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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies de laboratoire (STL)spécialité Biotechnologies}
\lfoot{\small{métropole}}
\rfoot{\small{6 septembre 2018}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL spécialité biotechnologies  Métropole~\decofourright\\[5pt] 6 septembre  2018}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill (6 points)}  

\vspace{0.25cm}

\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à l’unité, sauf mention contraire.}

\medskip
{\footnotesize
Cyprien et Cloé, élèves de Terminale STL Biotechnologies, s’intéressent au protocole d’un examen
d’imagerie médicale, qui nécessite de préparer une dose de produit radioactif. Ils disposent du tableau
suivant, qui donne le nombre de milliards de noyaux radioactifs présents dans le produit préparé en
fonction du temps $t$, exprimé en minutes.

\smallskip
\begin{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Temps en minutes : $t_i$ 		&0 			&20		& 40		& 60	& 80		& 100		& 120\\\hline
Nombre de milliards
de noyaux radioactifs : $y_i$	&\np{8000}&\np{7400}&\np{6800} & \np{6300}&\np{5800} &\np{5400} & \np{4900}\\\hline
\end{tabularx}

\end{center}
\smallskip 

Au moment de son injection au patient, le produit ne doit pas contenir plus de \np{2600} milliards de noyaux
radioactifs. Cyprien et Cloé souhaitent alors déterminer combien de temps, une fois le produit prêt, il
faut attendre avant de l’injecter au patient.
}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Cyprien propose d’utiliser un ajustement affine.

\medskip

\begin{enumerate}
\item   Le nuage de points de coordonnées $(t_i , y_i)$ est représenté dans le repère fourni en \textbf{annexe, à rendre avec la copie}. %Dans ce repère, 1 unité est égale à 20 minutes en abscisse et à 200 milliards de noyaux radioactifs en ordonnée. 
\item À l’aide de la calculatrice, une équation de la droite d’ajustement de $y$ en $t$ par la
méthode des moindres carrés est $y=-\np{25.5}t+\np{7903.6}$. %On la mettra sous la forme $y = at + b$, les réels $a$ et $b$ étant arrondis à $0,1$.
\item Cyprien admet que pendant les quatre heures suivant la préparation du produit, le nombre $y$ de
milliards de noyaux radioactifs encore présents dans le produit peut être modélisé par

$y= -26 t + \np{7900}$ où $t$ est le temps, exprimé en minutes, écoulé depuis que le produit a été préparé.
\begin{enumerate}
\item  La droite $d$ d’équation $y = -26 t + \np{7 900}$ est tracée sur le graphique précédent.
\item Cyprien utilise alors ce modèle pour déterminer, combien de temps, une fois le produit prêt, il
faut attendre avant de l’injecter au patient.
 Pour déterminer le temps qu'il faudra attendre, résolvons $-26t+\np{7900}<\np{2600}$. 
$t>\dfrac{\np{7900}-\np{2600}}{26}$ or

 $\dfrac{\np{7900}-\np{2600}}{26}\approx \np{203.85}$.
   Cyprien trouve qu'il lui faudra attendre presque 204 minutes.
\item Une nouvelle mesure est fournie à Cyprien : au bout de 240 minutes, le nombre de milliards de
noyaux radioactifs présents dans le produit préparé est égal à \np{3100}.

 Cette mesure remet en cause le modèle utilisé par Cyprien parce que, selon le modèle qu'il a choisi, le nombre de milliards de noyaux radioactifs a chu beaucoup plus vite qu'en réalité. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
{\footnotesize
Cloé remet en cause le modèle utilisé par Cyprien. L’examen exploitant un produit radioactif,  elle
préfère utiliser un ajustement exponentiel : le nombre $y$ de milliards de noyaux radioactifs encore
présents dans le produit peut être modélisé par  $y= A_0\e^{-k t} $ où $t$ est le temps, exprimé en minutes, écoulé
depuis que le produit a été préparé, $A_0$ et $k$ étant deux réels strictement positifs.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour permettre de déterminer des valeurs prises par les réels $A_0$ et $k$ nous pouvons considérer que la courbe représentative de $ t\mapsto A_0\e^{-kt}$
passe par les points extrêmes du tableau c'est-à-dire en résolvant le système $\begin{cases}A_0\e^{0}=\np{8000}\\A_0\e^{-240k}=\np{4900}\end{cases}$.

