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%tapuscrit Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies de l’Hôtellerie et
de la Restauration}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{19 juin 2018}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\large \textbf{\decofourleft~Corrigé du Baccalauréat S T H
R ~\decofourright\\[5pt] Métropole--La Réunion 19 juin 2018}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 10 points}  

\vspace{0.25cm}

\emph{Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière
indépendante.}

\vspace{0.25cm}

\textbf{Partie A}

Un salon de thé propose deux types de desserts : des gaufres et des parts
de tarte maison.

La gérante a remarqué que :
\begin{itemize}
\item 70\,\% des clients prennent une boisson chaude, les autres prennent
une boisson froide.
\item Parmi les clients prenant une boisson chaude, 50\,\% prennent une
gaufre, 30\,\% une
part de tarte et les autres ne prennent pas de dessert.
\item Parmi les clients prenant une boisson froide, 70\,\% prennent une
gaufre, 20\,\% une part
de tarte et les autres ne prennent pas de dessert.
\item Aucun client ne prend plusieurs desserts.
\end{itemize}

On interroge au hasard un client de ce salon de thé.

On considère les évènements suivants :
\begin{description}
\item[] $H$ : le client prend une boisson chaude,
\item[] $G$ : le client prend une gaufre,
\item[] $T$ : le client prend une part de tarte,
\item[] $S$ : le client ne prend pas de dessert.
\end{description}

\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter l’arbre ci-dessous :

\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$H$~}\taput{0,70}}
	{
	\TR{$G$}\taput{$\np{0,50}$}
	\TR{$T$}\taput{0,30}
	\TR{$S$}\tbput{0,20}
	}
\pstree{\TR{$\overline{H}$~}\tbput{0,30}}
	{\TR{$G$}\taput{0,70}
	\TR{$T$}\taput{0,20}
	\TR{$S$}\tbput{0,10}
}
}
\end{center} 

\item L’évènement $H \cap G$, c'est les clientsqui prennent une
boissson chaude  ET une gaufre  calculer sa probabilitése calcule en
suivant le chemin sur l'arbre : $0,70\times 0,50=0,35$

\fbox{$p(H\cap G)=0,35$}
\item  Lle client prend une gaufre: il ya deux chemins  :$ H\cap G$ et
$\overline{H}\cap G$, la probabilité du deuxi\` eme est $0,30\times
0,70=0,21$

On additione car $p(G)=p(G\cap H)+p(G\cap \overline{H})=0,35+0,21=0,56$

\fbox{$p(G)= 0,56$}.
\item  Sachant que le client prend une gaufre, quelle est la probabilité
qu’il prenne une boisson chaude ?

Ici on demande une probabilité conditionnelle :$p_G(H)$ qu'on calcule par
la formule:

$p_G(H)=\dfrac{p(G \cap H)}{p(G)}=\dfrac{0,35}{0,56}=\dfrac{5}{8}=0,625$

\fbox{$p_G(H)=0,625$}

\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une machine se charge de remplir automatiquement les gaufriers.

La masse de chaque gaufre, exprimée en grammes, est modélisée par une
variable aléatoire M
qui suit la loi normale d’espérance \textmu = 80 et d’écart-type
$\sigma= 7$.
\begin{enumerate}
\item La probabilité que la masse d’une gaufre soit comprise entre 70 g
et 90 g   

c'est $p(70\leqslant M\leqslant 90)\simeq \np{0,8468}$.

\fbox{La probabilité que la masse d’une gaufre soit comprise entre 70 g
et 90 g c'est environ \np{0,8468}}
\item On ne souhaite commercialiser une gaufre que si sa masse est
supérieure à 75 g.

On calcule $p(M\geqslant 75)$,  c'est 

$p(75\leqslant M\leqslant 80)+p(M > 80) = p(75\leqslant M\leqslant
80) + 0,50\simeq \np{0,2624}+0,50\simeq \np{0,7624}$

\fbox{La probabilité qu’une gaufre soit commercialisable c'est environ
\np{0,7624}}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Le salon de thé est ouvert de \np[h]{9} à \np[h]{19}.

Le nombre de clients présents dans le salon est modélisé par la fonction
$f$ définie sur [0 ; 10]
par :
\[f(t)= -0,5t^3 + 6,75t^2 - 21t+ 35,\]

où $t$ désigne le temps en heures écoulé depuis \np[h]{9}.
\begin{enumerate}
\item   $f(0)=-0,5\times 0^3 + 6,75\times 0^2 - 21\times 0+ 35 = 35$. 

