\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI Génie électronique, électrotechnique et optique} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{septembre 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI Métropole septembre 2008~\decofourright \\[5pt]Génie électronique, électrotechnique et optique}} \end{center} \vspace{0,5cm} %\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip %Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm. %On note i le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. \begin{enumerate} \item %Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation : %\[z^2 - 4z + 8 = 0.\] $z^2 - 4z + 8 = 0 \iff (z - 2)^2 - 4 + 8 = 0 \iff (z - 2)^2 + 4 = 0 \iff (z - 2)^2 - (2\text{i})^2 = 0 \iff (z - 2 + 2\text{i})(z - 2 - 2\text{i}) = 0$. L'équation a donc deux solutions complexes conjuguées : $2 - 2\text{i}$ et $2 + 2\text{i}$. \item %On considère les points A, B et C du plan d'affixes respectives : %\[z_{\text{A}} = 2 - 2\text{i}\quad ;\quad z_{\text{B}} = 2 + 2\text{i}~~ \text{et}~~ z_{\text{C}} = 4.\] %Placer les points A, B et C dans le plan muni du repère \Ouv. Voir plus bas. \item %Déterminer le module et un argument des nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$. $\left|z_{\text{A}}\right|^2 = 4 + 4 = 4\times 2 \Rightarrow \left|z_{\text{A}}\right| = 2\sqrt{2}$. On peut alors écrire $z_{\text{A}} = 2\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2\sqrt{2}\left(\cos - \frac{\pi}{4} + \text{i}\sin - \frac{\pi}{4}\right)$. Un argument de $z_{\text{A}}$ est donc $- \dfrac{\pi}{4}$. Comme $z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}}$, on a : $\left|z_{\text{A}}\right| = 2\sqrt{2}$ et un argument de $z_{\text{B}}$ est égal \`a $\dfrac{\pi}{4}$ \item \begin{enumerate} \item %Écrire $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$, où $r$ est un réel strictement positif et $\theta$ un réel compris entre $-\pi$ et $\pi$. La question précédente montre que : $z_{\text{A}} = 2\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$ et $z_{\text{B}} = 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$. \item %Montrer que le point B est l'image du point A par une rotation de centre O et d'angle que l'on précisera. On a vu que OA = OB = $2\sqrt{2}$ ; d'autre part $\left(\vect{\text{OA}}~;~\vect{\text{OB}}\right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$. B est donc l'image de A dan s la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$ (autrement dit un quart de tour). \end{enumerate} \item %Démontrer que le triangle OAB est isocèle rectangle. Le triangle OAB est isocèle d'angle au sommet de mesure 90 \degres{} : il est donc rectangle isocèle en O. \item %Déterminer la nature du quadrilatère OACB. [AB] et [OC] ont le même milieu : le point d'affixe 2 : OACB est donc un parallélogramme ; comme il a un angle droit, c'est un rectangle et comme il a deux côtés consécutifs de même longueur, c'est un losange : c'est donc un carré. \end{enumerate} \medskip \psset{unit=1.5cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-1,-2)(5,3) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-2)(5,3) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \psdots(2,-2)(2,2)(4,0)%ABC \uput[dl](2,-2){A}\uput[ul](2,2){B}\uput[ur](4,0){C}\uput[dl](0,0){O} \psline[linestyle=dashed](2,-2)(2,2) \pspolygon(0,0)(2,-2)(4,0)(2,2) \end{pspicture} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip %Une entreprise fabriquant des ordinateurs les vend en ligne sur internet. Ces appareils sont tous garantis un an gratuitement. %Le fabricant propose en option une extension de garantie payante de deux ans, au delà de cette première année gratuite. \begin{enumerate} \item %Une étude est faite sur un échantillon de \nombre{1000}~ordinateurs vendus par ce fabricant. Elle montre que : %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~$] 10 ordinateurs ont nécessité une ou plusieurs réparations au cours de la deuxième année (on note ce cas R$_{2}$) ; %\item[$\bullet~$] au cours de la troisième année, 20~ordinateurs ont nécessité une ou plusieurs réparation (on note ce cas R$_{3}$) dont un qui avait déjà été réparé l'année précédente. