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%Tapuscrit Jean-Claude Souque
%Corrigé Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{ 27 novembre 2018}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{ baccalauréat STMG Nouvelle Calédonie novembre 2018~\decofourright\\ }}
\end{center}

\vspace{0,7cm}

    
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill (4 points)}  

\vspace{0.5cm}

{\footnotesize

\emph{\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).}}

\smallskip

\emph{Pour chaque question \textbf{une seule des quatre réponses proposées est correcte.} Indiquer
sur la copie le numéro de la question suivie de la réponse choisie. Aucune justification n'est
demandée. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une
question sans réponse n'enlève pas de point.}

Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul, donne l'évolution des ventes
d'insecticides en France entre 2011 et 2015.

La colonne C a été ajoutée afin de calculer les taux d'évolution annuels des ventes
d'insecticides. (On ne demande pas de compléter ce tableau).

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\columncolor{aliceblue}}c|m{1.25cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\rowcolor{aliceblue}&\centering A &B& C\\\hline
\rowcolor{aliceblue}1& Années& Ventes d'insecticides & Taux d'évolution annuel des ventes\\
\rowcolor{aliceblue}&&(en tonnes)& d'insecticides\\\hline
2& 2011& 2156,069&\\\hline
3 &2012& 2331,791&\\\hline
4 &2013& 2246,948&\\\hline
5& 2014& 2613,725&\\\hline
6 &2015& 2469,030&\\\hline
\multicolumn{4}{r}{\emph{Source: Base nationale des données de vente, MEDDE}}\\
\end{tabularx}
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item  Le taux d'évolution global des ventes d'insecticides entre 2011 et 2015 arrondi à
0,01\,\% est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{X|}} \hline
 \textbf{a.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$12,68\,\%$}&\textbf{b.~~}\psframebox{ $14,52\,\%$}&\textbf{c.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$-12,68\,\%$}&\textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{  $1,15\,\%$}\\
 \hline
 \end{tabularx}
\end{center} 

\item Le taux d'évolution annuel moyen des ventes d'insecticides entre 2011 et 2015
arrondi à 0,01\,\% est de :


\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{X|}} \hline
 \textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $2,75\,\%$}&\textbf{b.~~}\psframebox{ $3,45\,\%$}&\textbf{c.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$3,63\,\%$}&\textbf{d.~~}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $\np{2.90}\,\%$}\\
 \hline
 \end{tabularx}
\end{center}


\item Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C3 afin d'obtenir, par recopie vers le
bas, les taux d'évolution d'une année à l'autre ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9685\linewidth}{|*{4}{X|}} \hline
 \textbf{a.~~}\psframebox{{\footnotesize=(B3$-$B2)/B2} }&\textbf{b.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{{\footnotesize=(B3$-$B\$2)/B\$2}}&\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{{\footnotesize=(B3$-$B2)/B3}}&\textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{{\footnotesize=100*(B3$-$B2)/B3}} \\
 \hline
 \end{tabularx}
\end{center}


\item Dans cette question, on fait l'hypothèse que les ventes d'insecticides diminuent de 2\,\%
par an à partir de l'année 2015. Sous cette hypothèse on peut estimer que la quantité
d'insecticides vendue en 2020 (en tonnes,  arrondie à 0,001) sera:


\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{4}{X|}} \hline
 \textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $2277,355$}&\textbf{b.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$ 2222,127 $}&\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $2419,649$}&\textbf{d.~~} \psframebox{ $2231,808$}\\
 \hline
 \end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0,7cm}
   
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill (5 points)}  

\vspace{0.5cm}

{\footnotesize

Une entreprise française commercialise des pneus. La production mensuelle maximale
est de \np{30 000} pneus. On suppose que la totalité de la production mensuelle est vendue
chaque mois.

\vspace{2mm}

Les charges de production, en milliers d'euros, pour $x$ milliers de pneus vendus sont
données par la fonction $C$ définie sur l'intervalle [0~;~30] par $C(x) = 4x^2 + 4x + 574$.

\vspace{2mm}

L'entreprise fixe le prix de vente d'un pneu à $130$~euros.

\vspace{2mm}

Le chiffre d'affaires, en milliers d'euros, pour la vente de $x$ milliers de pneus est donné
par la fonction $R$ définie sur l'intervalle [0; 30] par $R(x) = 130x$.

