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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI  Génie électronique, électrotechnique et optique}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Antilles--Guyane juin 2008~\decofourright\\[5pt]Génie électronique, électrotechnique et optique}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

%\textbf{Cet exercice est un vrai/faux} : il s'agit donc de préciser si chacune des affirmations proposées est vraie ou fausse.

\medskip

%À chaque bonne réponse est attribuée $0,5$ point. Toute réponse incorrecte e,lève $0,25$ point.

%L'absence de réponse n'enlève aucun point. En cas de total négatif, la note attribuée à l'exercice sera $0$.

%\medskip

%\textbf{Pour chaque affirmation, le candidat donnera la réponse sur sa copie en écrivant en toutes lettres « vrai » ou « faux ». On ne demande aucune justification.}

%Les questions 1., 2., 3. sont indépendantes.

\begin{enumerate}
\item  %On considère le polynôme
%$P$ défini pour tout réel $x$ par 

%$P(x) = (x - 1)(x - 3)(2x + 3)$.

%\medskip

%\renewcommand{\arraystretch}{2}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%\textbf{a.} L'équation $P(x) = 0$ admet dans $\R$ trois solutions qui sont 1, 3 et $- \dfrac{3}{2}$.\\ \hline 
%\textbf{b.} Pour tout réel $x,~P(x) = 2x^3 - 5x^2 - 6x$.\\ \hline
%\textbf{c.} L'équation $\left(\text{e}^x - 1 \right)\left(\text{e}^x - 3 \right)\left(2\text{e}^x + 3 \right) = 0$ admet trois solutions dans $\R$.\\ \hline
%\end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item Vrai : évident ;
\item Faux : $P(x) = \left(x^2 - 4x + 3 \right)(2x + 3) = 2x^3 + 3x^2 - 8x^2 - 12x  + 6x + 9 = 2x^3 + 11x^2 - 6x + 9$ ;
\item Faux : $2\text{e}^x > 0\Rightarrow 2\text{e}^x + 3 > 3$, donc le dernier facteur ne peut s'annuler : il n'y a que deux solutions.
\end{enumerate}

\item %Dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, i désigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}.$

%On considère les nombres $z_{1} = \sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}$ et $z_{2} =  \sqrt{2} - \text{i}\sqrt{2}$.

%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%\textbf{a.} Les nombres $z_{1}$ et $z_{2}$ sont solutions dans $\C$ de l'équation $z^2 - 2z\sqrt{2} + 4 = 0$.\\ \hline
%\textbf{b.} Un argument de $z_{2}$ est $- \dfrac{3\pi}{4}$.\\ \hline
%\textbf{c.} Le module de $z_{1}$ est $\sqrt{2}.$\\ \hline
%\end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item Vrai  : $z^2 - 2z\sqrt{2} + 4 = 0 \iff \left(z - \sqrt{2} \right)^2 - 2 + 4 = 0 \iff \left(z - \sqrt{2} \right)^2 + 2 = 0 \iff \left(z - \sqrt{2} \right)^2 - \left(\text{i}\sqrt{2} \right)^2 = 0 \iff \left(z - \sqrt{2} +\text{i}\sqrt{2}\right)\left(z - \sqrt{2} -\text{i}\sqrt{2} \right) = 0$

Les solutions sont $\sqrt{2} -\text{i}\sqrt{2}$ et $\sqrt{2} + \text{i}\sqrt{2}$
\item Faux $z_{2} = 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \text{i}\frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 2\left(\cos - \frac{\pi}{4} + \text{i}\sin - \frac{\pi}{4} \right)$, donc un argument de $z_{2}$ est $- \dfrac{\pi}{4}$.
\item Faux : le module de $z_{1}$ est égal à celui de $z_{2}$ soit 2.
\end{enumerate}

\medskip

\item %Soit  l'équation différentielle (E) : $4y'' + 49y = 0$ dans laquelle l'inconnue $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ définie et deux fois dérivable sur $\R$, et $y''$ sa dérivée seconde.

%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%\textbf{a.} La fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x) = A\cos \dfrac{7x}{2}+ B \sin \dfrac{7x}{2}$, où $A$ et $B$ sont deux constantes réelles, est solution de (E).\\ \hline
%\textbf{b.} La fonction $h$  définie pour tout réel $x$ par $h(x) = 3 \cos \left(\dfrac{7x}{2} - \dfrac{3\pi}{4} \right)$ est solution de (E).\\ \hline 
%\textbf{c.} La fonction $k$ définie pour tout réel $x$ par $k(x) =  - \sqrt{2}\cos \dfrac{7x}{2} - \sqrt{2}\sin \dfrac{7x}{2}$ est  
% la solution de (E) qui vérifie $k(0) = \sqrt{2}$ et $k'(0) = 0$.\\ \hline
% \end{tabularx}
\begin{enumerate}
\item Vrai : voir le cours ;
\item Vrai : il suffit de vérifier ;
\item Faux : la fonction est bien solution de (E), mais $k(0) = - \sqrt{2} \neq \sqrt{2}$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

%Une boîte contient 140~tiges métalliques de   forme cylindrique,	de dimensions variées, issues de la production d'un atelier.
%	Le tableau suivant donne leur répartition	suivant leur longueur $\ell$ et leur diamètre $d$, exprimée 
%en millimètres.

