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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat S. T. M. G.}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{ 19 juin 2018}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STMG  Métropole--La Réunion ~\decofourright\\[3pt]19 juin  2018}}

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\smallskip

\textbf{La page est l'annexe à rendre avec la copie.}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  4 points}

\medskip


%Parmi les étudiants de l'enseignement supérieur de France métropolitaine et des DOM, 26\,\% sont
%inscrits dans un établissement d'\^{I}le-de-France. Parmi ces étudiants inscrits dans un établissement
%d'\^{I}le-de-France, 51\,\% le sont dans une université.
%
%Parmi les étudiants inscrits en province ou dans les DOM, 62\,\% sont inscrits dans une université.
%
%\emph{Source : Ministère de l'Enseignement Supérieur, de la Recherche et de l'Innovation.}
%
%Dans la base recensant l'INE (Identifiant National Étudiant) de chaque étudiant, on choisit de façon
%équiprobable un identifiant.
%
%On considère les évènements suivants :
%
%\setlength\parindent{9mm}
%\begin{description}
%\item[] $A $: \og l'INE est celui d'un étudiant inscrit dans un établissement d'\^{I}le-de-France \fg
%\item[] $B$ : \og l'INE est celui d'un étudiant inscrit dans une université\fg.
%\end{description}
%
%\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item  %Compléter l'arbre de probabilité figurant \textbf{en annexe, à rendre avec la copie}, représentant la situation de l'énoncé.
Voir l'annexe.
\item %Traduire l'évènement $A \cap \overline{B}$ par une phrase et calculer sa probabilité.
$A \cap \overline{B}$ désigne l'évènement \og l'étudiant est inscrit en Île-de-France mais pas dans une université.

$p\left(A \cap \overline{B}\right) = p(A) \times p_A\left(\overline{B} \right) = 0,26 \times 0,49 = \np{0,1274}$.
\item %Montrer que la probabilité de l'évènement B est égale à \np{0,5914}.
D'après la loi des probabilités totales :

$p(B) = p(A \cap B) + p\left(\overline{A} \cap B \right)$.

Or $p(A \cap B) = 0,26 \times 0,51 = \np{0,1326}$ et 

$p\left(\overline{A} \cap B\right) = 0,74 \times 0,62 = \np{0,4588}$, d'où 

$p(B) = \np{0,1326} + \np{0,4588} = \np{0,5914}$.
\item %Un responsable du ministère déclare : \og Parmi les étudiants inscrits à l'université, moins d'un sur quatre et plus d'un sur cinq sont inscrits dans un établissement d'\^{I}le-de-France\fg.
%Que peut-on penser de cette affirmation ?
Il faut calculer $p_B(A) = \dfrac{p(B \cap A)}{p(B)} = \dfrac{p(A \cap B)}{p(B)}  = \dfrac{\np{0,1326}}{\np{0,5914}} \approx \np{0,2242}$.

Or $\dfrac{1}{4} = \dfrac{25}{100} = 0,25$ et $\dfrac{1}{5} = \dfrac{20}{100} = 0,20$.

On a $0,20 <  \np{0,2242} < 0,25$, donc l'affirmation est vraie.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}  

\vspace{0.5cm}

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule des quatre
%réponses proposées est exacte.\\
%Pour chaque question, indiquer la réponse choisie.\\
%Aucune justification n'est demandée.\\
%Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse incorrecte, multiple ou une absence de
%réponse, ne rapporte ni n'enlève de point.}
\begin{enumerate}
\item  %Une augmentation de 22\,\% suivie d'une baisse de 20\,\% revient à une évolution globale de :

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} $+ 2\,\%$ &\textbf{b.~~} $+2,42\,\% $&\textbf{c.~~}$-2,4\,\%$& \textbf{d.~~} $-2\,\%$.
%\end{tabularx}
Augmenter de 22\,\% puis baisser de 20\,\% revient à multiplier par 1,22, puis par 0,80, soit finalement par $1,22 \times 0,80 = 0,976$, ce qui correspond à une baisse de 2,4\?\%.
\item %Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne \textmu = 5 et d'écart type $\sigma = 0, 3$.
%On donne ci-dessous la courbe de densité de la variable aléatoire $X$.

