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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small{Baccalauréat STI Génie électronique, Žélectrotechnique, optique}}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalaurŽéat STI La Réunion juin 2008~ \decofourright\\[5pt]GéŽnie électronique, Žélectrotechnique, optique}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  6 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résolution de l'équation $z^2 - 4\sqrt{3}z + 16 = 0 :

\Delta = \left(4\sqrt{3}\right)^2 - 4 \times 1 \times 16 = 48 - 64 = -16$ ; donc l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :

$z_1 = \frac{4\sqrt{3} + 4\text{i}}{2} = 2\sqrt{3} + 2\text{i}$ et $z_2 = \frac{4\sqrt{3} - 4\text{i}}{2} = 2\sqrt{3} - 2\text{i}$.

$\boxed{S = \{ 2\sqrt{3} + 2\text{i} \, ; \, 2\sqrt{3} - 2\text{i} \}}$

\item
	\begin{enumerate}
		\item  $z_{\text{C}} = 4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{2}} = 4(-\text{i}) = \boxed{-4\text{i}}$.

		\item  $\left|z_{\text{A}}\right| = \left|2\sqrt{3} + 2\text{i}\right| = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$ ;
		 
$z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}}$, donc $\left|z_{\text{B}}\right| = \left|z_{\text{A}}\right| = 4$ ;

$\arg(z_{\text{A}}) = \arg\left(2\sqrt{3} + 2\text{i}\right) = \arg\left(4\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\text{i}\right)\right) = \arg\left(4\left(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + \text{i}\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)\right) = \frac{\pi}{6}\quad[2\pi] \\ \arg(z_{\text{B}}) = - \arg(z_{\text{A}})= -\frac{\pi}{6}\quad  [2\pi] \\ \arg(z_{\text{C}}) = \arg\left(4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{2}}\right) = -\frac{\pi}{2}\quad [2\pi]$.

Conclusion :

$\boxed{\left|z_{\text{A}}\right| = \left|z_{\text{B}}\right| = \left|z_{\text{C}}\right| = 4\\ \arg(z_{\text{A}}) = \dfrac{\pi}{6}[2\pi]\\ \arg(z_{\text{B}}) = -\dfrac{\pi}{6}\quad [2\pi]\\ \arg(z_{\text{C}}) = -\dfrac{\pi}{2}[2\pi]}$

		\item  On a $|z_{\text{A}}| = |z_{\text{B}}| = |z_{\text{C}}| = 4$, donc OA = OB = OC = 4, donc les points A, B et C appartiennent au cercle de centre O et de rayon 4.

		\item  Figure :
		
\begin{center}	
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4.5,-4.5)(4.5,4.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwith=0.25pt](0,0)(-5,-5)(5,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4.5,-4.5)(4.5,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\pscircle(0,0){4}
\pspolygon[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0,-4)(0,0)(3.5,2)(3.5,-2)(0,-4)(3.5,2)
\uput[dr](0,0){O} \uput[ur](3.5,2){A} \uput[dr](3.5,-2){B}
\uput[dr](0,-4){C} \uput[d](4.25,0){$x$} \uput[l](0,4.25){$y$} 
\end{pspicture*}
\end{center}

		\item  $z_{\vect{\text{AB}}} = z_{\text{B}} - z_{\text{A}} = 2\sqrt{3} - 2\text{i} - 2\sqrt{3} - 2\text{i} = -4\text{i}$ donc $\text{AB} = \left|z_{\vect{\text{AB}}}\right| = 4$ ;
		
$z_{\vect{\text{BC}}} = z_{\text{C}} - z_{\text{B}} = -4\text{i} - 2\sqrt{3} + 2\text{i} = -2\sqrt{3} - 2\text{i} = -z_{\text{A}}$ donc $\text{BC} = |z_{\vect{\text{BC}}}| = \left|-z_{\text{A}}\right| = \left|z_{\text{A}}\right| = 4.$

On a AB = BC donc ABC est isocèle en B.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  D'après la question 2. b. , on déduit que : $z_{\text{A}} = 4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$ et $z_{\text{B}} = 4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$ donc :
		
$\frac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}} = \frac{4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}}{4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}} = \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6} - \text{i}\frac{\pi}{6}} = \boxed{\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}}$. 
Or B = $r$(A) donc $\theta = \arg\left(\frac{z_{\text{B}}}{z_{\text{A}}}\right) = \arg\left(\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}\right) = \boxed{-\frac{\pi}{3}}$.

