\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage UTF8} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \rhead{\small Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{17 juin 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalaurŽéat STI Métropole 17 juin 2008~\decofourright\\[5pt]Génie mécanique, civil }} %\vspace{0,5cm} %L'utilisation d'une calculatrice est autorisŽée. %Du papier millimŽétrŽé est mis ˆ la disposition des candidats. %Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème. \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} %On considère les nombres complexes %\[ z_{\text{A}} = 4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}},~~z_{\text{B}} = 4\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}\quad \text{et}\quad z_{\text{C}} = -2 + 2\text{i}.\] %Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal. %\emph{Les parties I et II sont indépendantes} \medskip \textbf{Partie I : Q. C. M.} %Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B, C ou D est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. %\textbf{On ne demande aucune justification} %\textbf{NOTATION :} \emph{chaque réponse juste rapporte $0,5$ point ; une réponse fausse enlève $0,25$ point.} %\emph{Une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} % %\emph{Si le total des points est négatif, il est ramené à $0$.} \begin{enumerate} \item %Le nombre complexe $Z_{1} = z_{\text{A}}z_{\text{B}}$ est : $Z_{1} = z_{\text{A}}z_{\text{B}} = 4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}\times 4\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}} = 16 \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{2}} = - 16 \text{i}$. Réponse C. %\medskip %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}\textbf{Réponse A :} un nombre réel positif& \textbf{Réponse B :} un nombre réel négatif\\ %\textbf{Réponse C :} un nombre imaginaire pur& \textbf{Réponse D :} l'affixe d'un point du plan complexe pris hors des axes\\ %\end{tabularx} \item %Le nombre complexe $Z_{2} = z_{\text{A}}^6$ est : $Z_{2} = z_{\text{A}}^6 = \left(4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}} \right)^6 = 4^6\text{e}^{\text{i}\pi} = - 4^6$. Réponse B. %\medskip %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}\textbf{Réponse A :} un nombre réel positif&\textbf{Réponse B :} un nombre réel négatif\\\textbf{Réponse C :} un nombre imaginaire pur&\textbf{Réponse D :} l'affixe d'un point du plan complexe pris hors des axes\\ %\end{tabularx} \item %Le nombre complexe conjugué de $z_{\text{A}}$ est : $\overline{z_{\text{A}}} = \overline{4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}} = 4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$. Réponse C. \medskip %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}\textbf{Réponse A :}~~$- 4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$&\textbf{Réponse B :}~~$4\text{e}^{\text{i}\frac{7\pi}{6}}$\\\textbf{Réponse C :}~~$4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$&\textbf{Réponse D :}~~$\dfrac{1}{4}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$\\ %\end{tabularx} \item %Le nombre complexe $z_{\text{C}}$ peut se mettre sous la forme : $z_{\text{C}} = -2 + 2\text{i}$. Calcul du module : $|z_{\text{C}} |^2 = 4 + 4 = 4 \times 2 \Rightarrow |z_{\text{C}} | = 2 \sqrt{2}$. Calcul d'un argument : on peut écrire $z_{\text{C}} = 2 \sqrt{2}\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = 