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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Arts appliqués juin 2008~\decofourright\\Antilles--Guyane 
}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}


\medskip
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Parmi les réponses proposées, une seule est correcte. On indiquera seulement sur la copie, pour chaque question, la lettre correspondant à la réponse exacte.  Aucune justification n'est demandée. Toutes les questions sont indépendantes.}
 
%\emph{Chaque  réponse exacte rapporte un point. Les réponses fausses ne sont pas pénalisées.} 
\begin{enumerate}
\item  %La solution de l'équation : $ 2\ln x = 3$  est : 
$ 2\ln x = 3 \iff \ln x = \dfrac{3}{2} \iff x = \text{e}^{\frac{3}{2}}$. Réponse \textbf{b.}
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.}~~$2\text{e}^{\frac{3}{2}}$&\textbf{b.}~~$\text{e}^{\frac{3}{2}}$&\textbf{c.}~~$\ln \dfrac{3}{2}$&\textbf{d.}~~$2\ln 3$\\
%\end{tabularx}

\medskip 

\item %On lance deux dés équilibrés à six faces numérotées de 1 à 6. On fait la somme des numéros sortis. La probabilité d'obtenir une somme égale à 5 est :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.}~~$\dfrac{5}{36}$&\textbf{b.}~~$\dfrac{1}{9}$&\textbf{c.}~~$\dfrac{1}{6}$&\textbf{d.}~~$\dfrac{1}{11}$\\
%\end{tabularx}
Il y a $6 \times 6 = 36$ issues possibles et quatre  favorables (1~;~4), (2~ ;~3), (3~; ~2) et (4~;~1) ; la probabilité est donc égale \`a $\dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9}$. Réponse \textbf{b.}
\medskip 

\item  %Soit la fonction $g$ définie sur $\R$ par  $g(x) =  2x^3 -  6x + 1$. L'équation de la tangente à la  courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse 2 est :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.}~~$y = 6x - 7$&\textbf{b.}~~$y = 6x + 5$&\textbf{c.}~~$y = 18x - 31$&\textbf{d.}~~$y = 18x + 31$\\
%\end{tabularx}
On a $g(2) = 2 \times 8 - 6 \times 2 + 1 = 5$.

$g'(x) = 6x^2 - 6$, d'o\`u $
\medskip  g'(2) = 24 - 6 = 18$.

$M(x~; ~y) \in (T) \iff y - g(2) = g'(2)(x - 2) \iff y - 5 = 18(x - 2) \iff y = 18x - 31$. Réponse \textbf{c.}
 
\item %L'ensemble des solutions de l'inéquation : $\text{e}^x \geqslant  2$ 	est :
 
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.}~~$]0~;~+ \infty[$&\textbf{b.}~~$]0~;~\ln 2[$&\textbf{c.}~~$[\ln 2~;~+ \infty[$&\textbf{d.}~~$]- \infty~;~\text{e}^2[$\\
%\end{tabularx}
$\text{e}^x \geqslant  2 \iff \text{e}^x \geqslant  \text{e}^{\ln 2} \iff x > \ln 2$. Réponse \textbf{c.} 
\medskip 

\item  %Dans une classe de 24 élèves, 12 font de l'escalade, 9 font de la natation et 5 pratiquent les deux activités. On rencontre au hasard un élève de cette classe, la probabilité qu'il pratique au moins l'une de ces deux activités est : 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.}~~$\dfrac{11}{24}$&\textbf{b.}~~$0,6$&\textbf{c.}~~$0,875$&\textbf{d.}~~$\dfrac{2}{3}$\\
%\end{tabularx}
Avec des notations évidentes : $p(E \cup N) = p(E) + p(N) - p(E \cap N) = \dfrac{12}{24}+\dfrac{9}{24}-\dfrac{5}{24} = \dfrac{16}{24} \dfrac{2}{3}$. Réponse~\textbf{d.}
\medskip  
\item  %Dans un repère orthonormé \Oij{} du plan, on considère les points F(3~;~0) et F$'(- 3~;~0)$. On considère l'ensemble $\mathcal{C}$ des points $M$ du plan tels que $M\text{F} +  M\text{F}' = 10$.

