\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} %tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{pifont} \usepackage{diagbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé STL Physique de laboratoire Métropole}, pdftitle = {juin 2012}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat STL Physique de laboratoire et de procédés industriels} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{20 juin 2012}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL Métropole 20 juin 2012 \decofourright\\[4pt]Physique de laboratoire et de procédés industriels }} \vspace{0,25cm} Durée de l'épreuve : 4 heures \hfill Coefficient : 4 \end{center} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip %Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm. % %On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$. % %\medskip \textbf{I.} %On considère l'équation : $z^2 - 4\sqrt{2}z + 16 = 0$. %Résoudre cette équation dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes. $\Delta = \left(4\sqrt{2} \right)^2 - 4 \times 16 = 32 - 64 = - 32 = \left(4\text{i}\sqrt{2} \right)^2$. Le discriminant est négatif : il y a donc deux racines complexes conjuguées : \[z_1 = \dfrac{4\sqrt{2} + 4\text{i}\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} + 2\text{i}\sqrt{2} \quad \text{et}\:\:z_2 = 2\sqrt{2} - 2\text{i}\sqrt{2}.\] On peut écrire $z_1 = 2\sqrt{2}(1 + \text{i})$ et $z_2 = 2\sqrt{2}(1 - \text{i})$. \medskip \textbf{II.} %On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives: \[z_{\text{A}} = 4,\quad z_{\text{B}} = 2\sqrt{2} + 2\text{i}\sqrt{2},\quad z_{\text{C}} = 2 + 2\text{i}\quad \text{et}\:\: z_{\text{D}} = 1 - 3\text{i}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Déterminer le module et un argument des nombres $z_{\text{A}}, z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ puis donner leur expression sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta},\: r > 0.$ $\bullet~~$$z_{\text{A}}$ a pour module 4 et pour argument 0 ; $z_{\text{A}} = 4\text{e}^{\text{i}0}$ $\bullet~~$$z_{\text{B}}$ : On a $\left|z_{\text{B}} \right|^2 = \left(2\sqrt{2} \right)^2 + \left(2\sqrt{2}\right)^2 = 8 + 8 = 16 = 4^2$, donc $\left|z_{\text{B}}\right| = 4$. Son argument $\theta$ est tel que $\cos \theta = \dfrac{2\sqrt{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin \theta = \dfrac{2\sqrt{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ : donc $\theta = \dfrac{\pi}{4}$. Donc $z_{\text{B}} = 4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$. $\bullet~~$$z_{\text{C}}$ : On a $\left|z_{\text{C}} \right|^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8 = (2\sqrt{2})^2$, donc $\left|z_{\text{B}} \right| = 2\sqrt{2}$. Son argument $\theta$ est tel que $\cos \theta = \dfrac{2}{2\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin \theta = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ : donc $\theta = \dfrac{\pi}{4}$. Donc $z_{\text{C}} = 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$. \item ~%Placer les points A, B, C et D dans le repère. \begin{center} \psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture*}(-2,-5.5)(5.5,4.5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=cyan] \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-5.5)(5.5,4.5) \psarc(0,0){4}{0}{90} \psline(4.5,4.5) \psdots(4,0)(2.828,2.828)(2,2)(1,-3)(3,-5)(0,4) \uput[ur](4,0){A} \uput[r](2.828,2.828){B} \uput[ul](2,2){C} \uput[dl](1,-3){D} \uput[ur](3,-5){E} \uput[l](0,4){B$'$}\uput[dl](0,0){O} \pspolygon[linecolor=red](4,0)(2,2)(1,-3)(3,-5) \end{pspicture*} \end{center} \end{enumerate} \item %Démontrer que les points O, B et C sont alignés. $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ ont le même argument $\dfrac{\pi}{4}$ ; B et C sont donc sur la bissectrice de l'angle $\left(\vect{u},~\vect{v} \right)$ : O, B et C sont alignés. \item %Quelle est la nature du