\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} %tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé STL Chimie de laboratoire}, pdftitle = {septembre 2012}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL Chimie de laboratoire et de procédés industriels} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{11 septembre 2012}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalaurŽéat STL 11 septembre 2012 \decofourright\\Chimie de laboratoire et de procédés industriels}} \vspace{0,25cm} Calculatrice et formulaire autorisés \vspace{0,25cm} Durée de l'Žépreuve : 3 heures \hfill Coefficient : 4 \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip %\emph{On note \emph{i} le nombre complexe de module $1$ et d'argument } $\dfrac{\pi}{2}$. % %\medskip % %On considère les nombres complexes \[z_{1} = - 1 + \text{i}\sqrt{3}\quad \text{et}\quad z_{2} = 1 - \text{i}.\] \begin{enumerate} \item %Calculer le module et un argument de $z_{1}$ et $z_{2}$. On a $\left|z_{1} \right|^2 = (- 1)^2 + \left(\sqrt{3} \right)^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2$, donc $\left|z_{1} \right| = 2$. $z_1 = 2\left(- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = 2\left(\cos \frac{2\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{2\pi}{3}\right)$. Donc un argument de $z_1$ est $\dfrac{2\pi}{3}$. De même $\left|z_{2} \right|^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2 = \left(\sqrt{2}\right)^2$, donc $\left|z_{2} \right| = \sqrt{2}$. $z_{2} = \sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} - \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2}\left(\cos \frac{-\pi}{4} + \text{i}\sin \frac{-\pi}{4}\right)$. Un argument de $z_2$ est donc $- \dfrac{\pi}{4}$. \item On donne $Z = \dfrac{z_{1}^2}{z_{2}}$. \begin{enumerate} \item %Donner le module et un argument de $Z$ et en déduire une écriture trigonométrique de $Z$. $|Z| = \left|\dfrac{z_{1}^2}{z_{2}} \right| = \dfrac{\left|z_1^2 \right|}{\left|z_2 \right|} = \dfrac{\left|z_1 \right|^2}{\left|z_2 \right|} = \dfrac{2^2}{\sqrt{2}} = \dfrac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$. arg $Z = \text{arg}\left(\dfrac{z_{1}^2}{z_{2}}\right) = \text{arg}\left(z_1^2 \right) - \text{arg}z_2 = 2\text{arg}z_1 - \text{arg}z_2 = \dfrac{4\pi}{3} - \left(\dfrac{-\pi}{4}\right) = \dfrac{4\pi}{3} + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{16\pi}{12} + \dfrac{3\pi}{12} = \dfrac{19\pi}{12}$. Donc $Z = 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{19\pi}{12}}$. \item %Donner la forme algébrique de $Z$. $Z = \dfrac{z_{1}^2}{z_{2}} = \dfrac{\left(- 1 + \text{i}\sqrt{3} \right)^2}{1 - \text{i}} = \dfrac{1 - 3 - 2\text{i}\sqrt{3}}{1 - \text{i}} = \dfrac{- 2 - 2\text{i}\sqrt{3}}{1 - \text{i}} = \dfrac{\left(- 2 - 2\text{i}\sqrt{3}\right)(1 + \text{i})}{(1 - \text{i})(1 + \text{i})} = \dfrac{- 2 + 2\sqrt{3} + \text{i}\left(- 2 - 2\sqrt{3} \right)}{1 + 1} = - 1 +\sqrt{3} + \text{i}\left( - 1 - \sqrt{3} \right)$. \item %En déduire les valeurs exactes de $\cos \left(\dfrac{19\pi}{12} \right)$ et de $\sin \left(\dfrac{19\pi}{12} \right)$. On a $Z = 2\sqrt{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{12}} = 2\sqrt{2}\cos \left(\frac{\pi}{12}\right) + 2\sqrt{2}\text{i}\sin \left(\frac{\pi}{12} \right) = - 1 +\sqrt{3} + \text{i}\left( - 1 - \sqrt{3} \right)$. En identifiant partie réelles et parties imaginaires, on obtient : $2\sqrt{2}\cos \left(\frac{19\pi}{12}\right) = - 1 +\sqrt{3}$ et $2\sqrt{2}\sin \left(\frac{19\pi}{12} \right) = - 1 - \sqrt{3}$. Donc finalement : $\cos \left(\dfrac{19\pi}{12}\right) = \dfrac{- 1 +\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}\left(- 1 +\sqrt{3} \right)}{2\sqrt{2}\times \sqrt{2}} = \dfrac{- \sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ et $\sin \left(\dfrac{19\pi}{12}\right) = \dfrac{- 1 - \sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}\left(- 1 - \sqrt{3}\right)}{2\sqrt{2}\times \sqrt{2}} = \dfrac{- \sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip Une urne contient 100 jetons, bleus, verts ou rouges. 