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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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%%% https://www.sujetdebac.fr/annales-pdf/2022/sti2d-spe-physique-chimie-mathematiques-2022-mayotte-liban-sujet-officiel.pdf

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI2D}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{4 mai 2022}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI2D ~\decofourright\\[10pt]Épreuve d'enseignement de spécialité\\[10pt]Centres étrangers 4 mai 2022}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Physique-Chimie et Mathématiques}

\end{center}

%\medskip

\begin{center}
\textbf{\large EXERCICE 1 commun à tous les candidats (4 points)\\
(physique-chimie et mathématiques)}
\end{center}

%L'étude proposée concerne un avion A320 d'environ 180 places.
%
%Le taxiage est la période au cours de laquelle l'avion se déplace au sol, soit pour aller vers la piste de décollage soit pour aller vers son point de stationnement.
%
%L'objectif du dispositif étudié est de permettre le déplacement autonome de l'avion au sol, sans utiliser ses moteurs principaux (réacteurs) mais des moteurs électriques.\\
%Cette solution garantit une réduction des nuisances sonores et des émissions de CO$_2$.
%
%L'utilisation des moteurs électriques diminue aussi fortement l'ingestion de corps étrangers (oiseaux) par les réacteurs sur le tarmac. La solution étudiée consiste en une motorisation électrique des deux trains principaux de l'avion (un moteur électrique par train). Lors des phases de déplacement au sol, l'avion est propulsé par ses moteurs électriques, au lieu de ses réacteurs.

\begin{center}
\textbf{Caractéristiques de l'Airbus A320}

\begin{tabular}{|p{7cm} | c |}
\hline
\multicolumn{2}{|c|}{Équipage}\\
\hline
Équipage commercial & 4 personnes\\
\hline
Équipage technique & 2 personnes\\
\hline
Mécanicien navigant & -- \\
\hline
Pilotes & 2 personnes\\
\hline
Radio & -- \\
\hline
\multicolumn{2}{|c|}{Masse (kg)}\\
\hline
Masse à vide & \np{42600}\\
\hline
Masse maximale à l'atterrissage & \np{64500}\\
\hline
Masse maximale au décollage & \np{73500}\\
\hline
\multicolumn{2}{|c|}{Motorisation}\\
\hline
Moteurs & -- \\
\hline
Poussée & \np{9980} kgp\\
\hline
Réacteurs & x2 CFM56-5A4\\
\hline
\end{tabular}

\emph{\footnotesize D'après https://fr.wikipedia.org//Airbus\_A320}
\end{center}

Toute l'étude est réalisée lors d'un taxiage avant un décollage sur sol horizontal en charge maximale.

L'avion, initialement à l'arrêt, démarre sur un sol horizontal et atteint une vitesse maximale $v_{\text{max}}$. On modélise la vitesse de l'avion, exprimée en m.s$^{-1}$, par une fonction $f$ définie sur $[0\;;\;+\infty[$ par 

\[f(t)=A\times \left ( 1-\e^{-0,13t}\right )\]

où $A$ est une constante réelle et $t$ est le temps exprimé en seconde.

\begin{enumerate}
\item %Exprimer en fonction de $A$, $\ds\lim _{t\to +\infty} f(t)$.
On sait que $\ds\lim _{t\to +\infty} \e^{-0,13t} = 0$, donc $\ds\lim _{t\to +\infty} f(t) = A$.
\end{enumerate}

%La représentation graphique de cette fonction est donnée sur le graphique ci-après. Elle modélise les valeurs expérimentales représentées par des croix sur ce graphique.

\begin{center}
\psset{xunit=0.3cm, yunit=1.5cm}
\def\xmin {0}\def\xmax {41}
\def\ymin {-0.5}\def\ymax {5.2}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[yunit=0.15cm,subgriddiv=1,gridlabels=0, gridcolor=lightgray](0,0)(41,52)
\multido{\n=0+1}{42}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,5)}
\multido{\n=0+5}{9}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,5)}
\multido{\n=0.0+0.1}{51}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(41,\n)}
\multido{\n=0+1}{6}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(41,\n)}
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt,Dx=5,Dy=1]{->}(0,0)(0,0)(\xmax,\ymax) 
\psset{dotstyle=+,dotscale=1.5}
\psdots(1,0.5)(2,1)(3,1.4)(4,1.7)(5,2.1)
\psdots(6,2.5)(7,2.6)(8,2.8)(9,2.95)(10,3.34)
\psdots(11,3.2)(12,3.4)(13,3.5)(14,3.9)(15,4)
\psdots(16,4)(17,4.1)(18,4.1)(19,3.9)(20,4)
\psdots(21,4.3)(22,4.4)(23,4.1)(24,4.2)(25,4.3)
\psdots(26,4.3)(27,4.5)(28,4.2)(29,4.4)(30,4.3)
\psdots(31,4.5)(32,4.4)(33,4.3)(34,4.4)(35,4.5)
\psdots(36,4.6)(37,4.6)(38,4.6)(39,4.5)(40,4.4)
\def\f{4.5 1 2.7183 -0.13 x mul exp sub mul}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000]{0}{40}{\f}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[resume]
\item %Conjecturer la valeur de $A$ à l'aide du graphique.
Le graphique donne $A \approx 4,5$.
\end{enumerate}

