\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{color} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} %% Tapuscrit : Denis Vergès \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pstricks,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalaurŽéat STI GéŽnie mécanique, énergétique, civil} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{DuréŽe : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalaurŽéat STI Polynésie juin 2008~\decofourright\\[5pt]GéŽnie mécanique, énergétique, civil}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} %Un jeu est organisé de la manière suivante : le joueur mise 3~\euro, puis fait tourner une roue partagée en 6 secteurs circulaires. Lorsque la roue s'immobilise, un repère situé devant la roue indique le secteur circulaire désigné. On suppose que la roue est lancée suffisamment vite pour que la position du repère corresponde à un tirage aléatoire ; la probabilité que le repère indique un secteur donné est donc proportionnelle à l'angle au centre de ce secteur. \medskip %Sur chacun des secteurs circulaires est affichée une somme que le joueur reçoit : % \begin{itemize} % \item le secteur 1 mesure 150\degres{} et indique la somme 0~  \euro{} : le joueur ne reçoit rien; % \item le secteur 2 mesure 100\degres{} et affiche 3~\euro{}; % \item le secteur 3 mesure 50\degres{} et affiche 4~\euro{}; % \item le sécteur 4 mesure 35\degres{} et affiche 6~\euro{} ; % \item le secteur 5 mesure 15\degres{} et affiche 10~\euro{}?; % \item le secteur 6, qui et le dernier, mesure 10\degres{} et affiche 15~\euro{}. % \end{itemize} %On appelle \og gain \fg{} du joueur la somme, positive ou négative, que le joueur obtient après le lancer de la roue : cette somme prend en compte la mise de 3~\euro. Ainsi, par exemple le gain correspondant au secteur 5 est égal à 7~\euro. %On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le gain du joueur. Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles. \begin{enumerate} \item %Déterminer la loi de probabilité de la variable $X$. La probabilité de tomber sur un secteur est proportionnelle à son aire ou encore à la mesure de l'angle au centre, soit pour un angle de mesure $d$ en degrés par $\dfrac{d}{360}$. D'où la loi de probabilité : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $d$&150&100&50&35&15&10\\ \hline \rule[-3mm]{}{8mm}$p(D = d)$&$\dfrac{150}{360}$&$\dfrac{100}{360}$&$\dfrac{50}{360}$&$\dfrac{35}{360}$&$\dfrac{15}{360}$&$\dfrac{10}{360}$ \\ \hline $X$& $-3$&0&1&3&7&12\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item %Quelle est la probabilité d'obtenir un gain d'au moins 3~\euro{}? La probabilité d'obtenir au moins trois euros est égale à la somme des probabilités d'obtenir 3, ou 7 ou 12 euros soit : $\dfrac{35}{360}+\dfrac{15}{360}+\dfrac{10}{360} = \dfrac{60}{360} = \dfrac{1}{6}.$ \item \begin{enumerate} \item %Calculer l'espérance mathématique de la variable $X$. On a E$(X) = -3 \times \dfrac{150}{360} + 0 \times \dfrac{100}{360} + 1 \times \dfrac{50}{360} + 3 \times \dfrac{35}{360} + 7 \times \dfrac{15}{360} + 12 \times \dfrac{10}{360} =$ $ \dfrac{-450 + 50 + 105 + 105 + 120}{360} = \dfrac{- 70}{360} = - \dfrac{7}{36}$. \item %Le jeu est-il équitable ? L'espérance mathématique est inférieure à zéro, le jeu est inéquitable pour le joueur. \end{enumerate} \item %Dans cette question, les cinq premiers secteurs sont inchangés, mais le sixième affiche une somme de $a$~\euro{} où $a$ est un nombre réel positif. On note encore $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le gain du joueur. \begin{enumerate} \item %Calculer l'espérance mathématique de la variable $X$ en fonction du réel $a$. Le calcul de l'espérance est le même sauf pour le dernier produit : E$(X) = \dfrac{-190 + 10(a - 3)}{360} = \dfrac{10a -220}{360}$. \item %Déterminer la valeur de $a$ pour que cette espérance soit nulle. E$(X) = 0 \iff 10a - 220 = 0 \iff a = 22$~(\euro). \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} %On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. %Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. %L'unité graphique est 1~cm ; on construira une figure que l'on complètera au fur et à mesure de l'exercice. \begin{enumerate} \item %On note A, B et C les points d'affixes respectives : %\[ a =2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}},~~ b=5 - 3\text{i} ~~\text{et}~~ c = 11 + 4\text{i}.