\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\texteuro{}} \usepackage{eurosym} \usepackage{color} %%%%%%Tapuscrit Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage[left=3.25cm,right=3.25cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{graphicx} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}} \rfoot{\small{novembre 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI novembre 2008 Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique - Génie énergétique - Génie civil}} \end{center} %\emph{Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet. Des feuilles de papier millimétré seront mises à la disposition des candidats.} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points} %Le plan complexe est rapporté un repère orthonormat direct \Ouv. %L'unité graphique est 2~cm. %On note i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. %On note $P$ le polynôme défini pour tout nombre complexe $z$ par : %\[ P(z) = 4z^4 - 7z^3 + 11z^2 + 10z -12.\] \begin{enumerate} \item %Résolution de l'équation $P(z) = 0$. \begin{enumerate} \item %Déterminer les deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$ tels que pour tout nombre complexe $z$ : %\[P(z) = \left(z^2 - 2z + 4\right)\left(4z^2 + \alpha z + \beta \right).\] $P(z) = 4z^4 - 7z^3 + 11z^2 + 10z -12 = \left(z^2 - 2z + 4\right)\left(4z^2 + \alpha z + \beta \right) =$ $ 4z^4 + \alpha z^3 + \beta z^2 - 8z^3 -2\alpha z^2 - 2\beta z + 16z^2 + 4\alpha z + 4\beta.$ En identifiant les termes de m\^eme degré : $\left\{\begin{array}{l c l} -7&=& \alpha - 8\\ 11&=&\beta - 2\alpha + 16\\ 10&=&- 2\beta + 4\alpha\\ - 12&=&4\beta \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} 1&=& \alpha - 8\\ - 5&=&\beta - 2\alpha \\ 10&=&- 2\beta + 4\alpha\\ - 3&=&\beta \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} 1&=& \alpha\\ 11&=&\beta - 2 + 16\\ 10&=&- 2\beta + 4\\ - 12&=&4\beta \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} 1&=& \alpha\\ -3&=&\beta\\ 1&=&\alpha\\ - 3&=&\beta \end{array}\right.$ Finalement : \[P(z) = \left(z^2 - 2z + 4\right)\left(4z^2 + z - 3 \right).\] \item %Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation $P(z) = 0$. Dans $\C,~P(z) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l} z^2 - 2z + 4&=&0\\ 4z^2 + z - 3&=&0 \end{array}\right.$ Primo : $z^2 - 2z + 4 = 0 \iff (z - 1)^2 - 1 + 4 = 0 \iff (z - 1)^2 + 3 = 0 \iff (z - 1)^2 - (\text{i}\sqrt{3})^2 = 0 \iff (z - 1 + \text{i}\sqrt{3})(z - 1 - \text{i}\sqrt{3}) = 0$. D'o\`u les solutions : $1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $1 - \text{i}\sqrt{3}$. Secundo : $4z^2 + z - 3 = 0 \iff 4\left(z^2 + \dfrac{z}{4} - \dfrac{3}{4}\right) = 0 \iff \left(z + \dfrac{1}{8} \right)^2 - \dfrac{1}{64} - \dfrac{3}{4} = 0 \iff \left(z + \dfrac{1}{8} \right)^2 - \dfrac{49}{64} = 0 \iff \left(z + \dfrac{1}{8} \right)^2 - \left(\dfrac{7}{8} \right)^2 \iff \left(z + \dfrac{1}{8} + \dfrac{7}{8}\right)\left(z + \dfrac{1}{8} - \dfrac{7}{8}\right) = 0 \iff (z + 1) \left(z - \dfrac{3}{4}\right) = 0.$ D'o\`u les solutions : $- 1$ et $\dfrac{3}{4}.$ Finalement l'équation $P(z) = 0$ a quatre solutions : deux réelles $- 1$ et $\dfrac{3}{4}$ et deux solutions complexes $1 + \text{i}\sqrt{3}$ et $1 - \text{i}\sqrt{3}$. \end{enumerate} \item %On considère les points A, B, C, D d'affixes respectives : %\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}} %$a = -1$,& $b = 1+\text{i}\sqrt{3}$,& $c = 1-\text{i}\sqrt{3}$,& $d = \dfrac{3}{4}$.\\ %\end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item %Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes $b$ et $c$. $|b|^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2 \Rightarrow |b| = 2$. On peut alors écrire $b = 2\left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2\left(\cos \frac{\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{\pi}{3} \right)$. Un argument de $b$ esty donc $\dfrac{\pi}{3}.