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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque 
%Corrigé  : François Hache
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small S. T. M. G.}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion -- Corrigé}}
\rfoot{\small{6 septembre 2018}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STMG~\decofourright\\[5pt]   Métropole--La Réunion  -- 6 septembre  2018}}

%\vspace{0,25cm}
%
%La calculatrice est autorisée.
%
%\smallskip
%
%\textbf{La page 5 est une annexe, à rendre avec la copie.}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

%\medskip
%
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\
%Pour chacune des quatre questions, une seule des quatre réponses proposées est correcte.\\
%Pour chaque question, indiquer la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\
%Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte, multiple ou une question sans
%réponse, n'apporte ni ne retire aucun point.}

\medskip

Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu = 80$ et d'écart type $\sigma = 10$. %On donne ci-dessous la courbe de densité de la variable aléatoire $X$.

%\begin{center}
%\psset{xunit=0.08cm,yunit=150cm,comma=true}
%\begin{pspicture}(-5,-0.0015)(140,0.045)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=0.005](0,0)(140,0.045)
%\def\f{0.1 2 3.14159 mul sqrt div 2.71828 x 80 sub 2 exp 200 div exp div}
%\psGauss{10}{80}
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{140}{\f}
%\end{pspicture}
%\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La probabilité $p(60 \leqslant X \leqslant 100)$, arrondie au centième, est égale à:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}0,05	&\textbf{b.~~}0,97\\
\textbf{c.~~}0,50	&\textbf{d.~~}\fbox{0,95}
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
D'après le cours, si la variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma$, alors $p(\mu-2\sigma \leqslant X \leqslant \mu+2\sigma) \approx 0,95$.

On peut également trouver ce résultat à la calculatrice.

\textbf{Réponse d.}
\end{tabular}

\medskip

\item  La probabilité $p(X < 90)$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}$0,5 - p(X > 90)$	&\textbf{b.~~}\fbox{$p(X > 70)$}\\
\textbf{c.~~}$1 - p(X > 70)$	&\textbf{d.~~}$1 - p(X \geqslant 70)$
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
Pour des raisons de symétrie autour de la droite d'équation $x=\mu$:\\
$p(X < 90) = p(X<\mu+10) = p(X>\mu-10)=p(X>70)$. 

\begin{multicols}{2}
\scalebox{0.45}{
\psset{xunit=0.08cm,yunit=150cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-7,-0.0015)(140,0.045)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=0.01](0,0)(140,0.045)
\def\f{0.1 2 3.14159 mul sqrt div 2.71828 x 80 sub 2 exp 200 div exp div}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=red]
{\psplot[plotpoints=2000]{0}{90}{\f}
\psplot[plotpoints=2000]{90}{0}{0}
\closepath
}
\psGauss{10}{80}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{140}{\f}
\end{pspicture}
}% fin du scalebox

\scalebox{0.45}{
\psset{xunit=0.08cm,yunit=150cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-6,-0.0015)(140,0.045)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=0.01](0,0)(140,0.045)
\def\f{0.1 2 3.14159 mul sqrt div 2.71828 x 80 sub 2 exp 200 div exp div}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=red]
{\psplot[plotpoints=2000]{70}{140}{\f}
\psplot[plotpoints=2000]{140}{70}{0}
\closepath
}
\psGauss{10}{80}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{140}{\f}
\end{pspicture}
}% fin du scalebox
\end{multicols}

\smallskip

\textbf{Réponse b.}
\end{tabular}

\medskip
 
\item  La probabilité $p(60 \leqslant X \leqslant 80)$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}$0,5 + p(X \geqslant 60)$	&\textbf{b.~~} \fbox{$0,5 - p(X \leqslant 60)$}\\
\textbf{c.~~}$1 - p(X \leqslant 60)$	&\textbf{d.~~}$0,5 + p(X \leqslant 60)$
\end{tabularx}

\medskip 

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
$p(60 \leqslant X \leqslant 80) = p(X\leqslant 80) - p(X\leqslant 60) 
= p(X\leqslant \mu) - p(X\leqslant 60) =  0,5 - p(X\leqslant 60)$ 

\begin{center}
\scalebox{0.5}{
\psset{xunit=0.08cm,yunit=150cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-5,-0.0015)(140,0.045)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=0.01](0,0)(140,0.045)
\def\f{0.1 2 3.14159 mul sqrt div 2.71828 x 80 sub 2 exp 200 div exp div}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=red]
{\psplot[plotpoints=2000]{60}{80}{\f}
\psplot[plotpoints=2000]{80}{60}{0}
\closepath
}
\psGauss{10}{80}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{140}{\f}
\end{pspicture}
}% fin du scalebox
\end{center}

\textbf{Réponse b.}
\end{tabular}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous donne la production mondiale des énergies renouvelables de 2006 à 2015.