2 \sqrt{2}\left(\cos \dfrac{3\pi}{4} + \text{i}\sin \dfrac{3\pi}{4}\right) = 2 \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$. Réponse B. \medskip %\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}\textbf{Réponse A :}~~ $2\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$&\textbf{Réponse B :}~~ $2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$\\ %\textbf{Réponse C :}~~$2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{5\pi}{4}}$&\textbf{Réponse D :}~~$4\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$\\ %\end{tabularx} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie II} %On considère les points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text{A}},~$z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$. \begin{enumerate} \item Soit $M$ un point du plan d'affixe $z$. \begin{enumerate} \item %Interpréter géométriquement $\left|z - z_{\text{A}}\right|$. $\left|z - z_{\text{A}}\right| = \text{A}M$ \item %Quel est l'ensemble $\mathcal{D}$ des points $M$ du plan dont l'affixe $z$ vérifie l'égalité : $\left|z - z_{\text{A}}\right| = \left|z - z_{\text{B}}\right|$. $\left|z - z_{\text{A}}\right| = \left|z - z_{\text{B}}\right| \iff \text{A}M = \text{B}M$, donc $M$ est équidistant de A et de B. L'ensemble cherché est la médiatrice de [AB]. \item %Vérifier que le point C appartient à l'ensemble $\mathcal{D}$. $z_{\text{A}} = 4\left(\cos \frac{\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{\pi}{6}\right) = 4\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\sin \frac{1}{2} \right) = 2\sqrt{3} + 2\text{i}$. $z_{\text{B}} = 4\left(\cos \frac{2\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{2\pi}{3}\right) = 4\left(-\frac{1}{2} + \text{i}\sin \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = - 2 + 2\text{i}\sqrt{3}$. D'o\`u $\left|z_{\text{C}} - z_{\text{A}} \right| = \left|- 2 + 2\text{i}- 2\sqrt{3} - 2\text{i}\right| = \left|- 2 - 2\sqrt{3} \right| = 2 + 2\sqrt{3}$. Et $\left|z_{\text{C}} - z_{\text{B}} \right| = \left|- 2 + 2\text{i} + 2 + 2\text{i}\sqrt{3}\right| = \left|\text{i}(2 + 2\sqrt{3} \right| = 2 + 2\sqrt{3}$. Conclusion $\text{C} \in \mathcal{D}$. \end{enumerate} \item %Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C. Calculons AB$^2 = \left|z_{\text{B}} - z_{\text{A}} \right|^2 = \left|- 2 + 2\text{i}\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 2\text{i}\right|^2 = \left(-2 - 2\sqrt{3} \right)^2 + \left(2\sqrt{3} + 2 \right)^2 = 4 + 12 + 8\sqrt{3} + 12 + 4 + 8\sqrt{3} = 32 + 16\sqrt{3}$. Or on a vu que AC $ = \left(2 + 2\sqrt{3} \right) \Rightarrow \text{AC}^2 = 4 + 12 + 8\sqrt{3} = 16 + 8\sqrt{3} = \text{BC}^2$. Donc $32 + 16\sqrt{3} = 16 + 8\sqrt{3} + 16 + 8\sqrt{3} \iff \text{AB}^2 = \text{AC}^2 + \text{BC}^2 \iff $ ABC est un triangle rectangle en C d'après la réciproque du théorème de Pythagore. \item %Déduire des questions 1. et 2. la nature du triangle ABC. Conclusion le triangle ABC est rectangle en C et isocèle en C. \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} %On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~ 2\pi]$ par %\[f(x) = \cos (x) + \dfrac{1}{2} \cos (2x) + 1.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$. Sur $[0~;~ 2\pi],~f'(x) = - \sin x - \dfrac{1}{2} \times 2 \sin (2x) = - \sin (x) - \sin (2x)$. \item %En utilisant la relation $\sin (2a) = 2\sin a \cos a$, montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[0~;~ 2\pi],~ f'(x) = - \sin (x) [1 + 2\cos (x)].