Dès l'ouverture, on a 35 clients qui rentrent.
\item  $f'(t) = -0,5\times3\times t^2+6,75\times 2\times
t-21+0=-1,5t^2+13,5t-21$

On a le trinôme $-1,5t^2+13,5t-21$ à étudier ; on calcule son
discriminant

$\Delta=13,5^2-4\times (-1,5)\times (-21)=56,25$

Or $\sqrt{56,25}=7,5$.

Ce trinôme a donc deux racines $\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$et
$\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$on calcule

 $\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-13,5-7,5}{-3}=7$

 $\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-13,5+7,5}{-3}=2$

On factorise ce trinôme selon 

$a(t-t_1)(t-t_2)=-1,5(t-2)(t-7)$

Or $-1,5(t-2)= 3 - 1,5t$.

\fbox{$f'(t)=(3 - 1,5t)(t- 7)$}.
\item Étudier le signe de $f'(t)$, puis en déduire le tableau de
variation de $f$ sur [0~;~10].


On sait que le trinôme $f'(t)$ admet deux racines 2 et 7 et qu'il est du
signe contraire de $a$(ici $a =-1,5$) entre les racines, donc sur
$[2~;~7]$, ce trinôme est positif, ailleurs il est négatif 

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5) 
\psline(1.5,0)(1.5,3)\uput[u](1,2.5){$t$}\uput[u](2,2.5){$0$}\uput[u](3.5,2.5){$2$}\uput[u](6,2.5){$7$}
\uput[u](7.65,2.5){$10$}\uput[u](1,1.9){$f'(t)$}\uput[u](2.5,2){$-$}\uput[u](3.5,2){$0$}\uput[u](5,2){$+$}\uput[u](6,2){$0$}\uput[u](6.5,2){$-$}
\rput(1,1){$f$}\rput(2.3,1.2){$35$}\rput(3.5,.2){$16$}\rput(6,1.2){$47,25$}\rput(7.85,0.2){$0$}
\psline{->}(2.5,1)(3.2,0.25)
\psline{->}(3.7,0.25)(5.6,1)
\psline{->}(6.5,1)(7.6,0.25)
\psline[linestyle =dotted, linewidth=1.5 pt](3.5,1.7)(3.5,0.)
\psline[linestyle =dotted,dash=5, linewidth=1.5 pt](6.,1.7)(6.,0.)
\end{pspicture}
\end{center}

\item Le nombre de clients attendus dans le salon est-il maximal vers$t=7$
donc vers $ 9 h+7 h = 16 h$ ; ce nombre maximal est d'environ 47 clients .

\fbox{Le nombre  maximum de clients à 16h est donc environ 47}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}  

\vspace{0.5cm}


Pour la France, les dépenses touristiques intérieures annuelles
effectuées dans les restaurants et cafés entre les années 2011 et 2015 sont données dans le tableau suivant :

\smallskip

\begin{center}

\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|m{5.25cm}|*{5}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline
Année 									&2011 	&2012	&2013	& 2014	&2015\\\hline
Dépense touristique intérieure dans
les restaurants et cafés (en milliards
 d’euros).								&19,1	&19,4 	&19,9	&20,4	&20,5\\\hline
\multicolumn{6}{r}{\footnotesize \emph{Source : Insee, DGE, compte
satellite du tourisme-base 2010.}}\\
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Le taux d’évolution annuel moyen des dépenses touristiques
intérieures dans les restaurants et cafés entre 2011 et 2015, se calcule à partir du
coefficient multiplicatif global donne par 

$C_g=\dfrac{V_F}{V_I}$ donc 
 $C_g=\dfrac{20,5}{19,1}$ ; 
$C_g\simeq 1,073$

 ensuite comme il s'est écoulé 4 ans (de 2011 à 2015) on calcule
$(C_g)^{\frac{1}{4}}$ c'est $C_m$
 le coefficient multiplicatif moyen par an on trouve 

 environ \np{1,01784} et ceci c'est $1 +\frac{t_m}{100}$où $t_m$ est le taux
annuel moyen donc $\frac{t_m}{100}= 0,01784$, donc $t_m = \np{1,7784}$

