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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
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\newcommand{\e}{\text{\,e\,}}	%%%le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}	%%%le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}	%%%le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STL}
\lfoot{\small{Polynésie - corrigé}}
\rfoot{\small{19 juin 2025}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\addtolength{\headheight}{\baselineskip}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du Baccalauréat STL Biotechnologies~\decofourright\\[10pt]Polynésie -- 19  juin 2025}}

\end{center}

\bigskip

\textbf{\large EXERCICE 1 \hfill (physique-chimie et mathématiques)\hfill 4 points }

%\medskip

\begin{center} \textbf{Cinétique de l’hydrolyse du 2-chloro-2-méthylpropane}\end{center}

Le 2-chloro-2-méthylpropane est un liquide incolore et inflammable. Il est utilisé dans l’industrie comme réactif dans la synthèse de nombreuses espèces chimiques d’intérêt. Lorsqu’il est mélangé à l’eau, il se produit une transformation chimique lente et totale.

L’équation de la réaction modélisant cette transformation est :

%\chemfig{H_3C-C(-[2]CH_3)(-[6,0.5]CH_3)-C\ell(aq)}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(0,0.5)(14,1.9)
\rput(0.4,1){H$_3$C} \psline[linecolor=red](0.9,1)(1.4,1) \rput(1.8,1){C}
\psline[linecolor=red](1.9,1.3)(1.9,1.7)
\rput(1.9,1.9){CH$_3$}
\psline[linecolor=red](1.9,0.9)(1.9,0.5)
\rput(1.9,0.3){CH$_3$}
\psline[linecolor=red](2,1)(2.6,1)
\rput(3.2,1){C$\ell$ (aq)} 
\rput(4.8,1){+ 2 H$_2$O($\ell$)} 
\psline[linecolor=red]{->}(5.7,1)(6.5,1)
\rput(6.9,1){H$_3$C} \psline[linecolor=red](7.2,1)(7.8,1)
\rput(8.1,1){C}\psline[linecolor=red](8.4,1)(8.9,1)
\psline[linecolor=red](8.1,0.9)(8.1,0.5)
\rput(8.1,1.9){CH$_3$}
\psline[linecolor=red](8.1,1.3)(8.1,1.7)
\rput(8.1,0.3){CH$_3$}
\psline[linecolor=red](8.2,1)(8.6,1)
\rput(9.5,1){OH (aq)}
\rput(12,1){+ H$_3$O$^{+}$(aq) + C$\ell^{-}$(aq)}
\end{pspicture}
\end{center}

L’objectif de l’exercice est de modéliser l’évolution au cours du temps de la concentration en 2-chloro-2-méthylpropane.
On réalise expérimentalement le suivi cinétique d’un mélange réactionnel, dont la concentration en 2-chloro-2-méthylpropane est $C_0 = 9,0 \times 10^{-1}$ mol·L$^{-2}$ à l’instant $t = 0$.
Le graphique fourni dans le document réponse DR1 représente l’évolution de la concentration en 2-chloro-2-méthylpropane, notée $C$, en fonction du temps.

Dans les conditions de l’expérience, le 2-chloro-2-méthylpropane est le réactif limitant.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur le document réponse DR1, on détermine graphiquement la valeur du temps de demi-réaction, noté $t_{1/2}$; on trouve $t_{1/2} \approx 15$.

%La construction graphique doit apparaître sur le document réponse.

\item %Donner la définition de la vitesse de disparition $v$ du 2-chloro-2-méthylpropane en utilisant une relation littérale entre la vitesse $v$, la concentration $C$ et le temps $t$.
La vitesse de disparition $v$ du 2-chloro-2-méthylpropane est donnée par: $v(t)=-C'(t)$.
\end{enumerate}

Dans les conditions de l’expérience, la réaction est d’ordre 1. La concentration en 

2-chloro-2-méthylpropane vérifie l’équation différentielle du 1\up{er} ordre :
$(E) \quad :\quad y' = - 0,046y$\\
où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$ (en min) représentant la concentration en 2-chloro-2-méthylpropane (en mol·L$^{-1}$), définie et dérivable sur $[0~;~+ \infty[$.

\begin{enumerate}[resume]
\item %En considérant $y(0) = 0,090$, montrer que pour tout $t \geqslant 0 :\: y(t) = 0,090\times \e^{-0,046t}$.
Les solutions de l'équation différentielle $y'=ay$ sont les fonctions définies par $y(t)=k\,\e^{at}$ où $k$ est un réel quelconque.

Donc les solutions de l'équation différentielle $y'=-0,046y$ sont les fonctions définies par $y(t) = k\,\e^{-0,046t}$ où $k\in\R$.
Or $y(0)=0,090$ donc $0,090=k\,\e^{0}$ donc $k=0,090$.

On a donc $y(t)=0,090\,\e^{-0,046t}$.