$ Comme $c = \overline{b}$ il en résulte que $|c| = 2$ et qu'un argument de $c$ est égal \`a $- \dfrac{\pi}{3}$. \item %Placer les points A, B, C et D dans le repère \Ouv. Voir la figure \item %Démontrer que les points A, B et C sont situés sur un cercle $\mathcal{C}$ de centre D dont on précisera le rayon $r$. Construire ce cercle. DA = $\left|z_{\text{A}} - z_{\text{D}}\right| = \left|- \dfrac{7}{4} \right| = \dfrac{7}{4}$ ; DB$^2 = \left|z_{\text{B}} - z_{\text{D}}\right|^2 = \left| \dfrac{1}{4} + \text{i}\sqrt{3} \right|^2 = \dfrac{1}{16} + 3 = \dfrac{49}{16}$ ; donc DB = $\dfrac{7}{4}$ ; M\^eme pour calcul pour DC = $\dfrac{7}{4}$ ; Donc A, B et C sont situés sur un cercle $\mathcal{C}$ de centre D et de rayon $\dfrac{7}{4}$. \item %Déterminer les affixes $e$ et $f$ des deux points E et F situés sur $\mathcal{C}$ et tels que les triangles ABE et ABF soient rectangles, respectivement en B et en A. Placer les points E et F sur le cercle $\mathcal{C}$. ABE rectangle en B entra\^{\i}ne que [AE] est un diam\`etre ; donc E est le symétrique de A autour de D soit le point d'affixe $\dfrac{5}{2}$. De m\^eme ABF rectangle en A entra\^{\i}ne que [BF] est un diam\`etre, donc que F est le symétrique de B autour de D : $\dfrac{1}{2}\left(1+\text{i}\sqrt{3} + z_{\text{F}} \right) = \dfrac{3}{4} \iff 2\left(1+\text{i}\sqrt{3} + z_{\text{F}} \right) = 3 \iff 2z_{\text{F}} = 1 - 2\text{i}\sqrt{3} \iff z_{\text{F}} = \dfrac{1}{2} - \text{i}\sqrt{3}.$ \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \begin{center} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(-2,-2)(3,2) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-2)(3,2) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-2,-2)(3,2) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(1,1) \psdots(-1,0)(1,1.732)(1,-1.732)(0.75,0)(2.5,0)(0.5,-1.732)%ABCDEF \uput[ul](-1,0){A}\uput[ur](1,1.732){B} \uput[d](1,-1.732){C}\uput[dr](0.75,0){D}\uput[dr](2.5,0){E}\uput[d](0.5,-1.732){F} \pscircle(0.75,0){1.75}\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \pspolygon(1,1.732)(-1,0)(2.5,0) \pspolygon(-1,0)(1,1.732)(0.5,-1.732) \uput[ur](2.2,1){$\mathcal{C}$} \end{pspicture} \end{center} \medskip \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 4 points} %À l'instant $t = 0$, une bille est lâchée à la surface d'une colonne de liquide. % On note $v(t)$ la vitesse instantanée de cette bille, exprimée en $m.s^{-1}$, à un instant $t$ donné. % % On admet que la fonction $v$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ et qu'elle est solution de l'équation différentielle % \[(\text{E})~~:\quad y' + 140y = 5,88.\] \begin{enumerate} \item %Résoudre l'équation différentielle (H)~~: $\quad z' + 140z = 0$, où $z$ désigne une fonction inconnue de la variable $t$, dérivable sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. Les solutions de (H) sont les fonctions : $t \longmapsto z(t) = K\text{e}^{- 140t},~K \in \R$. \item %On pose, pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0~;~ +\infty[,~ y(t) = z(t) + 0,042$, où la fonction $z$ est une solution de l'équation différentielle (H). \begin{enumerate} \item %Démontrer que la fonction $y$ est une solution de l'équation différentielle (E). On a donc $y(t) = K\text{e}^{- 140t} + 0,042$, donc $y'(t) = - 140K\text{e}^{- 140t}$. D'o\`u $y'(t) + 140y(t) = - 140K\text{e}^{- 140t} + 140K\text{e}^{- 140t} + 140 \times 0,042 = 5,88$. Donc $y$ est une solution de l'équation différentielle (E). \item %Parmi les fonctions $y$ précédentes, démontrer que celle, notée $v,$ qui s'annule pour $t = 0$, est définie par : $v(t) = 0,042\left(1 - \text{e}^{- 140t}\right)$. On a $v(t) = K\text{e}^{- 140t} + 0,042$ et $v(0) = 0 \Rightarrow v(0) = K + 0,042 = 0 \iff$ $ K = - 0,042$. La fonction $v$ est donc définie par $v(t) = -0,042\text{e}^{- 140t} + 0,042$. \end{enumerate} \item Deux utilisations de l'expression trouvée de $v(t)$. \begin{enumerate} \item %Démontrer, en étudiant la limite de $v(t)$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$, que la vitesse de la bille admet une valeur limite notée $\ell$ dont on donnera la valeur numérique. Comme $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \text{e}^{- 140t} = 0,~ \displaystyle\lim_{t \to + \infty} v(t) = 0,042~\left(m\cdot s^{-1}\right)$. \item %À quel instant $t$ la bille atteint-elle 95\:\% de sa vitesse limite ? Il faut résoudre $-0,042\text{e}^{- 140t} + 0,042 = 0,95\times 0,042 \iff -\text{e}^{- 140t} + 1 = 0,95 \iff 0,05 = \text{e}^{- 140t}$ et par croissance de la fonction ln, $-140t = \ln 0,05 \iff t = - \dfrac{1}{140}\ln 0,05 \approx 0,021~s$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Problème}\hfill 11 points} %Le plan $\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthonormal \Oij. (L'unité graphique est 4~cm.) %Le but du problème est l'étude de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par : %\[ f(x) = \dfrac{\text{e}^x +1}{\text{e}^x + x}.\] %On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan $\mathcal{P}$. \medskip \textbf{I - Étude d'une fonction auxiliaire} %On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par : %\[g(x) = \text{e}^x(x - 2) - 1.\] \begin{enumerate} \item %Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$. $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} (x - 2) = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = + \infty,~\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = + \infty$. \item Étude des variations de $g$ \begin{enumerate} \item %Calculer la fonction dérivée $g'$ de la fonction $g$ et étudier son signe sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. On a $g'(x) = \text{e}^x(x - 2) + \text{e}^x = \text{e}^x(x - 1)$ qui est du signe de $(x - 1)$, car quel que soit $x \in \R,~\text{e}^x > 0.$ Donc $g'(x) > 0 \iff x > 1$ et $g'(x) < 0 \iff 0 < x < 1$. \item %Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.~ \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,4) \psframe(8,4)\psline(0,2)(8,2) \psline(0,3)(8,3) \psline(2,0)(2,4) \uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.2,3){0} \uput[u](5,3){1} \uput[u](7.5,3){$+ \infty$}\rput(1,1){$g(x)$} \rput(1,2.5){$g'(x)$}\rput(3.5,2.5){$-$}\rput(5,2.5){0}\rput(6.5,2.5){$+$} \psline{->}(2.5,1.7)(4.4,0.3) \psline{->}(5.5,0.3)(7.4,1.7) \uput[d](2.2,2){$-3$} \uput[d](7.5,2){$+ \infty$}\uput[u](5,0){-1 - \text{e}} \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \item Résolution de l'équation $g(x) = 0$ \begin{enumerate} \item %Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ possède une unique solution, notée $\alpha$, appartenant à l'intervalle [1~;~ 3]. On a $g(3) = \text{e}^3 - 1 \approx 19 > 0$ et $g(1) = - 1 - \text{e} \approx -2,7 < 0$. Comme $g$ est dérivable sur [1~;~3], il existe un réel unique $\alpha \in [1~;~3]$ tel que $f(\alpha) = 0$. \item %Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$. La calculatrice donne : $2,1 < \alpha < 2,2$, puis $2,12 < \alpha < 2,13$. \end{enumerate} \item %Déterminer le signe de $g(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. Sur [0~;~1], $g(x) < 0$, donc \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item sur $[0~;~\alpha],~g(x) < 0$ : \item $g(\alpha) = 0$ ; \item sur $[\alpha~;~+ \infty[,~g(x) > 0$ \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \end{enumerate} \medskip \textbf{II - Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath \begin{enumerate} \item Étude de la limite en $+ \infty$. \begin{enumerate} \item %Démontrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~ +\infty[$, %\[f(x) = \dfrac{1+ \text{e}^{-x}}{1 + x\text{e}^{-x}}.\] En multipliant chaque terme par $\text{e}^{-x}$, on peut écrire : $f(x) = \dfrac{\text{e}^{-x}\left(\text{e}^x + 1\right)}{\text{e}^{-x}\left(\text{e}^x + x\right)} = \dfrac{1 + \text{e}^{-x}}{1 + x\text{e}^{-x}}$. \item %En déduire la limite de $f$ en $+\infty$ et interpréter graphiquement cette limite. Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{-x} = 0,~\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{-x} + 1 = 1.