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\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
% Tapuscrit et corrigé François Hache
% Exercice 4 : dessins d'Arié Yallouz
\newcommand{\R}{\textbf{R}}
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\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
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\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {STI2D STL/SPCL Polynésie - Corrigé},
pdftitle = {21 juin 2018},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}    
\usepackage[np]{numprint}\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%      le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%    le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI2D et STL/SPCL}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small 21 juin 2018}
\pagestyle{fancy}
\label{Antillesjuin}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
%\textbf{Durée : 4 heures }
%
%\vspace{0,5cm}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  STI2D et STL/SPCL~\decofourright\\[5pt]
Polynésie -- 21 juin 2018}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  4 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est composé de deux parties \textbf{indépendantes}.}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

%\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule réponse est correcte.\\
%Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.\\
%Aucune justification n'est demandée.\\
%Une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne ci-dessous la représentation graphique $\mathcal{C}$ d'une fonction$f$ définie sur $]-\infty~;~1[ \cup ]1~;~+\infty[$.

\parbox{0.3\linewidth}
{
\begin{enumerate}
\item $\ds\lim_{x \to +\infty} f(x)=1$
\item \fbox{$\ds\lim_{\substack{x \to 1 \\ x < 1}} f(x)= -\infty$}
\item $\ds\lim_{\substack{x \to 1 \\ x > 1}} f(x)= -\infty$
\item $\ds\lim_{x\to -\infty} f(x)= -\infty$
\end{enumerate}
}
\parbox{0.7\linewidth}
{\begin{flushright}
\scalebox{0.8}
{% début du scalebox
\psset{unit=1cm}
\def\xmin {-4.6}   \def\xmax {4.8}
\def\ymin {-2.8}   \def\ymax {2.8}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=5,  gridlabels=0,gridcolor=gray] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\uput{10pt}[dl](0,0){$0$}
%\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1) 
%\uput[d](0.5,0){$\vec{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{\jmath}$}
%\uput[dr](1,0){$I$} \uput[l](0,1){$J$}
\def\f{1 x 1 sub div 4 div}                           % définition de la fonction
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue]{\xmin}{0.99}{\f}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=red,linewidth=1.2pt]{0.7}{0.99}{\f}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue]{1.01}{\xmax}{\f}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](1,\ymin)(1,\ymax)
\uput[u](3.5,0.1){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}
}% fin du scalebox
\end{flushright}
}% fin du parbox

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}
La droite d'équation $x=1$ est asymptote verticale à la courbe.

\textbf{Réponse b.}
\end{tabular}

\medskip

\item Une solution $g$ de l'équation différentielle $y''+9y=0$ vérifiant $g(0)=1$ est définie sur $\R$ par:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $g(t)= \cos\left (9t\right ) + \sin \left (9t\right )$
\item $g(t)= 4\,\cos \left (3t\right ) - 3$
\item \fbox{$g(t)=  \cos\left (3t\right ) + \sin \left (3t\right )$}
\item $g(t)=  2\, \cos\left (3t\right ) - \sin \left (3t\right )$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}
Les équations différentielles de la forme $y''+\omega^2 y = 0$ ont pour solutions les fonctions $g$ définies par $g(t)= a\times \cos \left (\omega t \right ) + b\times \sin \left (\omega t \right )$ et celle qui vérifie $g(0)=1$ est celle définie par $g(t)=  \cos\left (3t\right ) + \sin \left (3t\right )$.

\textbf{Réponse c.}
\end{tabular}

\medskip

\item L'équation $\ln\left (x-2\right ) = -2$ admet pour solution dans $\R$:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $0$
\item \fbox{$2+\e^{-2}$}
\item $2,14$
\item $2-\e^{2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}
$\ln\left (x-2\right ) = -2 \iff x-2 = \e^{-2} \iff x=2+\e^{-2}$

\textbf{Réponse b.}
\end{tabular}

\medskip

\item La dérivée de la fonction $h$ définie sur $\R$ par $h(x)=x\e^{-2x}$ est la fonction $h'$ définie sur $\R$ par:
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $h'(x)=\e^{-2x}$
\item $h'(x)=-2\e^{-2x}$
\item $h'(x)=-2x\e^{-2x}$
\item \fbox{$h'(x)=\left (1-2x\right )\e^{-2x}$}
\end{enumerate}
\end{multicols}
\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}
$h'(x)=1\times \e^{-2x} + x \times (-2)\e^{-2x} = \left (1-2x\right )\e^{-2x}$

\textbf{Réponse d.}
\end{tabular}

\medskip

\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv.

