\documentclass[10pt,a4paper,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{xspace} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,amstext,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage[euler]{textgreek} \usepackage{textcomp,enumitem} \usepackage[table]{xcolor} \usepackage{lscape} \usepackage{graphicx} %tapuscrit :Jean-Claude Souque %Corrigé : Jean-Claude Souque \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-tree,pst-plot,pst-text,pst-eucl,pst-bar,pst-func,pst-math,pstricks-add} \usepackage[squaren, Gray, cdot]{SIunits} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \makeatletter \def\hlinewd#1{% \noalign{\ifnum0=`}\fi\hrule \@height #1 % \futurelet\reserved@a\@xhline} \makeatother \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat STL biotechnologies correction}, pdftitle = {Antilles-Guyane - 20 juin 2018 }, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage{babel} \usepackage[np]{numprint} \renewcommand\arraystretch{1.2} \newcommand{\e}{\text{e}} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat Sciences et Technologies de laboratoire (STL)\\ spécialité Biotechnologies} \lfoot{\small{Antilles-Guyane}} \rfoot{\small{20 juin 2018}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STL spécialité biotechnologies ~\decofourright\\[5pt] Antilles-Guyane 20 juin 2018}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \vspace{0.25cm} {\footnotesize L’utilisation d’un antiseptique permet de diminuer la population de bactéries. Le tableau ci-dessous donne le nombre de bactéries en fonction du temps en minutes. \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{0.835\linewidth}{|m{3.25cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Temps en minutes : $t_i$ &0 &2 &4 &6& 8& 10\\ \hline Nombre de bactéries : $n_i$& \np{15000}& \np{11 000} &\np{8 400}&\np{6 600} &\np{5 500}& \np{4 600}\\\hline \end{tabularx} \end{center} \medskip } \begin{enumerate} \item Le nuage de points de coordonnées $(t_i~;~n_i)$ est représenté sur une feuille de papier millimétré. %en prenant \np[cm]{1} pour 1 minute en abscisses et \np[cm]{1} pour \np{1000} bactéries en ordonnées. \item On estime qu’un ajustement affine n’est pas pertinent. On choisit d’effectuer un changement de variable en posant : $y_i=\ln(n_i)$ \begin{enumerate} \item Le tableau suivant, est complété dans l’\textbf{annexe à rendre avec la copie, page \pageref{annexe}} en donnant des valeurs approchées arrondies à 0,001 près des résultats. \end{enumerate} \medskip \begin{tabularx}{0.835\linewidth}{|m{3.25cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Temps en minutes : $t_i$ &0& 2& 4& 6& 8& 10\\\hline $y_i=\ln(n_i)$& 9,616&&&&&\\\hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate}[resume] \item À l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement affine par la méthode des moindres carrés de $y$ en $t$ est $y=-\np{0.118}t+\np{9.555}$. Les coefficients sont arrondis à 0,001. \end{enumerate} \item Dans la suite, on suppose que la droite d’ajustement affine de $y$ en $t$ obtenue par la méthode des moindres carrés a pour équation $y=-0,12t+9,55$. On admet que le modèle reste valable au-delà de 10 minutes. \begin{enumerate} \item Donnons une estimation du nombre de bactéries au bout de 15 minutes. Remplaçons $t$ par sa valeur dans l'équation de la droite. $y=-\np{0.12}\times 15+\np{9.55}=\np{7.75}$. $y=\ln n\iff n=\e^y$. Il en résulte $n=\e^{\np{7.75}}\approx \np{2321.57}$. Une estimation du nombre de bactéries au bout de quinze minutes est, à la centaine près, de \np{2400}. \item Déterminons au bout de combien de temps nous pouvons estimer que le nombre de bactéries est inférieur à 100. Déterminons d'abord l'ordonnée du point de la droite correspondant à un effectif de 100. $ y=\ln 100\approx \np{4.605}$. Déterminons maintenant l'abscisse du point correspondant à cette ordonnée. Résolvons $-\np{0.12}t+\np{9.55}=\np{4.605}$. $\np{0.12}t=\np{9.55}-\np{4.605}$ d'où $t= \dfrac{\np{9.55}-\np{4.605}}{\np{0.12}}\approx \np{41.208}$. Nous pouvons estimer, à la minute près, que le nombre de bactéries sera inférieur à cent au bout de quarante-deux minutes. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice} 2 \hfill 5 points} \medskip {\footnotesize En décembre 2017, Vincent emprunte \np{5 000} \,\euro{} à ses parents pour acheter une voiture. Il décide de les rembourser le premier jour de chaque mois. Le 1\up{er} janvier 2018, il effectue un premier versement de 100\,\euro. Pour limiter la durée du prêt, il décide ensuite d’augmenter les versements de 2\,\% chaque mois.} \begin{enumerate} \item À une augmentation de 2\,\% correspond un coefficient multiplicateur de $1+\dfrac{2}{100}$ soit \np{1.02}. Le montant versé le 1\up{er} février 2018 sera de $100\times \np{1.02}$ soit 102\,\euro. \item On modélise la situation par une suite $u$. On note $u_n$ le montant versé le n-ième mois. On a donc $u_1=100$. \begin{enumerate} \item La suite $u$ est géométrique de raison \np{1.02} puisque le remboursement d'un mois $n$ à l'autre $n+1$ est multiplié par \np{1.02}.% préciser sa raison. \item Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_1$ et de raison $q$ est : $u_n=u_1\times (q)^{n-1}$. $u_n=100\times \left(\np{1.02}\right)^{n-1}$. \item Le montant que Vincent versera le 1\up{er} décembre 2018 est $u_{12}$. $u_{12}=100\times (\np{1.02})^{11}\approx \np{124.34}$. Vincent remboursera, à 0,01 près, 124,34\euro. \item Pour savoir si Vincent aura remboursé un quart de ce qu’il doit à ses parents le 30 décembre 2018, calculons la somme $S$ des versements effectués. $\displaystyle S=\sum_{i=1}^{i=12}u_i=u_1\times \dfrac{q^{12}-1}{q-1}.\ S=100\times \dfrac{\np{1.02}^{12}-1}{\np{0.02}}\approx \np{1341.21}$. Au 30 décembre 2018, Vincent aura remboursé un peu plus du quart de la somme due (\np{1341.21}>\np{1250}). \end{enumerate} \item On considère l’algorithme suivant : \begin{center} {\footnotesize \begin{tabular}{|l|} \hline $n \longleftarrow 1$\\ $u \longleftarrow 100$\\ $S \longleftarrow 100$\\ Tant que $S < \np{5000}$\\ \hspace{3em}$n \longleftarrow n + 1$\\ \hspace{3em}$u \longleftarrow 1,02 \times u$\\ \hspace{3em}$S \longleftarrow S + u$\\ Fin Tant que\\ \hline \end{tabular}} \end{center} \begin{enumerate} \item Nous avons exécuté pas à pas cet algorithme en remplissant le tableau en\textbf{ annexe à rendre avec la copie, page \pageref{annexe}}, avec les premières valeurs successives prises par les variables $u$ et $S$ arrondies au centime. \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Valeurs de $n$&1& 2& 3& 4\\\hline Valeurs de $u$ &100&&&\\\hline Valeurs de $S$ &100&&&\cellcolor{lightgray}\\\hline \end{tabularx} \item Le nombre inscrit dans la cellule grisée représente le total de ses remboursements au 30 avril 2018. \item La valeur de la variable $n$ représente, après l’exécution complète de l’algorithme, le nombre de remboursements effectués ou la durée du remboursement. \emph{Il n’est pas attendu de la calculer. À titre informatif, il faut compter trois ans.} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice} 3 \hfill 5 points} \vspace{0.5cm} {\footnotesize Une catastrophe a rendu impropre à la consommation l’eau potable d’une commune. L’eau du réseau contient une substance chimique dont l’évolution de la concentration en fonction du temps $t$ écoulé depuis le début de la pollution est modélisée par la fonction $f$ telle que : \[ f(t)=30\e^{-0,06t}\] La fonction $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$. $f(t)$ est en mg$\cdot \mathrm{L}^{-1}$ et $t$ en heures. } \begin{enumerate} \item Résolvons l’équation différentielle (E) : $y'+\np{0.06}y=0$ Les solutions de l'équation différentielle $y'+ay=0$ sur $\R$ sont les fonctions $y$ définies par $y(x)=C\e^{-ax}$ où $C$ est une constante quelconque. $a=-\np{0.06}$ par conséquent sur $[0~;~+\infty[$, $f(t)=C \e^{-\np{0.06}t}$ où $C$ est une constante quelconque. \item La fonction $f$ est une solution de l’équation différentielle (E) où $C=30$. \item $f(0)=30$. Ce résultat est la concentration en mg$\cdot$L$^{-1}$de la substance chimique dans l'eau potable au début de la pollution. \item La concentration, à $10^{-2}$ près, de la substance chimique dans l’eau au bout d’une journée est $f(24)$. $f(24)=30\e^{-\np{0.06}\times 24}\approx \np{7.11}$. \item L’eau sera à nouveau consommable si la concentration de la substance chimique dans l’eau est inférieure à \np [mg\cdot L^{-1}]{0,05}. Pour connaître au bout de combien de temps nous pourrons de nouveau consommer l’eau du robinet, résolvons $f(t)\leqslant \np{0.05}$. \begin{minipage}[]{6cm} \begin{align*} 30\e^{-\np{0.06}t}&\leqslant \np{0.05}\\ \e^{-\np{0.06}t}&\leqslant \dfrac{\np{0.05}}{30}\\ \e^{-\np{0.06}t}&\leqslant \dfrac{1}{600}\\ \end{align*} \end{minipage} \begin{minipage}[]{6cm} \begin{align*} \ln\left(\e^{-\np{0.06}t}\right)&\leqslant \ln \dfrac{1}{600}\\ -\np{0.06}t&\leqslant -\ln 600\\ t &\geqslant \dfrac{\ln 600}{\np{0.06}}\\ \end{align*} \end{minipage} $\dfrac{\ln 600}{\np{0.06}}\approx \np{106.615}$ Nous pouvons estimer que l'eau sera de nouveau potable au bout de quatre jours dix heures trente-sept minutes. {\footnotesize \emph{Remarque} si la réponse est à une heure près, la réponse est \np[h]{107}.} \item On admet que la concentration moyenne de la substance chimique dans l’eau, lors des douze premières heures, est donnée par la formule : \[C=\dfrac{1}{12}\int_{0}^{12} f(t)\mathrm{d}t\] \begin{enumerate} \item Vérifions que la fonction $F$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par $F(t)=-500\e^{-0,06t}$ est une primitive de $f$. Pour ce faire, dérivons $F$. $F'(t)=-500\times (-\np{0.06})\e^{-\np{0.06}t}=30\e^{-\np{0.06}t}=f(t)$. $F$ est une primitive de $f$ sur $[0~;~+\infty[$. \item Calculons la valeur exacte de $C$. $C=\displaystyle \dfrac{1}{12}\int_{0}^{12} f(t)\mathrm{d}t=\dfrac{1}{12}\left[-500\e^{-0,06t} \right]_0^{12}=\dfrac{1}{12}\left( -500\e^{-\np{0.06}\times12}+500\right)$. $C=\dfrac{1}{12}\left(500-500\e^{-\np{0.72}}\right)=\dfrac{125}{3}\left(1-\e^{-\np{0.72}}\right)$. \item Une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la concentration moyenne de la substance chimique dans l’eau, lors des douze premières heures est de $\np[mg\cdot L^{-1}]{21.39}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsc{Exercice} 4 \hfill 5 points} \medskip {\footnotesize Une entreprise fabrique en grande série des éprouvettes de volume théorique 20 mL, destinées à être utilisées en laboratoire. \emph{Les résultats seront donnés par des valeurs approchées, arrondies à 0,001.} } \medskip \textbf{PARTIE A :} \medskip On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque éprouvette, associe son volume en mL. $X$ suit une loi normale dont la densité est représentée ci-dessous. On admet que l’écart-type de $X$ est $\sigma = 0,01$. \begin{center} \psset{xunit=100cm,yunit=0.14cm,arrowsize=5pt,yAxis=false,comma=true} \scalebox{0.5}{ \begin{pspicture}(-0.012,-10)(0.07,40) %\rput(16,0.07){$\mathcal{N}(6;2,19)$} \psaxes[Dx=0.01,Ox=19.96]{->}(0,0)(-0.009,0)(0.09,40) \psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0.04,sigma=0.01]{0}{0.09} \psline[linewidth=0.75pt](0.04,0)(0.04,39.8942) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gray]{ \psline[linewidth=0.4pt](0,0)(0,0.013383) \psGauss[linecolor=blue,linewidth=1pt,mue=0.04,sigma=0.01]{0}{0.02} \psline[linewidth=0.4pt](0.02,5.3991)(0.02,0) } \end{pspicture} } \end{center} \begin{enumerate} \item En utilisant le graphique, l’espérance de $X$ est \textmu{} soit 20. \item L’aire de la partie grisée sur le graphique représente la probabilité que $X$ soit inférieure à \np{19.98}, autrement dit $P(X\leqslant \np{19.98})$. \item Calculons la probabilité que le volume de l’éprouvette soit compris entre \np[mL]{19,975} et \np[mL]{20,025}. À l'aide de la calculatrice , arrondie à $10^{-3}, P(\np{19.975}\leqslant X \leqslant \np{20.025})\approx \np{0.988}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{PARTIE B :} \medskip {\footnotesize Une éprouvette est dite conforme si son volume est compris entre \np[mL]{19,975} et \np[mL]{20,025}. Un laboratoire commande un lot de \np{1000} éprouvettes. Ces éprouvettes sont prélevées dans le stock de manière aléatoire. On considère le stock suffisamment grand pour que le prélèvement soit assimilé à un tirage aléatoire avec remise. L’entreprise assure que la probabilité qu’une éprouvette ne soit pas conforme, dans un tel stock, est de 0,012.} \begin{enumerate} \item $n > 30,\ np = 12 > 5,\ np(1-p)=\np{11.856} > 5$. Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion observée est : \[\Bigg[p -1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}} ~,~ p +1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}}\Bigg]\] $\Bigg[\np{0.012} - 1,96 \sqrt{\dfrac{\np{0.012} (1- \np{0.012} )}{\np{1000}}}~ ;~ \np{0.012} +1,96 \sqrt{\dfrac{\np{0.012} (1- \np{0.012})}{\np{1000}}}\Bigg]\approx \big[\np{0.006}~;~\np{0.018}\big]$ {\footnotesize Les bornes de l'intervalle sont arrondies à $10^{-3}$} \item Dans ce lot de \np{1000} éprouvettes, le laboratoire a trouvé 9 éprouvettes non conformes. La fréquence d'éprouvettes qui ne sont pas conformes est $\dfrac{9}{\np{1000}}=\np{0.009}$. En utilisant l'intervalle de fluctuation précédent, nous pouvons dire, que la proportion d'éprouvettes non conformes appartient à l'intervalle de fluctuation. Au risque de 5\,\% l’annonce faite par l’entreprise est acceptable. \end{enumerate} \newpage \textbf{Annexe à numéroter et à remettre avec la copie à la fin de l’épreuve même non complétée } %\smallskip %\textbf{(placer à l’intérieur de la copie pour agrafage)} \vspace{0.5cm} \renewcommand\arraystretch{1.9} \textbf{\textsc{Exercice} 1 Question 2. a.} \medskip \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|m{3.2cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Temps en minutes : $t_i$ &0 &2 &4 &6 &8 & 10\\\hline $y_i=\ln(n_i)$ &9,616 &\np{9.306} &\np{9.036} &\np{8.795} &\np{8.613} &\np{8.434}\\\hline \end{tabularx} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{\textsc{EXERCICE }2 Question 3. a.} \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Valeurs de $n$&1& 2& 3& 4\\\hline Valeurs de $u$ &100&102&\np{104.04}&\np{106.12}\\\hline Valeurs de $S$ &100&202&\np{306.04}&\np{412.16}\cellcolor{lightgray}\\\hline \end{tabularx} \label{annexe} \medskip \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=0.001cm,labelFontSize=\scriptstyle} \scalebox{0.7}{ \begin{pspicture}(-1,-1)(12,17000) \multido{\n=0+100}{161}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](0,\n)(12,\n)} \multido{\n=0+0.1}{121}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,16000)} \multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=gray](\n,0)(\n,16000)} \multido{\n=0+1000}{17}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=gray](0,\n)(12,\n)} \psaxes[linewidth=0.95pt,Dy=1000]{->}(0,0)(-0.1,-100)(12.6,16500) \psdots[dotstyle=+,dotscale=1.6, dotangle=45](0,15000)(2,11000)(4,8400)(6,6600)(8,5500)(10,4600) \end{pspicture} } \end{center} \end{document} \end{document}