triangle ACD ? Justifier la réponse. On a $\vect{\text{CA}}(2~;- 2)$ et $\vect{\text{AD}}(- 3~;~- 3)$. Donc le produit scalaire $\vect{\text{CA}} \cdot \vect{\text{AD}} = 2 \times (- 3) + (- 2) \times (- 3) = - 6 + 6 = 0$ ; les vecteurs sont orthogonaux, donc (CA) et (AD) sont perpendiculaires en A : le triangle CAD est rectangle en A. \emph{Autre méthode} :sur la figure avec les carreaux unités : CA$^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$ ; AD$^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$ ; CD$^2 = 1^2 + 5^2 = 1 + 25 = 26$. Comme $8 + 18 = 26$, $\text{CA}^2 + \text{AD}^2 = \text{CD}^2$, ce qui montre par la réciproque du théorème de Pythagore que le triangle CAD est rectangle en A. \item %Déterminer l'affixe du point E tel que ACDE soit un parallélogramme. Placer E. Le milieu de [AD] est le milieu de [CE] ; les coordonnées $(x~;y)$ de vérifient donc : $\left\{\begin{array}{l c l} \frac{1 + 4}{2} &=&\frac{2 + x}{2}\\ \frac{0 - 3}{2}&=&\frac{2 + y}{2} \end{array}\right.$ soit $\left\{\begin{array}{l c l} 5 &=&2 + x\\ - 3&=&2 + y \end{array}\right.$ d'où $x = 3$ et $y = - 5$. Donc E$(3~;~- 5)$. \item \begin{enumerate} \item %Démontrer que B est l'image de A par une rotation $r$ de centre O dont on déterminera l'angle. A est sur l'axe des abscisses et on a vu qu'un argument de $z_{\text{A}}$ est $\frac{\pi}{4}$. D'autre part $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ ont le même argument 4 ; doncB est l'image de A dans la rotation de centre O et d'angle $\frac{\pi}{4}$ \item %Calculer l'affixe du point B$'$, image de B par $r$ (on donnera le résultat sous forme algébrique). Placer le point B$'$. On vient de voir que $4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} = 4 \times \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ soit $z_{\text{B}} = z_{\text{A}} \times \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$. On a donc de même : $z_{\text{B}'} = z_{\text{B}} \times \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} = 4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} \times \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} = 4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}} = 4\text{i}$. Le point B$'$ est sur l'axe des ordonnées. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \medskip %Une entreprise commercialise un appareil électrique. Un client qui achète cet appareil peut l'emporter immédiatement, ou se faire livrer à domicile. % %\medskip % %Dans le cas de la livraison, deux services sont proposés aux clients : % %\setlength\parindent{6mm} %\begin{itemize} %\item livraison simple %\item livraison avec mise en service %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %Le prix de l'appareil en magasin est de 120\:\euro. % % %En cas de livraison, les tarifs des services supplémentaires sont les suivants : % %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{p{3cm}X} %- frais de livraison :& 15 euros pour une livraison à une distance inférieure ou égale à 50 km \\ %& 25 euros pour une livraison à une distance supérieure à 50 km\\ %- frais de mise en service :&20 euros\\ %\end{tabularx} % %\medskip % %Une étude a été réalisée sur un lot de \np{1000} appareils vendus. Le tableau suivant indique la répartition des effectifs, en fonction des choix des clients et des distances de livraison : % %\medskip % %\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5} %\multicolumn{1}{c|}{~} &Emporté&Livré de 0 à 50 km &Livré à plus de 50 km& TOTAL\\ \hline %Sans mise en service &550 &100 & 50 & 700\\ \hline %Avec mise en service & &200 &100 &300\\ \hline % &550 &300 &150 &\np{1000}\\ \hline %\end{tabularx} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Calculer la probabilité $p_{1}$ qu'un appareil choisi au hasard dans ce lot, ait été livré avec mise en service. $p_1 = \dfrac{300}{\np{1000}} = 0,3$. \item %Calculer la