%\psset{xunit=3cm,yunit=2.9cm,comma=true}
%\begin{pspicture}(0,-0.5)(7.3,1.65)
%  \psaxes[Dx=0.2,Dy=0.2,Ox=3]{->}(0,0)(0,0)(4.25,1.50)
%  \psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=2,sigma=0.3]{0}{4.20}
%\end{pspicture}
%
%La probabilité $p(4,4 \leqslant X \leqslant 5)$ est égale à :
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} $0.5- p(X > 4,4)$ &\textbf{b.~~} $0,5 + p(X > 4,4)$&\textbf{c.~~}$p(X > 4,4)-0,5$& \textbf{d.~~} $1 - p(X > 4,4)$.
%\end{tabularx}

$p(4,4 \leqslant X \leqslant 5) = p(X > 4,4) - p(X > 5) = p(X > 4,4) - 0,5$ : réponse \textbf{c.}
\item %On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-3~;~6,5]$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est donnée ci-dessous. Sur ce graphique figure également la droite $(AB)$ tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A$(2~;~4)$.

%\begin{center}
%\psset{xunit=0.82cm,yunit=0.41cm,labelFontSize=\scriptstyle}
%\begin{pspicture}(-3,-6)(7,10)
% \multido{\n=-3+0.2}{48}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](\n,-5.9)(\n,9)}
%\multido{\n=-6+0.4}{38}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray](-3,\n)(6.4,\n)}
% \multido{\n=-3+1}{8}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=darkgray](\n,-5.9)(\n,9)}
%\multido{\n=-6+2}{8}{\psline[linewidth=0.5pt,linecolor=darkgray](-3,\n)(6.4,\n)}
%\psaxes[linewidth=1pt,Dx=1,Dy=2]{->}(0,0)(-3,-5.9)(6.4,9.2)
%\psplot[linewidth=0.75pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{-3}{6.4}{ x 3 exp 0.25 neg mul x x mul 1.25 mul add x 2 mul add 3 sub }
%\psplot[linewidth=0.75pt,linecolor=cyan,plotpoints=5000]{-0.59}{3.2}{ x 4 mul 4 sub}
%\uput[ul](2,4){A}\uput[r](0,-4){B}\uput[d](6.2,0){$x$}\uput[ul](0,8.4){$y$}
%\psdots[dotstyle=x,dotscale=1.5](0,-4)(2,4)
%\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-0.66667,-3.7037)(-0.66667,0)\psline[linewidth=0.75pt,linestyle=dashed](4,0)(4,9)
%\uput[u](-0.66667,0){$-\frac{2}{3}$}
%\end{pspicture}
%\end{center}

%On admet que la fonction $f $est dérivable sur l'intervalle $[-3~;~6,5]$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

(i). $f'(2)$ est égal au coefficient directeur de la droite (AB) soit avec les points A et B : $\dfrac{4 - (- 4)}{2 - 0} = \dfrac{8}{2} = 4$ : réponse \textbf{a.}

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} $4$ &\textbf{b.~~} $\dfrac{1}{2}$&\textbf{c.~~}$-4$& \textbf{d.~~} $2$.
%\end{tabularx}

(ii). %L'ensemble des solutions de l'inéquation $f'(x) \geqslant 0$ est :

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{a.~~} $[-3~;~-2]\cup[1~;~6]$ &\textbf{b.~~} $\left[- 3~;~-\frac{2}{3}\right]\cup[4~;~6,5]$\\\textbf{c.~~}$\left[-\frac{2}{3}~;~4\right]$&\textbf{d.~~} $[-2~;~1]\cup[6~;~6,5]$.
%\end{tabularx}
Il faut trouver quand la fonction $f$ est croissante : elle l'est sur l'intervalle $\left[-\frac{2}{3}~;~4\right]$ : réponse \textbf{c.}

\item %On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[-2~;~8]$ par $g(x) = 2x^3 - 9x^2 -24x + 32$.
%On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $[-2~ ;~8]$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

(i). Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[-2~;~8]$, $g'(x)$ est égal à : $2 \times 3x^2 - 9 \times 2x - 24 = 6x^2 - 18x - 24$, réponse \textbf{c.}

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} $5x^2 -11x - 24$ &\textbf{b.~~} $2x^2 -9x -24 $&\textbf{c.~~}$6x^2-18x-24 $& \textbf{d.~~} $3x^2 - 2x - 24$.
%\end{tabularx}

(ii). Le minimum de la fonction $g$ sur l'intervalle $[-2~;~8]$ est :

$g'(x) = 6x^2 - 18x - 24 = 6\left(x^2 - 3x - 4 \right) = 6(x + 1)(x - 4)$.