		\item B = $r$(A) donc OA = OB, donc OAB est isocèle en O.
De plus $\left(\vect{\text{OA}},~\vect{\text{OB}}\right) = -\dfrac{\pi}{3}$ donc OAB est un triangle isocèle dont l'angle au sommet vaut $\dfrac{\pi}{3}$ ; conclusion : OAB est un triangle équilatéral.

		\item Soit B$' = r$(B).
		
L'écriture complexe de la rotation est : $z' = \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}z$.

Donc $z_\text{B}' = \text{e}^{-\text{i} \frac{\pi}{3}} \times 4 \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}} = 4\text{e}^{-\text{i}\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)} = 4\text{e}^{-\text{i} \frac{\pi}{2}} = z_{\text{C}}$. donc C = B$'$, donc C = $r($B).

		\item On sait que : OA = OC = 4 (cf. question 2. c.) et que AB = 4.
		
De plus, B = $r$(A) et C = $r$(B). Or toute rotation conserve les distances, donc BC = AB = 4.

Finalement, dans OABC, on a : OA = AB = BC = OC = 4, donc OABC est un losange.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 

 Tableau complété :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|}\hline
Nombre de clients ayant choisi :&	Bungalow avec kitchenette&Bungalow sans kitchenette& 	Total\\ \hline
Formule A						&12	&14	&26\\ \hline
Formule B						&6	&24	&30\\ \hline
Aucune formule de restauration	&42	&2	&44\\ \hline
Total							&60	&40	&100\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip


\item
	\begin{enumerate}
		\item  Au total, 30 clients parmi les 100 ont choisi la formule B, donc 
		
		$\boxed{p(\text{E}) = \frac{30}{100} = 0,30}$.

		\item  Au total, 40 clients parmi les 100 ont choisi un bungalow sans kitchenette, donc $\boxed{p(\text{F}) = \frac{40}{100} = 0,40}$.

		\item  On a : $\text{G} = \text{E} \cup \text{F}$ donc $p(\text{G}) = p(\text{E} \cup \text{F}) = p(\text{E}) + p(\text{F}) - p(\text{E} \cap \text{F})$.
		
Or, il y a 24 clients sur 100 qui ont choisi la formule B et loué le bungalow sans kitchenette, donc : $p(\text{E} \cap \text{F}) = \frac{24}{100} = 0,24$.

Donc : $\boxed{p(\text{G}) = 0,30 + 0,40 - 0,24 = 0,46}$.

		\item  Au total, $26 + 30 = 56$ clients parmi les 100 ont choisi une formule de restauration, donc $\boxed{p(\text{H}) = \frac{56}{100} = 0,56}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Si le client loue un bungalow avec kitchenette et choisit :
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[*] la formule A, il paie : 520 + 49 = 569 \euro
\item[*] la formule B, il paie : 520 + 154 = 674 \euro
\item[*] aucune formule, il paie : 520 \euro
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
      
Si le client loue un bungalow sans kitchenette et choisit :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[*] la formule A, il paie : 415 + 49 = 464 \euro
\item[*] la formule B, il paie : 415 + 154 = 569 \euro
\item[*]  aucune formule, il paie : 415 \euro
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
      
Donc $\boxed{X \in \{ 415~;~464~;~520~;~569~;~674\}}$.

		\item La seule façon de payer 520 \euro{} est de louer un bungalow avec kitchenette et ne pas prendre de formule de restauration. D'après le tableau de la question 1., 42 clients sur les 100 ont fait ce choix, donc
		
		 $\boxed{p(X = 520) = \frac{42}{100} = 0,42}$.