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
Le taux d’évolution annuel moyen des dépenses touristiques
intérieures dans les restaurants et cafés entre 2011 et 2015
arrondi au centième, est égal à 1,78\,\%.\\ \hline
\end{tabularx}

\end{enumerate}
Pour prévoir les dépenses touristiques intérieures effectuées dans les
restaurants et cafés, on modélise la situation par une suite $\left( u_n\right)$ où $u_n$ est la
dépense en $2015 + n $ exprimée en
milliards d’euros. On a donc $u_0 = 20,5$. On admet pour la suite de
l’exercice que la dépense
touristique intérieure augmentera de 2\,\% par an à partir de 2015.
\begin{enumerate}[resume]
\item On sait qu'il faut multiplier chaque terme de la suite par
$1+\dfrac{2}{100}=1,02$ pour avoir le suivant donc  $u_1=1,02\times
20,5=20,91$ et $u_2=20,91 \times 1,02=21,3282$.
\item  $u_{n+1}=1,02\times u_n$. La suite $\left( u_n\right)$
est géométrique  de raison $1,02$, de premier terme $u_0=20,5$.
\item Pour tout entier naturel $n$, $u_n = 20,5\times 1,02^n$.
\item Avec ce modèle, quel montant peut-on prévoir pour la dépense
touristique intérieure dans
les restaurants et cafés en 2023 ?En $2023$ , comme $2023=2015+8$, on
calcule $u_8=20,5\times 1,02^8\simeq 24$ (\`a l'unité pr\` es, donc au
milliard d'euros près)

On arrondira le résultat au milliard d’euros.
\item Recopier et compléter l’algorithme suivant pour qu’à la fin de
son exécution, la variable $U$
soit égale à la dépense touristique intérieure dans les restaurants et
cafés de l’année $2015 + n$
pour un entier naturel $n$ donné.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$U\longleftarrow$ \dotfill\\
\hline\\
Pour $I$ variant de 1 à $n$\\
\hspace{2em}$U$ re\c coit  $1,02\times U$\\
Fin Pour\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item En utilisant la méthode de votre choix, déterminer à partir de
quelle année la dépense
touristique intérieure dans les restaurants et cafés dépassera 26
milliards d’euros.


On sait que en $2023$ c'est un peu plus que $24$milliards d’euros on
continue  par l'usage de la calculatrice : 

$1,02^{15}\times 20,5\simeq 27,59$, c'est trop car $27,59>26$  

donc c'est avant $2015+15=2030$ on égrenne les termes $u_9, u_{10}, \cdots, 
u_{14}$

$\begin{array}{c}

u_9\simeq 24,49\\ 

u_{10}\simeq 24,98\\

u_{11}\simeq 25,48\\

u_{12}\simeq 25,99\\

u_{13}\simeq 26,51\\
\end{array}$

$2015+13=2028$

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
À partir de 2028 la dépense touristique intérieure dans les restaurants
et cafés dépassera 26 milliards d’euros\\ \hline
\end{tabularx}

\end{enumerate}

\newpage
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}  

\vspace{0.5cm}


Voici le tableau décrivant les différentes tâches pour la préparation
d’une tarte à la rhubarbe
meringuée.

Pour réaliser cette recette, on part du principe que certaines tâches
peuvent être réalisées
simultanément par plusieurs personnes.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{7cm}|*{2}{>{\centering
\arraybackslash}X|}}
\hline
Tâche& Description de la tâche & Temps en minutes&Tâches à réaliser
auparavant\\
\hline 
A& Éplucher et découper la rhubarbe en dés& 8&\\\hline
B &Mettre la rhubarbe dans un plat et verser le sucre &2& A\\\hline
C &Préchauffer le four à $180^o$C (thermostat 6)& 8&\\\hline
D &Préparer la pâte& 8&\\\hline
E &Laisser reposer la pâte &15 &D\\\hline
F& Étaler la pâte dans le moule beurré et saupoudrer de farine& 4&
E\\\hline
G& Égoutter la rhubarbe et la verser sur la pâte& 5& B et F\\\hline
H& Enfourner &20& C et G\\\hline
I& Préparer la garniture &4&\\\hline
J& Sortir du four et ajouter la garniture sur la tarte&1 & I et H\\\hline
K& Enfourner à nouveau& 10& J\\\hline
L& Monter les blancs en neige& 5 &I\\\hline
M& Incorporer aux blancs le sucre& 2& L\\\hline
N& Sortir du four et étaler le mélange sur la tarte &2& M et K\\\hline
O& Mettre sous le grill& 5& N\\\hline
P& Sortir du four et laisser refroidir& 30& O\\\hline
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\item Compléter le graphe donné en annexe 

