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%Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI Arts appliqués}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Arts appliqués septembre 2008~\decofourright\\[5pt]Métropole--La Réunion}

\vspace{0,25cm}

\end{center} 

\textbf{\textsc{Exercice  1} \hfill 8 points}

\medskip

%Dans un repère orthonormé \Oij{} d'unité graphique 1~cm, on considère l'ensemble $\mathcal{C}$ des points $M(x,~ y)$ dont les coordonnées vérifient l'équation :
%\[\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2 }{16} =  1.\]
\begin{enumerate}
\item %L'ensemble $\mathcal{C}$ est-il :

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%Une parabole ?&	Une hyperbole ?&	Une ellipse ?\\
%\end{tabularx}
Une hyperbole (cours). $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2 }{16} =  1 \iff \dfrac{x^2}{4^2} - \dfrac{y^2 }{4^2} =  1$. Donc $a = 4$ et $b = 4$.

\item 	%On appelles S et S$'$ les deux sommets de $\mathcal{C}$, S ayant une abscisse positive. Déterminer les coordonnées de S et S$'$.
Les deux sommets ont pour coordonnées S(0~;~4) et S$'(0~;~-4)$.
\item 	%On appelle F et F$'$ les deux foyers de $\mathcal{C}$, F ayant une abscisse positive. Déterminer les coordonnées de F et F$'$.
Les foyers ont pour coordonnées $\left(\sqrt{a^2 + b^2}~;~0 \right)$ soit F$\left(4\sqrt{2}~;~0\right)$ et F$'\left(-4\sqrt{2}~;~0\right)$.

\item 	%Parmi les relations suivantes, quelle est celle que vérifient les points $M$ de $\mathcal{C}$ ?

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%$M$F+$M$F$'$ = ó &	$|M$F - $M$F$'$| = 8 &	|$M$F - $M$F$'$| = 10\\
%\end{tabularx}
C'est la troisième équation par définition de l'hyperbole de foyer F et F$'$.
\item 	%Déterminer les coordonnées des points C$_{1}$ et C$_{2}$ de $\mathcal{C}$ d'abscisse $7$.
On a $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&7\\
\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2 }{16} &=&  1
\end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&7\\
\dfrac{49}{16} - \dfrac{y^2 }{16} &=&  1
\end{array}\right.\iff  \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&7\\
\dfrac{33}{16}   &=&\dfrac{y^2 }{16}
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&7\\
33   &=&y^2
\end{array}\right.$

Les deux points ont pour coordonnées :

C$_{1}\left(7~;~\sqrt{33} \right)$ et C$_{2}\left(7~;~-\sqrt{33} \right)$.
\item ~	%Sur une feuille de papier millimétré, placer le repère \Oij{, }les sommets S et S$'$ ainsi que les foyers F et F$'$ ; placer aussi les points trouvés à la question précédente. Tracer enfin la courbe $\mathcal{C}$ (on pourra s'aider d'une symétrie).
\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-10,-10)(10,10)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt](0,0)(-10,-10)(10,10)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-10,-10)(10,10)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-10}{-4}{x dup mul 16 sub sqrt}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{-10}{-4}{x dup mul 16 sub sqrt neg}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{4}{10}{x dup mul 16 sub sqrt}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{4}{10}{x dup mul 16 sub sqrt neg}
\uput[ul](4,0){F}\uput[ul](-4,0){F$'$}\uput[ul](5.744,0){S}\uput[ul](-5.744,0){S$'$}\uput[dl](0,0){O}
\psdots(4,0)(-4,0)(5.744,0)(-5.744,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice  2} \hfill 12 points}

%Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 
%\[f(x) = \text{e}^x - 2x\]
% et $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé \Oij{} d'unité graphique 2~cm.

\begin{enumerate}
\item  %On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer $f'(x)$.
$f'(x) =  \text{e}^x - 2$.
		\item  %Résoudre dans l'ensemble $\R$ l'inéquation $f'(x) > 0$, puis en déduire le signe de $f'(x)$ sur $\R$.
$f'(x) > 0 \iff \text{e}^x - 2 > 0 \iff \text{e}^x  >  2 \iff \text{e}^x  >  \text{e}^{\ln 2} \iff x > \ln 2$ par croissance de la fonction exponentielle.