Ce trinôme est positif sauf entre $- 1$ et 4. La fonction est donc croissante sur $[- 2~;~- 1]$ de $g(- 2) = 28$ à $g(- 1) = 45$ puis décroissante  de 45 à $g(4) = - 80$, puis croissante. Le minimum sur $[-2~;~8]$ est donc $- 80$ : réponse \textbf{c.}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} $-82$ &\textbf{b.~~} $4$&\textbf{c.~~}$-80$& \textbf{d.~~} $-24$.
%\end{tabularx}

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}  

\vspace{0.5cm}

%Le tableau ci-dessous donne la consommation d'énergie primaire d'origine fossile (charbon, gaz,
%pétrole) en France entre 2005 et 2013. Elle s'exprime en million de tonnes équivalent pétrole (Mtep)
%et est arrondie au dixième.
%\smallskip
%
%\begin{center}
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%
%Année			&2005	&2006	&2007	&2008	&2009 	&2010	& 2011 	&2012& 2013\\\hline
%Rang de l'année : 
%$x_i$ 			&0		& 1 	&2		&3		&4		&5		&6		&7		& 8\\\hline
%Consommation d'énergie 
%primaire d'origine fossile 
%(en Mtep) : $y_i$&146,0	&143,1	&141,3	&139,7	&133,7	&135,1	&127,1&128,1 &126,9\\\hline
%\multicolumn{10}{r}{\footnotesize \emph{Source : http ://www.statistiques.developpement-durable.gouv.fr}}\\
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\smallskip
%
%Une représentation graphique du nuage de points de coordonnées $(x_i ; y_i)$ est donnée en \textbf{annexe}.
\begin{enumerate}
\item %Donner l'équation réduite de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les coefficients seront arrondis au centième.
La calculatrice donne comme équation de la droite d'ajustement : $y = - 2,57x + 145,96$.
\item On décide d'ajuster le nuage de points par la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = -2,6x + 146$.

%Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique donné \textbf{en annexe, à rendre avec la copie.}
Voir l'annexe.
\item %La loi de 2015 relative à la transition énergétique fixe à la France l'objectif suivant : avant 2030, réduire de 30\,\% la consommation en énergie primaire d'origine fossile par rapport à sa valeur en
%2012.

%Selon le modèle retenu à la question \textbf{2.}, l'objectif de la loi sera-t-il atteint ? Si oui, au cours de quelle année ? On expliquera la démarche utilisée.
2030 correspond au rang $x = 25$, d'où une consommation estimée de $y = - 2,6 \times 25 + 146 = 81$.

Or 70\,\% de la consommation en 2012 correspond à :

$128,1 \times 0,70 = 89,67$. Conclusion : l'objectif de la loi devrait être atteint avant 2030.

Pour trouver en quelle année il faut résoudre l'inéquation :

$-2,6x + 146 \leqslant 89,67$ soit $146 - 89,67 \leqslant 2,6x $ ou $56,33 \leqslant 2,6x$, soit enfin 

$x \geqslant \dfrac{56,33}{2,6}$. Or $\dfrac{56,33}{2,6} \approx 21,6$. Il faudra dont attendre 22 ans soit en 2027.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}  

\vspace{0.5cm}


\textbf{Partie A}

\medskip

%Le tableau suivant, extrait d'une feuille automatisée de calcul, fournit l'évolution des encours (solde comptable) des Investissements Socialement Responsables (ISR) détenus par les investisseurs français, au 1\up{er} janvier des années allant de 2010 à 2014. La plage de cellules C3~:~F3 est au format pourcentage
%arrondi à l'unité.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4.25cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%	&\centering{A} &B& C &D& E& F\\\hline
%1	&Année& 2010& 2011& 2012& 2013& 2014\\\hline
%2	&Encours des ISR (en milliard d'euros)& 68,3& 115,3& 149,0 &169,7 &222,9\\\hline
%3	&Taux d'évolution annuel (en pourcentage)&\cellcolor{lightgray}&&&&\\\hline
%\multicolumn{7}{r}{\footnotesize \emph{Source : Novethic}}
%\end{tabularx}
%
%\smallskip

\begin{enumerate}
\item  %Choisir, parmi les propositions suivantes, la formule à saisir dans la cellule C3 d'un tableur afin d'obtenir par recopie vers la droite les taux d'évolution annuels jusqu'en 2014, des encours des
%investissements socialement responsables :

