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%tapuscrit Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STHR - corrigé}
\lfoot{\small{Métropole\hspace{0.3em} La Réunion}}
\rfoot{\small{8 septembre 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Sciences et Technologies de l’Hôtellerie et de la Restauration  ~\decofourright\\[5pt] Métropole La Réunion 8 septembre 2020 -- Corrigé}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}  

\textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On a recensé dans le tableau ci-dessous le trafic routier à un péage de l'agglomération
lyonnaise (indice base 100 en 2003).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 	&2003 	&2004 	&2005 &2006 	&2007 	&2008 	&2009\\ \hline
Indice 	&100 	&101 	&101,5& 102,9 	&104,4 	&103,6 	&103,4\\ \hline
\multicolumn{8}{r}{\footnotesize (\emph{Source: agence d'urbanisme pour le développement de l'agglomération lyonnaise})}
\\
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le tableau ci-dessous donne certains taux d'évolution à partir de 2003 du trafic routier:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.25cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 				&2003 	&2004 	&2005 &2006 	&2007 		&2008 &2009\\ \hline
Taux d'évolution 
depuis 2003			&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gray}}c|}{\quad}&$+ 1\,\%$	&$?$ 	&$?$ 	&$+4,4\,\%$		& $+3,6\,\%$		& $+ 3,4\,\%$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

Entre 2003 et 2005, on passe de $100$ à $101,5$ ce qui fait une augmentation de $1,5\,\%$.

Entre 2003 et 2006, on passe de $100$ à $102,9$ ce qui fait une augmentation de $2,9\,\%$.

\item En 2003, à ce péage, on comptait \np{170000}~véhicules par jour. %Combien pouvait-on en compter en 2009 ?

De 2003 à 2009 il y a eu une augmentation de $3,4\,\%$, donc on peut en compter en 2009:

$\np{170000}\times \left ( 1+ \dfrac{3,4}{100}\right )= \np{175780}$.

\item% Calculer le taux annuel moyen d'évolution du trafic routier entre 2003 et 2009.
Le coefficient multiplicateur qui fait passer du taux de 2003 à celui de 2009, soit sur 6 ans, est de $\dfrac{103,4}{100}=1,034$.

Le coefficient multiplicateur moyen annuel est donc
$\displaystyle\sqrt[6]{1,034} = 1,034^{\frac{1}{6}} \approx \np{1,00559}$;
ce qui correspond environ au taux de $0,56\,\%$.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans la ville à forte affluence touristique de Pralognan-la-Vanoise, on étudie l'évolution du
nombre de logements depuis 50 ans.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année $\left(x_i\right)$&1968 &1975 &1982 	&1990 		&1999 		&2009\\  \hline
Nombre de logements 
$\left(y_i\right)$		& 398 &472 	&635 	&\np{1020} 	&\np{1393} 	&\np{1711}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

Le nuage de points correspondant est représenté ci-dessous.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
$\dfrac{1968 +1975 +1982 	+1990 		+1999 		+2009}{6}= \dfrac{\np{11923}}{6} \approx \np{1987,17}$
et

$\dfrac{ 398 + 472 	+ 635 	+ \np{1020} 	+\np{1393}}{6} = \dfrac{\np{5629}}{6}\approx 938,17$

On place le point moyen G$\left ( \np{1987,17}~;~\np{938,17}\right )$ dans le repère.

\item On souhaite réaliser un ajustement affine du nuage de points. 

À l'aide de la calculatrice, on détermine par la méthode des moindres carrés une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$, en arrondissant les coefficients au centième:

$y=34,35 x - \np{67317,79}$

\item Dans cette question, on prendra pour équation de la droite d'ajustement:
$y = 34,4x - \np{67318}$.
	\begin{enumerate}
		\item On trace cette droite dans le repère.
		
\begin{center}
\psset{xunit=0.12cm,yunit=0.002cm}
\begin{pspicture}(1965,-200)(2045,4200)
\psgrid[xunit=0.6cm,yunit=1cm,subgriddiv=5,gridcolor=lightgray,gridlabels=0,subgridcolor=lightgray!50](393,0)(409,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=1965,labels=y,Dx=5,Dy=500]{->}(1965,0)(2045,4000)
\multido{\n=1970+10}{8}{\uput[d](\n,0){\n}}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.8](1968,398)(1975,472)(1982,635)(1990,1020)(1999,1393)(2009,1711)
\uput[r](1965,3800){Nombre de logements}
\uput[u](2040,0){Année}
%%%% Corrigé
\psplot[linecolor=blue]{1965}{2045}{34.4 x mul 67318 sub}
\psdots[linecolor=blue](1987.17,938.17) \uput[d](1987.17,938.17){\blue G}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](2025,0)(2025,2342)(1965,2342)
\uput*[l](1965,2342){\red \footnotesize \np{2342}}
\uput*[d](2025,0){\red \footnotesize \rotatebox{90}{2025}}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](1965,2500)(2045,2500)
\uput[u](2000,2500){\red $y=\np{2500}$}
\end{pspicture}
\end{center}
		
Pour $x=2025$, $y=34,4	\times 2025 - \np{67318} = \np{2342}$; donc en suivant cet ajustement, on peut prévoir \np{2342} logements en 2025.