%La vitesse de l'avion, exprimée en m.s$^{-1}$, est modélisée par la fonction $v$ définie sur $[0\;;\;+\infty[$ par 

\[v(t)=4,5\times \left ( 1-\e^{-0,13t} \right )\]

%. On admet que $v$ est dérivable sur $[0\;;\;+\infty[$ et on note $v'$ la dérivée de $v$.

\begin{enumerate}[resume]
\item %Montrer que $v'(t)=0,585 \times \e^{-0,13t}$. En déduire l'accélération initiale de l'avion.
On a pour $x \in [0~;~+ \infty[$, \: $v'(t) = 4,5 \times (- 0,13) \e^{-0,13t} = 0,585\e^{-0,13t}$.
\end{enumerate}

%\begin{center}
%\includegraphics[scale=0.5]{taxiage}
%\end{center}
%
%\begin{enumerate}[resume]
%\item Préciser la direction et le sens de la force de traction $\vect{F}_{T}$ exercée par les moteurs électriques sur l'avion.
%\item Recopier le schéma simplifié sur votre copie et représenter en G, sans souci d'échelle, toutes les forces s'exerçant sur l'avion. Indiquer le nom de chacune de ces forces.
%\item On se place à l'instant $t=0$~s. En appliquant le principe fondamental de la dynamique, montrer que si l'on néglige les forces de frottement, on peut écrire
%$F_T = m\times a$.
%\item En déduire la valeur de la force de traction exercée par chacun des moteurs électriques lors du démarrage de l'avion, sachant que l'accélération à $t=0$~s est estimée à $0,585$~m.s$^{-2}$.
%\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
\textbf{\large EXERCICE 3 (4 points)\\
(mathématiques)}
\end{center}

%Vous traiterez 4 questions au choix parmi les 6 questions proposées.
%
%Les questions sont indépendantes.
%
%Pour chacune des \textbf{quatre questions} choisies, vous indiquerez clairement son numéro sur votre copie en début d'exercice.
%
%Seules ces questions sont évaluées. Chacune d'elles est notée sur un point. Traiter une question supplémentaire ne rapporte aucun point.

\bigskip

\textbf{Question 1.}

%$g$ est une fonction définie et dérivable sur $[0\;;\;+\infty[$.
%
%On admet que la dérivée de $g$ est la fonction $g'$ définie sur $[0\;;\;+\infty[$ par: 

\[g'(t) = 6\e^{-t}\left (1-t\right).\]

\begin{enumerate}
\item %Étudier le signe de $g'(t)$ sur $[0\;;\;+\infty[$.
Comme $6 > 0$ et $\e^{-t} > 0$, quel que soit $t \in [0~;~+ \infty[$, le signe de $g'(t)$ est celui de $1 - t$.

$\bullet~~$$1 - t > 0 \iff 1 > t \iff t < 1$ : $g'(t) > 0$ sur $[0~;~1]$ ;

$\bullet~~$$1 - t < 0 \iff 1 < t \iff t > 1$ : $g'(t) < 0$ sur $[1~;~+ \infty]$ ;

$\bullet~~$$1 - t = 0 \iff 1 = t \iff t = 1$ : $g'(1) = 0$.

\item %En déduire les variations de $g$ sur $[0\;;\;+\infty[$.
Des résultats précédents on déduit que :

$\bullet~~$$g$ est croissante sur $[0~;~1]$ ;

$\bullet~~$$g$ est décroissante sur $[1~;~+ \infty[$ ;

$\bullet~~$$g(1)$ est donc le maximum de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 2.}

%Le plan est muni d'un repère orthonormé \Ouv. 

