\documentclass[10pt,a4paper,french]{article} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,amstext,makeidx} \usepackage{lastpage} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp,enumitem} \usepackage[table]{xcolor} \usepackage{graphicx} % Tapuscrit : Denis Vergès %Corrigé : François Hache \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé - Baccalauréat STI2D STL}, pdftitle = {Métropole - La Réunion -- 19 juin 2018}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}% le d de différentiation \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}% le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\cg}{\texttt{]}}% crochet gauche \newcommand{\cd}{\texttt{[}}% crochet droit \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI2D et STL} \lfoot{\small{Métropole--La Réunion}} \rfoot{\small{19 juin 2018}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \vspace{0.25cm} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI2D et STL~\decofourright\\[4pt]Métropole-La Réunion -- 19 juin 2018}} \end{center} \vspace{0.25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} %\medskip % %Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes,une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. %Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point. %Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie. \medskip \begin{enumerate} \item Le plan complexe est muni d'un repère \Ouv. On considère le point A de coordonnées $\left(- 4\sqrt{2}~;~ 4\sqrt{2}\right)$. Une écriture exponentielle de l'affixe du point A est: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $8\e^{-\i\frac{3\pi}{4}}$& \textbf{b.~~} \fbox{$8\e^{\i\frac{3\pi}{4}}$}& \textbf{c.~~} $4 \sqrt{2}\e^{-\i\frac{3\pi}{4}}$& \textbf{d.~~} $4 \sqrt{2}\e^{\i\frac{3\pi}{4}}$ \end{tabularx} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace*{1cm}}|p{0.85\linewidth}} $z_{\mathrm{A}} = -4\sqrt{2} + 4\i\sqrt{2}$ donc $\left |z_{\mathrm{A}} \strut\right |^2=\left ( -4\sqrt{2}\right )^2+ \left ( 4\sqrt{2}\right )^2=32+32=64$; donc $\left |z_{\mathrm{A}} \strut\right |=8$ $z_{\mathrm{A}} = 8 \left (-\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \i \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )$; or $\cos \left (\dfrac{3\pi}{4} \right )= -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin \left (\dfrac{3\pi}{4} \right )= \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Donc $\dfrac{3\pi}{4}$ est un argument de $z_{\mathrm{A}}$. \end{tabular} \medskip \item Sur le graphique ci-dessous, l'aire grisée est délimitée par la courbe d'équation $y = 2\e^{- x}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = a$ et $x = 2$, où $a<2$.. %\medskip \begin{center} \psset{unit=1.2cm} \begin{pspicture*}(-1.5,-0.5)(3.5,4.5) %\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5](-1.5,0)(3.5,4.5) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-1.5,0)(3.5,4.5) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray] {\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.4}{2}{2 2.71828 x exp div} \psline(2,0)(-0.4,0)(-0.4,3)} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{3.5}{2 2.71828 x exp div} \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5](-1.5,0)(3.5,4.5) \uput[d](3.4,0){$x$} \uput[l](0,4.4){$y$} \uput[ur](2,0.3){\blue $y = 2\text{e}^{- x}$} \uput[d](-0.4,0){$a$} \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1.5,0)(3.5,4.5) \end{pspicture*} \end{center} L'aire grisée a une valeur strictement comprise entre $0,5$ et $1$ unité d'aire lorsque $a$ est égal à : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $- 0,5$&\textbf{b.~~} $0$&\textbf{c.~~} \fbox{$0,5$} &\textbf{d.