15 jetons sont bleus et il y a trois fois plus de jetons verts que de jetons bleus. \medskip \begin{enumerate} \item %Un joueur tire au hasard un jeton. On considère les évènements suivants : %$A$ : \og Le jeton tiré est rouge \fg{} ; % %$B$ : \og Le jeton tiré est vert ou bleu \fg. % %Montrer que la probabilité de $A$ est de $0,4$. % %En déduire la probabilité de $B$. S'il y a $15$ jetons bleus, le nombre de jetons verts est $3\times 15 = 45$. Avec $r$ jetons rouges, on a donc : $15 + 45 + r = 100$, soit $r + 60 = 100$ ou $r = 40$ jetons rouges. Donc $p(A) = \dfrac{40}{100} = 0,4$ et $p(B) = 1 - p(A) = 1 - 0,4 = 0,6$. \item %Un joueur mise 8~\euro, tire un jeton et reçoit : %5~\euro{} s'il tire un jeton rouge, 9~\euro{} s'il tire un jeton vert et 10~\euro{} s'il tire un jeton bleu. %Le gain du joueur (différence entre sa mise et la somme reçue après tirage) est une variable aléatoire notée $X$. \begin{enumerate} \item %Quelles sont les valeurs possibles pour la variable aléatoire $X$ ? $X$ peut prendre les valeurs $5 - 8 = - 3$, \:$9 - 8 = 1$,\: et $10 - 8 = 2$. \item %Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$. %\emph{On présentera les résultats dans un tableau}. Le tableau de la loi de probabilité est : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Sortie &rouge &vert &bleu\\ \hline $X = x_i$ &$- 3$ &1 &2\\ \hline $p\left(X = x_i\right)$ &0,4 &0,45 &0,15\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item %Calculer l'espérance du gain d'un joueur. E$(X) = 0,4\times (- 3) + 0,45 \times 1 + 0,15 \times 2 = - 1,2 + 0,45 + 0,3 = 0,45$. Cela signifie que sur un grand nombre de parties la perte moyenne par partie est de 45 centimes. \end{enumerate} \item %On change le montant reçu par le joueur lorsqu'il tire un jeton bleu. %Un joueur reçoit $x$~\euro{} s'il tire un jeton bleu et les autres montants sont inchangés. %Pour quelle valeur de $x$ l' espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ associée est-elle nulle ? Le nouveau tableau de la loi de probabilité est : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Sortie &rouge &vert &bleu\\ \hline $X = x_i$ &$- 3$ &1 &$x - 8$\\ \hline $p\left(X = x_i\right)$ &0,4 &0,45 &0,15\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} Et E$(X) = 0,4\times (- 3) + 0,45 + 0,15(x - 8) = 0$ soit $- 1,2 + 0,45 + 0,15x - 1,2 = 0$ puis $0,15x = 1,95$ et $x = \dfrac{1,95}{0,15} = 13$. Si le joueur reçoit 13~\euro{} pour la sortie d'un jeton bleu, l'espérance mathématique sera nulle. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip %Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij. L'unité graphique est 1~cm. % %Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par \[f(x) = \text{e}^{2x} - 7\text{e}^x + 3x + 7.\] %La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ et $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$. % %La courbe représentative de $f$ dans le repère orthonormé \Oij, notée $\mathcal{C}_{f}$, est donnée en annexe. % %\medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$. On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = 0$, \: $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{2x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$. \item %Tracer la droite $D$ d'équation $y = 3x + 7$ sur le même graphique que $\mathcal{C}_{f}$. Voir à la fin. \item %Montrer que la droite $D$ est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au voisinage de $- \infty$. Soit $d$ la fonction définie sur $\R$ par $d(x) = f(x) - (3x + 7) = \text{e}^{2x} - 7\text{e}^x + 3x + 7 - (3x + 7) = \text{e}^{2x} - 7\text{e}^x$. Or on a vu que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = \displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{2x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} d(x) = 0$ : ceci montre que la droite $D$ d'équation $y = 3x + 7$ est asymptote à $\mathcal{C}_{f}$ au voisinage de moinsl'infini. \item %Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ par rapport à la droite D suivant les valeurs de $x$. On a vu que : $d(x) = \text{e}^{2x} - 7\text{e}^x = \text{e}^x\left(\text{e}^x - 7) \right)$. On sait que quel que soit le réel $x$, \: $\text{e}^x > 0$, donc le signe de $d(x)$ est celui de $\text{e}^x - 7$. $\bullet~~$$\text{e}^x - 7 = 0 $ si $\text{e}^x = 7$ ou $x = \ln 7$. $\bullet~~$$\text{e}^x - 7 > 0 $ si $\text{e}^x > 7$ ou $x > \ln 7$. $\bullet~~$$\text{e}^x - 7 < 0 $ si $\text{e}^x < 7$ ou $x < \ln 7$. Donc si $x < \ln 7$, \: $d(x) < 0$ ce qui signifie que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ est en dessous de l'asymptote D ; si $x > \ln 7$, \: $d(x) > 0$ ce qui signifie que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ est au dessus de l'asymptote D. Si $x = \ln 7$ la courbe et la droite ont un point commun de coordonnées $(\ln 7~;~3\ln 7 + 7)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Vérifier que pour tout $x$ réel, $f(x) = \text{e}^x\left(\text{e}^x - 7 + \dfrac{3x}{\text{e}^x}+ \dfrac{7}{\text{e}^x}\right)$. On a déjà vu plus haut cette factorisation. \item %En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$. $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{3}{\text{e}^x} = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{7}{\text{e}^x} = 0$. Comme $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^x = + \infty$, on a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^x - 7 + \dfrac{3x}{\text{e}^x}+ \dfrac{7}{\text{e}^x} = + \infty$ et par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} = + \infty$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Montrer que pour tout réel $x,\: f'(x) = \left( 2\text{e}^x - 1\right)\left(\text{e}^x - 3\right)$. Pour tout réel $x$, \: $f'(x) = 2\text{e}^{2x} - 7\text{e}^x + 3$. Posons $\text{e}^x = X$ ; alors $f'(x) = f'(X) = 2X^2 - 7X + 3$, trinôme en X du second degré. $\Delta = 7^2 - 4 \times 2 \times 3 = 49 - 24 = 25 = 5^2$. Les solutions sont $X_1 = \dfrac{7 + 5}{4} = 3 $ et $X_2 = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{1}{2}$. On sait qu'alors $f'(X) = 2\left(X - X_1 \right)\left(X - X_2 \right) = f'(x) = 2\left(\text{e}^x - 3\right)\left(\text{e}^x - \frac{1}{2}\right) = \left(\text{e}^x - 3\right)\left(2\text{e}^x - 1\right)$. \item %Résoudre l'équation $f'(x) = 0$ et déterminer le signe de $f'(x)$. $f'(x) = 0$ si $\left\{\begin{array}{l c l} \text{e}^x - 3&=&0\\ \text{ou}&&\\ 2\text{e}^x - 1&=&0 \end{array}\right.$ ou $\left\{\begin{array}{l c l} \text{e}^x &=&3\\ \text{ou}&&\\ \text{e}^x&=&\frac{1}{2} \end{array}\right.$ et enfin \textbf{$\left\{\begin{array}{l c l} x&=&\ln 3\\ \text{ou}&&\\ x &=&\ln \frac{1}{2} = - \ln 2 \end{array}\right.$} On peut construire le tableau de signe suivant : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,4) \psframe(8,4) \psline(0,1)(8,1)\psline(0,2)(8,2)\psline(0,3)(8,3) \psline(2,0)(2,4) \psline(4,0)(4,3) \psline(6,0)(6,3) \rput(1,3.5){$x$} \rput(2.5,3.5){$-\infty$} \rput(4,3.5){$- \ln 2$} \rput(6,3.5){$\ln 3$}\rput(7.5,3.5){$+ \infty$} \rput(1,2.5){$\text{e}^x - \frac{1}{2}$} \rput(1,1.5){$\text{e}^x - 3$}\rput(3,2.5){$-$}\rput(5,2.5){$+$}\rput(7,2.5){$+$} \rput(4,2.5){0}\rput(6,1.5){$0$}\rput(3,1.5){$-$} \rput(5,1.5){$-$} \rput(7,1.5){$+$} \rput(1,0.5){$f'(x)$}\rput(3,0.5){$+$} \rput(5,0.5){$-$}\rput(7,0.5){$+$} \rput(4,0.5){$0$}\rput(6,0.5){$0$} \end{pspicture} \end{center} \item %Établir le tableau de variations de $f$. La question précédente donne le signe de la dérivée donc les variations de la fonction. On a $f(- \ln 2) = \left(\text{e}^{- \ln 2}\right)^2 - 7\text{e}^{- \ln 2} - 3\ln 2 + 7 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{7}{2} - 3\ln 2 + 7 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{7}{2} - 3\ln 2 + 7 = \frac{15}{4} - 3\ln 2$. $f(\ln 3) = \left(\text{e}^{- \ln 3}\right)^2 - 7\text{e}^{\ln 3} + 3\ln 3 + 7 = 3^2 - 7\times 3 + 3\ln 3 + 7 = 3\ln 3 - 5$. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(11,4) \psframe(11,4)\psline(0,2)(11,2)\psline(0,3)(11,3) \psline(2,0)(2,4) \uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.5,3){$- \infty$} \uput[u](5,3){$- \ln 2$} \uput[u](8,3){$\ln 3$} \uput[u](10.5,3){$+ \infty$} \rput(1,2.5){$f'(x)$}\rput(3.5,2.5){+} \rput(5,2.5){0}\rput(6.5,2.5){$-$}\rput(8,2.5){0}\rput(9.5,2.5){+} \psline{->}(2.5,0.5)(4.25,1.5)\psline{->}(5.75,1.5)(7.5,0.5)\psline{->}(8.5,0.5)(10.5,1.5) \rput(1,1){$f(x)$} \uput[u](2.5,0){$- \infty$}\uput[d](5,2){$\frac{15}{4} - 3\ln 2$}\uput[u](8,0){$3\ln 3 - 5$} \uput[d](10.5,2){$+ \infty$} \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Résoudre l'équation $f'(x) = 3$. $f'(x) = 3$ ou $2\text{e}^{2x} - 7\text{e}^x + 3 = 3$ soit $2\text{e}^{2x} - 7\text{e}^x = 0 $ ou $\text{e}^x\left(2\text{e}^x - 7 \right) = 0$. On sait que quel que soit le réel $x$, \: $\text{e}^x > 0$, donc il reste $2\text{e}^x - 7 = 0$ soit $\text{e}^x = \frac{7}{2}$, d'où $x = \ln \frac{7}{2}$. Le coefficient directeur de la droite D est égal à 3, donc le nombre dérivé étant le coefficient directeur de la tangente en un point, il existe un seul point de $\mathcal{C}_{f}$ d'abscisse $x = \ln \frac{7}{2}$ où la tangente est parallèle à D. %En déduire l'abscisse du point B de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ où la tangente notée $D'$ est parallèle à la droite $D$. \item %Vérifier que le point A de la courbe $\mathcal{C}_{f}$, d'abscisse $\ln 7$, est un point de la droite $D$. Pour $x = \ln 7$, \: $f(\ln 7) = \text{e}^{2\ln 7} - 7 \text{e}^{\ln 7} + 3\ln 7 + 7 = \left( \text{e}^{\ln 7}\right)^2 - 7 \times 7 + 3\ln 7 + 7 = 7^2 - 49 + 3\ln 7 + 7 = 3\ln 7 + 7$. Or le point de D d'abscisse $\ln 7$ a pour image $3\times \ln 7 + 7 = 3\ln 7 + 7$ soit la même ordonnée. \emph{Rem.} On avait déjà vu celà à la question 1. d. \item %Dans le repère \Oij, placer les points A et B et tracer $D'$. Voir à la fin. \end{enumerate} \item %On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire exprimée en cm$^2$, de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, la droite $D$ et les droites d'équation $x = 0$ et $x = \ln 7$. \begin{enumerate} \item %Hachurer sur le graphique la partie du plan définie ci-dessus. Voit à la fin. \item %Calculer la valeur de l'aire $\mathcal{A}$. L'aire de la surface comprise entre la droite et la courbe se calcul en intégrant la fonction différence des deux fonctions : $x \longmapsto (3x + 7) - \left(\text{e}^{2x} - 7\text{e}^x + 3x + 7 \right) = 7\text{e}^x - \text{e}^{2x}$. Donc : $\mathcal{A} = \displaystyle\int_0^{\ln 7} \left(7\text{e}^x - \text{e}^{2x} \right)\:\text{d}t = \left[7\text{e}^x - \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} \right]_0^{\ln 7} = 7\text{e}^{\ln 7} - \dfrac{1}{2}\text{e}^{2\ln 7} - \left( 7\text{e}^0 - \dfrac{1}{2}\text{e}^{2\times 0}\right) = 7 \times 7 - \left(\dfrac{1}{2} \text{e}^{2\ln 7}\right)^2 - \left(7 - \dfrac{1}{2}\right) = 49 - \dfrac{49}{2} - 7 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{98 - 49 - 14 + 1}{2} = \dfrac{36}{2} = 18$~cm$^2$. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{ANNEXE} \vspace{0,5cm} \textbf{À rendre avec la copie} \vspace{0,5cm} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-5,-4)(4,15) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,linestyle=dashed,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange] \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-4)(4,15) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.58}{1.985}{2.71828 2 x mul exp 2.71828 x exp 7 mul sub 3 x mul add 7 add} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-3.58}{1.985}{3 x mul 7 add} \psline[linestyle=dashed](1.946,0)(1.946,12.84)(0,12.84)\uput[l](1.946,12.84){A} \uput[r](1.253,-1.49){B} \psdots(1.946,12.84)(1.253,-1.49) \psline(0.253,-4.49)(2.253,1.51) \pscustom[fillstyle=vlines]{\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt]{0}{1.946}{3 x mul 7 add} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1.946}{0}{2.71828 2 x mul exp 2.71828 x exp 7 mul sub 3 x mul add 7 add} } \uput[dl](0,0){O} \end{pspicture} \end{center} \end{document}