%On note $\i$ le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

Soient A, B et C les points d'affixes 
$z_{\mathrm A} = \dfrac{\sqrt{2} + \i \sqrt{2}}{\i}$, $z_{\mathrm B} = 2 \e^{\i \frac{\pi}{3}} $, $z_{\mathrm C} = -2\i \e^{-\i\frac{\pi}{6}}$.

\medskip

%\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier les réponses choisies.\\
%Toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.\\
%Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\begin{list}{\textbullet}{}
\item \textbf{Affirmation 1:} La forme algébrique de $z_{\mathrm{A}}$ est $\sqrt{2}- \i\sqrt{2}$.

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}
$\dfrac{1}{\i} = -\dfrac{-\i^2}{\i} = -\i$
donc $z_{\mathrm A} = \dfrac{\sqrt{2} + \i \sqrt{2}}{\i} = -\i\left ( \sqrt{2} + \i \sqrt{2}\right )=-\i\sqrt{2} -\i^2 \sqrt{2} = \sqrt{2} - \i \sqrt{2}$

\smallskip

\textbf{Affirmation 1 vraie}
\end{tabular}

\medskip

\item \textbf{Affirmation 2:} Un argument de $z_{\mathrm{C}}$ est $\dfrac{\pi}{6}$.

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}
$-\i = \e^{-\frac{\pi}{2}}$ donc
$z_{\mathrm C} = -2\i \e^{-\i\frac{\pi}{6}}
= 2 \e^{-\frac{\pi}{2}}  \e^{-\i\frac{\pi}{6}}
= 2 \e^{-\i\frac{2\pi}{3}}$

$z_{\mathrm C}$ a pour argument $-\dfrac{2\pi}{3}$.

\smallskip

\textbf{Affirmation 2 fausse}
\end{tabular}

\medskip

\item \textbf{Affirmation 3:} Les points A, B et C sont sur un même cercle de centre O.

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}
$\mathrm{OA} = \left |z_{\mathrm A}\strut \right | 
= \left | \sqrt{2} - \i \sqrt{2}\right |
= \ds\sqrt{\left (\sqrt{2} \right )^2 + \left (-\sqrt{2} \right )^2}
=\ds\sqrt{2+2} = 2$

$\mathrm{OB} = \left |z_{\mathrm B}\strut \right | 
= \left | 2\e^{\i\frac{\pi}{3}}\right | = 2$

$\mathrm{OC} = \left |z_{\mathrm C}\strut \right | 
= \left | 2\e^{-\i\frac{2\pi}{3}}\right | = 2$

Donc $\mathrm{OA} = \mathrm{OB} = \mathrm{OC} = 2$ donc les trois points A, B et C sont sur le cercle de centre O et de rayon 2.

\smallskip

\textbf{Affirmation 3 vraie}
\end{tabular}

\item \textbf{Affirmation 4:} O est le milieu du segment [BC]. 

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.5cm}}|p{0.9\linewidth}}

Le point O est le milieu du segment [BC] si les nombres $z_{\mathrm B}$ et $z_{\mathrm C}$ sont opposés. 

$z_{\mathrm B} = 2\e^{\i\frac{\pi}{3}} = 2\left ( \dfrac{1}{2} + \i \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right ) = 1+\i\sqrt{3}$

$z_{\mathrm C} = 2\e^{\i\frac{-2\pi}{3}} = 2\left ( -\dfrac{1}{2} - \i \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right ) = -1-\i\sqrt{3} = -z_{\mathrm B}$

Donc O est le milieu de [BC].