~~} $1,5$ \end{tabularx} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \scalebox{0.5}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(-1.5,-0.7)(3.5,4.5) %\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5](-1.5,0)(3.5,4.5) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-1.5,0)(3.5,4.5) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=red!30] {\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.5}{2}{2 2.71828 x exp div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2}{-0.5}{0} \closepath} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{3.5}{2 2.71828 x exp div} \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2](-1.5,0)(3.5,4.5) %\uput[d](3.4,0){$x$} \uput[l](0,4.4){$y$} \uput[ur](2,0.3){\blue $y = 2\e^{- x}$} \uput[d](-0.5,0){\red $-0,5$} \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-1.5,0)(3.5,4.5) \end{pspicture*}} &%\hfill \scalebox{0.5}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(-1.5,-0.7)(3.5,4.5) %\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5](-1.5,0)(3.5,4.5) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-1.5,0)(3.5,4.5) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=red!30] {\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{2 2.71828 x exp div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2}{0}{0} \closepath} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{3.5}{2 2.71828 x exp div} \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2](-1.5,0)(3.5,4.5) %\uput[d](3.4,0){$x$} \uput[l](0,4.4){$y$} \uput[ur](2,0.3){\blue $y = 2\e^{- x}$} \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-1.5,0)(3.5,4.5) \uput*{6pt}[d](0,0){\red $0$} \end{pspicture*}} &%\hfill \scalebox{0.5}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(-1.5,-0.7)(3.5,4.5) %\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5](-1.5,0)(3.5,4.5) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-1.5,0)(3.5,4.5) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=red!30] {\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.5}{2}{2 2.71828 x exp div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2}{0.5}{0} \closepath} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{3.5}{2 2.71828 x exp div} \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2](-1.5,0)(3.5,4.5) %\uput[d](3.4,0){$x$} \uput[l](0,4.4){$y$} \uput[ur](2,0.3){\blue $y = 2\e^{- x}$} \uput[d](0.5,0){\red $0,5$} \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-1.5,0)(3.5,4.5) \end{pspicture*}} &%\hfill \scalebox{0.5}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(-1.5,-0.7)(3.5,4.5) %\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5](-1.5,0)(3.5,4.5) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-1.5,0)(3.5,4.5) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=red!30] {\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.5}{2}{2 2.71828 x exp div} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2}{1.5}{0} \closepath} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{3.5}{2 2.71828 x exp div} \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2](-1.5,0)(3.5,4.5) %\uput[d](3.4,0){$x$} \uput[l](0,4.4){$y$} \uput[ur](2,0.3){\blue $y = 2\e^{- x}$} \uput[d](1.5,0){\red $1,5$} \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-1.5,0)(3.5,4.5) \end{pspicture*}} \end{tabularx} \smallskip \begin{tabular}{@{\hspace*{1cm}}|p{0.85\linewidth}} En regardant les 4 graphiques correspondant aux 4 valeurs de $a$ proposées comme réponse, on voit que dans les deux premiers, l'aire est trop grande, et que dans le quatrième, elle est trop petite. \end{tabular} \medskip \item On considère l'équation différentielle $y' + 2y = 6$ où $y$ désigne une fonction dérivable sur $\R$. On note $f$ l'unique solution de cette équation différentielle vérifiant $f(0) = 5$. La valeur de $f(2)$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} \fbox{$2\e^{-4} + 3$} &\textbf{b.~~} $2\e^{4} + 3$&\textbf{c.~~} $5\e^{- 4} + 3$&\textbf{d.~~} $5\e^{4} + 3$ \end{tabularx} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace*{1cm}}|p{0.85\linewidth}} D'après le cours, cette équation différentielle a pour solution les fonctions $f$ définies par $f(t)=k\e^{-2t} +3$. Si $f(0)=5$, alors $k=2$, donc $f(t)=2\e^{-2t}+3$ et donc $f(2)=2\e^{-4}+3$. \end{tabular} \medskip \item On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \ln (x)$. La primitive $F$ de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$ telle que $F(1) = 3$ est donnée par : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} $F(x) = x\ln (x) - 2x + 5$& \textbf{b.~~} $F(x) = \dfrac{3}{x\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}$\\ \textbf{c.