\item %Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} y(t)$.
On sait que $\ds\lim_{x \to -\infty} \e^{x}=0$.
Or $\ds\lim_{t\to +\infty} -0,046t = -\infty$.

Donc $\ds\lim_{t\to +\infty} \e^{-0,046t}=0$, et donc $\ds\lim_{t\to +\infty} f(t)= 0$.

\item On résout l'équation $y(t) = \dfrac{0,090}{2}$.

$\aligned
y(t) = \dfrac{0,090}{2}
& \iff 0,090\e^{-0,046t} = \dfrac{0,090}{2}
\iff \e^{-0,046t} = \dfrac{1}{2}
\iff -0,046 t= \ln \left (\dfrac{1}{2}\right )\\
& \iff -0,046t = -\ln\left (2\right )
\iff t = \dfrac{\ln\left (2\right )}{0,046}
\text{ donc } t\approx 15,1.
\endaligned$

%Donner le résultat sous forme exacte puis une valeur approchée à $10^{-1}$.
\item %Interpréter les résultats obtenus avec le modèle aux questions 4 et 5, en les confrontant aux résultats expérimentaux déduits graphiquement.
Graphiquement, on a trouvé $t_{1/2}\approx 15$ et par le calcul $t_{1/2} \approx 15,1$.

Cela semble cohérent.
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{\large EXERCICE 3 \hfill (mathématiques)\hfill 4 points }

\medskip

%Les trois parties ci-dessous sont indépendantes.

\textbf{Partie A}

%\medskip
%
%\emph{Cette partie, composée de deux questions, est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n’est demandée. Une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la réponse choisie. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de réponse à une question ne rapporte ni n’enlève de point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$, dont on donne la représentation graphique ci-dessous.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-2,-1.5)(6,4)
\psgrid[gridwidth=0.75pt,subgridwidth=0.5pt,subgriddiv=2](-2,-1.5)(6,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2,-1.5)(6,4)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=purple]{-1.1}{5.1}{x 1 sub x 3 sub mul 2 div}
\uput[u](5.9,0){$x$}
\uput[r](0,3){$y$}
\end{pspicture*}
\end{center}

Parmi les quatre propositions suivantes, on cherche celle qui peut  représenter une primitive de $f$ sur $\R$.

%4 figures
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{A.}&\textbf{B.}\\ \hline
\psset{unit=0.9cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-2,-2.5)(5.2,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.75pt,subgridwidth=0.5pt,subgriddiv=2](-2,-2.5)(5.2,3.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-2.5)(5.2,3.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-1.5}{5.5}{x 2 sub }
\uput[u](5,0){$x$}\uput[r](0,3.3){$y$}
\end{pspicture*}&\psset{unit=0.9cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1.5,-3.5)(5,2.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.75pt,subgridwidth=0.5pt,subgriddiv=2](-1.5,-3.5)(5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-1.5,-3.5)(5,2.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1.5}{5}{
x 3 exp 3 div x dup mul 2 mul sub 3 x mul add 2.04167 add neg 2 div}
\uput[u](4.9,0){$x$}\uput[r](0,2.3){$y$}
\end{pspicture*}\\ \hline
\textbf{C.}&\textbf{D.}\\ \hline
\psset{unit=0.9cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1.5,-2.5)(5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.75pt,subgridwidth=0.5pt,subgriddiv=2](-1.5,-2.5)(5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-1.5,-2.5)(5,3.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=purple]{-1.5}{5}{
x 3 exp 3 div x dup mul 2 mul sub 3 x mul add 2.04167 add 2 div}
\uput[u](4.9,0){$x$}\uput[r](0,3.3){$y$}
\end{pspicture*}&\psset{unit=0.95cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-0.5,-2)(7,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.75pt,subgridwidth=0.5pt,subgriddiv=2](-0.5,-2)(6.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-1,-2)(6.5,3.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.5}{6.5}{
x 3 exp 3 div x dup mul 4 mul sub  15 x mul add 14.625 sub}
\uput[u](6.3,0){$x$}\uput[r](0,3.3){$y$}
\end{pspicture*}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On appelle $F$ une primitive de $f$; donc $F'=f$.

\[ \begin{tablvar}[intervalwidth=8em,stretch=1.2]{3}
 \hline
 x & -1 &  & 1 & & 3 &  & 5\\
 \hline
\text{signe de } f & & + & \barre[0] & - & \barre[0] & - & \\
 \hline
\text{variations de } F && \text{croissante} & \barre[] & \text{décroissante} & \barre[] & \text{croissante} &\\
 \hline
 \end{tablvar}\]

C'est donc la fonction représentée en \textbf{C} qui peut être une primitive de la fonction $f$.

\item Les nombres réels $a, \: b > 0$ sont définis par $\ln\,(a) = - 2$ et $\ln\,(b) = 3$.