\smallskip

\textbf{Affirmation 4 vraie}
\end{tabular}

\begin{center}
\scalebox{0.8}
{
\psset{unit=1.4cm,dash=2pt 2pt,nodesep=0pt,radius=2pt}
\def\xmin {-2.1}   \def\xmax {2.1}
\def\ymin {-2.1}   \def\ymax {2.1}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray] 
\psaxes[ticksize=-2pt 2pt, labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[arrowsize=2pt 2, ticksize=-2pt 2pt, labels=none,linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vect{u}$,-100][$\vect{v}$,200]
\psset{linecolor=blue}
\Cnode*(0,0){O}    \uput[ul](O){O}
\Cnode*(2;-45){A} \uput[-45](A){\blue A}
\Cnode*(2;60){B}  \uput[60](B){\blue B}
\Cnode*(2;-120){C} \uput[-120](C){\blue C}
\psline(A)(O)(B)
\psline(O)(C)
\pscircle[linestyle=dashed](O){2}
\end{pspicture}
}
\end{center}

\end{list}

%\vspace{0,5cm}
\newpage 

\textbf{Exercice 2 \hfill  6 points}

%\medskip
%
%
%\emph{Les deux parties de l'exercice sont indépendantes.}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

Dans cette partie on s'intéresse à l'évolution, depuis 2010, du nombre de véhicules \og 100\,\% électriques \fg{} en France.
Le 24 mars 2017, l'association nationale pour le développement de la mobilité électrique (Avere-France) a publié l'article suivant:

\bigskip

\fbox{
\parbox{\linewidth}{
\begin{center}
\Large
\textbf{La France célèbre son 100\ieme{} véhicule}

\textbf{\og 100\,\% électrique \fg{}, une première en Europe! }
\end{center}

Jeudi 23 mars, le marché français des véhicules particuliers et utilitaires \og 100\,\% électrique \fg{} a franchi le cap des \np{100000} immatriculations cumulées depuis 2010, date de lancement de la nouvelle génération de véhicules électriques. La France devient alors le premier pays européen à atteindre un tel parc de véhicules avec zéro émission.

\medskip

\begin{center}
\scalebox{0.7}
{% début
\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.6cm,comma}
\def\xmin {-0.2}   \def\xmax {7.8}
\def\ymin {-1.5}   \def\ymax {11}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0,gridcolor=gray] (0,0)(-1,-2) (8,11)
%\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
%\uput{10pt}[dl](0,0){$0$}
\psline[linecolor=blue,showpoints](1,0.0980)(2,0.5293)(3,1.4607)(4,2.8651)(5,4.3606)(6,6.5793)(7,9.31)
\psline[linewidth=1.2pt](0,0)(\xmax,0)
\multido{\i=0+1,\n=2009+1}{8}
{\uput[d](\i,0){\small \n}
}
\uput[50](1,0.0980){\blue\small 980}
\uput[-10](2,0.5293){\blue\small \np{5293}}
\uput[-5](3,1.4607){\blue\small \np{14607}}
\uput[-20](4,2.8651){\blue\small \np{28651}}
\uput[160](5,4.3606){\blue\small \np{43606}}
\uput[-10](6,6.5793){\blue\small \np{65793}}
\uput[160](7,9.31){\blue\small \np{93100}}
\uput*[u](4,9.9){\blue \bf LA ROUTE VERS LES \np{100000} VÉHICULES 100\,\% ÉLECTRIQUE!}
\uput*[u](2,5.2){\blue\small  \bf Cumul des immatriculations au}
\uput*[u](2,4.5){\blue\small  \bf 31 décembre de chaque année}
\end{pspicture*}
}% fin
\end{center}

\medskip

Dans ce contexte économique et environnemental, l'Avere-France estime qu'à l'horizon 2020, la France devrait compter plus de \np{350000} véhicules \og 100\,\% électrique \fg{}  immatriculés.

\medskip

{\footnotesize D'après l'association Avere-France}
}% fin du parbox
}% fin du fbox
 
\medskip

La lecture du graphique précédent permet, par exemple, de dire qu'au 31 décembre 2015, il y avait en tout \np{65793} véhicules \og 100\,\% électrique \fg{} immatriculés.

\begin{enumerate}
\item% Déterminer le pourcentage d'augmentation, entre le 31 décembre 2015 et le 31 décembre 2016, du nombre de véhicules \og 100\,\% électrique \fg{} immatriculés en France. Arrondir le résultat à 1\,\%.
Sur l'année 2015, il s'était vendu \np{65793} véhicules électriques, et sur l'année 2016, il s'en était vendu \np{93100}; le pourcentage d'augmentation sur ces 12 mois est donc de 
$\dfrac{\np{93100} - \np{65793}}{\np{65793}}\times 100$ soit $42\,\%$ en arrondissant à l'unité.