$ On sait que $\sin (2x) = 2 \sin (x) \cos (x)$, donc $f'(x) = - \sin (x) - 2\sin (x)\cos (x) = - \sin (x)[1 + 2\cos (x)]$. \end{enumerate} \item %Résoudre dans l'intervalle $[0~;~ 2\pi]$, l'équation produit : $\sin (x) [1 + 2\cos (x)] = 0$. $\sin (x) [1 + 2\cos (x)] = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l} \sin (x)&=&0\\ 1 + 2\cos (x)&=&0 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} \sin (x)&=&0\\ \cos (x)&=&- \dfrac{1}{2} \end{array}\right.$ La première équation a pour solutions $0,~\pi$ et $2\pi$ ; La seconde a pour solutions : $\dfrac{2\pi}{3}$ et $\dfrac{4\pi}{3}$. Conclusion : la dérivée $f'(x)$ s'annule en $0,~\dfrac{2\pi}{3},~\pi,~\dfrac{4\pi}{3}$ et $2\pi$. \item \begin{enumerate} \item %En s'appuyant sur la représentation graphique de la fonction dérivée $f'$ donnée en annexe, dresser le tableau de signes de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0~;~ 2\pi]$. ~\begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(11,2.25) \psframe(11,2.25) \psline(0,1.5)(11,1.5) \psline(3,0)(3,2.25) \uput[u](1,1.5){$x$} \uput[u](3.1,1.5){$0$} \uput[u](5,1.5){$\frac{2\pi}{3}$} \uput[u](7,1.5){$\pi$} \uput[u](9,1.5){$\frac{4\pi}{3}$} \uput[u](10.8,1.5){$2\pi$} \rput(1.5,0.75){Signe de $f'(x)$} \rput(3.1,0.75){$0$}\rput(5,0.75){$0$} \rput(7,0.75){$0$}\rput(9,0.75){$0$}\rput(10.9,0.75){$0$} \rput(4,0.75){$-$} \rput(6,0.75){$+$} \rput(8,0.75){$-$} \rput(10,0.75){$+$} \end{pspicture} \end{center} \item %Déduire des questions 2. et 3. a. le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ 2\pi]$. Préciser les ordonnées des points dont l'abscisse $x$ vérifie $f'(x) = 0$. Les extremums de la fonction : $f(0) = 1 + 0,5 + 1 = 2,5$ ; $f\left(\frac{2\pi}{3} \right) = - \dfrac{1}{2} + 0,5 \times \left(- \dfrac{1}{2} \right) + 1 = -0,5 -0,25 + 1 = 0,25$ ; $f(\pi) = -1 + 0,5 \times 1 + 1 = 0,5$ ; $f\left(\frac{4\pi}{3} \right) = - \dfrac{1}{2} + 0,5 \times \left(- \dfrac{1}{2} \right) + 1 = -0,5 -0,25 + 1 = 0,25$ ; $f(2\pi) = 1 + 0,5 \times 1 + 1 = 2,5$. D'o\`u le tableau de variations de la fonction : \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(0,-3)(11,2.25) \psframe(0,-3)(11,2.25)\psline(0,0)(11,0) \psline(0,1.5)(11,1.5) \psline(3,-3)(3,2.25) \uput[u](1,1.5){$x$} \uput[u](3.1,1.5){$0$} \uput[u](5,1.5){$\frac{2\pi}{3}$} \uput[u](7,1.5){$\pi$} \uput[u](9,1.5){$\frac{4\pi}{3}$} \uput[u](10.8,1.5){$2\pi$} \rput(1.5,0.75){Signe de $f'(x)$} \rput(3.1,0.75){$0$}\rput(5,0.75){$0$} \rput(7,0.75){$0$}\rput(9,0.75){$0$}\rput(10.9,0.75){$0$} \rput(4,0.75){$-$} \rput(6,0.75){$+$} \rput(8,0.75){$-$} \rput(10,0.75){$+$} \rput(1.5,-1.5){$f(x)$} \uput[d](3.2,0){2,5}\uput[u](5,-3){0,25} \uput[d](7,0){0,5} \uput[u](9,-3){0,25} \uput[d](10.6,0){2,5} \psline{->}(3.4,-0.4)(4.6,-2.7) \psline{->}(5.4,-2.7)(6.7,-0.4) \psline{->}(7.3,-0.4)(8.6,-2.7) \psline{->}(9.4,-2.7)(10.5,-0.4) \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \item %Tracer la courbe représentative de $f$ sur l'intervalle $[0~;~ 2\pi]$ dans le repère de l'annexe (où $f'$ est déjà représentée). Voir plus bas. \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} %On considère la fonction $f$, définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par %\[f(x) = \text{e}^{2x} - 5 \text{e}^{x} + 4.