~~} $F(x) = x \ln (x) + 3$& \textbf{d.~~} \fbox{$F(x) = x\ln (x) - x + 4$} \end{tabularx} \medskip \begin{tabular}{@{\hspace*{1cm}}|p{0.85\linewidth}} Pour $F$ définie par $F(x)=x\ln(x)-x+4$, on a $F(1)=0-1+4=3$ et\newline $F'(x)=1\times \ln(x) + x \times \dfrac{1}{x} -1+0 = \ln(x)=f(x)$. \end{tabular} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} \medskip Après son installation, un lundi matin, un aquarium contient $280$ litres d'eau et des poissons. Par évaporation, le volume d'eau dans l'aquarium diminue de 2\,\% par semaine. Compte tenu du nombre de poissons, cet aquarium doit contenir en permanence au minimum $240$~litres d'eau. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item% Quel volume d'eau restera-t-il dans l'aquarium au bout d'une semaine ? Si le volume diminue de 2\,\% chaque semaine, il en reste 98\,\%; donc au bout d'une semaine il restera (en litres) $280\times 0,98 = 274,4$. \item% Est-il vrai qu'au bout de deux semaines, exactement 4\,\% du volume d'eau initial se seront évaporés ? Justifier. Au bout de 2 semaines, il restera $274,4\times 0,98 = 268,912$ litres. Il s'en sera évaporé $280-268,912 = 11,088$ litres, soit $\dfrac{11,088}{280}\times 100 = 3,96\,\%$. Donc en 2 semaines, il ne s'est pas évaporé exactement 4\,\% du volume d'eau initial. \emph{Remarque} -- Retirer 4\,\% c'est multiplier par $0,96$; répondre à cette question revient à dire que $0,98\times 0,98 \neq 0,96$. \item %Déterminer au bout de combien de semaines le volume d'eau dans l'aquarium deviendra insuffisant. Le volume d'eau dans l'aquarium deviendra insuffisant quand il sera inférieur à 240 litres. Le tableau ci-dessous donne les volumes (arrondis à l'unité) de l'aquarium la semaine $n$: \begin{center} {\small \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline $n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ \hline Volume & 280 & 274 & 269 & 264 & 258 & 253 & 248 & 243 & 238\\ \hline \end{tabularx} }% fin du small \end{center} C'est donc la 8\ieme{} semaine que le volume deviendra insuffisant. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On ajoute chaque lundi matin, en une seule fois, $5$~litres d'eau pour compenser l'évaporation hebdomadaire de 2\,\%. On note $u_0$ le volume initial d'eau en litres dans l'aquarium. Ainsi $u_0 = 280$. Pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on note $u_n$ le volume d'eau dans l'aquarium, en litres, $n$ semaines après son installation, immédiatement après l'ajout hebdomadaire des $5$ litres d'eau. \medskip \begin{enumerate} \item% Vérifier que $u_2 = 278,812$. $u_1 = u_0\left (1-\dfrac{2}{100} \right )+5 = 280\left (1-\dfrac{2}{100} \right )+5 = 279,4$;\\ $u_2 = u_1\left (1-\dfrac{2}{100} \right )+5 = 279,4 \left (1-\dfrac{2}{100} \right )+5 = 278,812$ \item% Justifier que pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+ 1} = 0,98 u_n + 5$. Retirer $2\,\%$ c'est multiplier par $0,98$; donc on passe du volume l'année $n$ au volume l'année $n+1$ en multipliant par $0,98$ puis en ajoutant $5$: pour tout $n$, $u_{n+1}=0,98 u_n +5$. \item% Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ n'est pas géométrique. $\dfrac{u_1}{u_0} = \dfrac{279,4}{280} \approx \np{0,997857}$ et $\dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{278,812}{279,4} \approx \np{0,997895}$ $\dfrac{u_1}{u_0} \neq \dfrac{u_2}{u_1}$ donc la suite $(u_n)$ n'est pas géométrique. \item On considère l'algorithme ci-dessous dans lequel $k$ désigne un nombre entier naturel et $U$ un nombre réel. \begin{center} \begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline $U \gets 280$\\ Pour $k$ allant de $1$ à \ldots\\ \hspace{0.9cm}$U \gets \ldots$\\ Fin Pour\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item On complète l'algorithme pour qu'à la fin de son exécution, la variable $U$ contienne $u_6$. \begin{center} \begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline $U \gets 280$\\ Pour $k$ allant de $1$ à {\red 6}\\ \hspace{0.9cm}$U \gets {\red 0,98*U+5}$\\ Fin Pour\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item% Quel est le volume d'eau dans