\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage UTF8 \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %% Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \rhead{\small Corrigé du baccalauréat STI GéŽnie électronique, électrotechnique, optique} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{juin 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Polynésie juin 2008~\decofourright\\[5pt]GéŽnie électronique}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \medskip %Le plan complexe est muni du repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique $2$~cm. \begin{enumerate} \item %Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation d'inconnue $z$ %\[z^2 + 2z + 2 = 0.\] $z^2 + 2z + 2 = 0 \iff (z + 1)^2 - 1 + 2 = 0 \iff (z + 1)^2 + 1 =0 \iff (z + 1)^2 - \text{i}^2 = 0 \iff (z + 1 + \text{i})(z + 1 - \text{i}) = 0.$ D'o\`u les deux solutions : $- 1 - \text{i}$ et $-1 + \text{i}.$ \item %Soient A et C deux points du plan complexe, d'affixes respectives %\[z_{\text{A}} = - 1 + \text{i}\quad \text{et} \quad z_{\text{C}} = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2} \right) + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2} \right)\text{i}.\] \begin{enumerate} \item %Déterminer le module de $z_{\text{A}}$ et le module de $z_{\text{C}}$. $\left|z_{\text{A}}\right|^2 = 1 + 1 = 2 \Rightarrow \left|z_{\text{A}}\right| = \sqrt{2}$. $\left|z_{\text{C}}\right|^2 = \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 2 \Rightarrow \left|z_{\text{C}}\right| = \sqrt{2}$ \item %Donner un argument de $z_{\text{A}}$. $z_{\text{A}} = \sqrt{2}\left(- \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) = \sqrt{2}\left(\cos \dfrac{3\pi}{4} + \text{i}\sin \dfrac{3\pi}{4} \right).$ Un argument de $z_{\text{A}}$ est donc $\dfrac{3\pi}{4}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %On pose $Z= \dfrac{z_{\text{C}}}{z_{\text{A}}}$. Démontrer que $Z = \dfrac{1 - \text{i}\sqrt{3}}{2}$. $Z= \dfrac{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2} \right) + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2} \right)\text{i}}{- 1 + \text{i}} = \dfrac{\left[\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{2} \right) + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{1}{2} \right)\text{i} \right](- 1 - \text{i})}{(-1 + \text{i})(- 1 - \text{i})} =$ $ \dfrac{- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} + \text{i}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+ \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \right)}{1 + 1 } = \dfrac{1 - \text{i}\sqrt{3}}{2}$. \item %Démontrer que $Z = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$. $|Z|^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1 \Rightarrow |Z| = 1$. $Z = \dfrac{1}{2} + \text{i}\left(- \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \cos \frac{- \pi}{3} + \text{i}\sin \frac{- \pi}{3} = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$. \item %En déduire que le point C est l'image du point A par la rotation de centre O et d'angle $- \dfrac{\pi}{3}$ (en radian). On a vu que $\left|z_{\text{A}}\right| = \sqrt{2} = \left|z_{\text{C}}\right| $ soit OA = OC. D'autre part on sait que arg$Z = \left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OC}}\right) = -\dfrac{\pi}{3}$. Ceci montre que C est l'image de A dans la rotation de centre O et d'angle $-\dfrac{\pi}{3}$. \end{enumerate} \item ~%Placer le point A puis construire le point C en utilisant le résultat de la question précédente. Décrire la construction. \medskip \begin{center} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(1.5,1.5) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-1.5,-1.5)(1.5,1.5) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(1,1) \psdots(-1,1)(0.366,1.366) \pscircle(0,0){1.414} \psline(-1,1)(0,0)(0.366,1.366) \psarc(-1,1){1.414}{-5}{25} \psarc{<-}(0,0){0.3}{75}{135} \psarc(-1,1){1.414}{-115}{-85} \uput[ul](-1,1){A} \uput[ur](0.366,1.366){C} \uput[dl](0,0){O} \uput[dl](-1.36,-0.36){B}\uput[u](-0.5,0.5){I} \psline(0.366,1.366)(-1.366,-0.366) \psline(0,0)(-1.366,-0.366)(-1,1)(0.366,1.366) \end{pspicture} \end{center} \medskip Le triangle OAB est isocèle et a un angle au sommet de 60 \degres{} : il est donc équilatéral. D'où la construction : C est le point du premier quadrant intersection du cercle de centre O et de rayon $\sqrt{2}$ et du cercle de centre A de m\^eme rayon. %\emph{Toute rédaction, même partielle, sera prise en compte dans l'évaluation.