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline
% = (C2$-$B2)/C2 & = (C2$-$\$B\$2)/\$B\$2 &= (C2$-$B2)/B2&   = (B2$-$C2)/C2.\\\hline
%\end{tabularx}
Réponse : = (C2$-$B2)/B2
\item %Quelle est la valeur affichée dans la cellule F3 ?
En F3 on a : $\dfrac{222,9 - 169,7}{169,7} \approx 0,313$, soit 31,3\,\%.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%On suppose que la valeur des encours des investissements socialement responsables augmente tous
%les ans de 30\,\% à partir de 2014. On note $u_n$ la valeur des encours des investissements socialement
%responsables, exprimée en milliard d'euros, au 1\up{er} janvier de l'année (2014 + $n$).
%
%On a ainsi $u_0 = 222, 9$.

\begin{enumerate}
\item %Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
Augmenter chaque année de 30\,\% revient à multiplier par 1,30. La suite $\left(u_n\right)$ est donc une suite géométrique de raison 1,3 et de premier terme $u_0 = 222, 9$.
\item %Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ en fonction de $n$.
On sait qu'alors pour tout naturel $n$, \: $u_n = 222,9 \times 1,3^n$.
\item %En déduire une estimation de la valeur des encours des investissements socialement responsables,au 1\up{er}~janvier 2018.
En 2018 l'investissement sera égal à $u_4 = 222,9 \times 1,3^4 \approx 636,625 \approx 636,6$ (milliards).
\item %On considère l'algorithme suivant :

%\begin{center}
%\begin{tabular}{l}
%$N \longleftarrow  0$\\
%$U \longleftarrow  222,9$ \\
%Tant que $U< \np{1000}$ \\
%\hspace{2em}$N \longleftarrow   N + 1$\\
%\hspace{2em} $U \longleftarrow   1, 3 \times  U$\\
%Fin Tant que\\
%\end{tabular}
%\end{center}
\begin{enumerate}
\item %Quelles valeurs contiennent les variables $N$ et $U$ après exécution de cet algorithme ?
À la fin de l'exécution on aura $N = 6$ et $U = \np{1075,9}$.

\item %Interpréter ces valeurs dans le contexte étudié.
L'algorithme calcule le nombre d'années nécessaires pour que la valeur de l'encours dépasse \np{1000} milliards.

Il faut donc résoudre : $222,9 \times 1,3^n > \np{1000}$ soit 

$1,3^n > \dfrac{\np{1000}}{222,9}$ ou en prenant le logarithme népérien :

$n \ln 1,3 > \ln \dfrac{\np{1000}}{222,9}$ et enfin $n > \dfrac{\ln \frac{\np{1000}}{222,9}}{\ln 1,3}$.

Or $\dfrac{\ln \frac{\np{1000}}{222,9}}{\ln 1,3} \approx 5,7$. Il faut donc attendre 6 ans soit 2020.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE\\
À rendre avec la copie}
\end{center}

\medskip
\textbf{\textsc{Exercice} 1}

\medskip

\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~}\taput{$0,26$}}
	{
	\TR{$B$}\taput{$0,51$}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{$0,49$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{A}$~}\tbput{$0,74$}}
	{\TR{$B$}\taput{$0,62$}
	\TR{$\overline{B}$}\tbput{$0,38$}
	}
}
\end{center} 
\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 3 }

\medskip

\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.198cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-0.75,-1)(15,60)
\multido{\n=0+0.2}{71}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,55)}
\multido{\n=0+2}{28}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](0,\n)(14,\n)}
\multido{\n=0+1}{14}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=darkgray](\n,0)(\n,55)}
\multido{\n=0+10}{6}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=darkgray](0,\n)(14,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Oy=100,Dy=10]{->}(0,0)(14,55)
\psdots[dotstyle=Bullet,dotscale =1.4](0,46.0)(1,43.1)(2,41.3)(3,39.7)(4,33.7)(5,35.1)(6,27.1)(7,28.1)(8,26.9)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{13}{46 2.6 x mul sub}
\uput[ur](0,54){\footnotesize Consommation d'énergie primaire d'origine fossile(Mtep)}
\uput[d](13,- 2){\footnotesize Rang de l'année}\uput[ur](13,0){$x$}\uput[l](0,53){$y$}
\end{pspicture}
\end{document}