\end{enumerate}

On suppose qu'à partir de l'année 2017, l'augmentation annuelle de véhicules \og 100\,\% électrique \fg{}  immatriculés en France sera constante et égale à 40\,\%.

Dans le cadre de ce modèle, pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ une estimation du nombre de véhicules \og 100\,\% électrique \fg{} immatriculés en France au 31 décembre de l'année $2016+n$.

Ainsi on a $u_0 = \np{93100}$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item 
\begin{enumerate}
\item Le nombre de véhicules \og 100\,\% électrique \fg{} en France au 31 décembre 2017 est en augmentation de 40\,\% par rapport au 31 décembre 2016, ce qui fait
$\np{93100}\times \left ( 1+ \dfrac{40}{100}\right )= \np{130340}$.
\item% Déterminer la nature de la suite $(u_n)$.
Ajouter 40\,\%, c'est multiplier par $1+\dfrac{40}{100}$ soit $1,4$; donc, pour tout $n$, $u_{n+1}=1,4u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=1,4$ et de premier terme $u_0 = \np{93100}$.

On en déduit que pour tout $n$, $u_n=u_0\times q^n = \np{93100}\times 1,4^n$.

\item% L'affirmation de l'association Avere-France figurant à la fin de l'article est-elle validée par le modèle proposé? Justifier la réponse.
L'année 2020 correspond à $n=4$; donc le nombre de véhicules vendus en 2020 sera, selon ce modèle, de $u_4= \np{93100}\times 1,4^4 \approx \np{357653}$.

Puisque la prévision était de \og plus de \np{350000} véhicules vendus \fg{},  l'affirmation de l'association Avere-France figurant à la fin de l'article est donc validée par le modèle proposé.
\end{enumerate}

\item À l'aide d'un algorithme, on souhaite estimer l'année au cours de laquelle le nombre de véhicules \og 100\,\% électrique \fg{}  immatriculés en France dépassera \np{1000000} avec ce modèle.

\begin{enumerate}
\item On complète l'algorithme suivant afin qu'il réponde au problème.

%\medskip

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\begin{tabular}{|m{5cm}|}
\hline
$n \leftarrow 0$\\
$u \leftarrow \np{93100}$\\
Tant que $\red u \leqslant \np{1000000}$\\
\hspace{1cm} $n \leftarrow {\red n+1}$\\
\hspace{1cm} $u \leftarrow {\red u\times 1,4}$\\
Fin Tant que\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

\item% Laquelle des variables $n$ ou $u$ est-il utile d'afficher après l'exécution de cet algorithme pour répondre au problème?
Comme on cherche une année, c'est la variable $n$ qu'il faudra afficher après l'exécution de cet algorithme.

\item% Quelle est la valeur de cette variable?
À l'aide d'une calculatrice, on trouve

$u_{7} =  \np{93100}\times 1,4^7 \approx \np{981400} < \np{1000000}$
et $u_{8} =  \np{93100}\times 1,4^8 \approx \np{1373960} > \np{1000000}$.

La valeur de $n$ affichée en fin d'algorithme est donc $n=8$.

\item% Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
Cela signifie que c'est en $2016+8=2024$ que, d'après ce modèle, le nombre de véhicules \og 100\,\% électrique \fg{} vendus dépassera \np{1000000}. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

Une usine fabrique des batteries Lithium-Ion, garanties 4 ans, nécessaires au fonctionnement des véhicules \og 100\,\% électrique \fg{}.
La durée de vie moyenne d'une telle batterie s'élève à 7 ans.
On admet que la variable aléatoire $T$ qui, à une batterie Lithium-Ion prélevée au hasard dans le stock de l'usine, associe sa durée de vie, exprimée en années, suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

\begin{enumerate}
\item% Déterminer la valeur exacte de $\lambda$.
La moyenne de vie d'une batterie est de 7 ans donc $E(T)=7$. Or on sait que si $T$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, on a $E(T)=\dfrac{1}{\lambda}$.
On a donc $7=\dfrac{1}{\lambda}$ et donc $\lambda = \dfrac{1}{7}$.