\] %On désigne par ($\mathcal{C}$) sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij{} (unités : 2~cm en abscisse, 1~cm en ordonnée). \medskip \textbf{Partie A: limites aux bornes de l'ensemble de définition} \begin{enumerate} \item %Montrer que la droite ($\mathcal{D}$) d'équation $y = 4$ est asymptote à ($\mathcal{C}$) en $- \infty.$ On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} 2x = - \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{2x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 4$. Géométriquement ceci signifie que la droite ($\mathcal{D}$) d'équation $y = 4$ est asymptote à ($\mathcal{C}$) en $- \infty$. \item \begin{enumerate} \item %Montrer que, pour tout nombre réel $x,~ f(x) = \left( \text{e}^{x} - 1\right)\left( \text{e}^{x} - 4\right)$. $f(x) = \text{e}^{2x} - 5 \text{e}^{x} + 4 = \left(\text{e}^{x}\right)^2 - 5\text{e}^{x} + 4$ ; posons $X = \text{e}^{x}$, alors $f(x) = X^2 - 5X +4$ qui est un trinôme en $X$. $\Delta = 25 - 16 = 9 = 3^2$ ; les solutions de l'équation $f(x) = 0$ sont donc $X_{1} = \dfrac{5 + 3}{2} = 4$ et $X_{2} = \dfrac{5 - 3}{2} = 1$. Donc $f(x) = (X - 5)(X - 1) = \left(\text{e}^{x} - 4 \right)\left(\text{e}^{x} - 1 \right)$. \item %En déduire la limite de $f$ en $+\infty$. Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{x} = + \infty$, $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{x} - 4 = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{x} - 1 = + \infty$ et finalement $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : intersection de la courbe \boldmath$(\mathcal{C})$ \unboldmath avec l'axe des abscisses} %En utilisant la forme factorisée de $f(x)$ donnée dans la partie A. 2. a., déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe ($\mathcal{C}$) avec l'axe des abscisses. Il faut résoudre $f(x) = 0 \iff \left\{ \begin{array}{l c l} \text{e}^{x} - 4&=&0\\ \text{e}^{x} - 1&=&0 \end{array}\right. \iff \left\{ \begin{array}{l c l} \text{e}^{x} &=&4\\ \text{e}^{x} &=&1 \end{array}\right. \iff $ $ \left\{ \begin{array}{l c l} x&=&\ln 4 = 2\ln 2\\ x&=&\ln 1 = 0 \end{array}\right.$ Conclusion : la courbe ($\mathcal{C}$) coupe l'axe des abscisses en $x = 0$ et $x = 2\ln 2$. \medskip \textbf{Partie C : étude des variations de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$. En utilisant l'écriture initiale : $f'(x) = 2\text{e}^{2x} - 5\text{e}^x = \text{e}^x\left(2\text{e}^x - 5\right)$. \item %Étudier le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs du nombre réel $x$. On sait que $\text{e}^x > 0$ quel que soit le réel $x$ ; le signe de $f'(x)$ est donc celui de $2\text{e}^x - 5$ qui s'annule si $2\text{e}^x = 5 \iff x = \ln \left(\dfrac{5}{2} \right).$ De plus $2\text{e}^x - 5 > 0 \iff 2\text{e}^x > 5 \iff \text{e}^x > \dfrac{5}{2} \iff x > \ln \left(\dfrac{5}{2} \right)$. On a de m\^eme $2\text{e}^x - 5 > 0 \iff x < \ln \left(\dfrac{5}{2} \right)$. \end{enumerate} \item %Montrer en \textbf{détaillant vos calculs} que $f\left(\ln \dfrac{5}{2}\right) = - \dfrac{9}{4}$. On a vu que $x = \ln \left(\dfrac{5}{2}\right) \iff \text{e}^x = \dfrac{5}{2}$. Donc puisque $f(x) = \left(\text{e}^{x} - 4 \right)\left(\text{e}^{x} - 1 \right)$, alors $f\left(\ln \dfrac{5}{2}\right) = \left(\dfrac{5}{2} - 4 \right)\left(\dfrac{5}{2} - 1 \right) = - \dfrac{3}{2} \times \dfrac{3}{2} = - \dfrac{9}{4}$. \item %Déduire des questions précédentes le tableau de variations complet de la fonction $f$.