\documentclass[10pt,a4paper,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{xspace} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,amstext,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage[euler]{textgreek} \usepackage{textcomp,enumitem,mathcomp} \usepackage[table]{xcolor} \usepackage{lscape} \usepackage{graphicx} %Tapuscrit Jean-Claude Souque \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-tree,pst-plot,pst-text,pst-eucl,pst-bar,pst-func,pst-math,pstricks-add} %\usepackage[squaren, Gray, cdot]{SIunits} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}}% espérance d'une loi de probabilité \usepackage[left=3cm, right=3cm, top=2cm, bottom=2.8cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat STL biotechnologies}, pdftitle = {Métropole - 10 septembre 2019 }, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\e}{\text{e}} \usepackage{babel} \frenchsetup{StandardLists=true} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat Sciences et Technologies de laboratoire (STL)spécialité Biotechnologies} \lfoot{\small{Métropole--La Réunion}} \rfoot{\small{10 septembre 2019}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL spécialité biotechnologies ~\decofourright\\[5pt]Métropole 10 septembre 2019}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip \emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.\\ Les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.} \smallskip Une entreprise fabrique en grande quantité des boîtes de Petri destinées à des laboratoires d'analyses microbiologiques. Dans cet exercice, on étudie la qualité de la production de ces boîtes. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip L'entreprise affirme que la probabilité qu'une boîte ait un défaut est égale à 0,03. On prélève au hasard $100$ boîtes dans la production. La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de $100$ boîtes, associe le nombre de boîtes présentant un défaut. \medskip \begin{enumerate} \item %Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale et déterminer les paramètres de cette loi. La loi de probabilité de $X$ est la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = 0,03$. $X$ est distribuée selon la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p= \np{0.03}$ puisque il y a répétition de cent tirages indépendants et identiques caractérisés par deux issues soit la boîte a un défaut avec une probabilité $p=0,03$ soit la boîte n'a pas de défaut de probabilité $q=1-p=0,97$. Par conséquent, $p(X=k)=\binom{100}{k}(\np{0.03})^k(\np{0.97})^{100-k}$. \item Déterminons la probabilité de l'évènement $A$ : \og Le prélèvement contient exactement 4 boîtes ayant un défaut\fg{} c'est-à-dire $p(X = 4)$ $p(X=4)=\binom{100}{4}(\np{0.03})^{96}(\np{0.97})^{96}\approx \np{0.17}$ \item Déterminons la probabilité de l'évènement $B$ : \og Le prélèvement contient au plus 3 boîtes ayant un défaut \fg. L'évènement B est composé des évènements élémentaires suivant : \og Le prélèvement contient exactement 0 boîte ayant un défaut\fg, \og Le prélèvement contient exactement 1 boîte ayant un défaut\fg, \og Le prélèvement contient exactement 2 boîtes ayant un défaut\fg, \og Le prélèvement contient exactement 3 boîtes ayant un défaut\fg. $P(B)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)$. $P(B)=\np{0.04755}+\np{0.14707}+\np{0.22515}+\np{0.22747}=\np{0.64724}$ La probabilité de l'évènement $B$ : \og Le prélèvement contient au plus 3 boîtes ayant un défaut \fg est à $10^{-2}$ près \np{0.65}. {\footnotesize \emph{Remarque :} Certaines calculatrices donnent directement $P(0\leqslant X \leqslant 3)=\np{0.647}$} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à une boîte de Petri prélevée au hasard, associe son diamètre en millimètre. Le service qualité de l'entreprise estime que la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale d'espérance \mbox{\textmu $= 89,7$} et d'écart type \textsigma ~ $= 0,20$. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminons la probabilité $P(89,3 \leqslant Y \leqslant 90,1)$. À l'aide de la calculatrice, nous trouvons $P(\np{89.3}\leqslant Y\leqslant \np{90.1})\approx \np{0.95}$. \emph{Remarque :}{\footnotesize{} Nous pouvions remarquer que \textmu $-2$ \textsigma $= \np{89.7}-2\times \np{0.20}=\np{89.3}$, \textmu $+ 2$ \textsigma $=\np{89.7}+2\times \np{0.20}=\np{90.1}$ \\ $P(\text{\textmu}-2\text{\textsigma} \leqslant X \leqslant \text{\textmu}+2\text{\textsigma})\approx \np{0.95}$} \item Déterminons la probabilité qu'une boîte de Petri ait un diamètre supérieur ou égal à $89,9$~mm. $P(Y\geqslant 89,9)\approx\np{0.16}$. {\footnotesize\emph{Remarque : } \textmu $+$\textsigma = \np{89.7}+\np{0.2}=\np{89.9}. $P(X\leqslant \text{\textmu} -\text{\textsigma})=P(X\geqslant \text{\textmu}+\text{\textsigma})=\dfrac{1}{2}\left(1-P(\text{\textmu} -\text{\textsigma}\leqslant X \leqslant \text{\textmu} +\text{\textsigma}\right)=\dfrac{1}{2}(1-\np{0.683})=\np{0.1585}$} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip La machine de production a été réglée dans le but que 3\,\% au maximum des boîtes de Petri soient non conformes. On prélève un échantillon de $200$ boîtes de Petri et on constate que parmi celles-ci, 9 sont non conformes. Suite à ce constat, doit-on accepter le réglage de cette machine ? Pour ce faire, déterminons un intervalle de fluctuation. L'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% d’une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$, lorsque la proportion $p$ dans la population est connue est : \[\left[p -1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p)}{n}} ~;~ p +1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}}\right]\] \[I=\left[\np{0.03} -1,96 \sqrt{\dfrac{\np{0.03} (1- \np{0.03})}{100}} ~;~ \np{0.03} +1,96 \sqrt{\dfrac{\np{0.03} (1- \np{0.03} )}{100}}\right]=[-\np{0.004}~;~ \np{0.063}]\] La fréquence obtenue est : $\dfrac{9}{200}=\np{0.045}$. Appartenant à l'intervalle de fluctuation, il n'y a pas lieu de remettre en cause le réglage de cette machine. \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points} \medskip Une entreprise fabrique et commercialise des composants électroniques destinés à fonctionner de manière continue. On a étudié la durée de vie, en jour, de ces composants. La variable aléatoire $D$ associée à cette durée de vie suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = \np{0,0005}$. On rappelle que $P(D \leqslant t) = 1 - \text{e}^{- \lambda t}$. Pour chacune des affirmations suivantes, on précisera si elle est vraie ou fausse en justifiant de manière claire et concise la réponse donnée. \textbf{Affirmation 1 }: L'espérance de cette loi est égale à \np{2000}. \textbf{\large Vraie} car $\E(D)=\dfrac{1}{\np{0.0005}}=\np{2000}$. \textbf{Affirmation 2 }: La probabilité qu'un composant de ce type tombe en panne après les $500$ premiers jours est environ $0,221$. \textbf{\large Fausse} car $P(D\geqslant 500)= 1- P(D\leqslant 500)= 1-\left(1- \e^{-\np{0.0005}\times 500}\right)\approx \np{0.779}.$ \textbf{Affirmation 3 }: L'entreprise souhaite qu'au maximum 10\,\% des composants tombent en panne au cours de la période de garantie. Cette période de garantie doit être d'environ $210$ jours. \textbf{\large Vraie} Cherchons $t$ tel que $P(D<\np{0.1})$. $1-\e^{-\np{0.0005}t}<\np{0.1}\quad \e^{-\np{0.0005}t}>\np{0.9}\quad -\np{0.0005}t>\np{0.9}\quad t< \dfrac{\ln \np{0.9}}{ -\np{0.0005}}$ or $ \dfrac{\ln \np{0.9}}{ -\np{0.0005}}\approx 210,7$ \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip Dans un laboratoire d'industrie laitière, on cultive une population de bactéries qui compte initialement \np{60000}~individus. On étudie l'évolution du nombre de bactéries en fonction du temps. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip On émet l'hypothèse que la population augmente de 18\,\% toutes les heures et on modélise l'évolution de cette population par une suite $\left(u_n\right)$. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de bactéries de la population étudiée après $n$ heures. On a alors $u_0 = \np{60000}$. \medskip \begin{enumerate} \item À un taux d'évolution de 0,18 correspond un coefficient multiplicateur de 1+0,18 soit 1,18. $u_1= u_0\times 1,18 =\np{60000}\times \np{1.18}=\np{70800}$ et $u_2=\np{70800}\times \np{1.18}=\np{83544}$. \item $u_{n+1}=\np{1.18}\times u_n$. \item La suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{1.18} et de premier terme \np{60000}. \item Exprimons alors $u_n$ en fonction de $n$. Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0\times (q)^n$. $u_n=\np{60000}\times \left(\np{1.18}\right)^n$. \item $u_6 =\np{60000}\times \left(\np{1.18}\right)^6\approx \np{161973}$, à l'unité près. Cette valeur correspond au nombre de bactéries de la population étudiée après six heures. %et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On souhaite déterminer à partir de combien d'heures la population de bactéries dépassera \np{200000}~individus. Pour cela, on utilise un algorithme. \medskip \begin{enumerate} \item Complétons l'algorithme de sorte qu'à la fin de son exécution, la variable $N$ contienne le nombre d'heures cherché. \begin{center} \begin{tabularx}{0.35\linewidth}{|c X|}\hline \blue 1&$N \gets 0$\\ \blue 2&$U \gets \np{60000}$\\ \blue 3&Tant que $U < \textcolor{violet}{\np{200000}}$ :\\ \blue 4&\hspace{0.3cm}|$N \gets N + 1$\\ \blue 5&\hspace{0.3cm}|$U \gets \textcolor{violet}{ \np{1.18}U}$\\ \blue 6& Fin Tant que\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Déterminons le nombre d'heures à partir duquel la population de bactéries dépassera \np{200000}. Exécutons l'algorithme. \smallskip {\footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline $N$& 0 &1& 2& 3& 4 &5& 6&7&8&9\\\hline $P$ &\np{60000}&\np{70800}&\np{83544}&\np{98582}&\np{116327}&\np{137265}&\np{161973}&\np{191128}&\np{225532}&\\\hline $P<\np{200000}$&Vrai&Vrai&Vrai&Vrai&Vrai&Vrai&Vrai&Vrai&Faux&\\\hline \end{tabularx} } \smallskip Par conséquent au bout de huit heures, le nombre de bactéries dépassera les \np{200000}~individus. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \medskip Des scientifiques étudient la croissance d'une plante vivace d'une variété donnée. Pour cela, ils ont relevé tous les mois la hauteur de plants témoins, mesurant tous $12$~cm au début de l'expérimentation. Dans le tableau ci-dessous, $h$ désigne la hauteur moyenne des plants, exprimée en centimètre, au bout de $t$ mois. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t_i$ (exprimé en mois) & 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline $h_i$ (exprimé en centimètre) & 12 &16,6 &20 &22 &23,1 &23,6 &23,8\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \smallskip \begin{enumerate} \item Le nuage de points $M_i\left(t_i~;~h_i\right)$ correspondant au tableau ci-dessus a été construit sur l'annexe. \item L'utilisation d'un ajustement affine du nuage de points ne semble pas pertinente. Les points ne semblent pas suivre une direction donnée. \item On pose $y_i = \ln \left(\dfrac{24}{h_i} - 1\right)$. Nous avons complété la troisième ligne du tableau donné en annexe en arrondissant les valeurs à $0,001$ près. \item On nomme $\mathcal{D}$ la droite d'ajustement de $y$ en $t$ obtenue par la méthode des moindres carrés. L'équation réduite de $\mathcal{D}$ est de la forme $y = at + b$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels. En utilisant la calculatrice, nous obtenons $a=-\np{0.804}$ et $b=-\np{0.005}$ à $0,001$ près. \item On admet que $h(t) = \dfrac{24}{1 + \text{e}^{-0,8t}}$. Estimons, au centimètre près, la hauteur du plant au bout de $10$ mois. Remplaçons $t$ par 10. $h(10)= \dfrac{24}{1 + \text{e}^{-0,8\times 10}}\approx \np{23.99}$. Une estimation de la hauteur du plant au bout de dix mois serait de \np[cm]{24}. {\footnotesize \emph{Remarque :} Dans le cas où $h=24$, nous aurions alors $y= \ln 0$ ce qui est impossible.} \item Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par : \[g(x) = \dfrac{24}{1 + \text{e}^{-0,8x}}.\] \begin{enumerate} \item On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et on admet que: \[g'(x) = \dfrac{19,2\text{e}^{-0,8x}}{\left(1 + \text{e}^{-0,8x}\right)^2}.\] Étudions les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. Pour tout $x\in [0~;~+\infty[,\ g'(x)>0$ comme quotient de nombres réels strictement positifs. Si pour tout $x\in I, \:f'(x)>0 $ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$. Sur $[0~;~+\infty[, \: g'(x)>0$ par conséquent $g$ est strictement croissante sur cet intervalle. \item Déterminons la limite de la fonction $g$ en $+ \infty$. $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}(g(x)) = 24$ puisque $\displaystyle \lim_{x \to + \infty}\left(1+\e^{-0,8x}\right)= 1 + \lim_{x \to + \infty}\left(\e^{-0,8x}\right)=1$. Graphiquement, la droite d'équation $y=24$ est asymptote à la courbe au voisinage de $+\infty$. \item La taille de la plante ne pourra jamais atteindre \np[cm]{25} puisque la fonction est croissante et majorée par 24. \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large Annexe} \medskip \textbf{À rendre avec la copie} \bigskip \textbf{Exercice 4, question 1} \medskip \psset{xunit=1.2cm,yunit=0.75cm} \begin{pspicture*}(-0.6,-0.75)(8.5,14.5) \psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=10]{->}(0,0)(0,0)(8.5,14.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1](0,0)(8.5,14.5) \multido{\n=0.5+1.0}{15}{\psline(0,\n)(8.5,\n)} \psdots[dotstyle=+,dotscale=1.6,linecolor=blue,dotangle=45](0,2)(1,6.6)(2,10)(3,12)(4,13.1)(5,13.6)(6,13.8) \end{pspicture*} \vspace{1cm} \textbf{Exercice 4, question 3} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t_i$&0 &1 &2 &3 &4 &5 &6\\ \hline $h_i$&12 &16,6 &20 &22 &23,1 &23,6 &23,8\\ \hline $y_i$& 0 & $-\np{0.808}$ &$-\np{1.609}$ &$-\np{2.398}$ &$-\np{3.245}$ &$-\np{4.078}$ &$-\np{4.779}$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{document}