\item Pour la suite, on prendra $\lambda = 0,143$.
\begin{enumerate}
\item La probabilité qu'une batterie Lithium-Ion soit encore en état de fonctionnement au bout de 8 ans est $P(T\geqslant 8)$.
%On donnera une valeur approchée à $10^{-3}$ près.

On sait que si $T$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors pour tout $a\geqslant 
 0$, \\
 $P(T\leqslant a) = \ds\int_{0}^{a} \lambda \e^{-\lambda t} \d t = 1 - \e^{-\lambda a}$.
 
 On en déduit que $P(T\geqslant a) = \e^{-\lambda a}$.
 
 On a donc $P(T \geqslant 8) = \e^{-0,143 \times 8} \approx 0,319$.
 
\item% Déterminer la probabilité qu'une batterie Lithium-Ion tombe en panne avant la fin de la garantie.
%On donnera une valeur approchée à $10^{-3}$ près.

La probabilité qu'une batterie Lithium-Ion tombe en panne avant la fin de la garantie qui est de 4 ans  est

$P(T\leqslant 4) = 1-\e^{-0,143\times 4} \approx 0,436$.

\item On cherche le réel $t_0$ tel que $P(T>t_0)=0,75$. %On donnera la valeur exacte et la valeur arrondie à l'unité.

$P(T>t_0)=0,75
\iff \e^{-1,143\times t_0} = 0,75
\iff -0,143 \times t_0 = \ln(0,75)
\iff t_0 = -\dfrac{\ln(0,75)}{0,143}$

qui a pour valeur arrondie à l'unité le nombre 2.

%Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

La probabilité qu'une batterie fonctionne au moins 2 ans est 0,75.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
\newpage

\textbf{Exercice 3 \hfill  4 points}

\medskip

%\emph{Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis au millième.}
%
%\medskip

Une entreprise assure la maintenance d'un parc de 75 ascenseurs qui fonctionnent de façon indépendante.


\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

On considère dans cette partie que la probabilité qu'un ascenseur du parc tombe en panne un jour donné est $0,08$.
On note $X$ la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre d'ascenseurs qui tombent en panne un jour donné.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item% Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Il n'y a que 2 possibilités pour chaque ascenseur; il fonctionne ou il est en panne. De plus, les 75 ascenseurs fonctionnent de façon indépendante. On peut donc dire que la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre d'ascenseurs en panne suit la loi binomiale de paramètres $n=75$ et $p=0,08$.

\item La probabilité que 5 ascenseurs tombent en panne un jour donné est

$P(X=5) = \dbinom{5}{75} \, 0,08^{5}\times \left (1-0,08\right )^{(75-5)} \approx 0,165$.

\item La probabilité qu'au moins 5 ascenseurs tombent en panne un jour donné est

$P(X \geqslant 5) \approx 0,726$ (à la calculatrice).

\item L'espérance mathématique d'une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ est $np$; donc  l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est $75\times 0,08 = 6$.
\end{enumerate}

\item On appelle $Y$ la variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $\mu=6$ et d'écart-type $\sigma=2,349$.
On décide d'approcher la loi de $X$ par la loi de $Y$.

\emph{Remarque} -- Il est légitime de prendre ces paramètres pour la loi normale suivie par $Y$: l'espérance mathématique de $X$ donnera la moyenne de $Y$, et on prendra pour écart-type le nombre $\ds\sqrt{np(1-p)} = \ds\sqrt{75\times 0,08\times 0,92} \approx 2,349$.

%En utilisant cette nouvelle loi, déterminer la probabilité que:
\begin{enumerate}
\item La probabilité que entre 5 et 10 ascenseurs tombent en panne un jour donné est $P(5 \leqslant X \leqslant 10)$ que l'on calcule par $P(5 \leqslant Y \leqslant 10)$ c'est-à-dire $0,621$ à $10^{-3}$ près.

\item La probabilité que plus de 10 ascenseurs tombent en panne un jour donné est $P(X>10)$ c'est-à-dire $P(Y\geqslant 10)$ soit $0,044$ à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}

\emph{Remarque} -- En général, on pratique la \og correction de continuité \fg{} quand on approche une loi binomiale par une loi normale mais ce n'est pas un attendu du programme dans les séries STI2D et  STL/SPCL. 
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

Depuis quelques temps, l'entreprise constate de nombreuses pannes parmi les 75 ascenseurs.

