un terme au suivant en le multipliant par 0,947. On a donc pour tout naturel $n, \: u_{n+1} = 0,947u_n$ : la suite $\left(u_n\right)$ est donc une suite géométrique de raison $q = 0,947$, de premier terme $u_0 = 124$.
		\item %Pour tout entier naturel$n$ exprimer $u_n$ en fonction de  $n$.
On sait que pour tout entier naturel$n$, \: $u_n = u_0 \times q^n$, soit ici :

\[u_n = 124 \times 0,947^n.\]

		\item %Selon ce modèle combien de semaines faudra-t-il, après cette semaine de campagne de sensibilisation, pour que la masse moyenne de déchets de ce lycée soit inférieure à \np[g]{100} ?
Il faut résoudre dans $\N$, l'inéquation $u_n < 100 \iff 124 \times 0,947^n < 100 \iff 0,947^n < \dfrac{100}{124} \iff 0,947^n < \dfrac{25}{31}$ ou d'après la croissance de la fonction logarithme népérien :

$n \ln 0,947 < \ln{} \dfrac{25}{31}$ et enfin $n > \dfrac{\ln{} \dfrac{25}{31}}{\ln 0,947}$.

La calculatrice donne $\dfrac{\ln{} \dfrac{25}{31}}{\ln 0,947} \approx 3,95$.

La plus petite solution entière est $n = 4$.

On a effectivement $u_4 = 124 \times 0,947^4 \approx 99,7$~(g).
\item ~%Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous pour que la valeur de $N$ à la fin de son exécution soit égale au résultat trouvé à la question \textbf{2.d}.

\begin{center}
\begin{tabular}[]{|m{4cm}|}
\hline
$N \leftarrow 0$\\
$U \leftarrow 124$\\
Tant que $U {\red \geqslant 100} $\\
\hspace{4em}$N \leftarrow N + 1$\\
\hspace{4em}$U \leftarrow {\red U*0,947}$\\
Fin tant que\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}  

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur l’intervalle [0 ; 25]. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal.
\begin{center}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.025cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-1,-230)(26,150)
\multido{\n=0+1}{26}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](\n,-220)(\n,130)}
% \multido{\n=0+1}{51}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-100)(\n,100)}
 \multido{\n=-220+20}{18}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](0,\n)(25,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=2,Dy=20]{->}(0,0)(0,-220)(25.8,140)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{25}{x 45 1.5 x mul sub mul 215 sub}
\uput[u](21,80){\blue$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Avec la précision permise par le graphique :
\begin{enumerate}
\item %lire $f(11)$ ;
On lit $f(11) \approx 100$.
\item %résoudre l’équation $f(x)=0$
La courbe $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses aux points d'abscisse 6 et 24 : $S = \{6~;~24\}$.
\end{enumerate}
\item La fonction $f$ est définie sur l’intervalle [0~;~25] par $f(x)= - 1,5x^2 + 45x - 215$.
	\begin{enumerate}
		\item %On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

%Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle [0~;~25].
La fonction polynôme $f$ est dérivable sur $\R$, donc sur l'intervalle [0~;~25] et on a :

$f'(x) = 2\times (- 1,5x) + 45 = - 3x + 45$.
		\item %Déterminer le signe de $f'$ sur l’intervalle [0~;~25]. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur [0~;~25].
$f'(x) = 45 - 3x = 3(15 - x)$.
		
$\bullet~~f'(x) > 0 \iff 3(15 - x) > 0 \iff 15 - x > 0 \iff 15 > x \iff 0 \leqslant x < 15$ ;
		
$\bullet~~f'(x) < 0 \iff 3(15 - x) < 0 \iff 15 - x < 0 \iff 15 < x \iff 15 < x \leqslant 25$ ;	

$\bullet~~f'(x) = 0	\iff 	x = 15$.

La fonction est donc croissante sur [0~;~15] de $f(0) = - 215$ à $f(15) = 122,5$ et décroissante sur [15~;~25] de $f(15) = 122,5$ à $f(25) = - 27,5$.
		\item %En déduire le maximum de la fonction $f$ sur l’intervalle [0~;~25]. Pour quelle valeur de $x$ est-il atteint ?
		D'après la question précédente la fonction a un maximum atteint pour $x = 15$, $f(15) = 122,5$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXES À RENDRE AVEC LA COPIE}


\bigskip

\textbf{ Annexe 1 : \textsc{Exercice} 1}

\vspace{1cm}

\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt,levelsep=3.25cm}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$V_1$~~}\taput{$0,6$}}
	{
	\TR{$M$}\taput{$0,1$}
	\TR{$F$}\tbput{$0,4$}
	\TR{$A$}\tbput{$0,5$}
	}
\pstree{\TR{$V_2$~~}\tbput{$0,4$}}
	{\TR{$M$}\taput{$0,2$}
	\TR{$F$}\tbput{$0,35$}
	\TR{$A$}\tbput{$0,45$}
	}
}

\vspace{2cm}
\textbf{Annexe 2 : \textsc{Exercice} 1}

\psset{shortput=tablr,unit=0.7cm,labelsep=0.01cm}
\begin{pspicture}(-6,0)(8,6)
\fnode[framesize=5 11pt](-6,0){A}\rput(-6,0){\scriptsize Laboratoire de production L }
\fnode[framesize=11pt](-2.5,0){B}\rput(-2.5,0){\large B}
\fnode[framesize=10pt](0.5,0){D}\rput(0.5,0){\large D}
\fnode[framesize=10pt](3.5,0){F}\rput(3.5,0){\large F}
\fnode[framesize=3 10pt](8.5,0){V}\rput(8.5,0){\scriptsize Point de vente V}
\fnode[framesize=10pt](0.5,3){C}\rput(0.5,3){\large C}
\fnode[framesize=10pt](5.5,3){E}\rput(5.5,3){\large E}
\fnode[framesize=10pt](3.5,-3){G}\rput(3.5,-3){\large G}
\ncline{-}{A}{B}
\ncline{-}{B}{C}>{$5$}\ncline{-}{B}{D}_{$4$}
\ncline{-}{C}{E}^{$4$}\ncline{-}{C}{F}>{$6$}
\ncline{-}{D}{F}^{$9$}\ncline{-}{D}{G}>{$7$}
\ncline{-}{E}{V}>{$9$}\ncline{-}{F}{V}^{4}
\ncline{-}{F}{G}<{$1$}\ncline{-}{G}{V}>{$6$}
\rput(-3,-0.25){1}
\end{pspicture}
\label{schema}
\end{center}
\end{document}