Nous trouvons alors $A_0=\np{8000}$ et $k\approx \np{0.0041}$
\item Dans ce qui suit, on prend $A_0 = \np{8000}$ et $k = \np{0,0039}$.

Cloé utilise alors ce modèle pour déterminer, combien de temps, une fois le produit prêt, il faut
attendre avant de l’injecter au patient.

Pour déterminer ce temps résolvons $\np{8000}\,\e^{-\np{0.0039}x}<\np{2600}$

\begin{minipage}[]{6cm}
\begin{align*}
\np{8000}\e^{-\np{0.0039}x}&<\np{2600}\\
\e^{-\np{0.0039}x}&<\dfrac{\np{2600}}{\np{8000}}\\
\ln\e^{-\np{0.0039}x}&<\ln\dfrac{\np{13}}{\np{40}}\\
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}[]{6cm}
\begin{align*}
-\np{0.0039}x&<\ln\dfrac{\np{13}}{\np{40}}\\
x&>\dfrac{\ln\dfrac{\np{13}}{\np{40}}}{-\np{0.0039}}\\
\dfrac{\ln\dfrac{\np{13}}{\np{40}}}{-\np{0.0039}}&\approx \np{288.187}\\
\end{align*}
\end{minipage}

Cloé trouve un temps supérieur à 288 minutes.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill (7 points)}  

\vspace{0.25cm}

\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent se traiter de façon indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
{\footnotesize
En 2017, une étude menée dans une ville a montré que la consommation d’eau par an et par habitant
s’élevait à \np[m^3]{50}. On suppose que, dans les années qui suivront, cette consommation baissera
de 2,1\,\% par an.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item  On considère l’algorithme suivant :

{\footnotesize

\begin{center}
\begin{tabular}[]{|m{1cm} m{3cm}|}
\hline
&$n\leftarrow 0$\\
&$u\leftarrow 50$\\
&Tant que $u > 47$\\
&$u\leftarrow  u \times 0,979$\\
&$n \leftarrow n+1$\\
&Fin Tant que\\
&$n\leftarrow n + 2017$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
}
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons la valeur de la variable $n$ à la fin de l’exécution de l’algorithme.
 
\smallskip
		
\begin{center}
\begin{tabular}[]{|*{6}{c|}}\hline
$n$&0&1&2&3&4\\\hline
$u$&50&\np{48.95}&\np{47.92}&\np{46.91}&\\\hline 
&vraie&vraie&vraie&fausse &\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\smallskip	
		Par conséquent, à la fin de l'algorithme $n$ vaut 2020.
		\item La consommation d’eau par an et par habitant dans cette ville en 2020 sera strictement inférieure à \np[m^3]{47}.
	\end{enumerate}
\item On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente la consommation d’eau, en m$^3$, par an et par habitant, dans cette ville en $2017 + n$.
	\begin{enumerate}
		\item À une diminution de \np{2.1}\,\% correspond un coefficient multiplicateur de $1-\frac{2.1}{100}$ soit \np{0.979}. La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison \np{0.979} et de premier terme  50 puisque nous passons d'un terme au suivant en le multipliant par un même nombre. %Préciser son premier terme et sa raison.
		\item Le terme général d'une suite géométrique  de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est 

$u_n = u_0\times (q)^n$. Il en résulte  $u_n =50\times (\np{0.979})^n$.

 		\item Avec ce modèle, déterminons la consommation d’eau  prévue par an et par habitant en 2021. 

Le rang de l'année est 4. En remplaçant $n$ par 4 dans la relation précédente, nous obtenons $u_4=50\times (0,979)^4 \approx \np{45.93}$.

Nous pouvons prévoir en 2021, selon ce modèle, une consommation d'eau, arrondie à \np[m^3]{0,1}, d'environ \np[m^3]{45.9}.
\end{enumerate}
\item On s’intéresse à la consommation totale d’eau par habitant depuis le début de l’année 2017.

Déterminons à partir de quelle année cette consommation totale d’eau dépassera \np[m^3]{500}. Pour ce faire, calculons la consommation d'eau depuis 2017.