%\begin{center}
\psset{shortput=tablr}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-0.75,-3)(0,8)
\Cnode[radius=0.3cm](0,3){Z}\rput(0,3){\tiny Début}
\Cnode[radius=0.3cm](3,4.5){B}\rput(3,4.5){\large B}
\Cnode[radius=0.3cm](3,3){E}\rput(3,3){E}
\Cnode[radius=0.3cm](4.5,3){F}\rput(4.5,3){F}
\Cnode[radius=0.3cm](6,3){G}\rput(6,3){G}
\Cnode[radius=0.3cm](7.5,3){H}\rput(7.5,3){\large H}
\Cnode[radius=0.3cm](1.5,6){C}\rput(1.5,6){\large C}
\Cnode[radius=0.3cm](1.5,4.5){A}\rput(1.5,4.5){\large A}
\Cnode[radius=0.3cm](1.5,3){D}\rput(1.5,3){\large D}
\Cnode[radius=0.3cm](1.5,1.5){I}\rput(1.5,1.5){\large I}
\Cnode[radius=0.3cm](1.5,0){L}\rput(1.5,0){L}
\Cnode[radius=0.3cm](6,0){M}\rput(6,0){\large M}
\Cnode[radius=0.3cm](7.5,1.5){J}\rput(7.5,1.5){J}
\Cnode[radius=0.3cm](9,1.5){K}\rput(9,1.5){K}
\Cnode[radius=0.3cm](10.5,1.5){N}\rput(10.5,1.5){N}
\Cnode[radius=0.3cm](12,1.5){O}\rput(12,1.5){\large O}
\Cnode[radius=0.3cm](13.5,1.5){P}\rput(13.5,1.5){\large P}
\Cnode[radius=0.3cm](15,1.5){Y}\rput(15,1.5){Fin}
\ncline{->}{Z}{D}\ncline{->}{A}{B}^8\ncline{->}{D}{E}^8\ncline{->}{E}{F}^{15}\ncline{->}{F}{G}^4\ncline{->}{G}{H}^5\ncline{->}{B}{G}^2\ncline{->}{C}{H}^{8}
\ncline{->}{Z}{A} \ncline{->}{Z}{C}\ncline{->}{Z}{I} \ncline{->}{Z}{L}
\ncline{->}{I}{J}^{4}\ncline{->}{J}{K}^{1}\ncline{->}{K}{N}^{10}\ncline{->}{N}{O}^{2}\ncline{->}{O}{P}^5\ncline{->}{P}{Y}^{30}
\ncline{->}{H}{J}>{20}\ncline{->}{I}{L}>{4}\ncline{->}{L}{M}^{5}\ncline{->}{M}{N}_2
\end{pspicture}


La seule \og surprise \fg{} de ce graphe c'est que les deux flèches partant de
$I$ doivent être munies du même nombre 4 (temps pour faire la tâche
I)
\item Quel est le temps minimum pour réaliser cette recette ? Expliquer.


Ce n'est pas un algorithme de Djiskra car il peut y avoir des travaux
effectués par plusieurs personnes en simultané.


Aucune tâche n'étant inutile il faut les exécuter toutes 

De C à H 8 min (une personne )

De A à H 15 min (une personne)

De D à H 32 min (une personne)

Donc pour effectuer A, C, D et aller à H il faut 32 min ( avec trois
personnes)

Pour aller de H à J 20mn donc $32+20=52 $min,et de J à N 11 min donc
$52+11 = 63 $min.

On peut imaginer que deux autres personnes ont demarré leur travail en
I et L pour atteindre N   donc leur temps de travail(5 et 11)  étant
inférieur à 63 min ca ne rajoute pas du temps

et enfin terminer de N  à Fin : 37 min 

Donc avec 5 personnes on fait ce gateau en 63+37 = 100 min donc \fbox{1h
40 min}.
\end{enumerate}

\end{document}