		\item On considère que le marché immobilier sera saturé à partir de \np{2500}~logements.

On cherche $x$ entier pour que $y$ dépasse $\np{2500}$:

$y>\np{2500}
\iff
34,4x  - \np{67318}  >\np{2500}
\iff
x> \dfrac{\np{67318}  +\np{2500}}{34,4}$

$\dfrac{\np{67318}  +\np{2500}}{34,4} \approx \np{2029,6}$
donc, en suivant cet ajustement, c'est à partir de 2030 que la ville de Pralognan-la-Vanoise risque la saturation de logements.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

%\medskip
% 
%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, quatre
%affirmations sont proposées, une seule de ces affirmations est exacte.
% 
%Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse
%fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.
% 
%Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la lettre
%correspondant à la réponse choisie.
% 
%Les questions sont indépendantes.
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Un prix subit deux augmentations successives de 10\,\% et de 12\,\%. Quelle est
l'augmentation globale  ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.}~~ 2\,\% &\textbf{b.}~~22\,\% &\fbox{\blue\textbf{c.}~~$23,2$\,\%} &\textbf{d.}~~120\,\%\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth} }
Ajouter 10\,\%, c'est multiplier par $1+\dfrac{10}{100} = 1,1$, et ajouter 12\,\%, c'est multiplier par\\ $1+\dfrac{12}{100} = 1,12$.

$1,1\times 1,12=1,232$ ce qui correspond à une augmentation de $23,2$\,\%. 
\end{tabular}

\item Quelle est la solution de l'équation $1,25^x = 20$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\fbox{\blue\textbf{a.}~~$\dfrac{\log(20)}{\log(1,25)}$} &\textbf{b.}~~$\log\left(\dfrac{20}{1,25}\right)$&\textbf{c.}~~$\dfrac{\log(20)}{1,25}$&\textbf{d.}~~$\dfrac{\log(1,25)}{\log(20)}\rule[-15pt]{0pt}{35pt}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth} }
$1,25^x = 20 \iff \log\left ( 1,25^x\right )= \log\left(20\right )
\iff x\log\left ( 1,25\right )= \log\left (20\right )
\iff x= \dfrac{\log \left (20\right )}{\log \left (1,25 \right )}$
\end{tabular}

\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 5$ et pour tout $n$ entier, $u_{n+1} = 1,05 \times  u_n$.

Lequel de ces algorithmes permet de déterminer le rang $n$ à partir duquel $u_n$ est
supérieur ou égal à 300 ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}p{3.5cm}|}\hline
\textbf{a.}&\fbox{\blue \textbf{b.}}&\textbf{c.}&\textbf{d.}\\
$n \gets 0$						&$\blue n \gets 0$		&$n \gets 5$	&$n \gets 0$\\
$u \gets 5$						&$\blue u \gets 5$			&$u \gets 0$	&$u \gets 5$\\
Tant que $u \geqslant  300$	& \textcolor{blue}{Tant que $u < 300$	}	&Tant que $u < 300$&Pour $i$ allant de 0 à 300\\
\quad $u \gets  1,05 \times u$	&\quad $\blue u \gets  1,05 \times u$&\quad $u \gets  1,05 \times u$&\quad $u \gets  1,05 \times u$\\
\quad $n \gets n + 1$		&\quad $\blue n \gets n + 1$		&\quad $n \gets n + 1$	&\quad Fin Pour\\
Fin Tant que		& \textcolor{blue}{Fin Tant que}		&Fin Tant que	&Fin Tant que\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth} }
On veut déterminer $n$ pour que $u_n \geqslant 300$ donc il faut faire tourner la boucle \og Tant que $u<300$ \fg{}; on peut donc éliminer les algorithmes \textbf{a.} et \textbf{d.}\newline
$u_0=5$ donc il faut initialiser $u$ à 5; on peut éliminer l'algorithme \textbf{c.}\newline
Le bon algorithme est le \textbf{b.}
\end{tabular}

\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$f(x) = x^3 + 5x^2 - 10x + 4$.

Que vaut le nombre dérivé $f'(1)$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.}~~$-4$ &\textbf{b.}~~0 &\fbox{\blue\textbf{c.}~~\blue 3} &\textbf{d.}~~7\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth} }
$f'(x)=3x^2+10x-10$ donc $f'(1)=3$.
\end{tabular}

\item Les cinq écoles A, B, C, D et E d'une ville sont fournies en repas par une cuisine centrale.

Chaque jour, un camion part de la cuisine centrale et livre les cinq écoles puis revient à la
cuisine centrale.