$\displaystyle  \sum_{i=0}^{i=n}u_i=50\times \dfrac{1-\np{0.979}^{n+1}}{1-\np{0.979}}$. Déterminons  $n$ pour que cette somme soit supérieure à \np[m^3]{500}.

\begin{minipage}[]{6cm}
\begin{align*}
50\times \dfrac{1-\np{0.979}^{n+1}}{1-\np{0.979}}&\geqslant 500\\
\dfrac{1-\np{0.979}^{n+1}}{\np{0.021}}&\geqslant 10\\
1-\np{0.979}^{n+1}&\geqslant 10\times\np{0.021}\\
\np{0.979}^{n+1}&\leqslant 1-\np{0.21}\\
\end{align*}
\end{minipage}
\begin{minipage}[]{6cm}
\begin{align*}
\np{0.979}^{n+1}&\leqslant \np{0.79}\\
\ln \left(\np{0.979}^{n+1}\right)&\leqslant \ln( \np{0.79})\\
(n+1)\ln (\np{0.979})&\leqslant\ln(\np{0.79})\\
n+1&\geqslant\dfrac{\ln (\np{0.79})}{\ln(\np{0.979})}\\
n&\geqslant\dfrac{\ln (\np{0.79})}{\ln(\np{0.979})}-1\\
%\dfrac{\ln (\np{0.79})}{\ln(\np{0.979})}-1&\approx \np{10.1066}
\end{align*}
\end{minipage}

$\dfrac{\ln (\np{0.79})}{\ln(\np{0.979})}-1\approx \np{10.1066}$

À partir de 2028, la consommation totale d'eau aura dépassé  \np[m^3]{500}.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\emph{Dans cette partie, les probabilités demandées seront arrondies à $10^{-4}$.}

\medskip
{\footnotesize
On sait qu’en 2017, 37\,\% des logements de la ville étaient équipés de systèmes de réduction de la
consommation d’eau (robinets mousseurs, récupérateurs d’eau de pluie, $\dots$).
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère un échantillon de \np{1 000} logements pris au hasard parmi les logements de la ville,
suffisamment nombreux pour assimiler le choix de cet échantillon à un tirage avec remise. On note
$X$ la variable aléatoire égale au nombre de logements de l’échantillon qui étaient équipés de
systèmes de réduction de la consommation d’eau en 2017.
	\begin{enumerate}
		\item La loi suivie par la variable aléatoire $X$ est la loi binomiale de paramètres ($n=\np{1000}$,$p=\np{0.37}$).
  Il y a répétition de \np{1000} tirages indépendants et identiques caractérisés par deux issues soit le choix d'un logement de la ville  équipé de systèmes de réduction de la consommation d’eau  de probabilité 0,37  soit le choix d'un logement de la ville non équipé de systèmes de réduction de la
consommation d’eau de probabilité $1-0,37$.
% Préciser les paramètres de cette loi.
		\item La probabilité qu’il y ait plus de 400 logements dans l’échantillon qui étaient
équipés de tels systèmes de réduction de la consommation d’eau en 2017 est p(X> 400). À l'aide de la calculatrice, nous obtenons $P(X>400)\approx \np{0.0233}$.
	\end{enumerate}
\item On décide d’approcher la variable aléatoire $X$ par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale de
paramètres \textmu = 370 et \textsigma = 15,27.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifions les conditions pour que la loi binomiale soit approchée par la loi normale de paramètre \textmu $=np$ et d'écart-type $\sqrt{np(1-p)}$. 
		
$n > 30 \:;\quad np= 370 >5  \:\quad  np(1-p) = \np{233.1}>5 $.

Les valeurs choisies pour \textmu{} et \textsigma{} correspondent à ces valeurs.
		\item Calculons la probabilité $P(Y \leqslant 350)$. $P(Y\leqslant 350)\approx\np{0.0951}$. 

Le résultat obtenu  est la probabilité qu'il y ait moins de 350 logements de la ville  équipés de systèmes de réduction de la consommation d’eau (robinets mousseurs, récupérateurs d’eau de pluie, $\dots$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill (7 points)}  

\vspace{0.25cm}

\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip
{\footnotesize
Un antibiotique est une substance chimique organique inhibant ou tuant des bactéries pathogènes.
}
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un laboratoire affirme que 48\,\% de toutes les souches bactériennes sont résistantes aux antibiotiques.

