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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité}
\lfoot{\small{Métropole Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2022}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI2D ~\decofourright\\[10pt]Épreuve d'enseignement de spécialité\\[7pt]Métropole Antilles--Guyane septembre 2022}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Physique-Chimie et Mathématiques}
\end{center}
\medskip

\textbf{\textsc{Exercice} 1  \hfill 4 points}

\medskip

\begin{center}
Physique-Chimie et Mathématiques

\medskip

\textbf{\Large Une horloge au jus d'orange}
\end{center}

%Pour mettre en évidence le principe de
%fonctionnement d'une pile, il est possible
%d'alimenter une horloge grâce à une pile
%rudimentaire constituée d'une électrode de cuivre
%et d'une électrode en magnésium plongeant dans
%du jus d'orange.
%
%\begin{center}
%\includegraphics{horloge}
%\end{center}
%
%\smallskip
%
%En réalisant l'expérience les valeurs suivantes sont relevées:
%
%\medskip 
%\renewcommand \arraystretch {1.5}
%\begin{center}
%\begin{tabular}[]{|l|l|}
%\hline
%Durée de fonctionnement maximale& Environ \np[h]{21} \\\hline
%Tension &\np[V]{1.52} \\\hline
%Intensité du courant électrique &\np[mA]{0,3} \\\hline
%\begin{minipage}{7cm}pH du jus d'orange au début et à la fin de l'expérience\end{minipage}&\begin{tabular}{l|l}Début: 3,9 &Fin : 6,5\end{tabular}\\
%\hline
%Volume du jus d'orange & \np[mL]{140} \\\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%Le but de cet exercice est de modéliser le fonctionnement de cette pile à l'aide d'un
%modèle mathématique en cohérence avec les résultats expérimentaux mesurés.
%\medskip

%\textbf{{\Large Partie A} : étude de la pile}
%
%\medskip
%Lorsque cette pile rudimentaire est en fonctionnement, l'électrode en cuivre est le
%siège d'une transformation chimique modélisée par la demi-équation électronique
%suivante:
%\begin{center}
% 2H$^+$({\footnotesize aq})+2$\e^-\rightarrow $H2{\footnotesize(g)}\end{center}
%L'électrode en magnésium est quant à elle le siège d'une transformation chimique
%modélisée par la demi-équation électronique : Mg({\footnotesize s})$ \rightarrow $Mg$^{2+}${\footnotesize(aq)} $+ 2\e^-$
%
%\begin{enumerate}
%\item  Schématiser cette pile alimentant un dipôle (modélisant l'horloge) en indiquant le
%sens de circulation des électrons et en identifiant clairement les deux électrodes.
%Repérer sur le schéma l'anode et la cathode de cette pile.
%
%\item À partir des deux demi-équations électroniques, écrire l'équation de la réaction
%qui modélise le fonctionnement de la pile.
%
%\item Utiliser l'équation de la réaction précédente pour expliquer qualitativement
%l'évolution du pH du jus d'orange lorsque la pile débite.
%
%\end{enumerate}
%On désire comparer la durée maximale de fonctionnement obtenue en utilisant la pile
%au jus d'orange et celle que l'on aurait avec une pile LR6 standard achetée en
%magasin.
%\begin{enumerate}[resume]
%\item Une pile LR6 a une quantité d'électricité stockée moyenne de \np[mAh]{2 800}. En
%admettant que la pile LR6 débite un courant d'intensité identique à celle de la pile
%à jus d'orange, calculer la durée maximale de fonctionnement de l'horloge
%alimentée par la pile LR6. En déduire le nombre de piles au jus d'orange
%nécessaires pour remplacer une pile du commerce.
%\end{enumerate}

\medskip

\textbf{{\Large Partie B :} étude mathématique}

\medskip

On note $t$ le temps, exprimé en minute, écoulé depuis la mise en fonctionnement de
la pile au jus d'orange.