} \item %Soit B l'image du point O par la translation de vecteur $\vect{\text{CA}}$. %Construire le point B et démontrer que OCAB est un losange. On a par définition : $\vect{\text{OB}} = \vect{\text{CA}} \iff \text{OBAC}$ est un parallélogramme. Le milieu de I de [OA] est le milieu de [CB]. Il suffit donc de construire le deuxième point d'intersection de la question précédente pour construire la médiatrice de [OA]. I obtenu le symétrique de C autour de I est B. Comme OBAC est un parallélogramme et qu'il a deux côtés consécutifs de m\^eme longueur (CA = CO), c'est un losange \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} %Un professeur d'une classe de terminale S. T. I. donne à ses élèves trois questions dans une interrogation écrite et propose deux réponses par question : l'une juste et l'autre fausse. \medskip %On désigne par J une réponse juste et par F une réponse fausse. %On suppose que les élèves répondent à chaque question en indiquant soit la réponse juste, soit la réponse fausse. À chaque élève, on associe le résultat de son interrogation, sous la forme d'un triplet constitué des réponses données aux trois questions. Par exemple, si un élève a répondu juste à la première, faux à la deuxième et à la troisième, on lui associera le résultat (J, F, F). %\medskip \textbf{I} %Déterminer à l'aide d'un arbre l'ensemble des résultats possibles. Combien y a-t-il de résultats possibles ? \psset{unit=1cm} \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}{ \pstree{\TR{J~}} {\pstree{\TR{J~}}{\TR{J} \TR{F} } \pstree{\TR{F~}}{\TR{J} \TR{F} } } \pstree{\TR{V~}} {\pstree{\TR{J~}}{\TR{J} \TR{F} } \pstree{\TR{F~}}{\TR{J} \TR{F} } } } \end{center} \medskip Il y a donc 8 triplets différents. \medskip \textbf{II} %On considère un élève qui répond au hasard à chaque question et de façon indépendante pour chacune d'elles. Le professeur fait l'hypothèse d'équiprobrabilité des résultats. \begin{enumerate} \item %Démontrer que la probabilité de l'évènement A \og le résultat contient exactement une réponse juste \fg{} est égale à $\dfrac{3}{8}.$ Donc $p(J = 1) = \displaystyle\binom{3}{1}\left(\dfrac{1}{2} \right)^1 \left(\dfrac{1}{2} \right)^2 = 3 \times \left(\dfrac{1}{2} \right)^3 = \dfrac{3}{8}$. \item %Déterminer la probabilité de l'évènement B \og le résultat contient au moins une réponse juste. \fg{} On a $p(J \geqslant 1) = 1 - p(J = 0) = 1 - \displaystyle\binom{3}{0}\left(\dfrac{1}{2} \right)^0 \left(\dfrac{1}{2} \right)^3 = 1 - \left(\dfrac{1}{2} \right)^3 = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$. \item %Dans cette question, le professeur note les copies de la manière suivante : il donne 1 point pour une réponse juste et 0 point pour une réponse fausse. %On appelle $X$ la variable aléatoire qui à chaque résultat associe la note obtenue par l'élève. \begin{enumerate} \item %Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ ? $X$ prend les valeurs naturelles de $0$ à $3$, avec les probabilités suivantes : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $X$&3&2&1&0\\ \hline \rule[-3mm]{0mm}{8mm}$p(X = x_{i})$&$\dfrac{1}{8}$&$\dfrac{3}{8}$&$\dfrac{3}{8}$&$\dfrac{1}{8}$\\ \hline \end{tabularx} \item %Donner la loi de probabilité de $X$. Cf. au dessus \item %Calculer l'espérance mathématique E($X$) de $X$. E$(X) = 3 \times \dfrac{1}{8} + 2 \times \dfrac{3}{8} + 1 \times \dfrac{3}{8} + 0 \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{12}{8} = 1,50$~\euro. \end{enumerate} \item %Dans cette question, le professeur note les copies de la manière suivante : il donne 1 point pour une réponse juste et enlève 0,25 point pour une réponse fausse. %Si le total des points ainsi obtenu est négatif, la