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%tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL Biochimie - Génie biologique}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2012}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Polynésie  juin 2012 \decofourright\\[6pt]Biochimie--Génie biologique}} 
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 8 points}

\medskip

%En 2010, un groupe pharmaceutique spécialisé dans la recherche et le développement de médicaments emploie \np{13000}~personnes dans le monde, dont \np{1800} dans des laboratoires en France. Ces employés se repartissent dans l'administration, la vente et la recherche.
% 
%Parmi le personnel en France :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] 62\,\% sont des femmes, 
%\item[$\bullet~~$] il y a autant d'hommes que de femmes dans l'administration, 
%\item[$\bullet~~$] le département de la recherche regroupe 400 personnes dont 40\,\% sont des femmes, 
%\item[$\bullet~~$] parmi les personnes chargées de la vente, 150 sont des hommes.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item %Quel pourcentage du groupe pharmaceutique représente le groupe français ? 
%Donner le résultat arrondi à 0,1\,\% près.
\np{1800} sur \np{13000} représentent $\dfrac{\np{1800}}{\np{13000}} \times 100 \approx13,84$ soit 13,8\,\% au dixième près.
\item %Reproduire et compléter le tableau suivant :
62\,\% de \np{1800}  : $0,62 \times \np{1800} = \np{1116}$~(femmes).
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Personnel en France &\footnotesize Administration 	&Vente 	&Recherche 	&Total\\ \hline 
Femmes				&$294$							&662	&160		&\np{1116}\\ \hline 
Hommes				&$294$							&150	&240		&684\\ \hline 
Total				&$588$							&812	&400		&\np{1800}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\emph{Pour toute la suite, on arrondira tous les résultats à \boldmath $10^{-2}$\unboldmath près.}
 
\item %On choisit au hasard une personne de cette population, toutes les personnes ayant 
%la même probabilité d'être choisies. On considère les évènements :
 
%$F$ : \og la personne est une femme \fg
% 
%$A$ : \og la personne travaille dans l'administration \fg 
%
%$V$ : \og la personne s'occupe des ventes \fg
% 
%$R$ : \og la personne est dans la recherche \fg
 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $p(F), p(R)$.
On sait que $p(F) = 62\,\% = 0,62$.

$p(R) = \dfrac{400}{\np{1800}} = \dfrac{2}{9} \approx 0,22$. 
		\item %Citer deux évènements incompatibles. Justifier.
Les évènements $A$ et $V$ : on ne peut travailler que dans un secteur. 
		\item %Définir par une phrase les évènements : $F \cap  A,\:\: \overline{F} \cap  R$ et $F \cup V$.
$F \cap  A$ : \og la personne est une femme qui travaille dans l'administration \fg.

$p(F \cap  A) = \dfrac{294}{\np{1800}} \approx 0,16$.

$\overline{F} \cap  R$ : \og la personne est un homme qui travaille dans la recherche \fg.

$p\left(\overline{F} \cap  R \right) = \dfrac{240}{\np{1800}} \approx 0,13$.

$F \cup V$ : \og la personne est une femme \textbf{ou} une personne qui travaille dans la vente\fg.

$p(F \cup V) = \dfrac{\np{1116} + 150}{\np{1800}} \approx 0,70$.		 
%Calculer la probabilité de ces évènements.
	\end{enumerate} 
\item %On choisit au hasard une personne parmi le personnel chargé de la vente.
 
%Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?
Parmi les 812 employés dans la vente, 662 sont des femmes donc la probabilité est égale à $\dfrac{662}{812} \approx 0,82$.  
\item %En 2010, ce groupe pharmaceutique a investi 5,2~milliards de dollars dans la recherche soit 16\,\% de son chiffre d'affaires. 
	\begin{enumerate}
		\item %Quel est son chiffre d'affaires ?
Si $c$ est le chiffre d'affaires on a donc $c \times  \dfrac{16}{100} = 5,2$, donc $c = \dfrac{5,2 \times 100}{16} = 32,5$~milliards de dollars. 
		\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d'initiative même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}
		
%Dès l'année 2011, et chaque année suivante, le groupe prévoit d'augmenter de 10\,\% son chiffre d'affaires.
 
%En quelle année, le groupe aura-t-il, pour la première fois, doublé son chiffre d'affaires de 2010 ?
Chaque année le chiffre d'affaires est multiplié par 1,10, donc au bout de $n$ années est multiplié par $1,10^n$.

