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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrige du baccalauréat STI Génie  civil juin 2008~\decofourright\\[5pt]Antilles--Guyane}}

\end{center}
  
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\begin{center} 
\textbf{Questionnaire à choix multiples} \end{center}

Quelques remarques de stratégie :

Puisqu'aucune justification n'est demandée, il faut user de sa calculatrice pour deviner, quand cela est possible, les réponses !

De plus, aucun point n'est enlevé en cas de mauvaises réponses, donc il ne faut pas hésiter à proposer une réponse.


\textbf{Question 1 :}

\textbf{Réponse a.} : Comme $2y'+ y =  0 \Leftrightarrow y'=-\frac12 y \Leftrightarrow y(x) = k \text{e}^{-\frac12 x}$

\textbf{Réponse b.} : Comme $2y'  - y = 0 \Leftrightarrow y'=\frac12 y \Leftrightarrow y(x) = k \text{e}^{\frac12 x}$

\textbf{Réponse c.} : Comme $y' - y = 0 \Leftrightarrow y'= y \Leftrightarrow y(x) = k \text{e}^{x}$. 

La bonne réponse est la \textbf{b)}.

\bigskip
 
\textbf{Question 2 :}

La courbe $\mathcal{C}$ a pour asymptote la droite d'équation \textbf{Réponse c.} : $y = 0$ (lecture graphique d'asymptote).

\bigskip
 
\textbf{Question 3 :} Voici une copie de l'écran de la calculatrice où sont tracées la courbe de $f$ et les trois droites 
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm}
\begin{pspicture*}(-3.94,-1.44)(4.06,5.62)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-3.94,-1.44)(4.06,5.62)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=1pt](0,0)(-3.94,-1.44)(4.06,5.62)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=2000]{-3.94}{4.0600000000000005}{2*2.718281828^(-0.5*x)}
\psplot[linestyle=dashed,dash=3pt 3pt]{-3.94}{4.06}{(-0-2*x)/1}
\psplot{-3.94}{4.06}{(--2-1*x)/1}
\psplot[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt]{-3.94}{4.06}{(--2--1*x)/1}
\uput[u]{-63.3}(-0.,0.25){a $ : y = -2x + 2$}
\rput[bl]{-45}(-3.46,5.02){b $ : y = -x + 2$}
\rput[bl]{45}(-2.98,-0.78){c $ : y = x + 2$}
\end{pspicture*}
\end{center}
Comme on peut le voir la seule droite qui peut être la tangente en 0 est la \textbf{b):y=-x+2}

\bigskip
 
\textbf{Question 4 :} Utilisons encore la calculatrice pour calculer cette fois l'intégrale, on obtient en unité de volume:
$$V\approx10,86$$
C'est à dire en cm$^3$ compte tenu de l'unité graphique de 2 cm sur chacun des trois axes:
$$V\approx 10,86 \times 2^3=86,92 \approx  32\pi \left(1 - \text{e}^{-2}\right)$$
Ainsi, la bonne réponse est la \textbf{c)}.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

i désigne le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. 

On considère les nombres complexes suivants 
\[Z_{1} =  \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}\text{i}, ~~Z_{2} = \dfrac{2 + \text{i}}{3 - \text{i}} ~\text{et}~ Z_{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}\] 