probabilité $p_{2}$ qu'un appareil choisi au hasard dans ce lot, ait été livré. $p_2 = \dfrac{300 + 150}{\np{1000}} = \dfrac{450}{\np{1000}} = 0,45$. \end{enumerate} \item Soit $F$ la variable aléatoire égale au montant facturé pour un appareil. \begin{enumerate} \item %Donner les cinq valeurs prises par la variable aléatoire $F$. (Par exemple, pour un appareil livré à moins de 50 km avec mise en service, $F$ prend la valeur 155). $F$ peut prendre 120,\:135,\: 145,\:155,\:165 comme valeurs. \item ~%Déterminer la loi de probabilité de $F$. \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline $x_i$ &120 &135 &145 &155 &165\\ \hline $p(F = x_i)$ &0,55 &0,1 &0,05 &0,2 &0,1\\ \hline \end{tabularx} \item %Calculer son espérance mathématique. On a E$(F) = 120 \times 0,55 + 135\times 0,1 + 145 \times 0,05 + 155 \times 0,2 + 165 \times 0,1 = 134,25$. \item %Interpréter ce résultat. On peut estimer la dépense moyenne moyenne pour chacune des personnes interrogées à 134,25~\euro. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points} \medskip \textbf{Partie A : utilisation d'un graphique} \medskip Dans le repère orthonormé ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}_{g}$ est la représentation graphique d'une fonction $g$, définie sur $]0~;~- \infty[$, que l'on se propose de déterminer. La droite $d$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point d'abscisse 1 et l'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}_{g}$. \medskip \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(7,6) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(7,6) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(7,6) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[u](6.8,2){$d$}\uput[d](5.5,4.7){\blue $\mathcal{C}_{g}$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{6.93}{x 1 add x ln sub} \psline(-0.5,2)(7,2) \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item Donner, en utilisant le graphique: \begin{enumerate} \item %le minimum de la fonction $g$ sur $]0~;~+\infty[$ et la valeur en laquelle il est atteint. Le minimum de la fonction $g$ sur $]0~;~+\infty[$ semble être 2. \item %le signe de la fonction $g$ sur $]0~;~+\infty[$. La fonction est positive et même $g(x) \geqslant 2$. \item %la limite de $g$ en $0$. Il semble que $\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x) = + \infty$. \end{enumerate} \item %Expliquer pourquoi $g^{\prime}(1) = 0$. Puisque $d$ est tangente à $\mathcal{C}_{g}$ au point d'abscisse 1, le nombre dérivé en 1 est nul : $f'(1) = 0$. %On admet que la fonction $g$ a pour expression : $g(x) = a x + b - \ln x$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels que l'on souhaite déterminer. %En utilisant les résultats des questions 1. a. et 2. déterminer les valeurs de $a$ et $b$ et en déduire que : % %\[g(x) = x + 1 - \ln x.\] On a $g(1) = 2$, soit $a + b - \ln 1 = 2$ ou $a + b = 2$ ; D'autre part $g'(x) = a - \dfrac{1}{x}$, donc $g'(1) = 0$ s'écrit $a - 1 = 0$, d'où $a = 1$ et d'après la relation $a + b = 2$, $b = 1$. Conclusion $g(x) = x + 1 - \ln x$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath \medskip %Soit la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par : \[f(x) = \ln x + \dfrac{\ln x}{x}.\] %On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé \Oij{} d'unité graphique 2~cm. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$. On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$ et que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln x = + \infty$, d'où par somme de limites : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$. \item %En remarquant que $f(x) = \left(1 + \dfrac{1}{x}\right) \ln x$, déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$. $f(x) = \left(1 + \dfrac{1}{x}\right) \ln x$. On a $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x} = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty$, d'où par produit de limites $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$ : l'axe des ordonnées est asymptote verticale à $\mathcal{C}_{f}$ %Interpréter graphiquement le résultat. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$ et vérifier que, pour tout $x$ de $]0~;~ +\infty[$ : On a $f'(x) = \dfrac{1}{x} + \dfrac{\frac{1}{x} \times x - \ln x \times 1}{x^2} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1 - \ln x}{x^2} = \dfrac{x + 1 - \ln x}{x^2} = \dfrac{g(x)}{x^2}$. %\[f^{\prime}(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}.\] \item %Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~ +\infty[$. On a vu que sur $]0~;~ +\infty[, \: g(x) > 0$, donc $f'(x) > 0$ : la fonction $f$ est strictement croissante sur $]0~;~ +\infty[$ de moins l'infini à plus l'infini. De plus $f(1 ) = 0$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item %Vérifier que, pour tout $x$ de $]0~;~+\infty[$ : %\[f(x) = \dfrac{(x+1)\ln x}{x}\] $f(x) = \ln x + \dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{x\ln x}{x} + \dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{x\ln x + \ln x}{x} = \dfrac{(x + 1)\ln x}{x}$. \item %En déduire les coordonnées du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ avec l'axe des abscisses. D'après l'écriture précédente $f(x) = 0$ si $(x + 1)\ln x = 0$ soit si $x + 1 = 0$ ou $\ln x = 0$, donc si $x = -1$ ou $x = 1$. Seule la seconde solution est possible. Conclusion : $\mathcal{C}_{f}$ coupe l'axe des abscisses au seul point d'abscisse 1. \end{enumerate} \item %Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 1. On a $f'(1) = \dfrac{g(1)}{1^2} = g(1) = 2$. Une équation de T est donc $y = f(1) + (x - 1)f'(1)$, soit $y = 0 + 2(x - 1)$ et enfin $y = 2x - 2$. \item ~%~Tracer la droite $T$ et la courbe $\mathcal{C}_{f}$ dans le repère orthonormé \Oij{} sur une feuille de papier millimétré. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture*}(-0.5,-5.5)(7,2.8) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,-5.5)(7,6) \psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,-5.5)(7,2.8) \psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) \uput[d](6.8,2.2){\cyan $\mathcal{C}_{f}$} \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0.01}{6.73}{1 x div 1 add x ln mul} \pscustom[fillstyle=hlines]{ \psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{1}{2.71828}{1 x div 1 add x ln mul} \psline(2.71828,0)(1,0)} \end{pspicture*} \end{center} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : détermination d'une aire} \medskip \begin{enumerate} \item %On appelle $\mathcal{A}$ la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}_{f}$ l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$. %Hachurer $\mathcal{A}$ sur le graphique précédent. Voir ci-dessus. \item %On considère la fonction $F$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par \[F(x) = x \ln x - x + \dfrac{1}{2} (\ln x)^2.\] On a $F'(x) = \ln x + x \times \dfrac{1}{x} - 1 + \dfrac{1}{2}\times 2 \times \dfrac{1}{x} \times \ln x = \ln x + 1 - 1 + \dfrac{\ln x}{x} = \ln x + \dfrac{\ln x}{x} = f(x)$, ce qui montre que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+\infty[$. %Démontrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0~;~+\infty[$. \item %Déterminer la valeur de l'aire de la partie $\mathcal{A}$ du plan, exprimée en unités d'aire, %puis en cm$^2$ ? On a donc $\mathcal{A} = \displaystyle\int_1^{\text{e}} f(x) \:\text{d}x = \left[F(x) \right]_1^{\text{e}} = F(\text{e}) - F(1) = \text{e} \ln \text{e} - \text{e} + \dfrac{1}{2} (\ln \text{e})^2 - \left[1 \ln 1 - 1 + \dfrac{1}{2} (\ln 1)^2 \right] = \text{e} - \text{e} + \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{3}{2} = 1,5$~unité d'aire. Comme une unité d'aire est égale à $2 \times 2 = 4$~cm$^2$, on a : \[\mathcal{A} = 1,5 \times 4 = 6~\text{cm}^2.\] \end{enumerate} \end{document}