Conclusion : $x > \ln 2 \Rightarrow f'(x) > 0$ et 

$x < \ln 2 \Rightarrow f'(x) < 0$.		
	\end{enumerate}
\item 	%Déterminer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $- \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$.
\item  %Soit $\Delta$ la droite d'équation $y = -2x$. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Exprimer $[f(x) -  (- 2x)]$ en fonction de $x$.
$[f(x) -  (- 2x)] = \text{e}^x - 2x + 2x = \text{e}^x$ 
		\item  %Déterminer la limite de $[f(x) - (- 2x)]$ quand $x$ tend vers $- \infty$.
Donc  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}[f(x) -  (- 2x)] = 0$.
		\item  %En déduire l'existence d'une asymptote oblique à la courbe $\mathcal{C}$.
		Le résultat précédent signifie que la droite $\Delta$ d'équation $y = - 2x$ est asymptote oblique à $\mathcal{C}$ au voisinage de moins l'infini.
				\end{enumerate}
\item  %Vérifier que, pour tout $x > 0,{} f(x) = x\left(\dfrac{\text{e}^x}{x} - 2 \right)$. En déduire la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+ \infty$.
Quel que soit le réel $x > 0,{} f(x) = \text{e}^x - 2x = x\left(\dfrac{\text{e}^x}{x} - 2  \right)$.

On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$, donc par produit de limites,  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty.$
\item 	~%Construire le tableau de variations de la fonction $f$

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3) \psline(0,2)(8,2)\psline(0,2.5)(8,2.5)\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.4,2.5){$-\infty$} \uput[u](5,2.5){$\ln 2$} \uput[u](7.5,2.5){$+ \infty$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$}\rput(1,1){$f(x)$}
\uput[d](2.3,2){$+\infty$} \uput[u](5,0){$2 - 2\ln2$}\uput[d](7.5,2){$+\infty$}
\psline{->}(2.6,1.7)(4.4,0.3) \psline{->}(5.6,0.3)(7.4,1.7) 
\end{pspicture}
\end{center}

\item 	%Déterminer le coefficient directeur de la tangente T à $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $0$.
Le coefficient directeur de la tangente T à $\mathcal{C}$ en son point d'abscisse $0$ est le nombre $f'(0) = \text{e}^0 - 2 = 1 - 2 = -1$.

\item 	%Recopier et compléter le tableau suivant (les valeurs seront arrondies au centième) :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$-3$&$-2$	&$-1$	&0	&0,7	&1		&2 	&2,5\\ \hline
$f(x)$	&6,05&4,14	&2,37	&1	&0,61	&0,72	&3,39&7,18\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item 	%Dans le repère \Oij, tracer la droite $\Delta$, la tangente T puis la courbe $\mathcal{C}$ représentant la fonction $f$.
Voir plus bas.
\item 	%Calculer $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$ (on donnera la valeur exacte).
$\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x = \left[\text{e}^x - x^2 \right]_{0}^1 = \text{e} - 1 - (1 - 0) = \text{e} - 2$~(unités d'aire).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Hachurer la partie du plan limitée par l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées, la droite d'équation $x = 1$ et la courbe $\mathcal{C}$.
Voir plus bas.
		\item   %Déduire de la question 9 la valeur exacte, en cm$^2$, de l'aire de cette partie puis en donner une valeur arrondie au centième.
		L'unité d'aire vaut $2 \times 2 = 4$~cm$^2$. Donc la valeur exacte, en cm$^2$, de l'aire de la partie hachurée est égale :
		
$\mathcal{A} = 4 \left(\text{e} - 2 \right) \approx 2,87~\left(\text{cm}^2\right)$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-3,-1)(3,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4](0,0)(-3,-1)(3,3)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-3,-1)(3,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(1,1)
\pscustom[fillstyle=hlines]{
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000]{0}{1}{2.71828 x exp 2 x mul sub}
\psline(1,0)(0,0)}

\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.38}{1.925}{2.71828 x exp 2 x mul sub}
\uput[d](3,0){$x$}\uput[l](0,3){$y$}
\psline[arrowsize=3pt 5]{<->}(-0.75,1.75)(0.75,0.25)\uput[d](-0.5,1.5){T}
\psline(-1.5,3)(0.5,-1)\uput[ur](0.5,-1){$\Delta$}\uput[l](1.75,2.25){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}