\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage UTF8 \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{septembre 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} \vspace{0,5cm} {\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Génie mécanique, civil \decofourright\\[5pt]Métropole septembre 2008}} \vspace{0,5cm} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points} \medskip \begin{enumerate} \item %Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation : %\[ Z^2 + 2Z+4 = 0.\] $Z^2 + 2Z+4 = 0 \iff (Z + 1)^2 - 1 + 4 = 0 \iff (Z + 1)^2 + 3 = 0 \iff (Z + 1)^2 - \left(\text{i}\sqrt{3} \right)^2 = 0 \iff (Z + 1 + \text{i}\sqrt{3})(Z + 1 - \text{i}) = 0$. On a donc $S = \{- 1 - \text{i}\sqrt{3}~;~- 1 + \text{i}\sqrt{3}\}.$ %Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 2~cm). %La figure sera complétée au fur et à mesure que l'énoncé le demandera. % Soit les points A, B et C d'affixes respectives : %\[Z_{\text{A}} =- 1 + \text{i}\sqrt{3}, \quad Z_{\text{B}} = \overline{Z_{\text{A}}}~~ \text{et}~~Z_{\text{C}} =2.\] %On rappelle que $\overline{Z_{\text{A}}}$ représente le nombre complexe conjugué de $Z_{\text{A}}$. \item \begin{enumerate} \item %Calculer le module et un argument du nombre complexe $Z_{\text{A}}$. $\left|Z_{\text{A}} \right|^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2 \Rightarrow \left|Z_{\text{A}} \right| = 2$. On peut alors écrire $Z_{\text{A}} = 2\left(- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2\left(\cos \frac{2\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{2\pi}{3} \right)$. Un argument de $Z_{\text{A}}$ est donc $\dfrac{2\pi}{3}.$ \item %En déduire le module et un argument du nombre complexe $Z_{\text{B}}$. $Z_{\text{B}} = \overline{Z_{\text{A}}}$ entra\^{\i}ne que $\left|Z_{\text{B}} \right| = 2$ et qu'un argument de $Z_{\text{B}}$ est $- \dfrac{2\pi}{3}.$ \item %Placer les points A, B et C sur la figure. Voir la figure. \item %Démontrer que le triangle ABC est un triangle équilatéral. OA = OB = OC = 2 ; donc O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Dans ce cercle $\left(\vect{\text{BC}},~\vect{\text{BA}} \right) = \dfrac{1}{2}\left(\vect{\text{OC}},~\vect{\text{OA}} \right) = \dfrac{\pi}{3}.$ De m\^eme $\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AC}} \right) = \dfrac{\pi}{3}$ ; donc le troisième angle a aussi pour mesure $\dfrac{\pi}{3}.$ Le triangle ABC est donc équilatéral. \end{enumerate} \item %Soit D le point d'affixe $Z_{\text{D}}$ définie par : $Z_{\text{D}} = \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}Z_{\text{B}}$. \begin{enumerate} \item %Déterminer l'écriture algébrique de $Z_{\text{D}}$. $Z_{\text{D}} = \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}Z_{\text{B}} = \left(\dfrac{1}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)\left(- 1 - \text{i}\sqrt{3} \right) = - \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}- \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} = - 2.$ \item %Placer le point D sur la figure. Voir la figure. \item %Quelle est la nature du quadrilatère BDAO ? Justifier votre réponse. On a OD = 2 = OB ; OBD est donc un triangle isocèle en O et D appartenant au cercle $\left(\vect{\text{DB}},~\vect{\text{DO}} \right) = \dfrac{1}{2}\left(\vect{\text{OB}},~\vect{\text{PC}} \right) = \dfrac{\pi}{3}$. Il en résulte que les trois angles du triangle OBD ont la m\^eme mesure : il est donc équilatéral ; de plus A et B étant symétriques autour de (OD) $\left(\vect{\text{DB}},~\vect{\text{DO}} \right) = \left(\vect{\text{DO}},~\vect{\text{DA}} \right) = \dfrac{\pi}{3}$ et le triangle OAD est lui aussi équilatéral. Il en résulte donc que OB = BD = DA = AO = 2. Le quadrilatère BDAO est donc un losange. (mais pas un carré puisque l'angle $\widehat{\text{D}}$ a pour mesure $\dfrac{2\pi}{3}.