\begin{enumerate}
\item Module de $Z_1$::
$$|Z_1|=\sqrt{\left(\frac12\right)^2+\left(-\frac12\right)^2}=\sqrt{\frac14+\frac14}=\sqrt{\frac12}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Un argument $\theta$ du nombre complexe $Z_{1}$ vérifie:
$$\left\lbrace 
\begin{array}{l}
\frac12=\frac{1}{\sqrt{2}}\cos \theta \\
-\frac12=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin \theta 
\end{array}
\right. 
\Leftrightarrow
\left\lbrace 
\begin{array}{l}
\cos \theta= \frac{\frac12}{\frac{1}{\sqrt{2}} }=\frac{\sqrt{2}}{2}\\
\sin \theta =-\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}
\right. 
\Rightarrow 
\theta=-\frac{\pi}{4}
$$
Donc, $$Z_1=\frac12-\frac12 \text{i}=\left[\frac{1}{\sqrt2};-\frac{\pi}{4}\right]=\frac{1}{\sqrt2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$$
\item
	\begin{enumerate}
		\item  $$Z_{2} = \dfrac{2 + \text{i}}{3 - \text{i}}= \dfrac{(2 + \text{i})(3 + \text{i})}{(3 - \text{i})(3 + \text{i})}=\frac{6+2\text{i}+3\text{i}+\text{i}^2}{3^2+1^2}=\frac{5+5\text{i}}{10}=\frac12+\frac12 \text{i}=\overline{Z_{1}}$$
		\item   Comme $Z_1=\left[\frac{1}{\sqrt2};-\frac{\pi}{4}\right]$, alors $\overline{Z_{1}}=\left[\frac{1}{\sqrt2};+\frac{\pi}{4}\right]$, donc:
$$Z_2=\frac12+\frac12 \text{i}=\left[\frac{1}{\sqrt2};+\frac{\pi}{4}\right]=\frac{1}{\sqrt2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$$
	\end{enumerate}
\item Comme $Z_{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}=\left[ \dfrac{\sqrt{3}}{2};-\frac{\pi}{6}\right]$, alors
$$
\left\lbrace 
\begin{array}{l}
x=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \left(-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac34\\
y=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}\times \left(-\frac12\right)=-\frac{\sqrt{3}}{4}
\end{array}
\right. 
\Rightarrow
Z_3=\frac34-\text{i}\frac{\sqrt{3}}{4}
$$
\item On note $Z$ le nombre complexe défini par : $Z=  Z_{2}Z_{3}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Comme $Z_2=\frac{1}{\sqrt2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ et $Z_{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$, donc:
$$Z=  Z_{2}Z_{3}=\frac{1}{\sqrt2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2} \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\text{e}^{\text{i}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{12}}=\left[\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}};\frac{\pi}{12}\right]$$
		\item Comme $Z_2=\frac12+\frac12 \text{i}$ et $Z_3=\frac34-\text{i}\frac{\sqrt{3}}{4}$, alors:
$$Z=\left(\frac12+\frac12 \text{i}\right)\left(\frac34-\text{i}\frac{\sqrt{3}}{4}\right)=\frac38+\frac{\sqrt{3}}{8}+\text{i}\left(\frac38-\frac{\sqrt{3}}{8}\right)$$

Ainsi, $$Z=\left[\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}};\frac{\pi}{12}\right]=\frac38+\frac{\sqrt{3}}{8}+\text{i}\left(\frac38-\frac{\sqrt{3}}{8}\right)$$

		\item Donc, 
\[
\left\lbrace 
\begin{array}{l}
\frac38+\frac{\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\cos \frac{\pi}{12}\\
\frac38-\frac{\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\sin \frac{\pi}{12}
\end{array}
\right. 
\Leftrightarrow
\left\lbrace 
\begin{array}{l}
\cos \frac{\pi}{12}=\frac{\frac38+\frac{\sqrt{3}}{8}}{\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}}\\
\sin  \frac{\pi}{12}=\frac{\frac38-\frac{\sqrt{3}}{8}}{\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}}
\end{array}
\right. 
\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{PROBLÈME} \hfill 11 points} 

\bigskip
 
\begin{center}\textbf{PARTIE A}
 
\medskip
 
\textbf{Recherche de l'expression  de}\boldmath $f(x)$\unboldmath\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item   $f(1)=1$ car le point de coordonnées (1;1) est un point de la courbe.

$f'(1)=1 = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 1.

$f'(2)=0$ tangente horizontale au point d'abscisse 2.
\item Comme $f(x)  = a \ln x +  bx + \frac{c}{x}$, alors 
\[f'(x)=\frac{a}{x}+b-\frac{c}{x^2}.\]

\item Comme $f(x)  = a \ln x +  bx + \dfrac{c}{x}$, alors:

\[f(1)=1 \Leftrightarrow a \underbrace{ \ln 1}_{=0} +  b\times 1 + \frac{c}{1}=1 \Leftrightarrow b+c=1.\]

Comme $f'(x)=\frac{a}{x}+b-\frac{c}{x^2}$, alors:

\[f'(1)=1 \Leftrightarrow \frac{a}{1}+b-\frac{c}{1^2}=1\Leftrightarrow a+b-c=1.\]

Comme $f'(x)=\frac{a}{x}+b-\frac{c}{x^2}$, alors:

\[f'(2)=0 \Leftrightarrow \frac{a}{2}+b-\frac{c}{2^2}=0\Leftrightarrow  \frac{a}{2}+b-\frac{c}{4}=0 \Leftrightarrow 2a+4b-c=0.\]