%Soit A et B les points d'affixes respectives:

\[z_{\text{A}} = \e^{\i \frac{5\pi}{6}} \text{ et } z_{\text{B}} = \e^{-\i\frac{2\pi}{3}}.\]

\begin{enumerate}
\item %Les points A et B sont correctement représentés sur l'une des figures ci-dessous.
Pour $z_{\text{A}}$ : puisque un argument est $\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$ : A appartient au deuxième quadrant, donc 2 et 4 sont possibles.

Pour $z_{\text{B}}$ : puisque un argument est $-\frac{2\pi}{3} = - \pi + \frac{\pi}{3}$ B appartient au troisième cadran : il ne reste que la figure 2. 
%Laquelle ? Aucune justification n'est attendue.

\begin{tabularx}{\linewidth}{X|X|X|X}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 2}
\def\xmin {-1.5} \def\xmax {1.5}
\def\ymin {-2}   \def\ymax {1.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray] 
%\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\uput[dl](0,0){O} 
\uput[d](0.5,0){$\vec{u}$}  \uput[l](0,0.5){$\vec{v}$} 
\pscircle(0,0){1}
\psline{->}(-1,0)(1,0) \psline{->}(0,-1)(0,1) 
\psdots[dotstyle=x,dotscale=1.4,linecolor=blue](1;-30)(1;-120)
\uput[-30](1;-30){\blue A} \uput[-120](1;-120){\blue B} 
\uput[d](0,-1.5){\bf Figure 1}
\end{pspicture*}
&
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 2}
\def\xmin {-1.5}   \def\xmax {1.5}
\def\ymin {-2}   \def\ymax {1.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray] 
%\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\uput[dl](0,0){O} 
\uput[d](0.5,0){$\vec{u}$}  \uput[l](0,0.5){$\vec{v}$} 
\pscircle(0,0){1}
\psline{->}(-1,0)(1,0) \psline{->}(0,-1)(0,1) 
\psdots[dotstyle=x,dotscale=1.4,linecolor=blue](1;150)(1;-120)
\uput[150](1;150){\blue A} \uput[-120](1;-120){\blue B} 
\uput[d](0,-1.5){\bf Figure 2}
\end{pspicture*}
&
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 2}
\def\xmin {-1.5}   \def\xmax {1.5}
\def\ymin {-2}   \def\ymax {1.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray] 
%\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\uput[dl](0,0){O} 
\uput[d](0.5,0){$\vec{u}$}  \uput[l](0,0.5){$\vec{v}$} 
\pscircle(0,0){1}
\psline{->}(-1,0)(1,0) \psline{->}(0,-1)(0,1) 
\psdots[dotstyle=x,dotscale=1.4,linecolor=blue](1;-30)(1;120)
\uput[-30](1;-30){\blue A} \uput[120](1;120){\blue B} 
\uput[d](0,-1.5){\bf Figure 3}
\end{pspicture*}
&
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 2}
\def\xmin {-1.5}   \def\xmax {1.5}
\def\ymin {-2}   \def\ymax {1.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray] 
%\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\uput[dl](0,0){O} 
\uput[d](0.5,0){$\vec{u}$}  \uput[l](0,0.5){$\vec{v}$} 
\pscircle(0,0){1}
\psline{->}(-1,0)(1,0) \psline{->}(0,-1)(0,1) 
\psdots[dotstyle=x,dotscale=1.4,linecolor=blue](1;150)(1;120)
\uput[150](1;150){\blue A} \uput[120](1;120){\blue B} 
\uput[d](0,-1.5){\bf Figure 4}
\end{pspicture*}
\end{tabularx}

\item %Montrer qu'un argument de $\dfrac{z_{\text A}}{z_{\text B}}$ est $\dfrac{-\pi}{2}$.
$\dfrac{z_{\text A}}{z_{\text B}} = \dfrac{\e^{\i \frac{5\pi}{6}}}{\e^{-\i \frac{2\pi}{3}}} = \e^{\i \left(\frac{5\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}\right)} = \e^{\i \left(\frac{5\pi}{6} + \frac{4\pi}{6}\right)} = \e^{\i \left(\frac{9\pi}{6}\right)} = \e^{\i \frac{3\pi}{2}} = \e^{\i \left(2\pi - \frac{\pi}{2}\right)}  = \e^{\i \frac{-\pi}{2}}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 3.}

%Résoudre dans $]1\;;\; +\infty[$ l'équation:
%
%\[\ln\left ( x-1\right ) + \ln \left (x+1\right ) + \ln\left (x\right ) = \ln \left (x^2-1\right ) = \ln\left (0,5\right ).\]
On a $x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$, donc $\ln \left(x^2 - 1\right) = \ln [(x + 1)(x - 1)] = \ln (x + 1) + \ln (x - 1)$.