\] \begin{enumerate} \item %Écrire le nombre complexe $a$ sous forme algébrique. a = 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} = 2\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + \text{i}\sin \frac{\pi}{4} \right) = 2\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = 2 + 2\text{i}$. \item %Placer les points A, B et C sur la figure. Voir la figure plus bas. \end{enumerate} \item %Démontrer que le triangle ABC est isocèle. On a AC = $\left|z_{\text{C}} - z_{\text{A}}\right|^2 = (11 - 2)^2 + (4 - 2)^2 = 81 + 4 = 85$ ; BC = $\left|z_{\text{C}} - z_{\text{B}}\right|^2 = (11 - 5)^2 + (4 + 3)^2 = 36 + 49 = 85.$ On a donc $\text{AC}^2 = \text{bC}^2 = 85 \Rightarrow \text{AC} = \text{BC}$, donc ABC est un triangle isocèle en C. \item %Soit $z$ un nombre complexe quelconque et $M$ le point du plan d'affixe $z$. \begin{enumerate} \item %Donner une interprétation géométrique des nombres $|z - a|$ et $|z - b|$. $|z - a| = \text{A}M$ et $|z - b| = \text{B}M.$ \item %Déterminer l'ensemble $\Delta$ des points $M$ du plan tels que l'on ait %$|z - a| = |z - b|.$ |z - a| = |z - b| \iff \text{A}M = \text{B}M \iff M$ est équidistant de A et de B. Les points $M$ appartiennent donc à la médiatrice de [AB]. %Tracer cet ensemble $\Delta$ sur la figure, \item %On note D le point d'affixe $d = 6+\text{i}$. Les points C et D appartiennent-ils à l'ensemble $\Delta$ ? Comme CA = CB, C est équidistant de A et de B et appartient donc à $\Delta.$ D'autre part AD$^2 = (6 - 2)^2 + (1 - 2)^2 = 16 + 1 = 17$ et BD$^2 = (6 - 5)^2 + (1 + 3 )^2 = 1 + 16 = 17$, donc D est aussi équidistant de A et de B et D appartient à $\Delta.$ \end{enumerate} \item %Démontrer que le triangle ABD est rectangle. On a aussi AB$^2 = (5 - 2)^2 + (- 3 - 2)^2 = 9 + 25 = 34$. Donc $17 + 17 = 34 \iff \text{AD}^2 + \text{BD}^2 = \text{AB}^2 \iff $ ABD est un triangle isocèle rectangle en D d'après la réciproque du théorème de Pythagore. \item %On considère le point H tel que ADBH soit un carré. Déterminer l'affixe $h$ de ce point H. Si ADBH est un carré, c'est un parallélogramme : donc [AB] et [DH] ont le même milieu I. Le point H est donc le symétrique de D autour de I. Or I$\left(\dfrac{7}{2}~;~-\dfrac{1}{2}\right)$. Si H$(x~;~y)$, alors $\left\{\begin{array}{l c l} \dfrac{7}{2}&=&\dfrac{6 + x}{2}\\ -\dfrac{1}{2}&=&\dfrac{1 + y}{2} \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l} 1&=&x\\ -2&=& y \end{array}\right.$ Donc H$(1~;~-2)$. \end{enumerate} \medskip \psset{unit=0.8cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-4,-4)(12,5) \psgrid[gridlabels=0pt] \psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-4,-4)(12,5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1) \psdots(2,2)(5,-3)(11,4)(6,1)(1,-2) \psline(11,4)(3.5,-0.5) \uput[ul](2,2){A}\uput[dr](5,-3){B}\uput[ur](11,4){C}\uput[dl](0,0){O} \uput[dr](6,1){D}\uput[ul](1,-2){H} \pspolygon[linecolor=blue](2,2)(6,1)(5,-3)(1,-2) \psplot{-2}{11.5}{0.6 x mul 2.6 sub}\uput[u](-2,-3.4){$\Delta$} \end{pspicture} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} %Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : %\[f(x) =2 - \dfrac{1}{x} - \ln x.\] %On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij{} ; la courbe $\mathcal{C}$ est donnée en annexe. \medskip \textbf{Partie A - Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath \begin{enumerate} \item %Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{1}{x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln x = + \infty$, $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty.$ \item %On rappelle le résultat suivant : $\displaystyle\lim_{x \to 0}x \ln x = 0$. \begin{enumerate} \item %En remarquant que $f(x) = \dfrac{2x - 1 - x \ln x}{x}$ déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $0$. D'après l'indication $\displaystyle\lim_{x \to 0} 2x - 1 - x \ln x = -1$, on a $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$ \item %En déduire l'existence d'une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ et en donner une équation. D'après la question précédente l'axe des ordonnées est asymptote verticale à $\mathcal{C}$ au voisinage de zéro. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Calculer $f'(x)$ et montrer que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ on %a : $f'(x) = \dfrac{1 - x}{x^2}$. $f$ somme de fonctions dérivables sur $]0~;~+ \infty[$ est dérivable sur cet intervalle et $f'(x) = + \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{1}{x} = \dfrac{1- x} {x^2}$. \item %Déterminer le tableau des variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. Indiquer la valeur de l'extremum. Comme $x^2 < 0$ sur $]0~;~ +\infty[$, le signe de $f'(x)$ est celui de $1 - x$ ; donc $f'(x) > 0 \iff x < 1$ et $f'(x) < 0 \iff x > 1$. La fonction est donc croissante puis décroissante ; elle a donc un extremum (maximum) en $x = 1$ égal à $f(1) = 2 - 1 - \ln 1 = 1$. D'où le tableau de variations : \medskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(8,3) \psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(2,0)(2,3) \psline(2.1,0)(2.1,2.5)\psline(2.2,0)(2.2,2.5) \uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.15,2.5){$0$} \uput[u](5,2.5){$1$} \uput[u](7.6,2.5){$+ \infty$}\rput(5,2.25){$0$}\rput(3.5,2.25){$+$}\rput(6.5,2.25){$-$} \rput(1,2.25){$f'(x)$} \uput[u](2.4,0){$-\infty$} \uput[d](5,2){1} \uput[u](7.7,0){$- \infty$} \rput(1,1){$f(x)$} \psline{->}(2.7,0.3)(4.7,1.8) \psline{->}(5.3,1.8)(7.5,0.3) \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Démontrer que, sur l'intervalle [0,1~;~10], la fonction $f$ s'annule pour deux valeurs exactement. On note $x_{1}$ et $x_{2}$ ces deux valeurs, avec $x_{1} < x_{2}$. On a $f(0,1) = 2 - 10 - \ln 0,1 \approx -5,7 < 0$ et $f(1) = 1 > 0$. Sur [0,1~;~10] la fonction $f$ est dérivable et à valeurs dans l'intervalle $[f(0,1)~;~f(1)]$ qui contient $0$ : la fonction $f$ s'annule donc une seule fois en $x_{1}$ dans cet intervalle. Il en est de même dans l'intervalle [1~;~10], la fonction s'annulant en $x_{2}$. \item %Placer $x_{1}$ et $x_{2}$ sur l'axe $\left(\text{O}~  ;~\vect{\imath}\right)$ représenté sur la feuille annexe, et donner les valeurs approchées arrondies au centième de ces deux nombres. La calculatrice donne $0,31 < x_{1}< 0,32$ et 6,30 < x_{2} < 6,31$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B - Étude d'une tangente} %On désigne par $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $2$. \begin{enumerate} \item %Démontrer qu'une équation de la droite $\mathcal{T}$ est : $y = - \dfrac{1}{4}x + 2 - \ln 2$. $M(x~;~y) \in \mathcal{T} \iff y - f(2) = f'(2)(x - 2) \iff y - \left(2 - \dfrac{1}{2} - \ln 2 \right) = - \dfrac{1}{4}(x- 2) \iff y = \dfrac{3}{2} - \ln 2 - \dfrac{1}{4}x + \dfrac{1}{2}\iff y = - \dfrac{1}{4}x + 2 - \ln 2$. \item %On considère la fonction $h$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par %\[ h(x) = f(x) - \left(- \dfrac{1}{4}x + 2 - \ln 2\right).