Dans un échantillon de 50 souches bactériennes prises au hasard, on constate que 29 souches sont
résistantes.% Cela remet-il en cause l’affirmation du laboratoire ? Justifier.

Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la proportion observée  est :

\[\Bigg[p -1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}} ~,~ p +1,96 \sqrt{\dfrac{p (1- p )}{n}}\Bigg]\]
  
\[\Bigg[\np{0.48} -1,96 \sqrt{\dfrac{\np{0.48} (1- \np{0.48} )}{50}} ~,~ \np{0.48} +1,96 \sqrt{\dfrac{\np{0.48} (1- \np{0.48} )}{50}}\Bigg]=\left[ \np{0.34};\np{0.61}\right]\]
  
$ \dfrac{29}{50}=0,58$ appartenant à l'intervalle de fluctuation, cela ne remet pas en cause l'affirmation du laboratoire.
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On injecte un antibiotique à un patient. On modélise cette situation par une fonction $f$ qui, à tout temps $t$,
exprimé en heures, écoulé depuis l’injection, associe la concentration, exprimée en mg$\cdot \text{L}^{-1}$, de
l’antibiotique dans le sang du patient.

Cette fonction $f$ est définie sur l’intervalle $[0, +\infty[$ par 

\[f(t)=\dfrac{8t}{t^2+1}.\]

\begin{enumerate}
\item  On admet que la limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à 0.
	\begin{enumerate}
		\item Puisque $\displaystyle \lim_{t\to +\infty}f(t)=0$ la courbe représentative de la fonction $f$ admet l'axe des abscisses comme asymptote.
		\item  La valeur de la limite dans le contexte de l’exercice signifie que l'antibiotique tend à disparaître.
	\end{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item On admet que pour tout réel $t$ positif ou nul, on a :$f'(t)=\dfrac{8(1- t)(1+ t)}{(t^2+1)^2}$.

Étudions le signe de $f'$ sur $[0~,~+\infty[$ 


Puisque $t$ est positif $t+1$ est strictement positif  et $\dfrac{8(1+t)}{(1+t)^2}$ de même, il en résulte que sur cet intervalle, le signe de $f'$ est celui de $1-t$ .
Sur $\R$,  $1-t>0$   est équivalent à $t<1$. Par conséquent  si $t\in [0~;~1[,\ f'(t)>0$ et si $t\in]1~;~+\infty[,\ f'(t)< 0$.

Si pour tout $x\in I,\:f'(x) > 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $I$.
 
Sur $[0~;~1[$, $f'(x)>0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur  cet intervalle.

Si pour tout $x\in I, \:f'(x) < 0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Sur $]1~;~+\infty[,\:f'(x) < 0$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

Dressons le tableau de variation de la fonction $f$ sur l’intervalle $[0~;~+\infty[$.

	\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(9.5,3.5)
%\psgrid
\psframe(9.2,3)
\psline(0,1.5)(9.2,1.5)\psline(0,2.5)(9.2,2.5)  \psline(3.5,0)(3.5,3)
\uput[u](1.75,2.5){$x$} \uput[u](3.7,2.5){$0$}\uput[u](6.4,2.5){$1$}\uput[ul](9,2.5){$+\infty$}
\uput[u](1.3,1.75){Signe de $f'(x)$}\uput[u](1.3,0.5){Variations de $f$}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](6.4,1.5)(6.4,2.5)
\uput[u](6.4,1.75){$0$} %\uput[u](9.1,1.75){$0$}
\uput[u](4.9,1.75){$+$}\uput[u](7.8,1.75){$-$}
\psline{->}(4,0.5)(5.9,1.25)\psline{->}(6.85,1.25)(8.78,0.5)
\uput[ul](4,0.){\small $0$} \uput[d](6.4,1.5) {$4$}
\uput[u](9,0){$0$}
\end{pspicture}
\end{center}

		\item  La concentration de l’antibiotique est maximale lorsque la fonction admet un maximum
c'est-à-dire au bout d'une heure.  Cette concentration maximale est de \np[mg\cdot L^{-1}]{4}.
	\end{enumerate}
\item En antibiothérapie, on définit la CMI comme la concentration minimale d’antibiotique permettant
d’empêcher la multiplication bactérienne. La CMI de l’antibiotique injecté est égale à 2,4 mg$\cdot \text{L}^{-1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrons que, pour tout réel $t$ positif ou nul, $f(t) - 2,4 =\dfrac{-2,4t^2+8t-2,4}{t^2+1}$.
		