Les logarithmes de cette équation sont définis si :

$x + 1 > 0, \quad x - 1 > 0, \quad x > 0$, soit si $x > 1$.

Conclusion : les solutions sont à chercher dans l'intervalle$]1\;;\; +\infty[$.

Tout d'abord $\ln \left (x^2-1\right ) - \ln\left (0,5\right ) = \ln \dfrac{x^2 - 1}{0,5} = \ln 2\left(x^2 - 1 \right)$.

On peut donc écrire :

$\ln\left (x - 1\right ) + \ln \left (x + 1\right ) - \ln\left (x\right ) = \ln \left (x^2-1\right ) - \ln\left (0,5\right ) \iff \ln x(x - 1)(x + 1) = \ln 2\left(x^2 - 1 \right)$ et par croissance de la fonction logarithme népérien :

$x\left(x^2 - 1\right)= 2\left(x^2 - 1 \right) \iff  x\left(x^2 - 1\right) - 2\left(x^2 - 1 \right) = 0 \iff \left(x^2 - 1\right)(x - 2) = 0 \iff$

$ (x + 1)(x - 1)(x - 2) = 0$.

Il y a donc trois possibilités : $x = - 1$, ou $x = 1$ ou $x = 2$, mais seul $2 \in ]1~;~+ \infty[$. Donc $S = \{2\}$.
\medskip

\textbf{Question 4.}

On considère l'équation différentielle (E): $y'=-y+2$.

\begin{enumerate}
\item %Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
$\bullet~~$Les solutions de l'équation $y' = - y$ sont les fonctions définies par $t \longmapsto f(t) = K\text{e}^{- t}$, avec $K \in \R$ ;

$\bullet~~$Soit la solution constante $y = \alpha$ solution de $y'=-y+2$, donc $y' = 0 = - \alpha + 2 \iff \alpha = 2$.

Conclusion :toutes les solutions sont les fonctions définies par : $ t \longmapsto f(t ) =2 + K\text{e}^{- t}$, avec $K \in \R$

\item %En déduire la solution $f$ de l'équation différentielle (E) qui s'annule en 0.
On a $f(0) = 0 \iff 2 + K\text{e}^{- 0} = 0 \iff 2 + K = 0 \iff K = - 2$.

L a solution $g$ telle que $g(0) = 0$ est donc définie par $g(t) = 2 - 2\text{e}^{-t}$. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 5.}

Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=x^2 - 2\e^{x}$.

\begin{enumerate}
\item %Montrer que pour tout réel $x$ de $\R$, $f(x)=\e^{x}\left (x^2\e^{-x}-2\right )$.
Pour tout réel $x$ de $\R$, $f(x)= x^2 - 2\e^{x} = x^2\times \e^{x} \times \e^{-x}- 2\e^{x} = \e^{x}\left(x^2\times \e^{-x} - 2\right)$.

\item %En déduire $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)$.
On sait que $\ds\lim_{x\to +\infty} x\e^{-x} = 0$ et aussi que $\ds\lim_{x\to +\infty} x^2\e^{-x} = 0$, donc $\ds\lim_{x\to +\infty} \left(x^2\e^{-x} - 2\right) = -2 $ et comme $\ds\lim_{x\to +\infty} \e^{x} = + \infty$, par produit de limites : $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x) = - \infty$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 6.}

\textbf{Rappel}: %Pour $a$ et $b$ deux réels, nous avons les formules suivantes:

%\smallskip
%
%\fbox{
%\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\centering \arraybackslash}X}
%$\cos \left (a+b \right ) = \cos \left (a\right )\;\cos \left (b \right ) - \sin \left (a\right )\;\sin \left (b \right ) $\\
%$\cos \left (a-b \right ) = \cos \left (a\right )\;\cos \left (b \right ) +\sin \left (a\right )\;\sin \left (b \right ) $\\
%$\sin \left (a+b \right ) = \sin \left (a\right )\;\cos \left (b \right ) + \cos \left (a\right )\;\sin \left (b \right ) $\\
%$\sin \left (a-b \right ) = \sin \left (a\right )\;\cos \left (b \right ) - \cos \left (a\right )\;\sin \left (b \right ) $
%\end{tabularx}
%}