\] \begin{enumerate} \item %Calculer $h'(x)$ et vérifier que pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[$, on a : $h'(x) = \dfrac{(x - 2)^2}{4x^2}$. $h$ est une somme de fonctions dérivables sur $]0~;~+\infty[$ et est donc dérivable sur cet intervalle et $h'(x) = f'(x) + \dfrac{1}{4} = \dfrac{1 - x}{x^2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4 - 4x + x^2}{4x^2} = \dfrac{(x - 2)^2}{4x^2} = \left( \dfrac{x - 2}{2x} \right)^2$ \item %En déduire le sens de variation de la fonction $h$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. $h'(x)$ étant un carré est positif ou nul : la fonction est donc croissante sur $]0~;~+\infty[$. \item %Calculer $h(2)$ et en déduire le signe de la fonction $h$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. On a $h(2) = 2 - \dfrac{1}{2} - \ln 2 - \left(- \dfrac{2}{4} + 2 - \ln 2 \right) = 0$. La fonction $h$ étant croissante on a donc : $x < 2 \Rightarrow f(x) < 0$ ; $x > 2 \Rightarrow f(x) > 0$ ; $h(2) = 0$. \end{enumerate} \item %À l'aide des questions précédentes, déterminer la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ et de la tangente $\mathcal{T}$. Comme $y = - \dfrac{1}{4}x + 2 - \ln 2$ est l'équation de $\mathcal{T}$, la fonction $h$ donne la différence pour une valeur de $x$ donnée, entre le point de $\mathcal{C}$ et le point de $\mathcal{T}$. La question précédente montre donc que : pour $x < 2$, le courbe $\mathcal{C}$ est sous la droite $\mathcal{T}$ ; pour $x > 2$, le courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de la droite $\mathcal{T}$. \item %Tracer la droite $\mathcal{T}$ sur la feuille annexe en tenant compte du résultat obtenu dans la question précédente. Voir la figure \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C Calcul d'une aire} \begin{enumerate} \item %On note $G$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : %\[G(x)= x - x\ln x.\] % Calculer $G'(x)$. $G$ différence de deux fonctions dérivables sur $]0~;~+\infty[$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ et $G'(x) = 1 - \ln x - x \times \dfrac{1}{x} = 1 - \ln x - 1 = - \ln x$. \item %En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. La question précédente montre que $G(x)$ est une primitive de $- \ln x$. \item %On considère la partie du plan comprise entre les droites d'équation $x = 1$ et $x= 6$ d'une part, entre l'axe horizontal et la courbe $\mathcal{C}$ d'autre part. On note $\mathcal{A}$ l'aire de cette partie de plan, exprimée en unités d'aire. \begin{enumerate} \item %Hachurer cette partie de plan sur la feuille annexe. \item %Donner la valeur exacte de l'aire $\mathcal{A}$, puis sa valeur arrondie au centième. En supposant que l'unité d'aire est égale à 1 cm$^2$, on sait que $\mathcal{A} = \displaystyle\int_{1}^6 f(x) \:\text{d}x = \displaystyle\int_{1}^6 \left(2 - \dfrac{1}{x} - \ln x \right) \:\text{d}x = \displaystyle\int_{1}^6 2\:\text{d}x - \displaystyle\int_{1}^6 - \left(\dfrac{1}{x}\right)\:\text{d}x + \displaystyle\int_{1}^6\left( - \ln x\right)\:\text{d}x $ $= \left[2x \right]_{1}^6 - \left[\ln x \right]_{1}^6 + \left[G(x) \right]_{1}^6 = \left[2x - \ln x + x - x\ln x \right]_{1}^6 = \left[3x - \ln x - x \ln x \right]_{1}^6 = 18 - \ln 6 - 6 \ln 6 - 3 = 15 - 7\ln 6$ Soit finalement $\mathcal{A} \approx 2,46$ au centième près \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe :} tracé de la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ dans le repère orthogonal \Oij \vspace{1cm} \textbf{Cette feuille est à compléter au fil des questions et à rendre avec la copie} \vspace{1cm} \psset{unit=1.5cm} \begin{pspicture}(0,-4)(8,2) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=15,gridwidth=0.8pt](0,0)(0,-4)(8,2) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=2](0,0)(0,-4)(8,2) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ \psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{1}{6}{2 1 x div sub x ln sub} \psline(6,0)(1,0) } \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=15,gridwidth=0.8pt](0,0)(0,-4)(8,2) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linewidth=1.5pt]{0.1238}{8}{2 1 x div sub x ln sub} \psplot{0}{6}{2 2 ln sub 0.25 x mul sub}\uput[u](0.5,1.25){$\mathcal{T}$} \psline[linestyle=dashed](2,0)(2,0.8068) \uput[ur](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[d](7.5,-0.2){\blue $\mathcal{C}$} \end{pspicture} \end{center} \end{document}