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} %Recopier et compléter le tableau suivant : %\medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|l|l|X|}\hline Nombre d'ordinateurs&R$_{3}$ se produit&R$_{3}$ ne se produit pas& Total\\ \hline R$_{2}$ se produit &1 &9 &10 \\ \hline R$_{2}$ ne se produit pas &19 &971 &990 \\ \hline Total &20 &980 &\nombre{1000} \\ \hline \end{tabularx} \medskip %On admet que la répartition précédente modélise ce qui se produit pour l'ensemble des ordinateurs vendus par ce fabricant. \item %Selon les chiffres du fabricant : %\setlength\parindent{5mm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~$] pour chaque ordinateur vendu sans extension de garantie et tombé en panne une ou plusieurs fois la deuxième année, le coût moyen de réparation pour l'acheteur au cours de cette deuxième année est 150~\euro. %\item[$\bullet~$] pour chaque ordinateur vendu sans extension de garantie et tombé en panne une ou plusieurs fois la troisième année, le coût moyen de réparation pour l'acheteur au cours de cette troisième année est 200~\euro. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} %On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque ordinateur vendu sans extension de garantie par ce fabricant, associe le coût total moyen des réparations, pour l'acheteur, au terme des trois premières années. Ce coût est exprimé en euros. %Les valeurs prises par la variable aléatoire $X$ sont donc 0, 150, 200, 350. \begin{enumerate} \item %Justifier que la probabilité de l'évènement $(X = 0)$ est égale à $0,971$. D'après le tableau 971 ordinateurs n'ont eu aucune panne durant les trois premières années, donc $p(X = 0) = \dfrac{971}{\nombre{1000}} = 0,971$. \item %Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. De la même fa\c{c}on : $p(X = 150) = \dfrac{9}{\nombre{1000}} = 0,009$. $p(X = 200) = \dfrac{19}{\nombre{1000}} = 0,019$. $p(X = 350) = \dfrac{1}{\nombre{1000}} = 0,001$. D'o\`u le tableau : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$&0&150&200&350 \\ \hline% $p(X = x_{i})$&0,971&0,009&0,019&0,001 \\ \hline% \end{tabularx} \medskip \item %Calculer l'espérance mathématique E($X$) de la variable aléatoire $X$. On a E$(X) = 0 \times 0,971 + 150 \times 0,009 + 200 \times 0,019 + 350 \times 0,001 =$ $ 1,35 + 3,8 + 0,35 = 5,50$~(\euro). \end{enumerate} \item %Le fabricant propose l'extension de garantie payante de deux ans à un prix de 50~\euro. %Que peut-on en dire ? En moyenne le co\^ut de réparation d'un ordinateur sera de 5,50~\euro ; l'extension de garantie est nettement plus chère. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip \textbf{Partie A: Résolution d'une équation différentielle} \medskip %On considère l'équation différentielle %\[(E)~~:\quad y'+ 5y = 5x^3 +3x^2 +5,\] % où $y$ représente une fonction de la variable $x$, définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels. \begin{enumerate} \item %Résoudre l'équation différentielle $\left(E_{0}\right)~~ :\quad y'+ 5y = 0$. On sait que les solutions de cette équation différentielle linéaire du premier ordre est : \[y = C\text{e}^{-5x},~C \in \R \] \item %Déterminer deux nombres réels $a$ et $b$ tels que la fonction $u$, définie sur $\R$ par $u(x) = ax^3 + b$, soit solution de l'équation différentielle $(E)$. Si $u(x) = ax^3 +b$, alors $u'(x) = 3ax^2$. Donc $u$ est solution de (E) $\iff$ $ 3ax^2 + 5\left(ax^3 +b \right) = 5x^3 +3x^2 +5 \iff 5ax^3 + 3ax^2 + 5b = 5x^3 +3x^2 +5 \iff \left\{\begin{array}{l c l} 5a&=&5\\ 3a&=&3\\ 5b&=&5 \end{array}\right.