\smallskip

%On considère un signal électrique dont l'expression en fonction du temps $t$ est donnée par:

\[u(t)= \ds\sqrt{3}\;\cos \left (t\right ) - \sin \left (t\right ).\]

\begin{enumerate}
\item  %Montrer que le signal $u$ peut s'écrire pour tout $t$ réel sous la forme :\\
%\[u(t) = 2\;\cos \left ( t+ \dfrac{\pi}{6} \right ).\]

Par application de la première formule, on peut écrire :

$u(t)= \ds\sqrt{3}\;\cos (t) - \sin (t) = 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\;\cos (t) - \dfrac12\sin (t)\right)$, soit puisque $\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \cos \dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{1}{2} = \sin \dfrac{\pi}{6}$,

$u(t) = 2\left(\cos t \cos \dfrac{\pi}{6} - \sin t \sin \dfrac{\pi}{6} \right)$, d'où par application de la troisième formule, on peut écrire :

$u(t) = 2\cos \left(t + \dfrac{\pi}{6} \right)$.

\item %Résoudre dans $[0\;;\;\pi[$, l'équation $u(t)=1$.
$u(t)=1 \iff 2\cos \left(t + \dfrac{\pi}{6} \right) = 1 \iff \cos \left(t + \dfrac{\pi}{6} \right) = \dfrac 12 \iff \cos \left(t + \dfrac{\pi}{6} \right) = \cos \dfrac{\pi}{3} \iff$

d'où deux possibilités :

$\left\{\begin{array}{l}
t + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3} + 2k \pi\\
t + \dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\pi}{3} + 2k \pi
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l}
t = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\\
t = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\\
\end{array}\right. \iff
\left\{\begin{array}{l}
t = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\\
t = -\dfrac{\pi}{2} + 2k\pi
\end{array}\right.$

$S = \left\{\dfrac{\pi}{6}~;~-\dfrac{\pi}{2} \right\}$ à $2k\pi$ près.
\end{enumerate}


On pourra s'aider du demi-cercle trigonométrique ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-1)(4,4.5)
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=zzzzzz](0,0)(-5,-5)(5,5)
\psset{dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,labels=none,ticksize=0,subticks=2, , arrowsize=4pt 4]{->}(0,0)(-5,-5)(5,5)
%%%
\psarc(0,0){4}{0}{180}
\psdots(4;0)(4;30)(4;45)(4;60)(4;90)(4;120)(4;135)(4;150)(4;180)
\psline(4;0)(4;180) \psline(0,0)(4;90)
%%%%%
\psset{linestyle=dotted,linewidth=1.3pt,dotstyle=+,dotscale=1.5}
{\boldmath
%%%
\psline(2,0)(4;60)(4;120)(-2,0)
\psdots(2,0)(0,3.464)(-2,0)
\uput[d](2,0){$\frac{1}{2}$} 
\uput*[l](0,3.464){$\frac{\sqrt{3}}{2}$} 
\uput[d](-2,0){$-\frac{1}{2}$}
\uput[60](4;60){$\frac{\pi}{3}$} \uput[120](4;120){$\frac{2\pi}{3}$} 
%%%
\psline(2.828,0)(4;45)(4;135)(-2.828,0)
\psdots(2.828,0)(0,2.828)(-2.828,0)
\uput[d](2.828,0){$\frac{ \sqrt{2}}{2}$} 
\uput*[l](0,2.828){$\frac{\sqrt{2}}{2}$} 
\uput[d](-2.828,0){$-\frac{ \sqrt{2}}{2}$}
\uput[45](4;45){$\frac{\pi}{4}$} \uput[135](4;135){$\frac{3\pi}{4}$} 
%%%
\psline(3.464,0)(4;30)(4;150)(-3.464,0)
\psdots(3.464,0)(0,2)(-3.464,0)
\uput[d](3.464,0){$\frac{ \sqrt{3}}{2}$} 
\uput*[l](0,2){$\frac{1}{2}$} 
\uput[d](-3.464,0){$-\frac{ \sqrt{3}}{2}$}
\uput[30](4;30){\red $\frac{\pi}{6}$} \uput[150](4;150){$\frac{5\pi}{6}$} 
%%%
\uput[r](4;0){\small $0$} \uput[u](4;90){$\frac{\pi}{2}$} 
\uput[l](4;180){\small $\pi$}  \uput[d](0,0){\small $0$}
}%% fin du \boldmath
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}