\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} %tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels} \lfoot{\small{Antilles--Guyane}} \rfoot{\small{juin 2009}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL juin 2009~\decofourright\\[4pt]Antilles--Guyane Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} \end{center} \vspace{0,4cm} %Calculatrice et formulaire autorisés \hfill 3 heures % %\vspace{0,4cm} % %\begin{center} % %Durée de l'épreuve : 3 heures \hfill Coefficient : 4 % %\end{center} % %\vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip %Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal \Ouv{} (unité graphique : 1~cm). % %On note i le nombre complexe de module 1 et dont $\dfrac{\pi}{2}$ est un argument. \begin{enumerate} \item %Résoudre, dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, l'équation : %\[z^2 + 10z + 29 = 0.\] $z^2 + 10z + 29 = 0 : \Delta = 100 - 4 \times 29 = 100 - 116 = - 16 = (4\text{i})^2$. Le discriminant est négatif : l'équation a donc deux solutions complexes conjuguées : \[\dfrac{- 10 + 4\text{i}}{2} = - 5 + 2\text{i} \quad \text{et} \quad - 5 - 2\text{i}.\] \item %On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives $z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ définies par %\[z_{\text{A}} = -5 - 2\text{i},~z_{\text{B}} = - 3 + 6\text{i},~ z_{\text{C}} =-\overline{z_{\text{A}}}.\] %Placer les points A, B et C sur une figure. Voir plus bas. \item %Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}}$. %Déterminer la forme algébrique de $z_{\text{D}}$ et placer le point D sur la figure précédente. $z_{\text{D}} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}} = \cos \frac{\pi}{2} + \text{i}\sin \frac{\pi}{2} = 0 + 1\text{i} = \text{i}$ \item %Calculer le module des nombres complexes $z_{\text{A}} - z_{\text{D}}$ et $z_{\text{B}} - z_{\text{D}}$. On a $\left|z_{\text{A}} - z_{\text{D}}\right|^2 = \left|-5 - 2\text{i} - \text{i}\right|^2 = \left|- 5 - 3\text{i} \right|^2 = 25 + 9 = 34 \Rightarrow \left|z_{\text{A}} - z_{\text{D}}\right| = \sqrt{34}$. $\left|z_{\text{B}} - z_{\text{D}}\right|^2 = \left|- 3 + 6\text{i} - \text{i}\right|^2 = \left|- 3 + 5\text{i} \right|^2 = 9 + 25 = 34 \Rightarrow \left|z_{\text{B}} - z_{\text{D}}\right| = \sqrt{34}$. Conclusion : DA = DB $ = \sqrt{34}$ \item %Montrer que D est le centre du cercle $\mathcal{C}$ circonscrit au triangle ABC. Comme A et C sont symétriques autour de l'axe des ordonnées et que D appartient à cet axe, on a DA = DC. Finalement DA = DB = DC $ = \sqrt{34}$, donc C est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, de rayon $\sqrt{34}$. %Donner la valeur exacte du rayon $r$ du cercle $\mathcal{C}$. Tracer le cercle $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \medskip \psset{unit=0.5 cm} \begin{center} \begin{pspicture}(-6,-5)(6,7) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-6,-5)(6,7) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$} \psdots(-5,-2)(-3,6)(5,-2)(0,1) \pscircle(0,1){5.83} \uput[dl](-5,-2){A} \uput[ul](-3,6){B} \uput[dr](5,-2){C} \uput[ul](0,1){D}\uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \medskip \begin{enumerate} \item %Une ville A possède \np{200000}~habitants au 1\up{er} janvier 2009. On considère que cette population diminue de 2\,\% par an. %On note $u_{n}$ le nombre d'habitants de la ville A au 1\up{er} janvier de l'année ${2009+n}$, où $n$ est un entier naturel. Ainsi, $u_{0} = \np{200000}$. \begin{enumerate} \item %Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$. On