Il faut donc résoudre l'inéquation :

$32,5 \times 1,010^n \geqslant 65$, donc $1,010^n \geqslant 2$ et en prenant le logarithme népérien :

$n \ln 1,1 \geqslant \ln 2$ et $n \geqslant \dfrac{\ln 2}{\ln 1,1}$

Or $\dfrac{\ln 2}{\ln 1,1} \approx 7,3$. Il faut donc attendre la 8\up{e} année.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 12 points}

\medskip

%La souche d'\emph{Acetobacter} est cultivée dans un milieu liquide contenant les substrats appropriés et de l'acide para-aminobenzoïque (PABA), indispensable à cette bactérie. On étudie la croissance de cette souche.
%
%\medskip
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
%Le tableau ci-dessous donne le nombre $n_{i}$ de bactéries par unité de volume à différents temps de culture $t_{i}$ (en heures).

%\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}c|*{8}{>{\scriptsize \centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_{i}$& 4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11\\ \hline 
$n_{i}$&$1,38 \times 10^5$ &$2,51 \times 10^5$ &$5,75 \times 10^5$ &$1,32 \times 10^6$ &$3,02 \times 10^6$ &$6,92 \times 10^6$ &$1,51 \times 10^7$ &$2,51 \times 10^7$\\ \hline 
$z_{i} = \ln \left(n_{i}\right)$&11,8&12,4&13,3&14,1& 14,9&15,7&16,5&17,0\\ \hline 
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %On pose $z_{i} = \ln \left(n_{i}\right)$. Compléter le tableau sur la feuille annexe, les valeurs de $z_{i}$ seront arrondies au dixième.
Voir au dessus.
\item ~%Représenter le nuage de points $M_{i}\left(t_{i}~;~z_{i}\right)$ dans un repère orthogonal ; on prendra pour origine le point de coordonnées (4~;~9) et pour unités : 1~cm pour 1~heure en abscisse et 2~cm pour 1~unité en ordonnée.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,13)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=4,Oy=9,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(10,13)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=4,Oy=9,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(10,13)
\psdots(0,2.8)(1,3.4)(2,4.3)(3,5.1)(4,5.9)(5,6.7)(6,7.5)(7,8.0)
\psdots[linecolor=red](1.5,3.9)(5.5,7.575)
\uput[ul](1.5,3.9){\red $G_{1}$}\uput[ul](5.5,7.575){\red $G_{2}$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{10}{0.91675 x mul 2.52188 add}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,10.5)(8.72,10.5)(8.72,0)
\end{pspicture}
\end{center}
 
\item %On désigne par $G_{1}$ le point moyen des quatre premiers points du nuage et par $G_{2}$ celui des quatre derniers. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer les coordonnées de $G_{1}$ et de $G_{2}$ et tracer la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ sur le graphique.
On trouve $G_{1}(5,5~;~12,9$ et $G_{2}(9,5~;~16,03)$.

Tracé ci-dessus.
		\item %Déterminer une équation de la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ sous la forme $z = at + b$ où $a$ sera arrondi à $10^{-2}$ près et $b$ sera arrondi à $10^{-1}$ près.
Le coefficient directeur de la droite est $a = \dfrac{y_{G_2}- y_{G_1}}{x_{G_2}- x_{G_1}}	= \dfrac{16,03 - 12,91}{9,5 - 5,5} = \dfrac{3,12}{4} = 0,78$ et $b = y_{G_1} - ax_{G_1} \approx 12,91 - 0,78 \times 5,5$ soit $b \approx 8,62$ soit 8,6 au dixième près.

Une équation de la droite $\left(G_{1}G_{2}\right)$ est donc $z = 0,78t + 8,6$.	
	\end{enumerate} 
\item %On admet que cette droite donne un ajustement satisfaisant du nuage de points. On prendra comme équation réduite de cette droite : $z = 0,78t + 8,6$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer, par un calcul, le nombre de bactéries au bout de 12 heures.
On a pour $t = 2$, \: $z = 0,78 \times 12 + 7,8 = 17,16$.
		
Or $z = \ln n = 17,16$ entraîne $n = \text{e}^{17,16} \approx 2,83 \times 10^{7}$ soit $28,6 \times 10^6$ ou 28,6 millions de bactéries. 
		\item %Déterminer, par une lecture graphique, à partir de quelle heure le nombre de bactéries dépasse 300~millions.
On a $z = \ln (300) \times 10^6 \approx 19,5$.