À l'aide d'une étude expérimentale, la valeur du pH en fonction du temps peut être
modélisée par la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par:
\begin{center}
$\displaystyle f(t) = 6,571- 2,671 \e^{-\frac{t}{ 261}}.$
\end{center}

%Une représentation graphique de $f$ est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=0.0275cm,yunit=1.8cm,labelFontSize=\scriptstyle,comma=true,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-2,-1)(500,4)
\multido{\n=0+20}{25}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,3.5)}
\multido{\n=0+0.1}{36}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(490,\n)} 
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=100,Dy=0.5,Oy=3]{->}(0,0)(0,-0.1)(490,3.5)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{490}{2.71828 x 261 div  neg  exp 2.671 mul neg 3.571 add}
\uput[d](250,2.4){\blue $\mathcal{C}_f$}
\uput [d](220,-0.3){temps (min)} \uput [u](250,3.54){Évolution du pH en fonction du temps}\uput[180]{90}(-35,1.3){pH}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,2)(140,2)(140,0)
\uput[d](140,0){140}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Calculer $f(0)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'expérience.
$f(0) = 6,571- 2,671 \e^{-\frac{0}{261}} = 6,571 - 2,671\e^0 = 6,571 - 2,671 = 3,9$. 

C'est le pH initial.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Résoudre graphiquement l'équation $f(t) = 5$.
On voit sur le graphique que 5 a pour antécédent 140. Or $140 = 2 \times 60 + 20$.

Le pH est à 5 au bout de 2 heures 20 minutes.
%Donner le résultat en heure et minute.
		\item %Résoudre algébriquement l'équation $f(t) = 5$. Donner le résultat arrondi à la
%minute. Comparer ce résultat à celui obtenu à la question \textbf{2. a.}
Dans $[0~;~+ \infty[, \: f(t ) = 5 \iff 6,571- 2,671 \e^{-\frac{t}{ 261}} = 5 \iff 6,571 - 5 = 2,671 \e^{-\frac{t}{ 261}}\iff 1,571 = 2,671 \e^{-\frac{t}{ 261}}\iff \dfrac{1,571}{2,671} = \e^{-\frac{t}{261}}$, puis par croissance de la fonction logarithme népérien ; d'où $\ln \left(\dfrac{1,571}{2,671}\right) = -\dfrac{t}{261}$ et enfin $t = - 261\left(\dfrac{1,571}{2,671}\right) \approx 138,52$.

Donc le pH est à 5 au bout de 2 heures 18 minutes et $0,52 \times 60 = 31,2$~s donc environ 2 h 19~min., soit une minute de moins que le résultat trouvé graphiquement.
	\end{enumerate}
\item %Calculer $\displaystyle \lim_{t\to +\infty} f(t)$. Le résultat est-il compatible avec les valeurs relevées lors de l'expérience ?

On sait que $\displaystyle \lim_{t\to +\infty} -\frac{t}{261} = - \infty$, donc $\displaystyle  \e^{-\frac{t}{261}}\lim_{t\to +\infty} = 0$.

On a donc $\displaystyle \lim_{t\to +\infty}6,571- 2,671 \times 0 = 6,571$. Ceci est accord avec les valeurs relevées lors de l'expérience.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 3 \hfill(4 points)}

\medskip
\begin{center}
(mathématiques)
\end{center}
\medskip

%\textbf{Le candidat doit traiter quatre questions parmi les six numérotées de 1 à 6 que
%comporte l'exercice. Les questions sont indépendantes les unes des autres.
%Le candidat choisit les quatre questions auxquelles il répond et indique
%clairement leur numéro sur sa copie en début d'exercice. Seules ces questions
%sont évaluées. Chacune d'elles est notée sur un point. Traiter une question
%supplémentaire ne rapporte aucun point.}
%
%\medskip

\textsc{Question} 1

\medskip

\emph{Pour chacune des deux questions suivantes, une seule des quatre réponses est
exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un
demi-point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne
rapportent, ni n'enlèvent aucun point.\\
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Le nombre $\ln(35)$ est égal à :