Ainsi, sur une période de 30 jours, il a été relevé 263 pannes en tout.

%L'entreprise doit-elle remettre en cause, au seuil de 95\,\%, le modèle selon lequel la probabilité qu'un ascenseur tombe en panne un jour donné est $0,08$? Justifier la réponse.

Il y a 75 ascenseurs que l'on examine sur 30 jours, ce qui revient à un parc de $30\times 75 = \np{2250}$ ascenseurs.

On fait l'hypothèse que la probabilité qu'un ascenseur tombe en panne un jour donné est $p=0,08$, et on va tester cette hypothèse sur un échantillon de $n=\np{2250}$ ascenseurs.

$n=\np{2250} \geqslant 30$, $np= \np{2250}\times 0,08 = 180 \geqslant 5$ et $n(1-p) = \np{2250}\times 0,92 = \np{2070} \geqslant 5$ donc les conditions sont remplies pour que l'on établisse un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion d'ascenseurs en panne:

\smallskip

$I= \left [ p-1,96 \ds\sqrt{\dfrac{p\left (1-p\right )}{n}}\:; p+1,96 \ds\sqrt{\dfrac{p\left (1-p\right )}{n}}\right ] 
 = \left [ 0,08-1,96 \ds\sqrt{\dfrac{0,08 \times 0,92}{\np{2250}}}\:; 0,08+1,96 \ds\sqrt{\dfrac{0,08\times 0,92}{\np{2250}}}\right ]\\[6pt]
 \phantom{I} \approx \left [ 0,068\:;\:0,092 \strut\right ]$

La fréquence d'ascenseurs en panne dans l'échantillon est $f=\dfrac{263}{\np{2250}} \approx 0,117$.

$f \notin I$ donc l'entreprise doit remettre en cause, au seuil de 95\,\%, le modèle selon lequel la probabilité qu'un ascenseur tombe en panne un jour donné est $0,08$.

\vspace{0,5cm}
%\newpage

\textbf{Exercice 4 \hfill  6 points}

\medskip

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $\R$.

La droite $(d)$ est tangente à cette courbe au point d'abscisse 0.

\begin{center}
\scalebox{0.7}
{% début
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm,comma}
\def\xmin {-0.7}   \def\xmax {4.8}
\def\ymin {-0.4}   \def\ymax {5.3}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=1, gridlabels=0,gridcolor=gray] (0,0)(-2,-1)(10,11)
\psaxes[labelFontSize=\scriptsize,arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) [$x$,120][$y$,-30]
\uput{10pt}[dl](0,0){$0$}
\def\f{3 2.7183 -2 x mul exp mul 1 add}                           % définition de la fonction
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{\xmin}{\xmax}{\f}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{-6 x mul 4 add}
\uput[r](0.6,0.5){\blue $(d)$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](\xmin,1)(\xmax,1)
\end{pspicture*}
}% fin
\end{center}

Par lecture graphique:
\begin{enumerate}
\item $f(0)=4$
\item La limite de $f$ en $+\infty$ est égale à 1.
\item Le tableau de variation de $f$ est

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{4cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *3{c}|}
\hline
 x & -\infty   & \esp & +\infty \\
% \hline
%f'(x) &   & \pmb{-} & \\  
\hline
  &  \Rnode{max}{+\infty} &    &    \\
f(x) & &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &      & & \Rnode{min}{1} \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max}{min}
%\rput*(-2.5,0.92){\Rnode{zero}{\red 0}}
%\rput(-2.5,2.4){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

\item Le coefficient directeur de la tangente $(d)$ à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 0 est $-\dfrac{3}{0,5}=-6$.
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

On considère l'équation différentielle $y'+2y=2$ dans laquelle $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ définie et dérivable sur $\R$.