\medskip
 
\textbf{Affirmation 1 :}  %la courbe $\mathcal{C}$ est 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.}~~une parabole&\textbf{b.}~~une ellipse&\textbf{c.}~~une hyperbole&\textbf{d.}~~un cercle\\
%\end{tabularx}
On sait que cet ensemble est une ellipse. Réponse \textbf{b.}
\medskip  

\textbf{Affirmation 2 :} %le point  $M$ est un sommet   de la courbe  $\mathcal{C}$ 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.}~~le point $M$(4~;~0)&\textbf{b.}~~le point $M$(2~;~0)&\textbf{c.}~~le point $M$(5~;~0)&\textbf{d.}~~le point $M$(0~;~5)\\
%\end{tabularx}
Seule le point $M(5~;~0)$ est un point de l'axe FF$'$ qui appartient \`a $\mathcal{C}$, car 8 + 2 = 10
\medskip 
 
\textbf{Affirmation 3 :} %une équation cartésienne  de la courbe $\mathcal{C}$ est
 
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.}~~$\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{25} = 1$&\textbf{b.}~~$\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{25} = 1$&\textbf{c.}~~$16x^2 + 25y^2 = 400$&\textbf{d.}~~$25x^2 - 16y^2 = 400$\\
%\end{tabularx}
Réponse \textbf{c.}
\medskip 

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill 12 points}

%Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle : $]0~;~+ \infty[$ 	par
%\[ f(x) =  \ln x +  \ln (x + 1)\] 

%On note $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans le plan rapporté à un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 1~cm en abscisse et 2~cm en ordonnée.

%\newpage

\textbf{Partie A :}
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x)$. Quelle interprétation graphique peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
		On a $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln (x + 1) = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$.
		
On peut donc dire que la droite d'équation $x = 0$ (axe des ordonnées) est asymptote verticale \`a $\mathcal{C}$ au voisinage de zéro.
		\item %Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. 
$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln x = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln (x + 1) = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = + \infty$.
	\end{enumerate} 
\item %On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

%Montrer que $f'(x) = \dfrac{2x + 1}{x(x + 1)}$.
Comme $x \neq 0$, $f'(x) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{x + 1 + x}{x(x+1)} = \dfrac{2x + 1}{x(x + 1)}$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Étudier, pour tout $x$  de l'intervalle $]0 ~;~+ \infty[$, le signe de $f'(x)$.
On sait que $x > 0$, donc $x + 1 > 0$ ; le signe de $f'(x)$ est donc le signe du numérateur $2x + 1$ qui est positif pour $x > -\dfrac{1}{2}$  donc pour tout $x$. La fonction est donc croissante sur $]0~;~+ \infty[$.
 
		\item %En déduire le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $]0~ ;~ +\infty[$.
On en déduit le tableau de variations de $f$ suivant :

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5)\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.1,2.5){$0$} \uput[u](7.6,2.5){$+ \infty$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$} \rput(1,1){$f(x)$}\rput(5,2.25){$+$}
\uput[u](2.4,0){$-\infty$}\uput[d](7.5,2){$+ \infty$}
\psline{->}(2.7,0.3)(7.2,1.7)  
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate} 
\item~ %Recopier et compléter le tableau suivant (les valeurs de $f(x)$ seront arrondies à $10^{-1}$ près.)