On cherche la valeur de  $\ln \left(a^{-2} \times b^{3}\right)$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
\textbf{A.~~} 5 &\textbf{B.~~} 9 &\textbf{C.~~} 13&\textbf{D.~~} 17\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

$\ln\left (a^{-2}\times b^{3}\right ) = \ln\left (a^{-2}\right ) + \ln\left (b^3\right ) = -2\times \ln\left (a\right ) + 3\times \ln\left (b\right ) = -2\times (-2) + 3\times 3 = 4+9=13$

La bonne réponse est la \textbf{C}.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie pour tout $t \geqslant 0$ par 
$f(t) = 5 - 3 \e^{- \frac{t}{10}}.$

\begin{enumerate}
\item %Calculer la dérivée de $f$.
$f'(t) = 0 -3\times \left ( -\dfrac{1}{10}\right ) \e^{-\frac{t}{10}} = \dfrac{3}{10}  \e^{-\frac{t}{10}}$

\item %En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur $[0~;~ +\infty[$.
Pour tout réel $x$, on sait que $\e^{x}>0$, donc pour tout réel positif $t$, on a  $\e^{-\frac{t}{10}}>0$.
On en déduit que $f'(t)>0$ et donc que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0\,,\,+\infty[$.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Soit l'intégrale $I =  \displaystyle\int_0^{16} \dfrac{1}{2x + 4}\:\text{d}x$.

On va utiliser la formule: $\ln'\left ( u\right )=\dfrac{u'}{u}$ donc $\dfrac{u'}{u}$ a pour primitive $\ln\left (u\right )$.

$\aligned
I 
& =  \displaystyle\int_0^{16} \dfrac{1}{2x + 4}\:\text{d}x
= \dfrac{1}{2} \int_0^{16} \dfrac{2}{2x + 4}\:\text{d}x
= \dfrac{1}{2} \left [ \ln\left (2x+4\right )\strut\right ]_{0}^{16}
= \dfrac{1}{2} \left [ \ln\left (2\times 16 +4\right ) - \ln\left (2\times 0 +4\right )\strut\right ]\\
& = \dfrac{1}{2} \left [ \ln\left (36\right ) - \ln\left (4\right )\strut\right ]
= \dfrac{1}{2} \ln\left (\dfrac{36}{4}\right )
= \dfrac{1}{2} \ln\left (9\right )
= \ln \left (\sqrt{9}\right )
= \ln\left (3\right )
\endaligned$

%On écrira le résultat sous la forme $I = \ln (n)$, où $n$ est un entier naturel non nul.

\newpage

%\begin{landscape}
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
\textbf{DOCUMENT RÉPONSE}\\ 
\textbf{À RENDRE OBLIGATOIREMENT AVEC LA COPIE}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Exercice 1 – Cinétique de l’hydrolyse du 2-chloro-2-méthylpropane}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Document réponse DR1 :} évolution de la concentration $C$ en 2-chloro-2-méthylpropane en fonction du temps.

\bigskip

\rotatebox{90}{
\psset{xunit=0.16cm,yunit=120cm,arrowsize=2pt 3,comma}
\begin{pspicture}(-10,0)(112,0.11)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=0.01,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(112,0.1)
\multido{\n=0+1}{111}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=gray](\n,0)(\n,0.09)}
\multido{\n=0.000+0.002}{46}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=gray](0,\n)(110,\n)}
\psdots[linewidth=2pt,dotstyle=+,dotscale=1.6](0,0.09)(1,0.0882)(2,0.084)(3,0.082)(4,0.0762)(5,0.0732)(6,0.07)(7,0.0662)(8,0.0632)(9,0.0601)(10,0.0578)
\psdots[linewidth=2pt,dotstyle=+,dotscale=1.2](11,0.055)(12,0.0522)(13,0.0503)(14,0.048)(15,0.0479)(16,0.044)(17,0.0418)
\psdots[linewidth=2pt,dotstyle=+,dotscale=1.6](18,0.04)(19,0.038)(20,0.0363)
\psdots[linewidth=2pt,dotstyle=+,dotscale=1.6](25,0.029)(30,0.023)(35,0.018)(40,0.0142)(45,0.0115)(50,0.009)(55,0.007)(60,0.0055)(65,0.004)(70,0.003)(85,0.001)(90,0)(100,0)
\uput[u](106,0){$t$ en min}\uput[r](0,0.095){$C \left(\text{mol · L}^{-1}\right)$}
%%% corrigé
\psset{linecolor=blue}
\psline[ArrowInside=->,ArrowInsideNo=2](0,0.045)(15,0.045)(15,0)
\blue
\uput[l](0,0.045){\scriptsize 0,045} \uput[d](15,0){\scriptsize 15}
\end{pspicture}
}
%\end{landscape}

\end{document}