Cette production est exprimée en milliard de TEP (tonne équivalent-pétrole).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 					&2006 	&2007 	&2008 	&2009 &2010 &2011 &2012 &2013 &2014 &2015\\ \hline
Rang de l'année : $x_i$	& 1 	&2 		&3 		&4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline
Quantité produite (en 
milliard de TEP) : $y_i$& 1,44 	&1,47 	&1,50 	&1,53 &1,59 &1,62 &1,68 &1,74 &1,78 &1,82\\ \hline
\multicolumn{11}{r}{\footnotesize \emph{Source: OCDE d'après Extended world energy balances}}\\
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ est représenté en annexe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, on donne une équation de la droite qui réalise un ajustement affine de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés:%. Les coefficients seront arrondis au millième.
$y=0,044 x + 1,375$.

\item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 0,04x + 1,37$.

On trace cette droite dans le repère donné en annexe.
\item À l'aide de ce modèle, on va estimer la production mondiale des énergies renouvelables en 2020.

L'année 2020 correspond à $n=15$; si $x=15$, alors $y=0,04\times 15+1,37 = 1,97$.

On peut  estimer la production mondiale des énergies renouvelables en 2020 à 1,97 milliard de TEP.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le taux d'évolution de la production mondiale des énergies renouvelables entre 2006 et 2015 est, en pourcentage:
$\dfrac{1,82-1,44}{1,44}\times 100 \approx 26,39$.

\item %Calculer le taux d'évolution annuel moyen entre 2006 et 2015. Le résultat sera exprimé en pourcentage.
Le coefficient multiplicateur qui fait passer de la production de 2006 à 2015 est $\dfrac{1,82}{1,44}$; cela correspond à 9 années.

Le coefficient multi1plicateur moyen entre 2006 et 2015 est le nombre $m$ tel que
$1,44\times m^9=1,82$; donc $m=\left (\dfrac{1,82}{1,44}\right ) ^{\frac{1}{9}} \approx \np{1,0264}$ qui correspond, en pourcentage, à un taux moyen d'augmentation de $2,64$.


\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On décide de modéliser l'évolution de la production mondiale des énergies renouvelables à l'aide d'une suite géométrique de raison $1,026$. Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la production mondiale des énergies renouvelables, en milliard de TEP, pendant l'année $(2015 + n)$.

Ainsi $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique de premier terme $u_0 = 1,82$ et de raison $q=1,026$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout $n$, $u_n=u_0\times q^n = 1,82 \times 1,026^n$.

\item $2020 = 2015+5$ donc, d'après ce modèle, une estimation de la production mondiale des énergies renouvelables en 2020 est, en milliard de TEP, $u_5=1,82 \times 1,026^{5} \approx 2,07$.

\item Selon l'Agence d'Information sur l'Énergie des États-Unis d'Amérique (EIA), l'approvisionnement pétrolier mondial a été, en 2016, d'environ $4,84$ milliards de tonnes. On donne l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.35\linewidth}{|X|}\hline
$U \gets 1,82$\\
$K \gets 0$\\
Tant que $U < 4,84$\\
\hspace{1cm}$U \gets U \times 1,026$\\
\hspace{1cm}$K \gets K+1$\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Après exécution de cet algorithme, la variable $K$ contient la valeur $39$.

%Interpréter, dans le contexte étudié, cette valeur 39 ainsi que le contenu de la variable $U$.
Donc 39 est la première valeur pour laquelle $U$ dépasse $4,84$. La valeur de départ de $1,82$ correspond à l'année 2015, donc c'est à partir de l'année $2015+39=2054$ que la production mondiale des énergies renouvelables dépassera $4,84$ milliards de tonnes.

Le contenu de la variable $U$ sera alors $u_{39} = 1,82\times 1,026^{39} \approx 4,95$. 

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}

\medskip

%\textbf{Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes.}
%
%\medskip

En France, les agents de la fonction publique d'état (FPE) se répartissent en trois catégories (\emph{Source : INSEE, 2010}) :

\medskip
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]51\,\% des agents sont de catégorie A ;
\item[$\bullet~~$]24\,\% des agents sont de catégorie B ;
\item[$\bullet~~$]25\,\% des agents sont de catégorie C.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Selon le rapport annuel sur l'état de la fonction publique :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]60\,\% des agents de catégorie A sont des femmes ;
\item[$\bullet~~$]42\,\% des agents de catégorie B sont des femmes ;
\item[$\bullet~~$]51\,\% des agents de catégorie C sont des femmes.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On choisit de façon équiprobable le dossier d'un agent parmi ceux de la FPE.