On lit graphiquement qu'il y aura 300 millions de bactéries au bout de 12,7~h environ soit 12~h et $0,7 \times 60 = 42$~min.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B}

\medskip
 
%Une étude mathématique différente conduit à supposer que la fonction $N$ qui, à $t$ (exprimée en heures), associe le nombre de bactéries $N(t)$, est solution de l'équation différentielle : 

\[N'(t) = 0,78N(t).\]
 
Le nombre de bactéries à l'instant initial est de \np{5432}.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner les solutions de l'équation différentielle ci-dessus.
On sait que la solution générale de l'équation différentielle est $N(t) = K\text{e}^{0,78t} $, \: $K$ étant un réel quelconque.
		\item %Déterminer, parmi les solutions précédentes, la solution $N$ qui vérifie la condition 
		
%$N(0) = \np{5432}$.
$N(0) = \np{5432}$ revient à $K = \np{5432}$.

Donc la solution particulière est $N(t ) = \np{5432}\text{e}^{0,78t}$.
	\end{enumerate} 
\item %Soit $N$ la fonction définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $N(t) = \np{5432}\text{e}^{0,78t}$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de la fonction $N$ en $+ \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}\text{e}^{0,78t} = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}N(t) = + \infty$. 
		\item %Calculer $N'(t)$. En déduire le tableau de variations de la fonction $N$ sur $[0~;~+ \infty[$.
On a sur $[0~;~+ \infty[$, \: $N'(t) = \np{5432} \times 0,78 \times \text{e}^{0,78t} = \np{4236,96}\text{e}^{0,78t} > 0$ car on sait que quel que soit réel $t$, \: $\text{e}^{0,78t} > 0$.

La fonction $N$ est donc croissante de $N(0) = \np{5432}$ à plus l'infini.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer le coefficient directeur de la tangente $(T)$ à la courbe représentative de la fonction $N$ au point d'abscisse 6. On arrondira à l'unité près.
Le coefficient directeur de la tangente $(T)$ à la courbe représentative de la fonction $N$ au point d'abscisse 6 est le nombre dérivé 

$N'(6) = \np{4236,96}\text{e}^{0,78\times 6} \approx \np{456617}
$.
		\item %Sachant que $N^{\prime}(t)$ représente la vitesse instantanée de formation des bactéries, déterminer cette vitesse à l'instant $t = 6$ heures.
		C'est le nombre précédent soit \np{456617}.
	\end{enumerate} 
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, toute initiative même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%Déterminer à partir de quel instant $t$, exprimé en heures, le nombre de bactéries dépasse 300~millions.
Il faut résoudre l'inéquation $N(t) > 300 \times 10^6$ ou  $\np{4236,96}\text{e}^{0,78t} > 300 \times 10^6$,

 soit $\text{e}^{0,78t} > \dfrac{\np{300000000}}{\np{4236,96}}$.
En prenant le logarithme népérien :

$0,78 t > \ln \left(\dfrac{\np{300000000}}{\np{4236,96}} \right)$ et enfin $t > \dfrac{1}{0,78}\ln \left(\dfrac{\np{300000000}}{\np{4236,96}} \right)$.

La calculatrice donne $t > 14,32$ soit au dixième 14,3 \: soit 14~h 18~min.
\end{enumerate}

\newpage

%\begin{center}
%\textbf{Feuille annexe à rendre avec la copie}
%
%\vspace{2cm}
% 
%Exercice 2
%
%\vspace{1cm}
% 
%Partie A question 1.
%
%\vspace{1cm}
%
%\renewcommand\arraystretch{1.5} 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\footnotesize \centering \arraybackslash}X|}}\hline
%$t_{i}$	& 4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 &11\\ \hline 
%$n_{i}$	&$1,38 \times 10^5$ &$2,51 \times 10^5$ &$5,75 \times 10^5$ &$1,32 \times 10^6$ &$3,02 \times 10^6$ &$6,92 \times 10^6$ &$1,51 \times 10^7$ &$2,51 \times 10^7$\\ \hline 
%$z_{i} = \ln \left(n_{i}\right)$	&	&	&	&	&	&15,7&	&\\ \hline 
%\end{tabularx}
%
%\end{center}
\end{document}