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
%\textbf{a.}~~ $\ln(5) \times \ln(7)$& \textbf{b.}~~$\ln(5) + \ln(7)$ &\textbf{c.}~~$\ln(30) + \ln(5)$ &\textbf{d.}~~$\ln(30) \times \ln(5)$\\
%\end{tabularx}
$\ln(35) = \ln (5 \times 7) = \ln 5 + \ln 7$.
\item %Le nombre $\e^{20}$ est égal à :
$\e^{20} = \e^{5 + 15} = \e^{5} \times \e^{15}$.

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
%\textbf{a.}~~ $\e^4\times\e^5$& \textbf{b.}~~$\e^4 + \e^5$ &\textbf{c.}~~$ \e^5+\e^{15}$ &\textbf{d.}~~$ \e^5\times\e^{15}$\\
%\end{tabularx}
 
\end{enumerate}
\medskip

\textsc{Question} 2

\medskip

%Lors d'une course, on a mesuré la fréquence cardiaque d'un coureur de \np[m]{100}.
%
%Cette fréquence cardiaque, en battements par minute, est modélisée par la fonction
%$f$ définie sur [0; 100] par $f(x) = 28\,\ln (x + 1) + 70$ où $x$ est la distance parcourue, en
%mètre, depuis le départ de la course.
\begin{enumerate}
\item %Selon ce modèle, quelle est la fréquence cardiaque de ce coureur au départ de la
%course ?
On a $f(0) = 28 \ln 1 + 70 = 70$.
\item %Selon ce modèle, au bout de combien de mètres la fréquence cardiaque de ce
%sportif est-elle égale à $185$ battements par minute ? Arrondir à l'unité.
Il faut résoudre dans l'intervalle [0~;~100], l'équation $f(t) = 185$, soit 

$28\,\ln (x + 1) + 70 = 185 \iff 28\,\ln (x + 1) = 115 \iff \ln (x + 1) = \dfrac{115}{28} \iff x + 1 = \text{e}^{\frac{115}{28}} \iff x = \text{e}^{\frac{115}{28}} - 1 \approx 59,77$, soit 60~(m) au mètre près.
\end{enumerate}
\medskip

\textsc{Question} 3

\medskip
La température d'un four, exprimée en degré Celsius, en fonction du temps $t$,
exprimé en minute, est modélisée par une fonction $f$ définie et dérivable sur[0; $+\infty$[,
solution de l'équation différentielle (E) : $y' = -0,2 y + 44$.

\begin{enumerate}
\item %Déterminer les solutions de cette équation différentielle sur [0; $+\infty$[.
$\bullet~~$ On sait que les solutions de l'équation $y' = - 0,2y$ sur $[0; +\infty[$ sont les fonctions du type $t \longmapsto  \alpha \text{e}^{- 0,2t}$, avec $\alpha \in \R$ ;

$\bullet~~$Une fonction constante $y = k$ est solution de l'équation différentielle si $y' = 0 = - 0,2k + 44 \iff  44 = 0,2k \iff k = 220$.

Les solutions de l'équation différentielle sont donc les fonctions :

\[ t \longmapsto \alpha \text{e}^{-0,2t}  + 220,\: \alpha \in \R.\]

\item %On suppose que la température initiale du four est 25\textcelsius.
%En prenant $f(0) = 25$, donner une expression de $f(t)$, pour tout $t$ de [0; $+\infty$[.
Puisque la température est modélisée par la fonction $f$, définie sur $[0; +\infty[$  par $f(t) = \alpha \text{e}^{-0,2t}  + 220$, avec $\alpha \in \R$ et que 

$f(0) = 25 \iff \alpha \text{e}^0  + 220  = 25 \iff \alpha + 220 = 25 \iff \alpha = - 195$, on a donc :

\[f(t) = 220 - 195\text{e}^t.\]

\end{enumerate}
\medskip

\textsc{Question} 4

\medskip

%On note i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\frac{\pi}{2}$ : 

On pose $z = \sqrt{3}-\text{i}$ et $z' = -\sqrt{2}\e^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$.

