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% Tapuscrit Denis Vergès
% Sujet aimablement fourni par Culture maths
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STMG}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small septembre 2018}
\label{Antilles}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STMG Antilles--Guyane ~\decofourright\\[5pt]septembre 2018}}


\vspace{0,25cm}

%\textbf{La page 6 est une annexe, à rendre avec la copie.}

\end{center}

%\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Voir l'annexe à la fin.
\item Il faut calculer $p(B \cap D) = p(B) \times p_B(D) = 0,3 \times 0,04 = 0,012$.
\item On calcule de même :

$p(A \cap D) = p(A) \times p_A(D) = 0,3 \times 0,01 = 0,003$.

$p(C \cap D) = p(C) \times p_C(D) = 0,4 \times 0,02 = 0,008$.

D'après la loi des probabilités totales :

$p(D) = p(A \cap D) + p(B \cap D) + p(C \cap D) = 0,003 + 0,012 + 0,008 = 0,023$.
\item Il faut trouver $p_D(C) = \dfrac{p(D \cap C)}{p(D)} = \dfrac{p(C \cap D)}{p(D)}  = \dfrac{0,008}{0,023} \approx \np{0,3478}$ soit 0,348 au millième près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le chiffre d'affaires de l'usine étant proportionnel au nombre de voitures produites et vendues chaque jour, la fonction représentant ce chiffre en fonction du nombre de voitures vendues est linéaire ; sa représentation graphique est une droite : c'est donc la droite $\mathcal{C}_2$.
\item On lit pour 55 voitures produites un coût de production d'environ \np{440000}~\euro.
\item Inversement la droite d'équation $y = 600$ coupe la courbe au point d'abscisse 75.
\item Il y a bénéfice pour toutes les ventes telles que pour une abscisse de $x$ le chiffre d'affaires est supérieur au coût de production.

On constate que ceci est réalisé pour $x > 41$ et $x < 83$.

Il y a donc bénéfice si $x \in [42~;~82]$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

$R(x) = - 0,001x^3 + 0,07x^2 + 3,36x - 186$.

\begin{enumerate}
\item $R$ est une fonction polynôme, donc dérivable pour tout réel $x$; d'où

$R'(x) = 3 \times \left(-0,001x^2\right) + 2\times 0,07x + 3,36 = - 0,003x^2 + 0,14x + 3,36$.
\item $R'(x)$ est un trinôme du second degré.

On a $\Delta = 0,14^2 - 4 \times (- 0,003) \times 3,36 = 0,196 + 0,012 \times 3,36 = 0,196 + \np{0,04032} = \np{0,05992}$.

Comme $\Delta > 0$,\: $R$ s'annule deux fois :

en $\dfrac{- 0,14 + \sqrt{\np{0,05992}}}{2 \times (- 0,03)} \approx - 17,46$ et 

en $\dfrac{- 0,14 - \sqrt{\np{0,5992}}}{2 \times (- 0,03)} \approx  64,13$.

On sait que $R$ est négatif (du signe de $a = - 0,03$), sauf entre les racines où $R$ est positif. De ce signe de la dérivée on en déduit les variations de $R$ sur l'intervalle [0~;~100] :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,3)
\psframe(9,3)\psline(0,2)(9,2)\psline(0,2.5)(9,2.5)
\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.25,2.4){$0$} \uput[u](5,2.4){$\approx 64,13$} \uput[u](7.8,2.4){$100$}
\rput(0.5,2.25){$R'(x)$} \uput[u](3,1.9){$+$}\uput[u](5,1.9){$0$}\uput[u](6.5,1.9){$-$}
\rput(0.5,1){$R(x)$}
\psline{->}(1.5,0.5)(4.5,1.5)\psline{->}(5.5,1.5)(8.5,0.5)
\uput[u](1.5,0){$\approx - 186$}\uput[d](5,2){$\approx 53,618$}\uput[u](8.2,0){$- 150$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
\item
	\begin{enumerate}
		\item D'après le tableau précédent le résultat le plus grand est obtenu pour $x \approx 64,13$. Le bénéfice le plus important est obtenu en construisant 64 voitures.
		\item Pour $x = 64$, on obtient $R(64) \approx \np{53616}$~\euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La calculatrice donne comme équation (coefficients arrondis au millième) :

$y = 0,144x + 81,989$.
\item Voir le tracé sur l'annexe.
\item 2005 correspond à l'abscisse $x = 10$ ce qui donne une espérance de :