%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\backslashbox{$\ell$}{$d$}&15,8&	16&	16,1&	16,3 \\ \hline
%84	&5	&9	&6	&0\\ \hline
%85	&15	&19	&21	&4\\ \hline
%86	&12	&6	&12	&7\\ \hline
%87	&6	&7	&6	&5\\ \hline
%\end{tabularx}

%\medskip

%Par exemple il y a 12 tiges métalliques de longueur 86 mm et de diamètre 16,1 mm.

%On tire au hasard une tige de la boîte, les tirages étant équiprobables.

%Dans tout l'exercice, les probabilités seront données sous forme de fraction. 

\begin{enumerate}
\item %Calculer les probabilités respectives $p_{1},~p_{2}$ et $p_{3}$ des évènements suivants :

	\begin{enumerate}
		\item  %« obtenir une tige de longueur 86 mm et de diamètre 16 mm » ; 
		$p_{1} = \dfrac{6}{140} = \dfrac{3}{70}$.
		\item %« obtenir une tige de  longueur 85 mm » ;
		$p_{2} = \dfrac{15 +19 + 21 + 4}{140} = \dfrac{59}{140}$. 
		\item %« obtenir une tige de  longueur inférieure ou égale à 86 mm »
		$p_{3} = \dfrac{5+9+6+0+59}{140} = \dfrac{79}{140}$.
	\end{enumerate} 
\item %Selon les normes imposées par la production, une tige métallique est conforme lorsque sa longueur $\ell$ et son diamètre $d$ exprimés en millimètres, vérifient : 
%\[84,5 \leqslant \ell \leqslant 85,5 \quad \text{et} \quad 15,9 \leqslant d \leqslant 16,2\]
 
%Calculer la probabilité de l'évènement : « obtenir une tige conforme ».
Il y a 19 + 21 = 40 tiges vérifiant les deux conditions ; la probabilité cherchée est donc égale à $\dfrac{40}{140} = \dfrac{2}{7}$. 
\item %Soit X la variable aléatoire qui  à chacun des tirages possibles, associe la longueur en millimètres  de la tige obtenue. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la  probabilité de l'évènement «  X  = 84 ».
		Il y a $5 + 9  + 6 = 20$ tiges de longueur 84. La probabilité cherchée est donc égale à $\dfrac{20}{140} = \dfrac{1}{7}$. 
		\item %Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X.
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{| l |*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$		&84				&85				&86				&87  \\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$p(X = x_{i})$	&$\dfrac{20}{140}$	&$\dfrac{59}{140}$	&$\dfrac{37}{140}$		&$\dfrac{24}{140}$  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
		\item %Calculer la probabilité de l' évènement «  X  $\geqslant  85$ ».
		La probabilité est égale à $\dfrac{37}{140} + \dfrac{24}{140} + \dfrac{59}{140} = \dfrac{120}{140} = \dfrac{6}{7}$. 
		\item %Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire X. En donner un arrondi au centième.
E(X) =$ 84 \times \dfrac{20}{140} + 85\times \dfrac{59}{140} + 86 \times \dfrac{37}{140} + 87 \times \dfrac{24}{140} = \dfrac{84 \times 20 + 85 \times 59 + 86 \times 37 + 87 \times 24}{140} = \dfrac{\nombre{11965}}{140} \approx 85,46$~(mm).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

%Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm.

%On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative dans le repère orthonormal \Oij{} de la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par 
%\[f(x) = \left( ax^2 + bx + c\right)\text{e}^x,~\text{où}~~a,~b ~\text{et} ~c~\text{désignent trois nombres réels tels que :}\]

%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] le point A de coordonnées $(0~;~-1)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}$ ; 
%\item[$\bullet~$] la courbe $\mathcal{C}$ admet au point A une tangente parallèle à l'axe des abscisses ; 
%\item[$\bullet~$]  $f(1) = 2\text{e}$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que $c = -1$.
On a $f(0) = - 1 \iff c\text{e}^0 = - 1 \iff c = -1$.
\item %Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.
	\begin{enumerate}
		\item %En remplaçant $c$ par sa valeur, donner pour tout réel $x$, l'expression de $f'(x)$ en fonction de $a$ et de $b$.
On a donc $f(x) = \left(ax^2 + bx - 1 \right)\text{e}^x$, donc $f'(x) = (2ax + b)\text{e}^x + \left(ax^2 + bx - 1 \right)\text{e}^x = $