$) \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \begin{figure} \begin{center} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(-2.25,-2.25)(2.25,2.25) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray](0,0)(-2,-2)(2,2) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-2.25,-2.25)(2.25,2.25) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(1,1) \pscircle(0,0){2} \psdots(-1,1.732)(-1,-1.732)(2,0)(-2,0)\uput[ur](-1,1.732){A}\uput[dr](-1,-1.732){B}\uput[dr](2,0){C}\uput[ul](-2,0){D} \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}\uput[dr](0,0){O} \pspolygon(-1,1.732)(-1,-1.732)(2,0) \psline(-1,1.732)(0,0)(-1,-1.732) \pspolygon[linecolor=blue](-1,-1.732)(-2,0)(-1,1.732)(0,0) \end{pspicture} \end{center} \end{figure} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} %Dans une usine, deux chaînes de montage A et B fabriquent les mêmes types d'objets. La chaîne A en fabrique trois fois plus que la chaîne B. 7\:\% de la production de la chaîne A est défectueuse contre 2\:\% pour la chaîne B. \medskip \textbf{Partie I} \begin{enumerate} \item %On considère une production de \nombre{1200}~objets. \\Reproduire et compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &chaîne A &chaîne B & total\\ \hline nombre d'objets défectueux & 63 &6 &69 \\ \hline nombre d'objets non défectueux&837 &294 &\nombre{1131} \\ \hline total &900 &300 &\nombre{1200}\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item %On prélève au hasard un objet dans la production de l'usine et on admet que les tirages sont équiprobables. \begin{enumerate} \item %Déterminer la probabilité que l'objet prélevé soit à la fois défectueux et produit par la chaîne A. $p = \dfrac{63}{\nombre{1200}} = \dfrac{21}{400}$. \item %Déterminer la probabilité que l'objet prélevé ne soit pas défectueux. $P = \dfrac{\nombre{1131}}{\nombre{1200}} = \dfrac{377}{400}$ \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie II} %Un objet défectueux peut présenter 1, 2 ou 3 défauts. %Soit $X$ la variable aléatoire qui, à un objet prélevé au hasard dans la production, associe le nombre de défauts. % %La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau suivant : % \medskip \begin{enumerate} \item %Reproduire sur la copie puis compléter le tableau précédent. \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$& 0& 1& 2& 3\\ \hline $P(X = x)$&\nombre{0,9425}& \nombre{0,0318}&$\nombre{0,0197}$& 0,006\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item %Le prix de vente d'un objet dépend du nombre de défauts qu'il présente : %\begin{center} %\renewcommand{\arraystretch}{1.3} %\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|p{3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %nombre de défauts &0 &1 & 2 &3\\ \hline %prix de vente en \euro &56 &15 &10 &1\\ \hline %\end{tabularx} %\end{center} %Soit $Y$ la variable aléatoire qui, à un objet prélevé au hasard dans la production, fait correspondre son prix de vente. \begin{enumerate} \item %Déterminer la loi de probabilité de $Y$. \medskip \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.3} \begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|p{3cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline nombre de défauts &0 &1 & 2 &3\\ \hline $P(X = x)$&\nombre{0,9425}& \nombre{0,0318}&$\nombre{0,0197}$& 0,006\\ \hline prix de vente en \euro &56 &15 &10 &1\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item %Calculer l'espérance mathématique de $Y$. Interpréter le résultat obtenu. E$(Y) = \nombre{0,9425} \times 56 + \nombre{0,0318} \times 15 + \nombre{0,0197} \times 10 0,006 \times 1 = 53,46$~\euro. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 9 points} \textbf{Étude de l'énergie fournie par le rayonnement solaire} %Le but de ce problème est d'étudier le rayonnement solaire en un point de la surface de la Terre dont la latitude est 45° N et l'altitude 900~m. %Dans les questions \textbf{1., 2.} et \textbf{3.}, on étudie le rayonnement solaire un 21~mars ensoleillé sur un plan perpendiculaire au rayonnement solaire d'une surface de 1~m$^2$. %\item On suppose d'abord que le rayonnement solaire exprimé en W/m$^2$ est donné en fonction de l'inclinaison $\theta$ du soleil ($\theta$ étant exprimé en degrés) par %\[p(\theta)= \nombre{1230} \text{e}^{\frac{-1}{3,8\sin (\theta + 1,6)}}.\] %On attire l'attention du candidat quant à l'utilisation de la calculatrice pour ces calculs : dans la formule ci-dessus le sinus porte sur un angle exprimé en degrés. % Compléter le duplicata du tableau 1 ci-dessous, fourni en annexe (à joindre à la copie). \begin{enumerate} \item~ \medskip \hspace{-0.9cm}\begin{tabularx}{\textwidth}{|p{3cm}|*{13}{>{\scriptsize \centering \arraybackslash}X|}}\hline heure solaire&6 h& 7 h& 8 h& 9 h& 10 h& 11 h& 12 h& 13 h& 14 h& 15 h& 16 h& 17 h& 18 h\\ \hline inclinaison $\theta$ du soleil (en \degres)&0& 10,5& 20,7& 30&37,7& 43& 45& 43& 37,7& 30& 20,7& 10,5& 0\\ \hline rayonnement solaire $p(\theta)$ (en W/m$^2$)&0&350&615&744&812&846&856&846&812&744&744&350&0 \\ \hline \multicolumn{14}{c}{Tableau 1}\\ \end{tabularx} \medskip \item~ %On veut maintenant modéliser l'évolution du rayonnement solaire en fonction de l'heure. %On définit la variable $t$ comme étant le temps écoulé depuis le lever du soleil, qui se produit à 6~heures. Pour des raisons de symétrie entre le matin et l'après-midi, on se limitera à faire varier $t$ dans l'intervalle [0 ; 6], ce qui correspond à des heures solaires variant entre 6~h et 12~h. %On admet que le rayonnement solaire (en W/m$^2$) peut être exprimé en fonction de $t$ par : %\[f(t) = 856\left(1 - \text{e}^{-0,6t}\right).\] \begin{enumerate} \item~ %Compléter le duplicata du tableau 2 ci-dessous, fourni en annexe (à joindre à la copie). \medskip \hspace{-1cm}\begin{tabularx}{\textwidth}{|p{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline heure solaire &6 h& 7 h& 8 h& 9 h& 10 h& 11 h& 12 h\\ \hline temps $t$ (en heures)& 0& 1& 2&3& 4& 5& 6\\ \hline \mbox{rayonnement so-} laire $f(t)$ (en W/m$^2$)&0&386&598&715&778&813&833\\ \hline \multicolumn{8}{c}{Tableau 2}\\ \end{tabularx} \medskip \item %On désigne par $f'$ la dérivée de la fonction $f$. %Calculer $f'(t)$ et étudier son signe sur l'intervalle [0~;~ 6]. $f'(t) = 856 \times (-1) \times (- 0,6)\text{e}^{-0,6t}= 513,6\text{e}^{-0,6t}$ Or quel que soit $u \in \R,~\text{e}^u > 0$, donc quel que soit $t$ réel, $f'(t) > 0$ et la fonction $f$ est croissante sur [0~;~6] \item %En déduire le tableau de variations de la fonction $f$. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,4) \psframe(8,4) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,3)(8,3)\psline(2,0)(2,4) \uput[u](1,3){$t$} \uput[u](2.15,3){0} \uput[u](7.85,3){6} \rput(1,2.5){$f'(t)$}\rput(5,2.5){+}\rput(1,1){$f(t)$} \uput[u](2.2,0){0} \uput[d](7.7,2){833} \psline{->}(2.5,0.3)(7.3,1.8) \end{pspicture} \end{center} \item %Tracer la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ dans un repère orthogonal (2~cm pour une unité en abscisse et 1~cm pour 100~unités en ordonnée). Voir la figure \`a la fin. \item %Donner une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. Tracer $\mathcal{T}$ dans le même repère que $\mathcal{C}$. On a $f'(0) = 513,6$. L'équation de la tangente $\mathcal{T}$ est donc : $M(x~;~y) \in \mathcal{T} \iff y - 0 = 513,6(x - 0) \iff y = 513,6x$. \item %Les dernières lignes des tableaux 1 et 2 vous paraissent-elles cohérentes ? Pas tout \`a fait. \end{enumerate} \item %La quantité d'énergie solaire E, exprimée en Wh, reçue au cours de la journée, est donnée par : %\[\text{E} = 2\int_{0}^6 f(t)\:\text{d}t = \nombre{1712}\int_{0}^6 \left(1 - \text{e}^{-0,6t}\right)\:\text{d}t.