$ $ \iff \left\{\begin{array}{l c l} a&=&1\\ a&=&1\\ b&=&1 \end{array}\right.$ Conclusion : $u(x) = x^3 + 1$ est solution de E. \item %Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = k\text{e}^{-5x} + x^3 + 1$ où $k$ est un nombre réel. \begin{enumerate} \item %Vérifier que $h$ est solution de l'équation $(E)$. $h(x)~\text{vérifie (E)} \iff h'(x) + 5h(x) = 5x^3 + 3 x^2 + 5 \iff -5k\text{e}^{-5x} + 3x^2 + 5kx\text{e}^{-5x} + 5x^3 + 5 = 5x^3 + 3 x^2 + 5 \iff (5k - 5k)\text{e}^{-5x}+ 5x^3 + 3x^2 + 5 = 5x^3 + 3 x^2 + 5 \iff 5x^3 + 3x^2 + 5 = 5x^3 + 3x^2 + 5$, qui est bien vraie. $h(x) = k\text{e}^{-5x} + x^3 + 1$ est une solution de (E). \item %Déterminer le réel $k$ tel $h(0) = -2$.$ $h(0) = - 2 \iff k + 1 = - 2 \iff k = - 3$ \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath \medskip %Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : %\[ f(x) = -3\text{e}^{-5x} + x^3 + 1.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $- \infty$. On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{-5x} = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} -3\text{e}^{-5x} = - \infty$, et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x^3 = - \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$. \item %Déterminer la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $+ \infty$. On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-5x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x^3 = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. %Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$. $f'(x) = -3 \times (- 5)\text{e}^{-5x} + 3x^2 = 15\text{e}^{-5x} + 3x^2$. On a $\text{e}^{-5x} > 0 \Rightarrow 15\text{e}^{-5x} > 0$, et $r 3x^2 \geqslant 0$, donc par somme $f'(x) > 0$ : la fonction $f$ est croissante sur $\R$. \item %En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$ et dresser son tableau de variations. \medskip \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(6,3) \psframe(6,3) \psline(0,2)(6,2) \psline(0,2.5)(6,2.5)\psline(2,0)(2,3) \uput[u](1,2.5){$x$}\uput[u](2.4,2.5){$-\infty$} \uput[u](5.6,2.5){$+\infty$}\rput(1,2.25){$f'(x)$}\rput(1,1){$f(x)$} \psline{->}(2.7,0.3)(5.3,1.7)\rput(4,2.25){$+$} \uput[u](2.4,0){$-\infty$}\uput[d](5.6,2){$+\infty$} \end{pspicture} \end{center} \medskip \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Calculer $f(0)$ et $f(1)$. $f(0) = - 3 + 1 = - 2$ et $f(1) = -3\text{e}^{-5} + 1 + 1 = 2 - 3\text{e}^{-5}\approx 1,98$. \item %Établir que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle [0~;~1]. La fonction $f$ est dérivable et croissante sur [0~ ;~1], avec $f(0) < 0$ et $f(1) > 0$. Il existe donc un réel unique $\alpha$ de [0~ ;~1] tel que $f(\alpha) = 0.$ \item %Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ du nombre réel $\alpha$. La calculatrice donne $f(0,2) \approx -0,086$ et $f(0,3) \approx 0,36$ donc \[0,2 < \alpha < 0,3.\] $f(0,21) \approx -0,04$ et $f(0,22) \approx 0,01$, donc $0,21 < \alpha < 0,22.