\documentclass[10pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{multicol,diagbox} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} %Tapuscrit : François Hache & Denis Vergès \usepackage{pst-all,pst-func} \usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,#1\vphantom{b}\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS}, pdftitle = {Corrigé Métropole 8 septembre 2020}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\e}{\,\text{e\,}} %%%le e de l'exponentielle \renewcommand{\d}{\,\text d} %%%le d de l'intégration \renewcommand{\i}{\,\text{i}\,} %%%le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{8 septembre 2020}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Biotechnologies~\decofourright\\[10pt]Métropole -- La Réunion -- 8 septembre 2020}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\large Exercice 1 \hfill 4 points} \bigskip \emph{Pour chacune des quatre affirmations de l'exercice, déterminer si elle est vraie ou fausse, puis justifier de manière claire et concise la réponse donnée.} \medskip Dans tout l'exercice, on considère la fonction $f$ définie sur $[-1~;~3]$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}$ est donnée ci-dessous. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. La tangente à $\mathcal{C}$ au point A(1~;~0) passe par le point de coordonnées (0~;~3). La fonction $F$ désigne une primitive de la fonction $f$ sur $[-1~;~3]$. \begin{center} \psset{xunit=3cm,yunit=1.5cm,comma=true} \begin{pspicture*}(-1.5,-3)(3.25,4) \pscustom[fillstyle=hlines]{ \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{1}{x 3 exp x dup mul 3 mul sub 2 add} \psline(1,0)(0,0)} \multido{\n=-1.5+0.1}{48}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,-3)(\n,4)} \multido{\n=-1.5+0.5}{9}{\psline[linewidth=0.6pt](\n,-3)(\n,4)} \multido{\n=-3.0+0.2}{36}{\psline[linewidth=0.1pt](-1.5,\n)(3.25,\n)} \multido{\n=-3.0+1.0}{8}{\psline[linewidth=0.6pt](-1.5,\n)(3.25,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5]{->}(0,0)(-2.49,-2.99)(3.25,3.99) \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt]{-0.5}{2}{3 3 x mul sub} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1}{3}{x 3 exp x dup mul 3 mul sub 2 add} \uput[l](2.8,1){\red $\mathcal{C}$}\uput[ur](1,0){A} \end{pspicture*} \end{center} %\textbf{Affirmation 1 :} L'équation $f(x) = 0$ admet 3 solutions dans $[-1~;~3]$. % %\smallskip % %\textbf{Affirmation 2 :} L'équation $f'(x) = 0$ admet 3 solutions dans $[-1~;~3]$. % %\smallskip % %\textbf{Affirmation 3 :} $1 \leqslant \displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x \leqslant 2$. % %\smallskip % %\textbf{Affirmation 4 :} La fonction $F$ est décroissante sur [0~;~1]. \begin{enumerate} \item La courbe a trois points communs avec l'axe des abscisses (en $x \approx -0,7,\:x = 1,\: x \approx 2,7$) : l'affirmation est vraie. \item Sur l'intervalle $[-1~;~3]$, il ne semble y avoir que 2 tangentes horizontales : l'affirmation est fausse. \item L'unité d'aire correspond à deux carreaux : l'encadrement semble correct ; l'affirmation est vraie. \item On a sur l'intervalle $[0~;~1]$,\:$F'(x) = f(x)$ ; or sur cet intervalle on a $f(x) \geqslant 0$. la dérivée de $F$ est positive, donc $F$ est bien croissante sur [0~;~1]. l'affirmation est vraie. \end{enumerate} %\vspace{0,5cm} \newpage \textbf{\large Exercice 2 \hfill 6 points} \bigskip Les deux parties sont indépendantes. \medskip Une agence de sondage s'est vu confier par le ministère une enquête sur la proportion de personnes consommant du café quotidiennement selon leur âge. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Les résultats sur un échantillon de personnes sont donnés ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Tranche d'âge &[20~;~30[ &[30~;~40[ &[40~;~50[ &[50~;~60[ &[60~;~70[\\ \hline $x_i$& 25 &35 &45 &55 &65\\ \hline $y_i$&42&50&65&72&84\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Pour chaque tranche d'âge, on note $x_i$ le centre de la classe et $y_i$ le taux (en pourcentage) de personnes consommant quotidiennement du café. \medskip \begin{enumerate} \item %Représenter le nuage de points $\left(x_i~;~y_i\right)$ dans le repère fourni en \textbf{annexe 1}. Voir l'annexe. \item \begin{enumerate} \item %À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite % $\mathcal{D}$ d'ajustement de $y$ en $x$, sous la forme $y = ax +b$, obtenue par la méthode des moindres carrés. En arrondissant les coefficients au centième, la calculatrice donne : $y = 1,06x + 14,9$. \item %Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique de l'\textbf{annexe 1}. Voir l'annexe \end{enumerate} \item %Le modèle d'ajustement précédent est-il adapté pour la tranche d'âge [80~;~90[ ? Justifier. Avec $x = 85$, on obtient avec le modèle de la droite d'ajustement : $y = 1,06 \times 85 + 14,9 = 90,1 + 14,9 = 105$~(\,\%) : ce résultat est stupide un pourcentage ne pouvant dépasser 100. Le modèle n'est pas adapté. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip %La consommation annuelle de café dans le monde était de $9,564$ millions de tonnes en 2018. Entre 2012 et 2018, cette consommation a augmenté d'environ 1,3\,\% en moyenne par an. % %Pour tout entier naturel $n$, on note $c_n$ la consommation mondiale de café (en million de tonnes) pour l'année $2018 + n$ . On a donc $c_0 = 9,564$. % %Dans la suite de l'exercice, on suppose que la consommation annuelle continue d'augmenter de 1,3\,\% tous les ans. % %\medskip \begin{enumerate} \item %Calculer $c_1$ et arrondir au millième. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice. On a $c_1 = 9,564 \times \left(1 + \dfrac{1,3}{100}\right) = 9,564 \times (1 + 0,013) = 9,564 \times 1,013 = \np{9.68833} \approx 9,688$ au millième près. \item %Justifier que $\left(c_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. Ajouter 1,3\,\%, c'est comme on l'a vu multiplier par 1,013. On a donc quel que soit $n$ supérieur ou égal à 1 : $u_{n+1} = 1,013u_n$ : la suite $\left(c_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $c_1 = 9,564$ et de raison $q = 1,013$. \item \begin{enumerate} \item %Pour tout entier naturel $n$, exprimer $c_n$ en fonction de $n$. On sait que pour $n \geqslant 1$, on a $c_n = c_1 \times q^{n-1}$, soit ici $c_n = 9,564 \times 1,013^{n-1}$. \item %En déduire la consommation annuelle de café en 2032 (en million de tonnes) selon ce modèle. Arrondir au millième. 2032 correspond à $n = 15$ et $c_{15} = 9,564 \times 1,013^{15-1} \approx \np{11,4597}$, soit 11,460 au millième près. \end{enumerate} \item %On souhaite savoir à partir de quelle année la consommation annuelle de café dépassera $16$ millions de tonnes. %Pour cela, on considère l'algorithme incomplet fourni \textbf{annexe 2}, où $N$ indique l'année et $C$ la consommation de café (en million de tonnes). Compléter l'algorithme pour obtenir le résultat attendu et donner le résultat. Voir l'algorithme complété à la fin. La consommation dépassera 16 pour $N = 40$, soit en 2058. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\large Exercice 3 \hfill 5 points} \bigskip \emph{Les trois parties peuvent être traitées de manière indépendante.} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip %Dans une fabrique de bonbons, les bonbons TROPBONS constituent le produit phare. Chaque paquet contient $200$~bonbons conditionnés en dix paquets individuels de vingt bonbons. % %Le paquet d'emballage pèse $4$ grammes et les paquets individuels $1$~gramme. % %On modélise la masse d'un bonbon (en gramme) par une variable aléatoire $B$ qui suit une loi normale de moyenne $5$ et d'écart type $0,08$. % %Les bonbons sont rejetés à la vérification si leur masse n'est pas comprise entre $4,77$~g et $5,23$~g. % %\medskip \begin{enumerate} \item %On choisit un bonbon au hasard avant vérification. Quelle est la probabilité qu'il soit accepté 7 Donner un arrondi au millième. La calculatrice donne $P(4,77 \leqslant B \leqslant 5,23) \approx 0,996$. \item %Un responsable qualité affirme qu'au moins 99\,\% des bonbons pèsent plus de 4,8g. A-t-il raison ? Justifier. On a $P(B\leqslant 4,8) \approx \np{0,0062}$, d'où $P(4,8 \leqslant B) = 1 - P(B\leqslant 4,8) \approx 1 - \np{0,0062} \approx \np{0,9938}$. On a $\np{0,9938} > 0,99 = \dfrac{99}{100}$ : le responsable a raison. \item %Quelle est la masse moyenne d'un paquet de $200$ bonbons ? la masse moyenne d'un paquet de 200 bonbons est : $200 \times (5 + 1) + 4 = \np{1204}$~(g). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip %Dans cette partie, on s'intéresse à la qualité des bonbons avant leur mise en sachets. % %On admet que la probabilité qu'un bonbon soit impropre à la vente est égale à $0,004$. On prélève au hasard $200$ bonbons en fin de chaîne de production. % %On suppose que la production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. % %On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de ce type, associe le nombre de bonbons impropres à la vente. % %Les paquets de bonbons doivent contenir au plus trois bonbons impropres à la vente. On tire au hasard 200 bonbons. % %En justifiant soigneusement la démarche, déterminer la probabilité que le paquet qui les contient soit accepté par le service qualité. Arrondir au millième. % $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 200$ et $p = 0,004$. On a $P(X =0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) \approx \np{0,4486} + \np{0,3603} + \np{0,1440} + \np{0,0382} \approx 0,991$. Donc un peu plus de 99\,\% de chances que le paquet soit accepté. \bigskip \newpage \textbf{Partie C} \medskip %Soucieuse de l'environnement, la fabrique de bonbons s'interroge sur la suppression des paquets individuels. % %Avant de prendre la décision, le service développement durable lance une enquête sur un échantillon de 800 consommateurs pour estimer l'influence sur les ventes d'une éventuelle suppression des sachets individuels. Parmi ces 800 consommateurs, le nombre de clients qui achèteraient ce produit avec les sachets individuels est de 735 et le nombre de clients qui achèteraient le produit sans sachets individuels est de 720. \medskip \begin{enumerate} \item %Déterminer les intervalles de confiance à 95\,\% de la proportion de clients qui achèteraient le produit avec ou sans sachets individuels. Arrondir au millième. $\bullet~~$Intervalle de confiance pour l'achat avec emballage individuel : $\left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right] = \left[\dfrac{735}{800} - \dfrac{1}{\sqrt{800}}~;~ \dfrac{735}{800} + \dfrac{1}{\sqrt{800}}\right] \approx [0,883~;~0,954]$ ; $\bullet~~$Intervalle de confiance pour l'achat sans emballage individuel : $\left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right] = \left[\dfrac{720}{800} - \dfrac{1}{\sqrt{800}}~;~ \dfrac{20}{800} + \dfrac{1}{\sqrt{800}}\right] \approx [0,865~;~0,935]$. \item %Au niveau de confiance de 95\,\%, peut-on penser que la suppression des sachets entraînera une baisse de la consommation ? Justifier. Le deuxième intervalle de confiance est inclus dans le premier : la suppression de l'emballage individuel n'aura pas d'influence sur les ventes. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\large Exercice 4 \hfill 5 points} \bigskip \emph{Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.} \medskip Un bassin d'eau contenant \np{50000}~m$^3$ a subi une pollution aux nitrates. Des mesures ont permis d'estimer qu'à l'instant $t_0$ la concentration en nitrate est de \np{10000}~mg/L. Un travail de dépollution est mis en œuvre et on note $f(t)$ la concentration en nitrate dans l'eau, en mg/L, à l'instant $t$ exprimé en heure, en prenant $t_0 = 0$. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip On admet que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $E :\quad y' + 0,2 y = 8$ sur $[0~;~ +\infty[$ , où $y$ est une fonction de la variable $t$ définie et dérivable sur $[0~;~ +\infty[$, et $y'$ la fonction dérivée de $y$. \medskip \begin{enumerate} \item %Déterminer les solutions de l'équation différentielle $E$. L'équation sans second membre $y'+0,2y=0$ a pour solution générale $t\longmapsto K\e^{-0,2t}$ où $K$ est un réel quelconque. L'équation $E$ a pour solution particulière la fonction $x \longmapsto \dfrac{8}{0,2}$ soit la fonction $x \longmapsto 40$. Donc la solution générale $f$ de l'équation $E$ est définie par $f(x)= K \e^{-0,2t} +40$ où $K$ est un réel quelconque. \item \begin{enumerate} \item %Expliquer pourquoi $f(0) = \np{10000}$. À l'instant $t_0=0$, la concentration en nitrate est de \np{10000}~mg/L, donc $f(0) = \np{10000}$. \item% En déduire l'expression de $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. $f(0) = \np{10000} \iff K \e^{0} + 40 = \np{10000} \iff K=\np{9960}$. Donc la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par $f(t) = \np{9960}\e^{-0,2t} + 40$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On admet dans cette partie que sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$,\: $f(t) = \np{9960}\e^{-0,2t} + 40$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Calculer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$. $f'(x)= \np{9960} \times (-0,2)\e^{-0,2t} + 0 = -\np{1992}\e^{-0,2t}$. \item Pour tout $t$, $\e^{-0,2t}>0$, donc $f'(t)<0$ et donc la concentration de polluant est décroissante dans le temps. \end{enumerate} \item Un logiciel de calcul formel fournit les résultats suivants, qui pourront être utilisés sans justification : \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabular}{|l|}\hline $f(t) = \np{9960}\e^{-0,2t} + 40$\\ $\rightarrow \np{9960}\e^{-0,2t} + 40$\\ \hline Limite $f(t),\: +\infty$\\ $\rightarrow 40$\\ \hline \end{tabular} \end{center} D'après le logiciel de calcul formel, la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à 40. %Que signifie cette limite dans le contexte de l'exercice ? Cela signifie que la concentration en nitrates va tendre vers 40~mg/L. \item Une eau est considérée comme potable lorsque la concentration en nitrate est inférieure à $50$~mg/L. %Combien de temps au minimum doit-on attendre pour atteindre cette concentration ? % %On donnera le résultat en heure minute, arrondi à la minute. On cherche donc $t$ pour que $f(t)<50$; on résout cette inéquation: $f(t)<50 \iff \np{9960}\e^{-0,2t} + 40 < 50 \iff \e^{-0,2t} < \dfrac{50-40}{\np{9960}} \iff -0,2t < \ln \left (\dfrac{1}{996}\right ) \\ \phantom{f(t)<50} \iff t> \dfrac{1}{-0,2} \ln \left (\dfrac{1}{996}\right ) \iff t > 34,519$ \smallskip Or $0,519 \times 60 \approx 31,1$ donc le temps minimum pour atteindre une concentration inférieur à 50~mg/L est de 34~h~32~min. \end{enumerate} \newpage \textbf{\Large Annexe} \medskip \textbf{À rendre avec la copie} \medskip \textbf{Exercice 2} \medskip \textbf{Annexe 1} \begin{center} \psset{unit=0.1cm} \begin{pspicture}(-4,-4)(120,120) \multido{\n=0+5}{25}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,120)} \multido{\n=0+20}{6}{\psline[linewidth=0.8pt](\n,0)(\n,120)} \multido{\n=0+5}{25}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(120,\n)} \multido{\n=0+20}{6}{\psline[linewidth=0.8pt](0,\n)(120,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(120,120) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=20](0,0)(0,0)(120,120) \psdots[linewidth=1.25pt,dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.9,linecolor=red](25,42)(35,50)(45,65)(55,72)(65,84) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{90}{1.06 x mul 14.9 add} \end{pspicture} \end{center} \bigskip \textbf{Annexe 2} \medskip \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline $N \gets 0$\\ $C \gets 9,564$\\ Tant que {\red $C \leqslant 16$}\\ \qquad $N \gets N + 1$\\ \qquad $C \gets {\red C*1,013} $\\ Fin Tant que\\ $N \gets 2018 + N$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{document}