l'aquarium, en litres à $10^{-2}$ près, $6$ semaines après son installation immédiatement après l'ajout hebdomadaire des $5$ litres d'eau? Le tableau suivant donne les valeurs approchées à $10^{-2}$ de $u_n$: \begin{center} \begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline $n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline $u_n$ & 280 & $279,4$ & $278,81$ & $278,24$ & $277,67$ & $277,12$ & $276,58$ \\ \hline \end{tabularx} \end{center} La valeur arrondie à $10^{-2}$ près du volume de l'aquarium au bout de 6 semaines est, en litres, $276,58$. \end{enumerate} \item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 250$. On admet que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,98$. \begin{enumerate} \item $v_0 = u_0-250 = 280-250=30$. \item %Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=0,98$ et de premier terme $v_0=30$ donc, pour tout $n$, $v_n=v_0\times q^n = 30\times 0,98^{n}$. \item% En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 30 \times 0, 98^n + 250$. On sait que $v_n = u_n - 250$ donc $u_n=v_n+250$. Pour tout $n$, $v_n= 30\times 0,98^{n}$ donc, pour tout $n$, $u_n=30\times 0,98^{n} + 250$. \item% Justifier que la préconisation concernant le volume d'eau dans l'aquarium est respectée. Pour tout $n$, $0,98^{n}>0$ donc $0,98^{n}+250>250$, ce qui prouve que $u_n>250$; le volume d'eau sera donc toujours supérieur à 250 litres, donc la préconisation concernant le volume d'eau dans l'aquarium est respectée. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \medskip Le niveau sonore $N$ d'un bruit, à une distance $D$ de sa source, dépend de la puissance sonore $P$ de la source. Il est donné par la relation $N = 120 + 4\ln \left(\dfrac{P}{13 \times D^2}\right)$ où $N$ est exprimé en décibels (dB), $P$ en Watts (W) et $D$ en mètres (m). \bigskip \textbf{Partie A} %\medskip % %Les questions 1. et 2. sont indépendantes \medskip \begin{enumerate} \item Le niveau sonore $N$, en décibels, d'un bruit entendu à $10$ mètres de la source sonore dont la puissance $P$ est égale à $2,6$~Watts est $120 + 4 \ln \left ( \dfrac{2,6}{13\times 10^2}\right ) \approx 95$. Le niveau sonore arrondi à l'unité d'un bruit entendu à 10~m dont la puissance est égale à $2,6$~W est $95$~dB. \item On donne $N = 84$~dB et $D = 10$~m. %Déterminer $P$. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près. La puissance $P$ est solution de l'équation $84 = 120 + 4\ln \left(\dfrac{P}{13 \times 10^2}\right)$: $84 = 120 + 4\ln \left(\dfrac{P}{13 \times 10^2}\right) \iff -9 = \ln \left(\dfrac{P}{\np{1300}}\right) \iff \e^{-9}= \dfrac{P}{\np{1300}} \iff \np{1300} \e^{-9} = P$ La puissance arrondie à $10^{-2}$ près de la puissance donnant un volume sonore de 84~dB à 10~m est $0,16$~W. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Une entreprise de travaux publics réalise un parking en plein air. Sur le chantier d'aménagement de ce parking, une machine de découpe a une puissance sonore $P$ égale à $0,026$~Watts. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item À une distance $D$ de la machine, le niveau sonore $N$ est $N = 120 + 4\ln \left(\dfrac{0,026}{13 \times D^2}\right) = 120 + 4\ln \left(\dfrac{0,002}{ D^2}\right) =120 + 4\ln (0,002) - 4\ln \left(D^2\right)$. \item %Montrer qu'une approximation de $N$ peut être $95,14 - 8\ln (D)$. $120 + 4\ln (0,002) \approx 95,14$ et $\ln\left (D^2\right )=2\ln\left (D\right )$ donc $4\ln\left (D^2\right )=8\ln\left (D\right )$. Donc une approximation de $N$ peut être $95,14 - 8\ln (D)$. \end{enumerate} \end{enumerate} Dans la suite de l'exercice, à une distance de $x$ mètres de la machine, le niveau sonore $N$ émis par la machine est modélisé par la fonction $f$ définie sur [0,1~;~20] par : $f(x) = 95,14 - 8\ln (x)$. \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item %Déterminer une expression de $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. $f'(x)=0-8\times \dfrac{1}{x} = -\dfrac{8}{x}$ \item Si $x\in [0,1~;~20]$, $f'(x)<0$. \item On en déduit que la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle [0,1~;~ 20]. \end{enumerate} \item On suppose qu'un ouvrier de cette entreprise se