		\item On procède de même pour les autres valeurs prises par X :
$p(X = 415) = p(\text{le client choisit un bungalow sans kitchenette et aucune formule}) = \frac{2}{100} = 0,02$ \\ $p(X = 464) = p(\text{bungalow sans kitchenette et formule A}) = \frac{14}{100} = 0,14$ \\ $p(X = 569) = p(\text{sans kitchenette et B OU avec kitchenette et A}) = \frac{24+12}{100} = 0,36$ \\ $p(X = 674) = p(\text{avec kitchenette et B}) = \frac{6}{100} = 0,06$.

D'où le tableau de loi de probabilité :

\medskip
\begin {tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
X		&415	&464	&520	&569	& 674 \\ \hline
$p$(X)	&0,02	&0,14	&0,42	&0,36	&0,06 \\ \hline
\end{tabularx}
\medskip

		\item E(X)$ = \sum X_i p(X_i) = 0,02 \times 415 + 0,14 \times 464 + 0,42 \times 520 + 0,36 \times 569 + 0,06 \times 674 = 
		\boxed{536,94~ \text{euros}}$.

		\item S'il loue 16 bungalows dans ces conditions, il peut espérer la recette : $16 \times $E(X) = $16 \times 536,94 = \boxed{\nombre{8591,04}~\text{euros}}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill  10 points}

\medskip

\textbf{Partie A : Étude graphique et détermination d'une fonction}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 

 On lit : $\boxed{f(0) = 4, ~~ f(-1)=2}$.

\item Graphiquement, on lit : 

$\boxed{f(x) \text{est négative pour}~ x < x_0~ \text{et pour}~ x > x_1, \\ f(x)~ \text{est positive pour}~ x_0 < x < x_1.}$

\item
	\begin{enumerate}
		\item  $f'(0)$ correspond au coefficient directeur de la tangente à \mathcal{C} au point d'abscisse $0$. Cette droite est \mathcal{T}, elle est horizontale, donc $\boxed{f'(0) = 0}$.
		\item  $f'$ est positive quand $f$ est croissante et négative quand $f$ est décroissante.

On lit donc : $\boxed{f'(x){} \text{est positive sur}{} [-1 \, ; \, 0]~,\\ f'(x){} \text{est négative sur}~ [0 \, ; \, 2]}$.
	\end{enumerate}
\item 
$\left\{ \begin{array}{c @{ = } r} f(0) & 4\\f(-1) & 2
\end{array}\right.  \iff \: \left\{ \begin{array}{c @{ = } c} (0+a)\text{e}^{0}-0+3 & 4\\(-1+a)\text{e}^{-1}+b+3&2  
\end{array}\right.\iff \:  \left\{ \begin{array}{c @{ = } c} a&1 \\ b+3 & 2 
\end{array}\right. \Longleftrightarrow \: \boxed{\left\{ \begin{array}{c @{ = } c} a & 1 \\ b & -1 \\ \end{array} \right.} \\ \end{array} \right.$
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B : Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath sans utilisation graphique}

\begin{enumerate}
\item  On a : $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \, (x+1)\text{e}^{-x} = -\infty$ car $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \, x+1 = -\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \, \text{e}^{-x} = \displaystyle \lim_{X \to +\infty} \, \text{e}^X = +\infty ;$

D'autre part $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}  -x^2 + 3 = -\infty$ ;
Donc : $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \, f(x) = -\infty}~  (- \infty -\infty)$

\item $ \displaystyle \lim_{x\to+\infty}x\text{e}^{-x}=\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\frac{\text{e}^x}{x}}=0 \text{ car } \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{\text{e}^x}{x} = +\infty~ \text{d'après les croissances comparées }\\ \displaystyle \lim_{x\to+\infty} \text{e}^{-x} = \displaystyle \lim_{X\to-\infty}\text{e}^{X} = 0\\ \displaystyle \lim_{x\to+\infty} - x^2 + 3 = -\infty$ \.
Donc $\displaystyle \lim_{x\to+\infty} f(x) = \displaystyle \lim_{x\to+\infty} (x\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x}-x^2+3) = \og 0 + 0 - \infty \fg{} = \boxed{-\infty}$.