Dans le graphe ci-dessous, les sommets représentent les écoles et la cuisine, et les arêtes
représentent les routes existantes. Les temps de parcours (en minutes) entre deux
sommets apparaissent sur les arêtes du graphe.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,4.2)
\cnodeput(0.5,2.5){G}{\footnotesize Cuisine}
\cnodeput(1.5,0.5){A}{A}
\cnodeput(3,3.5){B}{B}
\cnodeput(4,2.5){C}{C}
\cnodeput(7,0.6){D}{D}
\cnodeput(7.5,4){E}{E}
\ncline{A}{D}\ncput*{10}
\ncline{C}{D}\ncput*{5}
\ncline{B}{E}\ncput*{13}
\ncline{A}{C}\ncput*{11}
\ncline{A}{B}\ncput*{12}
\ncline{D}{E}\ncput*{10}\ncline{C}{E}\ncput*{9}
\ncline{G}{A}\ncput*{10}
\ncline{G}{B}\ncput*{5}
\end{pspicture}
\end{center}

Quel est le temps minimal pour la tournée  ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{a.}~~48 min&\fbox{\blue\textbf{b.}~~\blue 52 min} &\textbf{c.}~~54 min&\textbf{d.}~~63 min\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth} }
Le trajet:  
\og Cuisine $\stackrel{10}{\longrightarrow}$
A $\stackrel{10}{\longrightarrow}$
D $\stackrel{5}{\longrightarrow}$
C $\stackrel{9}{\longrightarrow}$
E $\stackrel{13}{\longrightarrow}$
B $\stackrel{5}{\longrightarrow}$ Cuisine \fg{}
dure 52 minutes.
\end{tabular}

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
\newpage

\textbf{Exercice 3 \hfill 7 points}

\medskip

Les réservations d'un hôtel ne peuvent se faire que sur son site Internet ou auprès d'une
agence.

Une étude réalisée par l'hôtel montre que, pour une réservation en agence, 5\,\% des clients
ne se présentent pas à l'hôtel alors que, pour une réservation par Internet, 2\,\% des clients
ne se présentent pas à l'hôtel.

Les réservations en agence représentent 30\,\% de l'ensemble des réservations.

Pour une semaine donnée et une réservation prise au hasard, on considère les évènements
suivants :

\begin{description}
\item[ ] $A$ : \og la réservation a été faite en agence\fg{} ;
\item[ ] $I$ : \og la réservation a été faite par Internet\fg{} ;
\item[ ] $H$ : \og le client se présente à l'hôtel \fg.
\end{description}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On complète l'arbre pondéré  traduisant cette situation.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,nodesepA=0pt,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$A$} \ncput*{$0,3$}}
	{\TR{$H$}\ncput*{\blue $0,95$}
	\TR{$\overline{H}$}\ncput*{\blue $0,05$}
	}
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$I$} \ncput*{\blue $0,7$}}
	{\TR{$H$}\ncput*{\blue $0,98$}
	\TR{$\overline{H}$}\ncput*{\blue $0,02$}
	}
}
\end{center}

\item  
	\begin{enumerate}
		\item $A \cap \overline{H}$ est l'évènement \og le client a réservé par agence et ne s'est pas présenté à l'hôtel \fg{}. 
		\item $P\left(A \cap  \overline{H}\right) = P(A)\times P_{A}\left (\overline{H}\right )
		= 0,3\times 0,05 = 0,015$
	\end{enumerate}
\item La probabilité qu'un client ne se présente pas à l'hôtel est:

$P\left (\overline{H}\right ) = P\left (A\cap \overline{H}\right ) + P\left (I\cap \overline{H}\right ) = 0,3\times 0,05 + 0,7\times 0,02 = 0,029$.

\item La probabilité que la réservation ait été faite en agence sachant que le client ne
s'est pas présenté à l'hôtel est:

$P_{\overline{H}}(A)=\dfrac{P\left (A\cap \overline{H}\right )}{P\left (\overline{H}\right )}
=\dfrac{0,015}{0,029} = \dfrac{15}{29}\approx 0,517$.

\item L'hôtel comporte \np{1000} chambres. On suppose que 2,9\,\% des clients ne se présentent pas à l'hôtel après avoir effectué une réservation. 

Soit $N$  le nombre maximal de réservations que l'hôtelier peut accepter sans avoir à refuser des clients.

Il faut qu'en retirant $2,9\,\%$ à $N$, on reste en dessous de \np{1000}, $N$ étant le plus grand possible.

Retirer $2,9\,\%$, c'est multiplier par $1-\dfrac{2,9}{100}= 0,971$.

$N\times 0,971 < \np{1000} \iff N < \dfrac{\np{1000}}{0,971}$, donc $N<\np{1029,9}$

Il ne faut pas dépasser \np{1029} réservations.

\end{enumerate}

\end{document}