On admet que la fonction représentée dans la \textbf{partie A} est la solution de cette équation différentielle vérifiant $f(0)=4$.

\begin{enumerate}
\item% Démontrer que, pour tout réel $x$, on a $f(x)=3\e^{-2x}+1$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Les solutions de l'équation différentielle $y'+2y=0$ sont les fonctions $x \longmapsto k\e^{-2x}$ où $k$ est un réel quelconque.
\item Une solution particulière de l'équation $y'+2y=2$ est la fonction $x \longmapsto 1$.
\item On en déduit que les solutions de l'équation différentielle $y'+2y=2$ sont les fonctions $x \longmapsto k\e^{-2x}+1$.
\item La solution $f$ vérifiant $f(0)=4$ est telle que $k\e^{0}+1=4$ ce qui entraîne $k=3$.
\end{list}

La solution de l'équation différentielle $y'+2y=2$ vérifiant $f(0)=4$ est donc la fonction $f$ définie par $f(x)=3\e^{-2x} +1$.

\item% Retrouver, en justifiant par des calculs, les résultats obtenus aux questions \textbf{2.} \textbf{3.} et \textbf{4.} de la \textbf{partie A.}
\begin{list}{\textbullet}{}
\item On cherche $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)$.

$\left.
\begin{array}{l}
\ds\lim_{x\to +\infty} -2x = -\infty\\
\text{On pose } X=-2x\\
\ds\lim_{X\to -\infty} \e^{X} = 0
\end{array}
\right \rbrace$ donc
$\ds\lim_{x\to +\infty} \e^{-2x} = 0$ et donc $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=1$ 

\item Tableau de variations de $f$.

\begin{list}{$\circ$}{}
\item On a vu que $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=1$.

\item
$\left.
\begin{array}{l}
\ds\lim_{x\to -\infty} -2x = +\infty\\
\text{On pose } X=-2x\\
\ds\lim_{X\to +\infty} \e^{X} = +\infty
\end{array}
\right \rbrace$ donc
$\ds\lim_{x\to -\infty} \e^{-2x} = +\infty$ et donc $\ds\lim_{x\to -\infty} f(x)=+\infty$ 

\item $f'(x)= 3\times (-2)\e^{-2x} = -6\e^{-2x}$ et $f'(x)<0$ sur $\R$; donc la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\R$.
\end{list}

Le tableau de variations de $f$ est donc justifié.

\item On cherche le coefficient directeur de la tangente à la courbe en 0.

Il est égal à $f'(0) = -6\e^{0} = -6$.
\end{list}

\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie C}
\end{flushleft}

L'unité graphique est le dm (décimètre).

On a représenté graphiquement ci-dessous la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~4]$.

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe obtenue.
\begin{center}
\scalebox{0.7}
{
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm,comma}
\def\xmin {-0.7}   \def\xmax {4.8}
\def\ymin {-0.4}   \def\ymax {4.4}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=5,  gridlabels=0,gridcolor=gray] (0,0)(-2,-1)(10,10)
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\uput{10pt}[dl](0,0){$0$}
%\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1) 
%\uput[d](0.5,0){$\vec{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{\jmath}$}
%\uput[dr](1,0){$I$} \uput[l](0,1){$J$}
\def\f{3 2.7183 -2 x mul exp mul 1 add}                           % définition de la fonction
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue]{0}{4}{\f}
\end{pspicture*}
}
\end{center}

On fait tourner la courbe $\mathcal{C}$ autour de l'axe des abscisses.
On génère ainsi une surface dans l'espace ayant la forme d'un vase représenté ci-après en coupe et en perspective.