On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{description}
\item[ ] $A$ : \og le dossier est celui d'un agent de catégorie A \fg
\item[ ] $B$ : \og le dossier est celui d'un agent de catégorie B \fg
\item[ ] $C$ : \og le dossier est celui d'un agent de catégorie C \fg
\item[ ] $F$ : \og le dossier est celui d'un agent qui est une femme\fg
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

%Pour tout évènement $G$, on note $p(G)$ sa probabilité et $\overline{G}$ son évènement contraire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On complète l'arbre pondéré traduisant la situation:

\begin{center}
\bigskip
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=3cm,nrot=:U]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$A$}\naput{$0,51$}}
	{\TR{$F$} \naput{$0,60$}
	\TR{$\overline{F}$} \nbput{\blue $1-0,60=0,40$}} 
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$B$~}\naput{$0,24$}}
	{\TR{$F$} \naput{$0,42$}
	\TR{$\overline{F}$} \nbput{\blue $1-0,42=0,58$}} 
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$C$}\nbput{$0,25$}}
	{\TR{$F$} \naput{$0,51$}
	\TR{$\overline{F}$} \nbput{\blue $1-0,51=0,49$}} 	
	}
\bigskip
\end{center}

\item  L'évènement $A \cap F$ est \og le dossier est celui d'un agent féminin de catégorie A \fg{}.

Sa probabilité est, d'après l'arbre: 
$p(A\cap F) = p(A) \times p_{A}(F) = 0,51 \times 0,6 = 0,306$.

\item % Montrer que la probabilité de l'évènement $F$, arrondie au centième, est égale à $0,53$.
D'après la formule des probabilités totales:

$p(F)=p(A\cap F) + p(B\cap F) + p(C\cap F) = 0,306 + 0,24\times 0,42 + 0,25\times 0,51 = \np{0,5343}
\approx 0,53$.

\item  Sachant que le dossier choisi est celui d'une femme, La probabilité qu'elle fasse partie de la catégorie A est:

$p_{F}(A)= \dfrac{p(A\cap F)}{p(F)} = \dfrac{0,306}{\np{0,5343}} \approx 0,57$.

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 8 points}

\medskip

%\textbf{Les parties A, B et C sont indépendantes.}
%
%\medskip

Au cours du mois d'août 2017, un parc de loisirs a vendu \np{16000} billets d'entrée au prix unique de $50$~euros.

On définit le chiffre d'affaires comme le produit du prix du billet d'entrée par le nombre de billets vendus. Ainsi, le chiffre d'affaires du mois d'août 2017 s'élève à \np{800000}~euros.

Suite à une étude de marché, on fait l'hypothèse suivante: une diminution de $x\,\%$ du prix du billet d'entrée par rapport à sa valeur au mois d'août 2017 ($50$ euros) entraîne une augmentation de $(2x)\,\%$ du nombre d'entrées par rapport à sa valeur au mois d'août 2017 (\np{16000}).

L'objectif de l'exercice est de calculer le pourcentage de diminution du prix du billet qui maximise le chiffre d'affaires.

\bigskip

\textbf{Partie A : étude d'un exemple}

\medskip

Pour le mois d'août 2018, on envisage de diminuer le prix du billet d'entrée de 10\,\% par rapport à sa valeur en août 2017.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On retire $10\,\%$ à $50$ donc on multiplie par $1-\dfrac{10}{100}=0,9$ ce qui donne $ 50 \times 0,9=45$.

Le prix du billet d'entrée en août 2018 est donc de $45$~\euro.

\item  Pour avoir le nombre d'entrées en août 2018, il faut augmenter de $2\times 10 = 20\,\%$ le nombre d'entrées d'août 2017, donc multiplier par $1+\dfrac{20}{100}=1,20$; on aura donc
$\np{16000} \times 1,2  =\np{19200}$ entrées en août 2018.
 
\item  Le chiffre d'affaires du mois d'août 2018 serait alors de 
$\np{19200} \times 45 = \np{864000}$~\euro.

.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : utilisation d'un tableur}

\medskip

On se propose d'étudier l'évolution du chiffre d'affaires en fonction du taux de diminution du prix du billet d'entrée par rapport à sa valeur en août 2017. Ce taux, exprimé en pourcentage, apparaît dans la première ligne du tableau donné ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul.