$ \item %Déterminer selon les valeurs du réel $x$, le signe de $f(x)$. La fonction ne s'annulant qu'en $\alpha$ et étant croissante sur $\R$ : $x < \alpha \Rightarrow f(x) < 0$ ; $x > \alpha \Rightarrow f(x) > 0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C : Courbe représentative de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath \medskip %Le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 8~ cm sur l'axe des abscisses et 2~cm sur l'axe des ordonnées. %On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère \Oij. \begin{enumerate} \item %Soit $u$ la fonction définie sur $\R$ par : $u(x) = x^3 +1$. %La représentation graphique $\Gamma$ de la fonction $u$, dans le repère \Oij{} est tracée sur la feuille jointe en annexe. \begin{enumerate} \item %On pose, pour tout réel $x,~ d(x) = f(x) - u(x)$. %Étudier le signe de $d(x)$. \item %En déduire la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la courbe $\Gamma$. $d(x) = f(x) - u(x) = -3\text{e}^{-5x} < 0$, quel que soit $x \in \R$. Ceci montre que la courbe $\mathcal{C}$ est sous la courbe $\Gamma$ quel que soit $x$. \end{enumerate} \item %Reproduire et compléter le tableau ci-dessous. On donnera dans chaque cas la valeur décimale arrondie au centième de $f(x)$.\\ \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.4} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ &$-0,2$ &0 &0,2&0,4&0,6&0,8&1 &1,2 \\ \hline $f(x)$ &$-7,16$&$-2$&$-0,10$&0,66&1,07&1,46&1,98&2,72 \\ \hline \end{tabularx} \medskip \item %Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère figurant sur la feuille annexe à remettre avec la copie. Voir plus bas \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie D : Calcul d'une aire} \medskip %On appelle $\mathcal{P}$ la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = \dfrac{1}{2}$ et $x = 1$. \begin{enumerate} \item %Hachurer sur la feuille annexe la partie $\mathcal{P}$ du plan. Voir figure \item %Calculer la mesure, en unités d'aire, de l'aire $\mathcal{A}$ de la partie $\mathcal{P}$ du plan. %\emph{Dans cette question particulièrement, toute trace de recherche, même incomplète, figurant sur la copie sera prise en compte dans l'évaluation.} On a $\mathcal{A(P)} = \displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^1 f(x)\:\text{d}x$. Une primitive de $\text{e}^{-5x}$ est $-\dfrac{1}{5}\text{e}^{-5x}$, donc une primitive de $-3\text{e}^{-5x}$ est $\dfrac{3}{5}\text{e}^{-5x}$. $\mathcal{A(P)} = \left[\dfrac{3}{5}\text{e}^{-5x} + \dfrac{x^4}{4} + x \right]_{\frac{1}{2}}^1 = \dfrac{3}{5}\text{e}^{-5} + \dfrac{1}{4} + 1 - \left(\dfrac{3}{5}\text{e}^{-5\frac{1}{2}} + \dfrac{\left(\frac{1}{2} \right)^4}{4} + \dfrac{1}{2} \right) = $ $\dfrac{3}{5}\text{e}^{-5} + \dfrac{1}{4} + 1 - \dfrac{3}{5}\text{e}^{-\frac{5}{2}} - \dfrac{1}{64} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{47}{64} + \dfrac{3}{5}\text{e}^{-5}- \dfrac{3}{5}\text{e}^{-\frac{5}{2}}$~(u. a.). \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{FEUILLE ANNEXE DU PROBLÈME\\ À REMETTRE AVEC LA COPIE} \vspace{1cm} \savedata{\points}[{{-0.2,-7.16},{0,-2},{0.2,-0.1},{0.4,0.66},{0.6,1.07},{0.8,1.46},{1,1.98},{1.2,2.72}}] \psset{xunit=6.667cm,yunit=1.75cm} \begin{pspicture}(-0.4,-7)(1.4,4) \multido{\n=-0.4+0.2}{10}{\psline[linestyle=dotted](\n,-7)(\n,4)} \multido{\n=-7+1}{12}{\psline[linestyle=dotted](-0.4,\n)(1.4,\n)} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ \psplot{0.5}{1}{x 3 exp 1 add 3 2.71828 x 5 mul exp div sub} \psline(1,0)(0.5,0)} \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.4,-7)(1.4,4) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{x 3 exp 1 add } \uput[u](1.35,3.5){\blue $\Gamma$}\uput[d](0.5,0){$\frac{1}{2}$} \dataplot[plotstyle=curve,showpoints=true]{\points} \rput(0.7,0.75){$\mathcal{P}$} \psline(0.5,0)(0.5,2) \multido{\n=-0.4+0.2}{10}{\psline[linestyle=dotted](\n,-7)(\n,4)} \multido{\n=-7+1}{12}{\psline[linestyle=dotted](-0.4,\n)(1.4,\n)} \end{pspicture} \end{center} \end{document}