%%% Dessin de Arié Yallouz
\begin{center}
%\scalebox{0.8}
{
\psset{unit=.55cm}
\begin{pspicture}(-3,-5)(6,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{C1}{.96 0.28 .48}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
%\psgrid
\def\f{3*EXP(-2*x)+1}
\psaxes[labelsep=.8mm,linewidth=.75pt,ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(-2,-5)(6,5)
\pscustom{
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.25pt, linecolor=C1]{0}{4}{\f} \gsave
\psline(4,1.01)(4,-1.01)
\psplot[algebraic=true,plotpoints=100,linewidth=0.5pt, linecolor=bleu]{4}{0}{-3*EXP(-2*x)-1}
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=C1] \grestore }
\multido{\n=0+10}{18}{\psplot[algebraic=true,plotpoints=500,linewidth=.5pt, linecolor=bleu]{0}{4}{cos(\n)*(3*EXP(-2*x)+1)}}
\end{pspicture}
}% fin du scalebox
\hfill 
%\scalebox{0.8}
{
\psset{unit=.55cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(6,5)
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
\newrgbcolor{C1}{.96 0.28 .48}
\newrgbcolor{C2}{1 .62 .68}
%\psgrid
\psset{Alpha=120,Beta=0}
\pstThreeDCoor[xMin=-5,xMax=5,yMin=-5,yMax=5,zMin=-5,zMax=5,drawing=false]
\pstThreeDCircle[linecolor=bleu, linewidth=1pt,fillstyle=solid,fillcolor=C1](0,0,0)(0,4,0)(0,0,4)
\parametricplotThreeD[xPlotpoints=40,yPlotpoints=36,linecolor=bleu, linewidth=.75pt](0,4)(0,360){t 3 2.71828 2 neg t mul exp mul 1 add u cos mul  3 2.71828 2 neg t mul exp mul 1 add u sin mul}
\pstThreeDCircle[linecolor=bleu, linewidth=1pt,fillstyle=solid,fillcolor=C2](4,0,0)(0,1.001,0)(0,0,1.001)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=white,linecolor=bleu,linewidth=1pt]{
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=20,fillstyle=solid,fillcolor=white](112,246){4 1.001 t cos mul 1.001 t sin mul}
\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,xPlotpoints=20](-70,80){2.6 1.01655 t cos mul 1.01655 t sin mul}
}
\end{pspicture}
}% fin du scalebox
\end{center}


Le volume de ce vase, en dm$^3$, est donné par:
$V=\pi \times \ds\int_{0}^{4} \left (f(x)\right )^2 \d x$.

\begin{enumerate}
\item% Montrer que, pour tout $x \in [0~;~4]$, on a $\left ( f(x)\right )^2 = 9\e^{-4x} + 6\e^{-2x}+1$.
$\left (f(x)\right )^2 = \left ( 3\e^{-2x}+1 \right )^2
= 9\left (\e^{-2x}\right )^2 +2\times 3\e^{-2x}\times 1 + 1^2
= 9\e^{-4x} +6\e^{-2x}+1$

\item% Calculer le volume du vase, exprimé en dm$^3$. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
Le volume du vase en dm$^3$ est

$V=\pi \times \ds\int_{0}^{4} \left (f(x)\right )^2 \d x
= \pi \times \ds\int_{0}^{4} \left (9\e^{-4x} +6\e^{-2x}+1 \right ) \d x$.

Pour $a$ réel non nul, la fonction $x \longmapsto \e^{ax}$ a pour primitive la fonction $x \longmapsto \dfrac{\e^{ax}}{a}$ donc la fonction $x \longmapsto 9\e^{-4x} +6\e^{-2x}+1$ a pour primitive la fonction $x \longmapsto 9\dfrac{\e^{-4x}}{-4} + 6 \dfrac{\e^{-2x}}{-2} + x$ c'est-à-dire  $x \longmapsto -\dfrac{9}{4}\e^{-4x} -3\e^{-2x} + x$.

$\text{Donc }V= \pi \times \left [-\dfrac{9}{4}\e^{-4x} -3\e^{-2x} + x \right ]_{0}^{4}
= \pi\times   \left [ \left ( -\dfrac{9}{4}\e^{-16} - 3\e^{-8} + 4 \right ) - \left ( -\dfrac{9}{4}\e^{0} - 3\e^{0} +0\right ) \right ]\\
\phantom{\text{Donc }V} 
= \pi\times \left ( -\dfrac{9}{4}\e^{-16} -3\e^{-8} + \dfrac{37}{4}\right )$

dont une valeur approchée à $10^{-2}$ près est $29,06$.

Le volume est donc d'environ $29,06$~dm$^3$.

\item On désire remplir ce vase aux deux tiers du volume avec du sable coloré qui est vendu par sac de 3~dm$^3$. %Déterminer le nombre minimum de sacs qu'il faut acheter.

Il faudra donc $\dfrac{2}{3}\,V \approx 19,4$~dm$^3$ de sable; le sable est vendu par sac de 3~dm$^3$. Il faudra donc acheter 7 sacs de sable pour remplir le volume aux deux tiers.
\end{enumerate}
\end{document}