Toutes les lignes du tableau sont au format \emph{Nombre}.

\begin{center}
\small
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{2.75cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
& A &B &C &D &E &F &G &H &I\\ \hline
1&Taux de diminution (en pourcentage) :& 0 &10 &20 &30 &40 &50 &60 &70\\ \hline
2&Prix du billet d'entrée (en euro) &50 &45 &40 &35 &30 &25 &20 &15\\ \hline
3 &Nombre d'entrées &\np{16000} &\np{19200} &\np{22400} &\np{25600} &\np{28800} &\np{32000} &\np{35200} &\np{38400}\\ \hline
4 &Chiffre d'affaires (en euro)&\np{800000} &\np{864000} &\np{896000} &\np{896000} &\np{864000} &\np{800000} &\np{704000} &\np{576000}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Pour obtenir, par recopie vers la droite, les chiffres d'affaires de la plage C4:\:I4, on saisit dans la cellule \texttt{B4} la formule \fbox{= B2 * B3}.
\item  Dans un premier temps, la cellule C2 a été complétée par la formule suivante: $=\text{B}2*(1-\text{C}1/100)$.

Cette formule ne permet pas d'obtenir, par recopie vers la droite, les résultats de la plage D2:\:I2 parce que le taux de diminution doit s'appliquer au prix de départ, 50~\euro, qui est dans la cellule B2; il faut donc fixer la valeur de cette cellule en rajoutant le signe \$.\\
La bonne formule peut être \fbox{\verb!= \$B\$2 * (1 -- C1/100)!}

%Comment peut-on la modifier pour obtenir les valeurs affichées ?

\item  Compte tenu des résultats donnés par le tableur, les pourcentages de diminution du prix du billet d'entrée qui maximisent le chiffre d'affaires sont $20\,\%$ et $30\,\%$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie, pour tout $x$ de [0~;~100], par:
$f(x) = - 160x^2 + \np{8000}x + \np{800000}$.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer les variations de la fonction $f$ sur [0~;~100].
Le signe de la dérivée $f'$ de la fonction permet de déterminer les variations de $f$.

$f'(x)= -160\times 2x +\np{8000} = -320 x + \np{8000}$

$f'(x) > 0 \iff -320 x + \np{8000} > 0 \iff \np{8000} > 320 x \iff x < \dfrac{\np{8000}}{320} \iff x < 25$

$f(0)= \np{800000}$, $f(2()=\np{900000}$ et $f(100)=0$

On établit le tableau des variations de la fonction $f$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \esp & 25 & \esp & 100 \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{\np{900000}}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{\np{800000}} &   &  &  &   \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}

\item Diminuer  de $x\,\%$, c'est multiplier par $1-\dfrac{x}{100}$; donc le prix par rapport à sa valeur en août 2017, est égal à $50\left ( 1-\dfrac{x}{100}\right ) = 50 - 0,5x$.

\item Augmenter de $2x\,\%$, c'est multiplier par $1+\dfrac{2x}{100}$; le nombre d'entrées après une augmentation de $(2x)\,\%$ par rapport au nombre d'entrées en août 2017 est\\
$\np{16000}\left ( 1+\dfrac{2x}{100} \right ) = \np{16000} + \np{320} x$.

\item Le chiffre d'affaires du parc de loisirs est donc\\
$ \left (50 - 0,5x \strut \right ) \left ( \np{16000} + \np{320} x  \strut \right )
= 50\times \np{16000} +50\times \np{320} x -0,5 x \times \np{16000} - 0,5x \times \np{320}x\\
\phantom{\left (50 - 0,5x \strut \right ) \left ( \np{16000} + \np{320} x  \strut \right )}
= \np{800000} + \np{16000} x - \np{8000} x - 160 x^2
= -160 x^2 + \np{8000} x + \np{800000} \\
\phantom{\left (50 - 0,5x \strut \right ) \left ( \np{16000} + \np{320} x  \strut \right )}
= f(x)$

Donc la fonction $f$ modélise le chiffre d'affaires du parc de loisirs. 

\item %Déduire de ce qui précède le pourcentage de diminution du prix du billet qui maximise le chiffre d'affaires.
La fonction $f$ a un maximum pour $x=25$; le pourcentage de diminution du prix du billet qui maximise le chiffre d'affaires est donc $25$.

\item Le chiffre d'affaires maximal est $f(25)$ soit $\np{900000}$~\euro.

\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}

\textbf{\large Annexe à rendre avec la copie}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2}

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.1)(15,2.2)
\multido{\n=0+1}{16}{\psline[linewidth=0.2pt,linestyle=dashed](\n,0)(\n,2)}
\multido{\n=0+0.2}{11}{\psline[linewidth=0.2pt,linestyle=dashed](0,\n)(15,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.2]{->}(0,0)(15,2.2)
\uput[r](0,2.175){Production mondiale (en milliard de TEP)}
\uput[u](13.5,0){Rang de l'année}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.3](1,1.44)(2,1.47)(3,1.5)(4,1.53)(5,1.59)(6,1.62)(7,1.68)(8,1.74)(9,1.78)(10,1.82)
%%% droite d'ajustement
\psplot[linecolor=blue]{0}{15}{0.04 x mul 1.37 add}
\end{pspicture}
\end{center}


\end{document}