note attribuée est $0$. % \medskip %On appelle $Y$ la variable aléatoire qui à chaque résultat associe la note obtenue par l'élève. Calculer l'espérance mathématique E($Y$) de $Y$. Loi de probabilité de $Y$ : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $X$&3&2&1&0\\ \hline $Y$&3&1,75&$0,5$&0\\ \hline \rule[-3mm]{0mm}{8mm}$p(Y = y_{i})$&$\dfrac{1}{8}$&$\dfrac{3}{8}$&$\dfrac{3}{8}$&$\dfrac{1}{8}$\\ \hline \end{tabularx} \end{enumerate} \medskip E$(Y) = 3 \times \dfrac{1}{8} + 1,75 \times \dfrac{3}{8} + 0,5 \times \dfrac{3}{8} + 0 \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{9,75}{8} = \nombre{1,21875}$. \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip \textbf{PARTIE A - Étude de la représentation graphique d'une fonction}\boldmath $f$ \unboldmath %On donne sur la feuille annexe, à rendre avec la copie, la représentation graphique $\mathcal{C}_{f}$ d'une fonction $f$, définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels. %Le plan est muni du repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques $1,5$~cm en abscisse et $1$~cm en ordonnée. %La courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $\ln 2$. %La droite d'équation $y = 6$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ en $-\infty$. %La courbe $\mathcal{C}_{f}$ admet une tangente de coefficient directeur $-2$ au point A(0 ; 3). %Par lecture graphique et en utilisant les informations ci-dessus, répondre aux questions suivantes : \begin{enumerate} \item %Quelles sont les valeurs $f(\ln 2)$ et $f(0)$ ? On lit : $f(\ln 2) = 2 \quad f(0) = 3$ \item %Déterminer, en le justifiant, $f'(\ln 2)$ et $f'(0)$. Tangente horizontale au point d'abscisse $\ln 2$ signifie que $f'(\ln 2) = 0$. Le coefficient directeur de la tangente est $f'(0) = - \dfrac{1}{2}$. \item %Quelle est la limite de $f$ en $-\infty$ ? On lit $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 6.$ \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE B - Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath %\emph{On admettra maintenant que $f$ est la fonction définie sur $\R$ par} %\[f(x) = \text{e}^{2x} - 4\text{e}^{x} + 6\] %\emph{et on se propose dans cette partie de retrouver par le calcul les résultats obtenus graphiquement dans la partie A.} \begin{enumerate} \item %Vérifier que pour tout nombre réel $x : f(x) = \left(\text{e}^x - 2\right)^2 + 2$. $f(x) = \text{e}^{2x} - 4\text{e}^{x} + 6 = \left(\text{e}^{x} - 2 \right)^2 - 4 + 6 = \left(\text{e}^{x} - 2 \right)^2 + 2$. \item %Calculer $f(\ln 2)$. En utilisant l'écriture précédente : $f(\ln 2) = \left(\text{e}^{\ln 2} - 2 \right)^2 + 2 = (2 - 2)^2 + 2 = 0+2 = 2.$ \item \begin{enumerate} \item %Déterminer la limite de $f$ en $-\infty.$ On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \left(\text{e}^{x} - 2\right)^2 = 4$ et enfin $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 6.$ \item %Quelle propriété de la courbe $\mathcal{C}_{f}$, présentée dans la partie A est ainsi confirmée ? On vient donc de démontrer que la droite horizontale d'équation $y = 6$ est asymptote à $\mathcal{C}_{f}$ au voisinage de moins l'infini \end{enumerate} \item %Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ en utilisant l'expression de $f(x)$ donnée en \textbf{B. 1}. On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{x} = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \left(\text{e}^{x} - 2\right)^2 = +\infty$ et enfin $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty.$ \item \begin{enumerate} \item %Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ et vérifier que pour tout nombre réel $x$, %\[f'(x) = 2\text{e}^{x}\left(\text{e}^{x} - 2).