\item À l'aide du tableau de variations et du résultat acquis à la partie B, donner le tableau de signes de la fonction $f$ sur $\R$. Le signe de $2\text{e}^x - 5$ étant celui de $f'(x)$ on a alors les variations de la fonction $f$ : \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(10,4) \psframe(10,4) \psline(0,2)(10,2) \psline(0,3)(10,3) \psline(2,0)(2,4) \uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.4,3){$- \infty$} \uput[u](6,3){$\ln \frac{5}{2}$} \uput[u](9.6,3){$+\infty$} \rput(1,2.5){$f'(x)$} \rput(4,2.5){$-$}\rput(6,2.5){$0$}\rput(8,2.5){$+$}\rput(1,1){$f(x)$} \psline{->}(2.5,1.6)(5.4,0.3) \psline{->}(6.5,0.3)(9.5,1.6) \uput[d](2.15,2){4}\uput[u](6,0){$- \frac{9}{4}$} \uput[d](9.6,2){$+ \infty$} \end{pspicture} \end{center} \item %Tracer la droite ($\mathcal{D}$) puis la courbe ($\mathcal{C}$), pour $x$ appartenant à l'intervalle $[-4~;~ 2]$, dans le repère défini en début de problème. Voir plus bas. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie D : calcul d'une aire} \begin{enumerate} \item %Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $\R$. Une primitive de $\text{e}^{2x}$ est $\dfrac{1}{2}\text{e}^{2x}$, donc une primitive de $f$ sur $\R$ est définie par : $F(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} - 5\text{e}^x + 4x$. \item \begin{enumerate} \item %Déterminer l'aire de la partie du plan comprise entre la courbe ($\mathcal{C}$), l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = \ln 4$. On a vu que $f(0) = f(\ln 4) = 0$ et que sur l'intervalle $[0~;~\ln 4]$, la fonction $f$ est négative. Donc l'aire de la surface est égale \`a : $\displaystyle\int_{0}^{\ln 4} -f(x)\:\text{d}x = \left[ - F(x)\right]_{0}^{\ln 4} = F(0) - F(\ln 4) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{0} - 5\text{e}^0 + 4\times 0 - \left(\dfrac{1}{2}\text{e}^{2\ln 4} - 5\text{e}^{\ln 4} + 4\ln 4 \right) = \dfrac{1}{2} - 5 - 8 + 20 - 4\ln 4 = \dfrac{15}{2} - 4\ln 4$~(u. a.) Comme 1 u. a. = $2 \times 1 = 2$~cm$^2$, l'aire en cm$^2$ de la surface est égale \`a $15 - 8\ln 4$~cm$^2$. \item %Donner une valeur approchée au mm$^2$ près de cette aire. La calculatrice livre : $15 - 8\ln 4 \approx 3,909 \approx 3,91$~cm$^2$ au millimètre carré près \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE à l'exercice 2} (à compléter et à rendre avec la copie) La courbe préconstruite ci-dessous est la représentation graphique de la fonction dérivée $f'$ sur l'intervalle $[0~;~ 2\pi]$. \bigskip \psset{unit=1.55cm} \begin{pspicture}(-1,-2)(7,3) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-1,-2)(7,3) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.8pt,griddots=10](0,0)(-1,-2)(7,3) \psset{algebraic=true} \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{6.28}{0-sin(x)-sin(2*x)} \psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt]{0}{6.28}{cos(x)+0.5*cos(2*x)+1} \uput[dr](1,0){1} \uput[ul](0,1){1} \end{pspicture} \vspace{1cm} \psset{xunit=2cm,yunit=1} \begin{pspicture}(-4,-4)(2,10) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.8pt,griddots=10](0,0)(-4,-4)(2,10) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-4,-4)(2,10) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psline[linewidth=1.25pt](-4,4)(2,4)\uput[u](-3.5,4){$\mathcal{D}$} \uput[r](1.6,5){$\mathcal{C}$} \uput[dl](0,0){O}\uput[d](2,0){$x$}\uput[l](0,10){$y$} \psset{algebraic=true} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4}{1.793}{2.71828^(2*x)-5*2.71828^x+4} \uput[dr](1,0){1} \uput[ul](0,1){1} \end{pspicture} \end{center} \end{document}