\item Ainsi les nombres réels $a,~ b$ et $c$ sont solutions du système $S$ suivant : 
 
\[S : \quad \left\{ \begin{array}{r c l}
b + c&=&1\\
 a + b - c&=&1\\
 2a + 4b - c&=&0 \\
 \end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{r c l}
b &=&1-c\\
 a + 1-c - c&=&1\\
 2a + 4(1-c) - c&=&0 \\
 \end{array}\right.\]
 
Ainsi, 
\[
\left\{ \begin{array}{r c l}
b &=&1-c\\
 a &=&2c\\
 4c + 4(1-c) - c&=&0 \\
 \end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left\{ \begin{array}{r c l}
c &=&4\\
 b&=&1-4=-3\\
 a&=&2\times 4=8 \\
 \end{array}\right.\]
 
\item On a donc $f(x)=8\ln x - 3x +\dfrac{4}{x}$.

\end{enumerate}
 
\begin{center}\textbf{PARTIE B} 

\medskip

\textbf{étude de la fonction}\boldmath $f$\unboldmath \end{center}
 
Dans la suite du problème la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0~;~\infty[$ par : 
\[f(x) = 8\ln x - 3x +\dfrac{4}{x}.\] 
 
\begin{enumerate}
\item  Comme $f(x)=x\left(8\frac{\ln x}{x}-3\right)+\frac{4}{x}$ et, \\
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0$ donc $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}8\frac{\ln x}{x}-3=-3$\\
Mais, $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}x=+\infty$, donc en multipliant avec le résultat précédent, $$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}x\left(8\frac{\ln x}{x}-3\right)=-\infty$$
De plus, $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{4}{x}=0$, donc $$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$$

\item Comme $f(x)=8\ln x - 3x +\dfrac{4}{x}=\frac{8x\ln x-3x^2+4}{x}=(8x\ln x-3x^2+4)\times \frac{1}{x}$, et:\\
 $\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0$, alors   $\displaystyle\lim_{x \to 0}8x \ln x-3x^2+4=4$, mais, 
 $\displaystyle\lim_{x \to 0^+}   \frac{1}{x}=+\infty$, alors $$ \displaystyle\lim_{x \to 0^+}  f(x)=0$$
Ainsi, $x=0$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}$.
\item Comme $f(x)  = 8 \ln x -3x + \frac{4}{x}$, alors 

\[f'(x)=\frac{8}{x}-3-\frac{4}{x^2}=\frac{8x-3x^2-4}{x^2}=\frac{-3x^2+8x-4}{x^2}.\]

De plus, $$(3x-2)(2-x)=6x-3x^2-4+2x=-3x^2+8x-4$$, ainsi:

\[f'(x) = \dfrac{(3x - 2)(2 - x)}{x^2}.\]

Et, 
\begin{center}
 % use packages: array
\begin{tabular}{c|ccccccc}
$x$ & 0 &  & $\frac23$ &  & 2 &  & $+\infty$ \\ \hline
signe de $3x-2$ &  & - & 0 &  & + &  &  \\ \hline
signe de $2-x$ &  &  & + &  & 0 & - &  \\ \hline
signe de $x^2$ &  &  &  & + &  &  &  \\ \hline
signe de $f'(x)$ &  & - & 0 & + & 0 & - &  \\ \hline
 & $+\infty$ &  &  &  &  &  &  \\ 
variation de $f$ &  & $\searrow$ &  & $\nearrow$ &  & $\searrow$ &  \\ 
 &  &  &  &  &  &  & $-\infty$
 \end{tabular}
\end{center}
Sur l'intervalle [4;5], on a:
\begin{center}
 % use packages: array
\begin{tabular}{c|cccl}
$x$ & 4 &  & 5 \\ \hline
 & $f(4)>0$ &  &  \\ 
$f$ &  & $\searrow$ &  \\ 
 &  &  & $f(5)<0$
 \end{tabular}

\end{center}
D'après ce tableau qui résume dérivabilité et stricte monotonie, l'équation  $f(x) = 0$ a une unique solution,  notée $\alpha$.

De plus,
% use packages: array
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}\hline
$x$ & 4,06 & 4,07 & 4,08 & 4,09 \\ \hline
$f(x)$ & 0,0146 & 0,0018 & -0,01 & -0,023\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}Donc, un encadrement de la solution $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$ est:

\[ 4,07 < \alpha < 4,08. \]

\end{enumerate}
\end{document}