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la forme exponentielle de $z$. Détailler les calculs.
$\bullet~~$On a $|z|^2 = \left(\sqrt{3}\right)^2 + (- 1)^2 = 3 + 1 = 4 = 2^2 \Rightarrow |z| = 2$ ;

$\bullet~~$Donc $z = 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i} \dfrac{-1}{2}\right) = 2 \left(\cos \frac{-\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{-\pi}{6}\right) = 2 \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$.

\item %En déduire la forme exponentielle de $\dfrac{z}{z'}$.
Tout d'abord $z' = -\sqrt{2}\e^{\text{i}\frac{\pi}{4}} = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\pi}\times \e^{\text{i}\frac{\pi}{4}} = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{4}}$. Donc 

$\dfrac{z}{z'} = \dfrac{2 \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}}{\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{4}}} =  \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\left(-\frac{\pi}{6} - \frac{5\pi}{4}\right)} = \sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\left(\frac{17\pi}{12}\right)} = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{7\pi}{12}}$.
\end{enumerate}
\medskip

\textsc{Question} 5

\medskip


%L'iode 131 est un élément radioactif qui se désintègre selon la loi $N(t) = N(0) \e^{-0,086t}$,
%où $N(0)$ est le nombre de noyaux au début de l'observation et $N(t)$ le nombre de
%noyaux à l'instant $t$, exprimé en jour.

%Déterminer le temps au bout duquel la moitié des noyaux d'iode 131 se sont
%désintégrés (demi-vie). On donnera le résultat en nombre de jours arrondi à l'unité.
Il faut trouver le temps $t$ au bout duquel :

$N(t) = \dfrac{N(0)}{2} = N(0) \e^{-0,086t} \iff \dfrac12 = \e^{-0,086t} \iff \ln \dfrac12 = - 0,086t \iff - \ln 2 = - 0,086t \iff t = \dfrac{\ln 2}{0,086}$.

La calculatrice donne $\dfrac{\ln 2}{0,086} \approx 8,059$, soit 8 jours au jour près.

\medskip

\textsc{Question} 6

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \sin(x) + \cos(x)$.
\begin{enumerate}
\item %Montrer que $f$ est solution de l'équation différentielle $y'' + y = 0$.
Sur $\R$, on a :

$f(x) = \sin(x) + \cos(x)$ ;

$f'(x) = \cos(x) - \sin(x)$ ;

$f''(x) = - \sin (x) - \cos (x)$.

Donc $f(x) + f''(x) = 0 \iff f$ est solution d' équation différentielle $y'' + y = 0$ sur $\R$.
\item %Montrer que, pour tout nombre réel $x$, $f(x) =\sqrt{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$.

Soit la fonction $g$ définie par : $g(x) = \sqrt{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$.

D'après le formulaire :

$g(x) = \sqrt{2}\left(\cos (x) \cos \frac{\pi}{4} + \sin (x) \sin \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2}\left( \cos (x) \times \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (x) \times \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = $

$\cos (x) \times \frac{2}{2} + \sin (x) \times \frac{2}{2} = \cos (x) + \sin (x) = f(x)$.

On a donc pour tout $x \in \R, \: f(x) = \sqrt{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

%\fbox{
%\begin{minipage}{0.9\textwidth}
%\textbf{Rappel:} pour $a$ et $b$ deux réels, on a les formules suivantes:
%\[\cos(a + b) = \cos (a) \cos(b) - \sin(a) \sin(b)\]
%\[\cos(a - b) = \cos (a) \cos(b) + \sin(a) \sin(b)\]
%\[\sin(a + b) = \sin(a) \cos(b) + \cos (a) \sin(b)\]
%\[\sin(a - b) = \sin(a) \cos(b) - \cos (a) \sin(b)\]
%\end{minipage}}
\end{document}