\] %Calculer la valeur exacte de E puis fournir la valeur arrondie à l'unité. $\text{E} = 2\displaystyle\int_{0}^6 f(t)\:\text{d}t = \nombre{1712}\displaystyle\int_{0}^6 \left(1 - \text{e}^{-0,6t}\right)\:\text{d}t = \nombre{1712}\left[t + \dfrac{1}{0,6}\text{e}^{-0,6t} \right]_{0}^6 =$ $ \nombre{1712}\left[6 + \dfrac{1}{0,6}\text{e}^{-0,6 \times 6} - 0 - \dfrac{1}{0,6}\text{e}^{-0,6 \times 0}\right] = \nombre{1712}\left(6 + \dfrac{5}{3}\text{e}^{-3,6} - \dfrac{5}{3} \right) = \nombre{1712}\left(\dfrac{13}{3} + \dfrac{5}{3}\text{e}^{-3,6}\right)$. On a $\text{E} \approx \nombre{7497}$~(Wh) \item %On s'intéresse maintenant à l'énergie solaire reçue sur une année. %Un logiciel de météorologie fournit une énergie solaire annuelle égale à \nombre{1206}~kWh, toujours pour une surface de 1~m$^2$. \begin{enumerate} \item %Vérifier que cette valeur correspond environ à 161 journées telles que celle étudiée aux questions \textbf{1., 2.} et \textbf{3.}. On a $\dfrac{\nombre{1206000}}{\nombre{7497}} \approx 160,86 \approx 161$~(jours). \item %On suppose qu'un dispositif de production d'énergie électrique reçoit l'énergie solaire sur une surface de 1~km$^2$ et qu'il convertit 20\:\% de cette énergie en électricité. Énergie convertie en une année : $\nombre{1206} \times 0,20 \times \nombre{10000000} \approx \nombre{5998} \cdot 10^6$~(kWh) soit $\nombre{241,2} \cdot 10^6$~(kWh) % Combien d'habitants auraient leur consommation électrique domestique fournie par ce dispositif, sachant qu'un habitant consomme en moyenne 700~kWh/an d'énergie électrique domestique (hors chauffage) ? Le nombre d'habitants bénéficiant de ce système est donc égal \`a : \[\dfrac{\nombre{241,2} \cdot 10^6}{700} \approx \nombre{344571}. \] \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} %\textbf{ANNEXE RELATIVE AU PROBLÈME} %\medskip %( à rendre avec la copie) %\vspace{3cm} %\hspace{-0.3cm}\begin{tabularx}{\textwidth}{|p{3cm}|*{13}{>{\scriptsize \centering \arraybackslash}X|}}\hline %heure solaire&6 h& 7 h& 8 h& 9 h& 10 h& 11 h& 12 h& 13 h& 14 h& 15 h& 16 h& 17 h& 18 h\\ \hline %inclinaison $\theta$ du soleil (en \degres)&0& 10,5& 20,7& 30&37,7& 43& 45& 43& 37,7& 30& 20,7& 10,5& 0\\ \hline %rayonnement solaire $p(\theta)$ (en W/m$^2$)&&350&&744&&&856&&&&&& \\ \hline %\multicolumn{14}{c}{Tableau 1}\\ %\end{tabularx} % %\vspace{3cm} %\hspace{-1cm}\begin{tabularx}{\textwidth}{|p{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %heure solaire &6 h& 7 h& 8 h& 9 h& 10 h& 11 h& 12 h\\ \hline %temps $t$ (en heures)& 0& 1& 2&3& 4& 5& 6\\ \hline %\mbox{rayonnement so-} laire $f(t)$ (en W/m$^2$)&&&&715&&&833\\ \hline %\multicolumn{8}{c}{Tableau 2}\\ %\end{tabularx} \psset{xunit=2cm,yunit=0.01cm} \begin{pspicture}(-0.1,-100)(6.1,1000) \multido{\n=0+1}{7}{\psline[linecolor=lightgray](\n,0)(\n,1000)} \multido{\n=0+100}{11}{\psline[linecolor=lightgray](0,\n)(6,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=200]{->}(0,0)(0,0)(6.1,1000) \uput[d](6.1,0){$t$} \uput[l](0,1000){$f(t)$} \uput[dr](0,0){O} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{6}{1 2.71828 0.6 neg x mul exp sub 856 mul} \end{pspicture} \end{center} \end{document}