\] $f$ somme de fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable et $f'(x) = 2\text{e}^{2x} - 4\text{e}^x = 2\text{e}^x\left(\text{e}^x - 2\right)$. \item %Résoudre, sur $\R$ l'équation $f'(x) = 0$. $f'(x) = 0 \iff 2\text{e}^x\left(\text{e}^x - 2\right) = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l} 2\text{e}^x&=&0\\ \text{e}^x - 2&=&0 \end{array}\right. \iff \text{e}^x - 2 = 0 \iff \text{e}^x = 2 \iff x = \ln 2$ par croissance de la fonction $\ln$. La dérivée ne s'annule qu'au point d'abscisse $\ln 2$. \item %Résoudre sur $\R$ l'inéquation $f'(x) > 0$. De m\^eme $f'(x) > 0 \iff 2\text{e}^x\left(\text{e}^x - 2\right) > 0 \iff \text{e}^x - 2 > 0$ (car $\text{e}^x > 0$) $ \iff \text{e}^x > 2 \iff x > \ln 2$ par croissance de la fonction $\ln$. On a donc $f'(x) > 0$ sur $]\ln 2~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item %En déduire sur $\R$ le tableau de signes de $f'(x)$ puis les variations de la fonction $f$. %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. Indiquer la valeur exacte de $f(\ln 2)$ et les limites trouvées en \textbf{B. 3. a.} et \textbf{B. 4.} D'o\`u le tableau de variations : \medskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(10,3) \psframe(10,3) \psline(0,2)(10,2) \psline(0,2.5)(10,2.5) \psline(2,0)(2,3) \uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.5,2.5){$- \infty$} \uput[u](4,2.5){0} \uput[u](6,2.5){$\ln 2$} \uput[u](9.5,2.5){$+\infty$} \rput(1,2.25){$f'(x)$} \rput(4,2.25){$-$}\rput(6,2.25){$0$} \rput(8,2.25){$+$} \rput(1,1){$f(x)$}\rput(2.2,1.8){6} \rput(4,1.1){3}\rput(6,0.3){$2$}\rput(8,1.2){7}\rput(9.5,1.8){$+ \infty$} \uput[u](8,2.5){$\alpha$} \psline{->}(2.6,1.7)(5.8,0.4)\psline{->}(6.2,0.4)(9.2,1.8) \end{pspicture} \end{center} \medskip \item %Montrer que l'équation $f(x) = 7$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$. Donner, en le justifiant, un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ près. D'après la tableau de variations précédent, la fonction $f$ est croissante sur $[\ln 2~;~+ \infty[$ de 2 à $+ \infty$ : il existe donc un unique réel $\alpha \in [\ln 2~;~+ \infty[$ tel que $f(x) = 7$. On a $f(1,4) \approx 6,2$ et $f(1,5) \approx 8,1$, d'o\`u $1,4 < \alpha < 1,5$. \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE C Calcul d'une aire} \begin{enumerate} \item %Montrer que la fonction $F$ définie sur $\R$ par : %\[F(x) = \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} - 4\text{e}^{x} + 6x\] %est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. $F$ somme de fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable sur $\R$ et $F'(x) = \dfrac{1}{2}\times 2 \text{e}^{2x} - 4\text{e}^{x} + 6 = \text{e}^{2x} - 4\text{e}^{x} + 6 = f(x)$. $F$ est donc une primitive de $f$ sur $\R$. \item %Hachurer sur la feuille annexe la partie du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$. Cf. la figure plus bas. \item %Soit $\mathcal{A}$ l'aire en cm$^2$ de la partie hachurée précédemment. Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$, puis en donner une valeur arrondie au centième. L'unité d'aire est égale à $1,5 \times 1 = 1,5$~cm$^2$. Donc $\mathcal{A} = 1,5 \displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x = 1,5\left[F(x)\right]_{0}^1 = 1,5\left(\dfrac{1}{2}\text{e}^{2} - 4\text{e}^{1} + 6\times 1 - \dfrac{1}{2}\text{e}^{0} + 4\text{e}^{0} + 6\times 0 \right) = 1,5\left(\dfrac{\text{e}^2}{2}- 4\text{e} + \dfrac{19}{2} \right) \approx \nombre{3,4821}~$cm$^2$ soit environ 3,48~cm$^2$ au centième près. \end{enumerate} \vspace{2cm} \begin{center} \textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE} \vspace{1cm} \psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm} \begin{pspicture}(-5,0)(4,8) \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](0,0)(-5,0)(4,8) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,0)(4,8) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.69,-0.07){$\ln 2$} \uput[d](4,0){$x$}\uput[l](0,8){$y$} \uput[u](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[r](1.5,7.5){\blue $\mathcal{C}_{f}$} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{2.71828 x 2 mul exp 2.71828 x exp 4 mul sub 6 add} \psline(1,0)(0,0) } \psline[linestyle=dashed](0.69,0)(0.69,2) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-5}{1.493}{2.71828 x 2 mul exp 2.71828 x exp 4 mul sub 6 add} \psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](0,0)(-5,0)(4,8) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \end{pspicture} \end{center} \end{document}