passe d'un rang à l'autre en multipliant la population par $1 - \dfrac{2}{100} = \dfrac{98}{100} = 0,98$. $u_{1} = u_{0} \times 0,98 = \np{200000}\times 0,98 = \np{196000}$ ; $u_{2} = u_{1} \times 0,98 = \np{196000}\times 0,98 = \np{192080}$ . \item %Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. $u_{n+1} = 0,98u_{n}$. \item %En déduire la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ puis l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. La suite $\left(u_{n}\right)$ est donc une suite géométrique de raison $0,98$ de premier terme \np{200000}. On sait que $u_{n} = u_{0} \times 0,98^n = \np{200000}\times 0,98^n$. \item %Déterminer l'arrondi à l'unité de $u_{10}$. On a pour $n = 10$, $u_{10} = \np{200000}\times 0,98^{10} \approx \np{163415}$. \end{enumerate} \item %Une ville B possède \np{120000}~habitants au 1\up{er} janvier 2009. %On note $v_{n}$ le nombre d'habitants de la ville B au 1\up{er} janvier de l'année $2009 +n$, où $n$ est un entier naturel. Ainsi, $v_{0} = \np{120000}$. %On considère que, pour tout entier naturel $n,~v_{n} = \np{120000} \times 1,01^n$. \begin{enumerate} \item %Calculer le nombre d'habitants de la ville B au 1\up{er} janvier 2011. 2011 correspond à $n = 2$, donc $v_{2} = \np{120000} \times 1,01^2 = \np{122412}$. \item %Déterminer l'arrondi à l'unité de $v_{10}$. $v_{10} = \np{120000} \times 1,01^{10} \approx \np{132555}$. En 2019, il y aura à peu près \np{132555}~habitants. \end{enumerate} \item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.} %En quelle année la population de la ville B deviendra-t-elle supérieure à celle de la ville A ? Il faut résoudre l'inéquation : $v_{n} > u_{n} \iff \np{120000} \times 1,01^n > \np{200000}\times 0,98^{n} \iff 0,6 \times 1,01^n > 0,98^{n} \iff 0,6 > \dfrac{0,98^n}{1,01^n} \iff 0,6 > \left(\dfrac{0,98}{1,01} \right)^n \iff$ (par croissance de la fonction logarithme népérien) $\ln 0,6 > n \ln \left(\dfrac{0,98}{1,01} \right) \iff $ (attention au changement d'ordre car comme $0,98 < 1,01$, $\ln \left(\dfrac{0,98}{1,01} \right) < 0$ donc $\dfrac{\ln 0,6}{\ln \left(\frac{0,98}{1,01} \right)} < n \iff n > 16,9$ à peu près. La ville B comptera plus d'habitants que la ville A pour la première fois pour $n = 17$, ce qui correspond à l'an 2016. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 12 points} \medskip %\textbf{L'annexe associée à ce problème est rendre avec la copie.} % %\medskip \textbf{Partie A :} %Signe d'une fonction auxiliaire} \medskip %Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par % %\[g(x) = (2x -1)\text{e}^x + 1.\] % %On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur $\R$. % %On donne, en annexe \no 1 une partie du tableau de variations de la fonction $g$ sur $\R$. % %On sait que la limite de la fonction $g$ en $- \infty$ est 1 et que la limite de la fonction $g$ en $+ \infty$ est $+ \infty$. % %On a de plus $g\left(- \dfrac{1}{2}\right) = - \dfrac{2}{\sqrt{\text{e}}} + 1$. \begin{enumerate} \item %À l'aide des indications données dans l'énoncé, compléter le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'annexe \no 1. Voir l'annexe. \item %Calculer la valeur exacte de $g(0)$ et la noter dans le tableau de l'annexe \no 1. $g(0) = (2 \times 0 -1)\text{e}^0 + 1 = - 1 + 1 = 0$. \item %Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $\left[-2~;~-\dfrac{1}{2}\right]$. On a sur $\R$, $g'(x) = 2\text{e}^x + (2x - 1)\text{e}^x = \text{e}^x(2x + 1)$. $g'(x) = 0 \iff \text{e}^x(2x + 1) = 0 \iff 2x + 1 = 0$ (car quel