$\text{e}^x\left(ax^2 + bx - 1 + 2ax + b \right) = \text{e}^x\left[ax^2 + x(2a + b) + b - 1 \right]$.
		\item %Calculer $a$ et $b$.
Les deux dernières données se traduisent par :

$\left\{\begin{array}{l c l}
f'(0)&=&0\\
f(1)&=&2\text{e}
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
b - 1&=&0\\
\text{e}(a  + b - 1)&=&2\text{e}
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
b&=&1\\
a + b&=&3
\end{array}\right. \iff $

$\left\{\begin{array}{l c l}
b&=&1\\
a + 1&=&3
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
b&=&1\\
a&=&2
\end{array}\right.$

Donc $f(x) = \left(2x^2 + x - 1 \right)\text{e}^x$.
	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}
 
%On admet que pour tout réel $x,~ f(x) = \left (2x^2 + x - 1\right)\text{e}^x$.
 
\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^2 = + \infty,{} \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = + \infty, {} \displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$.
		\item %Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$ (on rappelle que, pour tout entier naturel $n,~\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x^n\text{e}^x = 0$).
En écrivant $f(x) = 2x^2\text{e}^x + x\text{e}^x - \text{e}^x$ et compte tenu du fait que pour tout entier naturel $n,~\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x^n\text{e}^x = 0$, on a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$.
		 
%Interpréter graphiquement ce résultat
Géométriquement : l'axe des abscisses est asymptote horizontale à $\mathcal{C}$ au voisinage de moins l'infini.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  %Vérifier que, pour tout réel $x,~ f'(x) = x(2x + 5)\text{e}^x$.
On avait déjà vu que $f'(x) = \text{e}^x\left[ax^2 + x(2a + b) + b - 1 \right] = \text{e}^x\left[2x^2 + 5x \right] = x(2x + 5)\text{e}^x.$
		\item %Étudier le signe de $f'(x)$ selon les valeurs du réel $x$.
		On sait que pour tout $x,{} \text{e}^x>0$ ; donc le signe de $f'(x)$ est celui du trinôme $x(2x + 5)$, c'est-à-dire positif, sauf entre les racines $- \dfrac{5}{2}$ et $0$.
		\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
On a donc le tableau de variations suivant :
		
\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(11,3)
\psframe(11,3) \psline(0,2)(11,2) \psline(0,2.5)(11,2.5)
\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.4,2.5){$- \infty$} \uput[u](5,2.35){$- \frac{5}{2}$} \uput[u](8,2.5){$0$} \uput[u](10.6,2.5){$+ \infty$}
\rput(1,2.25){$f'(x)$} \rput(3.5,2.25){$+$} \rput(6.5,2.25){$-$} 
\rput(5,2.25){$0$}\rput(8,2.25){0} \rput(9.5,2.25){$+$}
\psline{->}(2.6,0.3)(4.6,1.7) \psline{->}(5.4,1.7)(7.6,0.3) \psline{->}(8.3,0.3)(10.4,1.7)\rput(1,1){$f(x)$}
\uput[u](2.2,0){$0$}\uput[u](8,0){$-1$}\uput[d](10.6,2.){$+ \infty$}\rput(5,1.85){$9\text{e}^{-\frac{5}{2}}$}
\end{pspicture}
\end{center}		
		 
	\end{enumerate}
\item %Déterminer par le calcul les coordonnées des points d'intersection  de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des  abscisses.
$f(x) = 0 \iff \left (2x^2 + x - 1\right)\text{e}^x = 0 \iff 2x^2 + x - 1 = 0$, (car $\text{e}^x \neq 0$).

On a $\Delta = 1 - 4 \times 2 \times (-1) = 9 = 3^2$ ;

L'équation a deux solutions réelles : $x_{1} = \dfrac{- 1 + 3}{4} = \dfrac{1}{2}$ et $x_{2} = \dfrac{- 1 - 3}{4} = -1$.
\item %Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.
Voir la figure
\end{enumerate}

\medskip
\psset{unit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-2)(2,7)
\psgrid[gridlabels=0pt](0,0)(-5,-2)(2,7)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-5,-2)(2,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](2,0){$x$}\uput[l](0,7){$y$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-5}{1.076}{x dup mul 2 mul x add 1 sub 2.71828 x exp mul}
\uput[dr](0,-1){A}\psdots(-1,0)(0.5,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}