$\mathcal{R}$  et $\mathcal{C}$ désignent leurs courbes représentatives. Les deux courbes sont représentées sur le graphique donné ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.002cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-2,-1000)(35,5500)
\multido{\n=0+1}{31}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](\n,0)(\n,5000)}
 \multido{\n=0+500}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](0,\n)(30,\n) }
\uput[dr](31.3,0){$x$} \uput[ul](0,5000){$y$}
 \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=5,Dy=500]{->}(0,0)(32,5200)
\psplot[linewidth=1.15pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{30}{x 1 add x 4 mul   mul 574 add}
\psplot[linewidth=1.15pt,linecolor=cyan,plotpoints=5000]{0}{30}{x 130 mul}
\uput[u](27,3700){\blue $\mathcal{C}$}\uput[d](27,3500){\cyan $\mathcal{R}$}
\psset{arrowscale=2}
\def\Func{x 1 add x 4 mul   mul 574 add}
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-< ]{<-}(!0 /x 12 def \Func)(!12 /x 12 def \Func)(12,0)
\def\func{x 130 mul}
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 19.23077 def \func)(!19.23077 /x 19.23077 def \func)(19.23077,0)
\uput[l](0,1198){$\approx \np{1200}$}\uput[d](19,23,0.3){\scriptsize $\approx \np{19.2}$}
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=green,linestyle=dashed](4,0)(4,750)
\end{pspicture}
\end{center}
}

\begin{enumerate}
\item  Déterminons, par le calcul, par le graphique voir \emph{supra}  :
\begin{enumerate}
\item  les charges de production de \np{12000} pneus.

Pour ce faire, remplaçons $x$ par 12 dans l'équation de $\mathcal{C}$

$C(12)=4\times 12^2+4\times 12+574=\np{1198}$

Les charges, pour produire \np{12000} pneus, s'élèvent à \np{1198000}~\euro.
\item Le nombre de pneus à produire pour obtenir un chiffre d'affaires de \np{2 500 000}~euros.

Résolvons $R(x)=\np{2500}$.

$130x=\np{2500} \iff x=\dfrac{\np{2500}}{130}\approx \np{19.23077}$

Le nombre de pneus à produire pour obtenir un chiffre d'affaires de \np{25000000}~\euro{} est  \np{19231}.
\end{enumerate}
\item En vendant \np{4000} pneus, soit 4 milliers, l'entreprise est déficitaire. Par le graphique, on peut constater que la courbe des coûts est \og au-dessus \fg de celle des recettes. 

Par le calcul $C(4)=4\times 4^2+4\times 4+574=\np{654}$ et $R(4)=130\times 4=\np{520}$. Les coûts étant largement supérieurs aux recettes, il en résulte que l'entreprise est déficitaire. %Justifier votre réponse.
\item Le bénéfice réalisé pour $x$ milliers de pneus vendus est donné par la fonction $B$,
définie pour tout nombre $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~30], par:
\[B(x) = -4x^2 + 126x - 574.\]
\begin{enumerate}
\item  On désigne par $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$. 

 $B'(x)=-4(2x)+126=-8x+126$.
\item Déterminons le signe de la fonction $B'$ sur l'intervalle [0~;~30].

Sur $\R, -8x+126>0\iff x<\dfrac{126}{8}\iff x<\dfrac{63}{4}$.

 Il en résulte si $x\in\left[0~;~\dfrac{63}{4}\right[,\ B'(x)> 0$ et si $x\in\left]\dfrac{63}{4}~;~30\right],\ B'(x)<0$
\item Étudions les variations de $B$

Si pour tout $x\in I, \:f'(x)>0 $ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.

Sur $\left[0~;~\dfrac{63}{4}\right[,\ B'(x)>0$ par conséquent $B$ est strictement croissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)< 0$ alors $f$ est  strictement décroissante sur $I$. 

Sur $\left]\dfrac{63}{4}~;~30\right],\ B'(x)<0$ par conséquent $B$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

Dressons le tableau de variation :

	\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(10,3.5)
%\psgrid
\psframe(9.5,3)
\psline(0,1.5)(9.5,1.5)\psline(0,2.5)(9.5,2.5)  \psline(3.5,0)(3.5,3)
\uput[u](1.75,2.5){$x$} \uput[u](3.7,2.5){$0$}\uput[u](9.1,2.5){$30$}\uput[u](6.4,2.5){$63/4$}
\uput[u](1.3,1.75){Signe de $B'(x)$}\uput[u](1.3,0.5){Variations de $B$}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](6.4,1.5)(6.4,2.5)
\uput[u](6.4,1.75){$0$}\uput[u](4.9,1.75){$+$}\uput[u](7.8,1.75){$-$}
\psline{->}(4,0.5)(5.9,1.25)\psline{->}(6.85,1.25)(8.78,0.5)
\uput[u](4,0.){\small $-\np{574}$} \uput[d](6.4,1.5) {$\np{418.25}$}
\uput[u](9,0){$-\np{394}$}
\end{pspicture}
\end{center}

%\item En déduire le tableau de variation de la fonction $B$ sur l'intervalle [0 ; 30].
\item En lisant le tableau, $B$ admet un maximum valant \np{418.25} pour  $x=\dfrac{63}{4}$ soit \np{15.75}.