		$f(x)-2,4=\dfrac{8t}{t^2+1}-\np{2.4}= \dfrac{8t-\np{2.4}(t^2+1)}{(1+t^2)}=\dfrac{-2,4t^2+8t-2,4}{t^2+1}$.
		
		Nous retrouvons bien le résultat demandé.
		\item Étudions le signe de cette expression sur l’intervalle $[0~,~+\infty[$.
		Le dénominateur étant strictement positif le signe de l'expression est celui du numérateur. Mettons $-2,4$ en facteur au préalable.
		$-2,4\left(t^2-\dfrac{10}{3}t+1\right)$. $t^2-\dfrac{10}{3}t+1$ est un trinôme du second degré.

 Calculons le discriminant $\Delta$.
 
		$\Delta=\left(\dfrac{-10}{3}\right)^2-4\times 1\times 1= \dfrac{100}{9}-4=\dfrac{100-36}{9}=\dfrac{64}{9}$.
		
		$\Delta >0$, le trinôme est du signe de $a$ ($a=1$)pour les valeurs extérieures aux racines et de $-a$ pour les valeurs comprises entre les racines.
		
		Calculons les racines. $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ x_1=\dfrac{-(\frac{-10}{3})-\sqrt{\frac{64}{9}}}{2\times 1}=\dfrac{\frac{10}{3}-\frac{8}{3}}{2}=\dfrac{1}{3}\qquad x_2=3$
		
		\begin{center}
\begin{tabular}[]{|c|*{7}{c}|}
\hline
$x$&0&&1/3&&3&&$+\infty$\\\hline
{\scriptsize signe de $t^2-10/3t+1$}&&+&0&$-$&0&+&\\
\hline
{\scriptsize signe de $f(t)-2.4$}&&$-$&0&+&0&$-$&\\
\hline
\end{tabular}

\end{center}
		\item La concentration de l’antibiotique injecté est supérieure à sa CMI  entre 20 minutes $\left(\frac{1}{3}\text{h}\right)$ et 3 heures  ce qui correspond bien à 2 h 40.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $F$ définie sur $[0~,~+\infty[$ par $F(t)= 4 \ln( t^2+1)$ est une primitive de $f$ sur cet intervalle lorsque $F'=f$. 		
		Dérivons $F$. $\left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}\quad u>0$

$F'(t)=4\times \dfrac{2t}{t^2+1}= \dfrac{8t}{t^2+1}=f(t)$
		
		\item Calculons alors $J$. 
 $\displaystyle J=\int_0^{12} f(t)\mathrm{d}t=\left[4\ln(t^2+1)\right]_0^{12}=4\ln (12^2+1)-(4\ln 1)=4\ln 145 $.

	\item On admet que la valeur moyenne de la concentration de l’antibiotique en mg$\cdot\text{L}^{-1}$ durant les douze premières heures après l’injection est égale à $ \dfrac{1}{12}J$.

Déterminons cette valeur moyenne : $\dfrac{1}{12}J=\dfrac{1}{12}\times (4 \ln 145)=\dfrac{\ln 145}{3}\approx \np{1.6589}$.

 La valeur moyenne de la concentration durant les douze premières heures, arrondie au centième, est de \np[mg\cdot \text{L}^{-1}]{1.66}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\rotatebox{90}{
\psset{xunit=0.075cm,yunit=0.0025cm,labelFontSize=\scriptstyle,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-15,-700)(280,3200)
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\uput[u](120,3200){\textbf{\textsc{Exercice} 1: annexe à rendre avec la copie}}
\psdots[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](0,3000)(20,2400)(40,1800)(60,1300)(80,800)(100,400)(120,-100)
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\end{pspicture}
}
\end{document}