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0,1&0,3&0,5&1	&2	&4	&6	&8	&10	&12\\ \hline
$f(x)$	&$-2,2$&$-0,9$	&$-0,3$	&0,7	&1,8	&3	&3,7	&4,3	&4,7&5\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item %Tracer la courbe  $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij. 
Voir plus bas.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Résoudre dans $]0~;~+ \infty[$ l'équation $f(x) = 0$. (On vérifiera que $f(x)$ s'écrit sous la forme $f(x) = \ln [x(x + 1)]$ et on donnera la valeur exacte de la solution puis la valeur arrondie à $10^{-1}$ près). 
On sait que pour $a > 0,~b > 0,~\ln(a\times b) = \ln a + \ln b$, donc :

$f(x) = \ln \left[x(x + 1) \right]$.

Donc $f(x) = 0 \iff \ln \left[x(x + 1) \right] = 0 \iff \ln \left[x(x + 1) \right] = \ln 1 \iff$

$ (\text{d'après la croissance de la fonction logarithme népérien)} x(x + 1) = 1 \iff$

$ x^2 + x - 1 = 0$.

$\Delta = 1 + 4 = 5$ : l'équation a deux solutions :

$x_{1} = \dfrac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ et $x_{2} =  \dfrac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$.

Comme $x_{2} < 0$, il n'y a qu'une solution dans $]0~;~+ \infty[, {} \dfrac{- 1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0,6$.		
		\item %Interpréter graphiquement cette réponse.
Géométriquement : le point d'intersection de $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses est approximativement le point de coordonnées (0,6~;~0). 
		
		\item %Montrer que la fonction $f$ est strictement positive sur l'intervalle $[1 ~;~ +\infty[$.
La fonction est croissante sur  $[1 ~;~ +\infty[$ et $f(1) = \ln 2 \approx 0,69 > 0$ : donc sur $[1 ~;~ +\infty[,~f(x) > 0$.
	\end{enumerate}
\item

	\begin{enumerate}
		\item  %Montrer que la  fonction $F$ définie sur $]0~ ; ~+\infty[$ par $F(x) =  x \ln x + (x + 1)\ln(x + 1) -  2x$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle.
		$F$ est dérivable sur $]0~ ; ~+\infty[$, et $F'(x) = \ln x + x \times \dfrac{1}{x}  + \ln (x + 1) + (x + 1) \times \dfrac{1}{x + 1} - 2 = \ln x   + \ln (x + 1) + 2 - 2 = \ln x   + \ln (x + 1) = f(x)$.
		
$F$ est donc une primitive de $f$ sur $]0~ ; ~+\infty[$.

		\item  %Calculer l'aire $\mathcal{A}$ exprimée en cm$^2$ de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x =  1$ et $x = 12$.
On a vu que sur [1~ ;~12], $f(x) > 0$, donc en unités d'aire :

$\mathcal{A} = \displaystyle\int_{1}^{12} f(x)\:\text{d}x = \left[ \right]_{1}^{12} = F(12) - F(1) = 12\ln 12 + 13\ln 13 - 24 - \left[- 2 \right] =$

$\mathcal{A} = 12\ln 12 + 13\ln 13 - 22$. 

%On donnera d'abord la valeur exacte, puis la valeur arrondie au cm$^2$.

L'unité d'aire valant $1 \times 2 = 2$cm$^2$, on a 

$\mathcal{A} = 2\left(  12\ln 12 + 13\ln 13 - 22\right) \approx 41,16 \approx 41$cm$^2$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=1cm,yunit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-0.5,-5)(12,5)
\psgrid[gridlabels=0pt](0,-5)(12,5)\uput[d](11.5,0){$x$} \uput[l](0,5){$y$}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-0.5,-5)(12,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=cyan]{
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000]{1}{12}{x x 1 add mul ln}
\psline(12,0)(1,0)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-0.5,-5)(12,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0pt](0,-5)(12,5)\uput[d](11.5,0){$x$} \uput[l](0,5){$y$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[linecolor=red,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.01}{12}{x x 1 add mul ln}
\rput(6.5,1.8){$\mathcal{A}$}\uput[u](6.5,3.9){\red$\mathcal{C}$}
\uput[d](1,0){1} \uput[d](12,0){12} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}