situe à trois mètres de la machine. La législation en vigueur l'oblige à porter des protections individuelles contre le bruit dès qu'un risque apparaît. À une distance de 3 mètres, le niveau sonore est de $f(3)=95,14-8\ln(3) \approx 86,4$~dB. %Justifier, à l'aide du tableau ci-dessous, que l'ouvrier doit porter des protections individuelles contre le bruit. Le tableau ci-dessous donne le niveau de risque en fonction du niveau sonore: \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|}\hline \textbf{Impacts sur l'audition}& \textbf{Niveaux sonores en décibels}\\ \hline Aucun &[0~;~85[\\ \hline Risque faible &[85~;~90[\\ \hline Risque élevé &[90~;~120[\\ \hline \end{tabular} \end{center} Pour un niveau sonore de $86,4$~dB, le risque est faible mais l'ouvrier doit néanmoins porter une protection contre le bruit. \item% Déterminer à quelle distance de la machine un ouvrier de l'entreprise sort de la zone de risque élevé (c'est-à-dire lorsque le niveau sonore est inférieur à $90$~dB). Un ouvrier de l'entreprise sort de la zone de risque élevé quand $N<90$; on résout cette inéquation: $N<90 \iff f(x)<90 \iff 95,14 - 8\ln(x) < 90 \iff 5,14 < 8 \ln(x) \iff \dfrac{5,14}{8} < \ln(x)\\ \phantom{N<90} \iff \np{0,6425}<\ln(x) \iff \e^{\np{0,6425}}}(0,0)(0,0)(0.09,18) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{0.0535}{77.87 x 0.5 exp mul} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{0.07}{42.2 x 0.5 exp mul} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{0.07}{22.03 x 0.5 exp mul} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{0.07}{11.79 x 0.5 exp mul} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{0.07}{7.06 x 0.5 exp mul} \psdot[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0.02,11)\uput[r](0.02,11){A} \uput[r](0.054,17.6){$\mathcal{C}_{N=74,9}$} \uput[r](0.07,11.2){$\mathcal{C}_{N=79,8}$} \uput[r](0.07,5.8){$\mathcal{C}_{N=85}$} \uput[r](0.07,3.1){$\mathcal{C}_{N=90}$} \uput[r](0.07,1.7){$\mathcal{C}_{N=94,1}$} \uput[d](0.088,0){$P$} \uput[l](0,18){$D$} %%% question 1 \psset{linewidth=1.2pt,linecolor=blue} \psline[linestyle=dashed](0.06,0)(0.06,18) \psline[linewidth=3pt](0.06,2.89)(0.06,5.4) \psline[linestyle=dashed](0.06,2.89)(0,2.89) \psline[linestyle=dashed](0.06,5.4)(0,5.4) \uput[l](0,5.4){\blue $5,4$} \uput[l](0,2.89){\blue $2,9$} %%% question 2 \psset{linewidth=1.2pt,linecolor=red} \psline[linestyle=dashed](0,8)(0.08,8) \psline[linewidth=3pt](0.0106,8)(0.036,8) \psline[linestyle=dashed](0.0106,8)(0.0106,0) \psline[linestyle=dashed](0.036,8)(0.036,0) \uput*{9pt}[d](0.0106,0){\red $0,011$} \uput*{12pt}[d](0.04,0){\ \ \ \ } \uput*{9pt}[d](0.036,0){\red $0,036$} \end{pspicture} \end{center} \medskip On admet que pour une puissance de $0,02$ Watt, le niveau sonore du bruit est de $74,9$ décibels à une distance de $11$~mètres de la source sonore. Ainsi, le point A de coordonnées $(0,02; 11)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_{N=74,9}$. \medskip \begin{enumerate} \item Pour un bruit de puissance $P$ égale à $0,06$ W, pour que le niveau sonore $N$ soit compris entre $85$ et $90$~dB, il faut être situé environ entre $2,9$ et $5,4$~m (tracés en bleu sur le graphique). \item Pour une source sonore située à une distance $D$ de $8$~m, les puissances minimale et maximale de cette source pour obtenir un niveau sonore compris entre $74,9$~dB et $79,8$~dB sont environ $0,011$~W et $0,036$~W (tracés en rouge sur le graphique). \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} \medskip Un industriel commercialise des portes blindées. Il projette de lancer un nouveau modèle de portes blindées : les portes \og SECUR \fg. Équipées d'un digicode et d'une caméra, elles seront donc plus sécurisées que celles déjà existantes sur le marché. \medskip %\emph{Les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près} % %\medskip \textbf{Partie A} \medskip Avant de débuter son projet, l'industriel s'intéresse à une étude portant sur le prix de vente des portes blindées classiques existantes. Le prix de vente, en euros, d'une porte blindée classique est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = \np{3000}$ et d'écart type $\sigma = 750$. \medskip \begin{enumerate} \item À la calculatrice, on trouve que la valeur arrondie à $10^{-4}$ près de la probabilité \\ $P(\np{1500} \leqslant X \leqslant \np{4500})$ est $\np{0,9545}$. \item À la calculatrice, on trouve que la valeur arrondie à $10^{-4}$ près de la probabilité qu'une porte blindée classique coûte plus de \np{2500}~euros -- c'est-à-dire $P\left ( X\geqslant \np{2500}\right )$ -- est $\np{0,7475}$. \item \begin{enumerate} \item On complète le tableau suivant en utilisant la calculatrice: \begin{center} \begin{tabularx}{0.3\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}X|} \hline $a$ & $P(X \leqslant a)$\\ \hline \np{3950} &\np{0,8974}\\ \hline \np{3960} & \textcolor{red}{\np{0,8997}}\\ \hline \np{3970} & \textcolor{red}{\np{0,9021}}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Le montant minimal $m$ tel qu'au moins 90\,\% des portes blindées classiques ont un prix de vente inférieur à ce montant est défini par $P(X \leqslant m) = 0,90$. D'après le tableau, on peut chercher $m$ entre $\np{3960}$ et $\np{3970}$. Par approximations successives, on trouve: $P(X\leqslant \np{3961}) \approx \np{0,89996}$ et $P(X\leqslant \np{3962}) \approx \np{0,9002}$ donc le montant minimal est $\np{3962}$~\euro. \item L'industriel estime que le prix de vente du modèle de porte blindée équipée \og SECUR\fg{} ne devra pas dépasser de plus de 15\,\% le montant minimal précédent. %Quel prix de vente maximal $M$, à l'euro près, peut-il envisager pour une porte du modèle \og SECUR\fg{} ? Le montant minimal, en euros, est de $\np{3962}$; si on le majore de 15\,\%, on obtient $\np{3962}\times 1,15 = \np{4556,30}$. Le prix de vente maximal pour une porte du modèle \og SECUR\fg{} est donc de $\np{4556}$~euros. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip L'industriel envisage de commercialiser les portes blindées de modèle \og SECUR \fg{} au tarif $M$ déterminé précédemment. Il souhaite estimer la proportion de personnes susceptibles d'acheter son nouveau modèle. Une enquête est réalisée sur un échantillon de $984$ personnes intéressées par l'achat d'une porte blindée. Sur cet échantillon, $123$ personnes se disent favorables à l'achat du modèle \og SECUR \fg. \medskip \begin{enumerate} \item %Déterminer l'intervalle de confiance, au niveau de confiance 95\,\%, de la proportion de personnes favorables à l'achat du nouveau modèle. La fréquence de personnes intéressées dans l'échantillon considéré est de $f=\dfrac{123}{984}= 0,125$. L'intervalle de confiance, au niveau de confiance 95\,\%, de la proportion de personnes favorables à l'achat du nouveau modèle est donc: \medskip $I = \left[f - 1, 96\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}~;~f + 1, 96 \sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}\right]\\ \phantom{I}= \left [ 0,125 - 1,96 \ds\sqrt{\dfrac{0,125\left (1-0,125\right )}{984}}~;~0,125 + 1,96 \ds\sqrt{\dfrac{0,125\left (1-0,125\right )}{984}}\right ] = \left [ \np{0,1043}~;~\np{0,1457}\strut\right ]$ %\begin{center} %\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline %\emph{On rappelle que pour une fréquence $f$ observée dans un échantillon de taille $n$, l'intervalle de confiance au niveau de confiance $95$\,\% de la proportion $p$ du caractère étudié dans la population est donné par: $\left[f - 1, 96\sqrt{\frac{f(1 - f)}{n}}~;~f + 1, 96 \sqrt{\frac{f(1 - f)}{n}}\right]$.}\\ \hline %\end{tabularx} %\end{center} \item Pour que l'industriel prenne le risque d'investir dans les portes \og SECUR\fg, il faudrait qu'au minimum 20\,\% des personnes souhaitant s'équiper d'une porte blindée soient favorables à ce nouveau modèle. %A-t-il intérêt à réaliser son projet? D'après la question précédente, il y a une probabilité de 95\,\% que le pourcentage de personnes souhaitant s'équiper d'une porte blindée soient favorables à ce nouveau modèle appartienne à l'intervalle $I$. L'industriel voudrait que ce pourcentage soit de $20\,\%$. Ce pourcentage n'appartient pas à l'intervalle $I$ donc on peut déconseiller --~avec un risque d'erreur de 5\,\%~-- à l'industriel de réaliser son projet. \end{enumerate} \end{document}