que soit $x,~\text{e}^x > 0$, donc finalement $x = - \dfrac{1}{2}$. $g'(x) < 0 \iff \text{e}^x(2x + 1) < 0 \iff 2x + 1 < 0$ (car quel que soit $x,~\text{e}^x > 0$, soit $x < - \dfrac{1}{2}$. Conclusion : sur $\left]- \infty~;~- \dfrac{1}{2}\right[$, la dérivée est négative et la fonction $g$ est décroissante de 1 à $1 - \dfrac{2}{\sqrt{\text{e}}} \approx -0,2$. Il existe donc une valeur unique de $\alpha \in \left]- \infty~;~- \dfrac{1}{2}\right[$ telle que $g(\alpha) = 0$. \item %Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près. La calculatrice donne : $g(- 1,26) \approx 0,001$ et $g(-1,25) \approx 0,003$, donc $-1,3 < \alpha < -1,2$. \item %Déduire des questions précédentes le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$. On a donc $g(x) > 0$ sur $\left]- \infty~;~\alpha\right[ \cup \left]0~ ;~+ \infty\right[$ et $g(x) < 0$ sur $]\alpha~;~0[$. Enfin $f(\alpha) = f(0) = 0$. \end{enumerate} \textbf{Partie B : étude d'une fonction} \medskip %Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par %\[f(x) = (x -1)\text{e}^{2x} + \text{e}^x.\] % %En annexe \no 2, on trouve la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$dans un repère orthogonal \Oij{} (unités graphiques : 2~cm en abscisse et 4~cm en ordonnée). \begin{enumerate} \item %Calculer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}(x - 1) = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{2x} = + \infty$, donc par produit de limites, $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}(x - 1)\text{e}^{2x} = + \infty$. $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{x} = + \infty$ et finalement par somme de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$ \item %La courbe $\mathcal{C}$ admet l'axe des abscisses comme asymptote horizontale. %Que peut-on en déduire pour la limite de la fonction $f$ en $- \infty$ ? On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$. \item %On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$. %Calculer $f'(x)$ et montrer que, pour tout nombre réel $x,~f'(x) = g(x) \times \text{e}^x$. $f$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle : $f'(x) = \text{e}^{2x} + (x - 1) \times 2 \times \text{e}^{2x} + \text{e}^{x} = \text{e}^{2x}(1 + 2x - 2) + \text{e}^{x} = (2x - 1)\text{e}^{2x} + \text{e}^{x} = \text{e}^{x}\left[ 1 + (2x - 1)\text{e}^{x}\right] = g(x) \times \text{e}^x$. \item \begin{enumerate} \item %En utilisant le résultat de la question 5 de la partie A, déterminer selon les valeurs de $x$ le signe de $f'(x)$. Comme $\text{e}^x > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $f'(x)$ est celui de $g(x)$ qui a été trouvé dans la partie A. On a donc $f'(x) > 0$ sur $\left]- \infty~;~\alpha\right[ \cup \left]0~ ;~+ \infty\right[$, donc la fonction est croissante sur cet intervalle, décroissante ailleurs. \item %Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\R$. D'où le tableau de variations suivant : \psset{unit=1cm} \begin{center} \begin{pspicture}(11,3) \psframe(11,3) \psline(0,2)(11,2) \psline(0,2.5)(11,2.5) \psline(2,0)(2,3) \uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.4,2.5){$- \infty$} \uput[u](5,2.5){$\alpha$} \uput[u](8,2.5){$0$} \uput[u](10.5,2.5){$+ \infty$} \rput(1,2.25){$f'(x)$} \rput(3.5,2.25){+}\rput(5,2.25){$0$}\rput(6.5,2.25){$-$} \rput(8,2.25){$0$}\rput(9.5,2.25){$+$} \rput(1,1){$f(x)$}\uput[d](10.5,2){$+ \infty$}\uput[u](2.1,0){$0$}\uput[u](8,0){$0$} \psline{->}(2.5,0.5)(4.5,1.5) \psline{->}(5.5,1.5)(7.5,0.5) \psline{->}(8.5,0.5)(10.5,1.5) \end{pspicture} \end{center} \item %En prenant $\alpha \approx - 1,3$, déterminer une valeur approchée de $f(\alpha)$ à $10^{-1}$ près. On trouve $f(-1,3) \approx 0,1$. \end{enumerate} \item %Soit $\mathcal{S}$ la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses, la droite d'équation $x = 0$ et la droite d'équation $x = 1$. \begin{enumerate} \item %Hachurer la partie $\mathcal{S}$ sur l'annexe \no 2. Voir plus bas \item %Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par %\[F(x) = \left(\dfrac{x}{2} - \dfrac{3}{4}\right)\text{e}^{2x} + \text{e}^{x}.\] %Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$. $F$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle : $F'(x) = \left(\dfrac{1}{2} \right)\text{e}^{2x} + 2\left(\dfrac{x}{2} - \dfrac{3}{4}\right)\text{e}^{2x} + \text{e}^{x} = \left(\dfrac{1}{2}\right) \text{e}^{2x} + \left(x - \dfrac{3}{2} \right)\text{e}^{2x} + \text{e}^{x} = \text{e}^{2x}\left(\dfrac{1}{2} + x - \dfrac{3}{2}\right) + \text{e}^{x} =$ $ (x - 1)\text{e}^{2x} + \text{e}^{x} = f(x)$. Donc $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$ donc en particulier sur l'intervalle [0~;~1]. \item %On note $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie $\mathcal{S}$. Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$ puis son arrondi à $10^{-2}$ près. Le tableau de variations montre que la fonction $f$ est positive sur [0~;~1], donc l'aire la partie $\mathcal{S}$ est égale, en unité d'aire à l'intégrale : $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x = \left[F(x) \right]_{0^1} = F(1) - F(0) = \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4}\right)\text{e}^{2} + \text{e}^{1} - \left(\left(\dfrac{0}{2} - \dfrac{3}{4}\right)\text{e}^{0} + \text{e}^{0} \right) = - \dfrac{1}{4}\text{e}^{2} + \text{e} - \dfrac{1}{4}$~(u. a.). Une unité d'aire vaut $2 \times 4 = 8$~cm$^2$, donc $\mathcal{A} = 8\left(-\dfrac{1}{4} + \text{e} - \dfrac{1}{4}\text{e}^{2} \right) = -2 + 8\text{e} - 2\text{e}^{2} $~(cm$^2$) et $\mathcal{A} \approx 4,97$~cm$^2$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe (à rendre avec la copie)} \vspace{1cm} \begin{flushleft}\textbf{Annexe \no 1} \end{flushleft} \vspace{1cm} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(10,3.5) \psframe(10,3.5) \psline(2,0)(2,3.5) \psline(8,1.1)(8,2.5) \psline(0,2)(10,2)\psline(0,2.5)(10,2.5) \uput[u](1,2.6){$x$} \uput[u](2.4,2.6){$- \infty$} \uput[u](6,2.5){$- \dfrac{1}{2}$} \uput[u](8,2.6){0} \uput[u](9.5,2.6){$+ \infty$} \uput[u](1,2){$g'(x)$}\uput[u](4,2){$-$}\uput[u](6,2){0}\uput[u](9,2){$+$} \rput(1,1){$g(x)$}\uput[u](6,0){$ 1 - \dfrac{2}{\sqrt{\text{e}}}$} \uput[d](9.5,2){$+ \infty$}\uput[d](2.1,2){1}\rput(8,1){0} \psline{->}(6.5,0.4)(9.4,1.6) \end{pspicture} \end{center} \vspace{1cm} \begin{flushleft}\textbf{Annexe \no 2} \end{flushleft} \vspace{1cm} \psset{xunit=1.5cm,yunit=3cm} \begin{pspicture}(-4,-0.5)(4,2.75) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-0.5)(4,2.75) \psline(1,-0.5)(1,2.75)\uput[dl](0,0){O} \multido{\n=-4+0.25}{33}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-0.5)(\n,2.75)} \multido{\n=-0.500+0.125}{27}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](-4,\n)(4,\n)} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{-4}{1}{2.71828 2 x mul exp x 1 sub mul 2.71828 x exp add} \uput[l](1,2){$\mathcal{C}$}\uput[d](4,0){$x$} \uput[l](0,2.75){$y$} \pscustom[fillstyle=vlines]{\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{1}{2.71828 2 x mul exp x 1 sub mul 2.71828 x exp add} \psline(1,0)(0,0) } \end{pspicture} \end{document}