$ $ x\text{e}^{-x} = \dfrac{x}{\text{e}^x}$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{x}{\text{e}^x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}1 + x\text{e}^{-x} = 1$ et finalement $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 1$. Ceci signifie que la droite d'équation $y = 1$ est asymptote horizontale \`a $\mathcal{C}$ au voisinage de plus l'infini. \end{enumerate} \item Étudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 1$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. \item Étude des variations de $f$ \begin{enumerate} \item %On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Démontrer que, pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~ +\infty[,~ f'(x) = \dfrac{g(x)}{\left(\text{e}^x + x \right)^2}$ où $g$ est la fonction définie en 1. $f'(x) = \dfrac{ \text{e}^{x}\left(\text{e}^x + x \right) - \left(\text{e}^x + 1\right)\left(\text{e}^x + 1\right)}{\left(\text{e}^x + x \right)^2} = \dfrac{\text{e}^{2x} + x\text{e}^x - \text{e}^{2x} - 2\text{e}^x - 1}{\left(\text{e}^x + x \right)^2} = \dfrac{x\text{e}^x - 2\text{e}^x - 1}{\left(\text{e}^x + x \right)^2} = \dfrac{\text{e}^x (x - 2) - 1 }{\left(\text{e}^x + x \right)^2} = \dfrac{g(x)}{\left(\text{e}^x + x \right)^2}$. \item %Déduire de la question I. 4., le sens de variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. Comme pour tout $x,~\left(\text{e}^x + x \right)^2 > 0$ , le signe de $f'(x)$ est celui de $g(x)$ vu au dessus. Donc $f'(x) < 0$ si $x < \alpha$. D'o\`u le tableau de variations : \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,4) \psframe(8,4) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,3)(8,3)\psline(2,0)(2,4) \uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.15,3){$0$} \uput[u](5,3){$\alpha$} \uput[u](7.5,3){$+ \infty$} \rput(1,2.5){$f'x)$} \rput(1,1){$f(x)$}` \psline{->}(2.4,1.7)(4.5,0.3) \psline{->}(5.4,0.3)(7.3,1.7) \rput(3.5,2.5){$-$}\rput(5,2.5){0}\rput(6.5,2.5){$+$} \uput[d](2.1,2){2} \uput[d](7.6,2){$+ \infty$}){} \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \item %Construire la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$ dans le repère \Oij. Voir la figure. \end{enumerate} \medskip \psset{unit=2cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(5.5,2.1) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=gray,subgridcolor=lightgray](0,0)(5,2) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ \psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue,linewidth=1pt]{0}{1}{2.71828 x exp 1 add 2.71828 x exp x add div} \psline(1,1)(0,1)} \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.5,-0.5)(5.5,2.1) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](5.5,0){$x$} \uput[l](0,8){$y$}\uput[dr](0,0){O} \psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{5.5}{2.71828 x exp 1 add 2.71828 x exp x add div} \psline[linecolor=red](-0.5,1)(5.5,1) \end{pspicture} \end{center} \textbf{III - Calcul d'aire} \medskip %On note $\mathcal{B}$ l'aire, exprimée en cm$^2$ du domaine limitée par la courbe $\mathcal{C}$, la droite $\mathcal{D}$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 1$. \begin{enumerate} \item %Hachurer sur le graphique le domaine $\mathcal{B}$. Voir la figure ci-dessus. \item %Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. En posant $u(x) = \text{e}^x+ x$ et apr\`es avoir calculé $u'(x) = \text{e}^x+1$, on constate que $f(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$. Comme $\text{e}^x > 0$ et $x \geqslant 0$ sur $[0~;~ +\infty[$, on en déduit que $u(x) > 0$. Donc une primitive sur sur $[0~;~ +\infty[$ de $f(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$ est la fonction $x \longmapsto F(x) = \ln |u(x)| = \ln u(x) = \ln \left(\text{e}^x + x \right)$. \item %En déduire la valeur exacte de $\mathcal{B}$, puis une valeur approchée arrondie au mm$ ^2$. On a donc $\mathcal{B} = \displaystyle\int_{0}^1 [f(x) - 1]\:\text{d}x = \left[F(x) - x\right]_{0}^1 = \left[\ln \left(\text{e}^x + x \right) - x \right]_{0}^1 = \ln \left(\text{e} + 1\right) - 1 - \ln (1 + 0) + 0 = \ln (1 + \text{e}) - 1.$ (en unités d'aire). L'unité sur chaque étant égale \`a 4~cm, 1 u. a. = 16~cm$^2$. Donc $\mathcal{B} = 16 \times \left[\ln (1 + \text{e}) - 1\right] \approx \nombre{0,31326} \approx 0,31$~cm$^2$ au mm$^2$ pr\`es. \end{enumerate} \end{document}