\item
	\begin{enumerate}
		\item  En se servant des formules : $(u+v)'= u'+v' ~;~ (uv)'=u'v+uv'$ et 
		
$\left(\text{e}^u\right)'=u'\text{e}^u$, on obtient :
		
$f'(x) = 1 \times e^{-x} - (x +1 )\text{e}^{-x} - 2x = \text{e}^{-x} - x\text{e}^{-x} - \text{e}^{-x} - 2x = -x\text{e}^{-x} - 2x = \boxed{-x(\text{e}^{-x}+2)}$.

		\item  Une exponentielle est  strictement positive, donc $\text{e}^{-x} > 0$ donc $\text{e}^{-x}+2 > 2 > 0$ donc $f(x) = -x\left(\text{e}^{-x}+2\right)$ est du signe de $-x$ :
		
\begin{center}$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline
x&-\infty	&	&0	&	&+\infty \\ \hline
f'(x)		& 	&+	&0	&-	& \\ \hline
 \hspace{1pt}&	&	&4	&	&\\
f(x)		&	&\nearrow&	&\searrow&\\
\hspace{1pt}&-\infty&	&	&	&-\infty\\ \hline
 \end{array}$
\end{center}
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Sur [1~;~2], la fonction $f$ est dérivable et strictement décroissante de 
		
$f(1) = 2\text{e}^{-1} + 2 \approx 2,74$ à $f(2) = 3\text{e}^{-2} - 1 \approx -0,59$ et $0 \in [f(2)~;~f(1)]$.
		
		 Donc il existe donc une unique solution de l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle [1~;~2].

		\item On procède par encadrements successifs :
		
$1 < x_1 < 2$

$f(1,5) \approx 1,37$ donc $1,5 < x_1 < 2 ;$

$ f(1,8) \approx 0,22$ donc $1,8 < x_1 < 2 ;$

$ f(1,9) \approx -0,18$ donc $1,8 < x_1 < 1,9 ;$

$f(1,85) \approx 0,03$ donc $1,85 < x_1 < 1,9 ;$

$f(1,86) \approx -0,01$ donc $\boxed{1,85 < x_1 < 1,86.}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C : Calcul d'une aire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item  $G$ est définie et dérivable sur \mathbb{R} et sa dérivée vaut (on utilise les formules $(uv)' = u'v + uv'$ et $\left(\text{e}^u\right)' = u'\text{e}^u)$ :

$G'(x) = -1 \times \text{e}^{-x} - (-x - 2)\text{e}^{-x} = (-1 + x + 2)e^{-x} = (x + 1)\text{e}^{-x} = g(x)$.

Donc $G$ est une primitive de $g$ sur \mathbb{R}.

\item  On en déduit que la fonction $\boxed{F(x)=(- x - 2)\text{e}^{-x}-\frac{x^3}{3}+3x}$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}
\item L'unité graphique est de 2~cm, donc une unité d'aire correspond à 4 cm$^2$. De plus, $f$ est positive sur $[-1~;~1]$.

Donc l'aire $\mathscr{A}$ de $\mathscr{P}$ est donnée par : $\mathscr{A} = 4\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)\:\text{d}x = 4[F(x)]_{-1}^1 = 4(F(1) - F(-1))$.

Or, $F(1) = -3\text{e}^{-1} - \dfrac{1}{3} + 3 = \dfrac{8}{3} - 3\text{e}^{-1}$ et $F(-1) = -\text{e} + \dfrac{1}{3} - 3 = -\text{e} - \dfrac{8}{3}$.

D'où $\mathscr{A} = 4\left(\dfrac{8}{3} - 3\text{e}^{-1} + \text{e} + \dfrac{8}{3}\right) = \boxed{\dfrac{64}{3} - 12\text{e}^{-1} + 4\text{e} \approx 27,79 \text{cm}^2 }$.

\end{enumerate}
\end{document}