$y = 0,14 \times 10 + 82 = 1,4 + 82 = 83,4$~ans soit environ 83 ans et 5 mois.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item De 2013 à 2014 le taux d'évolution est :

$\dfrac{66,33 - 66}{66} = 0,5$\,\%.
\item De 2014 à 2015 le taux d'évolution est égal à 0,44\,\%, ce qui donne en 2015 une population d'environ :

$66,33 \times 1,0044 \approx 66,62$~millions d'habitants.
\item De 2012 à 2016 le taux global est égal à :

$\dfrac{66,9 - 65,66}{65,66} \approx 1,89$\,\%.
\item Avec un taux mayen annuel de $t$, on a :

$65,66 \times \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^4 = 66,9 \iff \left(1 + \dfrac{t}{100}\right)^4 = \dfrac{66,9}{65,66} \iff 1 + \dfrac{t}{100} = \left(\dfrac{66,9}{65,66}\right)^{\frac{1}{4}} \iff \dfrac{x}{100} = \left(\dfrac{66,9}{65,66}\right)^{\frac{1}{4}} - 1 \iff x = 100\left[\left(\dfrac{66,9}{65,66}\right)^{\frac{1}{4}} - 1\right] \approx 0,468$ soit environ 0,46\,\% au centième près.
\item En prenant l'évolution précédente on obtient pour 2020 :

$66,9 \times \left(1 + \dfrac{0,47}{100} \right)^4 \approx 68,166$ soit environ \np{68170000}~habitants.
\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La population augmentant régulièrement de 0,5\,\%, la raison de la suite est donc $1 + \dfrac{0,5}{100} = 1 + 0,005 = 1,005$.
\item On sait qu'alors pour cette suite géométrique de raison 1,005, on a pour tout naturel $n$ : $u_n = 65,06 \times 1,005^n$.
\item 2020 correspond au rang $n = 8$, d'où :

$u_8 = 65,66 \times 1,005^8 \approx 68,332$, soit environ 68,33 millions d'habitants.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On complète l'algorithme :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.3\linewidth}{|X|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{Algorithme}\\ \hline
$U \gets 65,66$\\ 
$N \gets 0$ \\ 
Tant que $U < 70$\\

\hspace{0.5cm}$U \gets U \times 1,005$\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Il faut déterminer par le calcul le naturel $n$ le plus petit tel que $u_n \geqslant 70$.
		
		Or $65,06 \times 1,005^n > 70 \iff 1,005^n > \dfrac{70}{65,06}$.
		
		Or $\dfrac{70}{65,66} \approx \np{1,0661}$.
		
		En calculant les puissances successives de 1,005, on obtient :
		
		$1,005^{10} \approx 1,05$, \: $1,005^{11} \approx 1,56$,\:$1,005^{12} \approx 1,062$ et enfin $1,005^{13} \approx \np{1,0669}$.
		
La population française dépassera les 70 millions d'habitants au bout de 13 ans soit en 2025.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\textbf{à rendre avec la copie}
\end{center}

\medskip

\textbf{Exercice 1}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$~~}\taput{0,3}}
	{\TR{$D$}\taput{0,01}
	\TR{$\overline{D}$} \tbput{0,99}
	}
\pstree{\TR{$B$~~}\taput{0,3}}
	{\TR{$D$}\taput{0,04}
	\TR{$\overline{D}$} \tbput{0,96}
	}
\pstree{\TR{$C$~~}\tbput{0,4}}
	{\TR{$D$}\taput{0,02}
	\TR{$\overline{D}$} \tbput{0,98}
	}
	}
\end{center}
	
\medskip

\textbf{Exercice 3}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1.15cm,yunit=4cm,comma=true}
\begin{pspicture}(10.2,1.7)
\multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,1.7)}
\multido{\n=0.0+0.1}{17}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(10.2,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=0.1,Oy=81.8](0,0)(10.2,1.7)
\uput[d](8.1,-0.12){rang de l'année de naissance}
\rput{90}(-1.15,1.4){Espérance de vie}
\uput[u](10.15,0){$x$} \uput[r](0,1.6){$y$}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](1,0.3)(2,0.5)(3,0.6)(4,0.7)(5,1)(6,1.1)(7,1.3)(8,1.2)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{0.14 x mul 0.2 add}
\end{pspicture}
\end{center}


\end{document}