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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL}
\lfoot{\small{Métropole, correction}}
\rfoot{\small{7 juin 2021}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STL Biotechnologies~\decofourright\\[10pt]Métropole -- La Réunion -- 7 juin 2021}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Exercice 3 commun à tous les candidats\hfill 4 points}

\bigskip

Vous traiterez 4 questions au choix parmi les 6 questions proposées.

\textbf{Pour les questions 1 et 2, on considère la fonction suivante} : 

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par:
\[
g(x) = (2x - 1)\e^{-x}.\]

\smallskip

\textbf{Question 1 :} Calculons $g(0)$. \[g(0)=(2\times 0-1)\e^{0}=-1\]

\medskip

\textbf{Question 2 :}

On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

\textbf{a.~} Montrons que, pour tout réel $x$ appartenant à $[0~;~+\infty[$,\, $g'(x) = (- 2x + 3)\e^{-x}$.

\[g'x)=2\times \e^{-x}+(2x-1)\times \left(-1\e^{-x}\right)=\left(2-2x+1\right)\e^{-x}=(-2x+3)\e^{-x}\]

\textbf{b.~} Justifions que $g(x) < 2\e^{-\frac{3}{2}}$ pour $x > \dfrac{3}{2}$.

$g'(x)<0$ si et seulement si $x>\dfrac{3}{2}$.  Par conséquent $g$ est strictement décroissante sur $\left]\dfrac{3}{2}~;~+\infty\right[$

or $g\left(\frac{3}{2}\right)= 2\e^{-\frac{3}{2}}$. Nous avons donc  sur $\left]\dfrac{3}{2}~;~+\infty\right[,\qquad g(x) < 2\e^{-\frac{3}{2}}$

\medskip

\textbf{Question 3 :}

Sachant que $\cos \left(\dfrac{9\pi}{5}\right) = \dfrac{\sqrt{5} + 1}{4}$, exprimer $\cos \left(\dfrac{\pi}{5}\right)$ en fonction de $\sqrt{5}$.

\[\dfrac{9\pi}{5}=\dfrac{10\pi-\pi}{5}=2\pi-\dfrac{\pi}{5}\]

\[\cos\left(\frac{9\pi}{5}\right)=\cos\left(\frac{10\pi-\pi}{5}\right)=\cos\left(2\pi -\frac{\pi}{5}\right)=\cos\left(-\frac{\pi}{5}\right)=\cos \left(\frac{\pi}{5}\right)=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\]

\medskip

\textbf{Question 4 :}

On considère l'intégrale $I$ suivante : $I = \displaystyle\int_0^2 (2x - 1)\:\text{d}x$.

Montrons que $I = 2.$

\[I = \displaystyle\int_0^2 (2x - 1)\d x= \left[x^2-x\right]_0^2=4-2=2.\]

\medskip

\textbf{Question 5 :}

Simplifions le nombre suivant en détaillant les calculs:

\[A = 5\ln \left(\e^3\right) - 4 \ln \left[\dfrac{1}{\text{e}^2}\right).\]
$\ln \e^3=3\qquad \ln \e^{-2}=-2$, Nous avons alors $5\times 3-4\times (-2)=15+8=23.$

\medskip

\textbf{Question 6 :}

ABCD est un carré de côté 3 cm et DCE est un triangle rectangle et isocèle en C.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3.5)
\pspolygon(0,0)(6.4,0)(3.2,3.2)(0,3.2)%BEDA
\psline(3.2,0)(3.2,3.2)%CD
\uput[ul](0,3.2){A} \uput[dl](0,0){B} \uput[d](3.2,0){C} 
\uput[ur](3.2,3.2){D} \uput[d](6.4,0){E}
\def\barre{\psline(-0.15,-0.15)(0.15,0.15)}
\rput(0,1.6){\barre}\rput(3.2,1.6){\barre} \rput(1.6,0){\barre}\rput(1.6,3.2){\barre}
\psframe(0.2,0.2)\psframe(0,3)(0.2,3.2)\psframe(3.2,3.2)(3,3)\psframe(3.2,0)(3.4,0.2)
\psarc(6.4,0){0.45}{135}{180}\rput(5.75,0.25){$45\degres$}
\rput(4.8,0){\barre}
\end{pspicture}
\end{center}

Donnons la valeur du produit scalaire $\vect{\text{EB}} \cdot \vect{\text{ED}}$.

Calculons, d'abord ED.

 $\text{ED}^2=\text{EC}^2+\text{CD}^2= 2\text{EC}^2$, par conséquent

\[\text{ED} = \text{EC}\sqrt{2}\ \text{ et }  \text{ED} \cos \left(\frac{\pi}{4}\right)= \text{CE}\times \frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[\vect{\text{EB}}\cdot\vect{\text{ED}}= \left\|\vect{\text{EB}}\right\|\, \left\|\vect{\text{ED}}\right\| \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = 3\times 3\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}= 9.\]

Nous pouvions  aussi dire que C est le projeté orthogonal de D sur (EB).

Nous aurions pu écrire directement 

\[\vect{\text{EB}} \cdot \vect{\text{ED}}=  \text{EB}\times \text{EC}=3\times 3=9\]
\end{document}