Le bénéfice est maximal pour \np{15750}  pneus produits,  le montant de ce bénéfice est alors de \np{418250}~\euro.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,7cm}

    
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill (6 points)}  

\vspace{0.5cm}


{\textbf{Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante}.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
{\footnotesize
Le parc informatique d'une entreprise est constitué de \np{2000} ordinateurs. Parmi ceux-ci,
500 sont considérés comme neufs car ils ont moins d'un an. Les autres sont considérés
comme anciens. Le service informatique de cette société estime que la probabilité qu'un
ordinateur neuf ait un problème de sécurité est égale à $0,05$. Pour un ordinateur plus
ancien, la probabilité qu'il en ait un est égale à 0,4.

On choisit au hasard un ordinateur du parc informatique.

On considère les évènements suivants:

\begin{itemize}
\item [$\bullet$] $N$ : \og L'ordinateur est neuf \fg, 
\item [$\bullet$] $S$ : \og L'ordinateur a un problème de sécurité \fg.
\end{itemize}
}

\begin{minipage}[]{0.6\linewidth}
\begin{enumerate}
\item   $p(N) = 0,25$. En effet il y a $500$ ordinateurs neufs sur un total de \np{2000} soit un quart.
\item Complétons l'arbre pondéré ci-contre.
\item   $N \cap S $ est l'évènement : \og l'ordinateur est neuf et a des problèmes de sécurité\fg.

$P(N\cap S)=P(N)\times P_N(S)=\np{0.25}\times \np{0.05}=\np{0.0125}$
\item Montrons que $P(S) = \np{0,3125}$.

$N$ et $\overline{N}$ forment une partition de l'univers.

$P(S) = P(N\cap S)+P\left(\overline{N}\cap S\right)$

$P(S) = P(N)\times P_N(S) + P\left(\overline{N}\right)\times P_{\overline{N}}(S)$

$P(S) = \np{0.0125} + \np{0.75}\times\np{0.4} =\np{0.3125}$
\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[]{0.3\linewidth}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$N$~}\taput{$\np{0.25}$}}
	{
	\TR{$S$}\taput{$\np{0.05}$}
	\TR{$\overline{S}$}\tbput{$\np{0.95}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{N}$~}\tbput{$\np{0.75}$}}
	{\TR{$S$}\taput{$\np{0.4}$}
	\TR{$\overline{S}$}\tbput{$\np{0.6}$}
	}
}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

{\footnotesize
On s'intéresse dans cette partie au temps nécessaire pour que le service informatique de
l'entreprise intervienne afin de réparer un ordinateur défaillant.

On note $T$ la variable aléatoire qui à chaque défaillance d'ordinateur associe le temps, en
heures, nécessaire avant l'intervention du service informatique. On admet que $T $suit
une loi normale d'espérance \textmu = 20{}  et d'écart type \textsigma = 4.

\emph{Les réponses seront arrondies au centième.}}
\begin{enumerate}
\item  À l'aide de la calculatrice,  $p(12 \leqslant T \leqslant 24\approx \np{0.82})$.  Ce résultat
est la probabilité  que le temps nécessaire à l'intervention du service informatique soit compris entre \np[h]{12} et \np[h]{24}.
\item Déterminons la probabilité d'attendre plus d'une journée pour une intervention sur un
ordinateur défaillant soit $P(X>24)$. À l'aide de la calculatrice $P(X>24)\approx \np{0.16}$.

{\footnotesize \emph{remarque :}  24=\textmu+\textsigma. $P(\mu\leqslant X\leqslant\mu+\sigma)\approx \np{0.34}$. Par conséquent $P(X>24)=\np{0.5}-\np{0.34}$.}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip
{\footnotesize
Le directeur du personnel affirme que 85\,\% des salariés sont satisfaits de la maintenance
informatique au sein de l'entreprise.

Afin de vérifier cette déclaration, on interroge au hasard 120 employés. Parmi eux, 94
répondent qu'ils sont satisfaits du service de maintenance informatique.}

Un intervalle de fluctuation à 95\,\% est $\left[\np{0.85}-\dfrac{1}{\sqrt{100}}~;~\np{0.85}+\dfrac{1}{\sqrt{100}}\right]$ soit $[\np{0.75}~;~\np{0.95}]$

La proportion est $\dfrac{94}{120}\approx \np{0.78}$. Étant dans l'intervalle de fluctuation au risque de 5\,\%, l'affirmation du directeur du personnel est correcte.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill (5 points)}  

\vspace{0.5cm}
{\footnotesize
Le tableau ci-dessous indique le prix moyen en euros des terres en France
métropolitaine (hors Corse) entre 2010 et 2016.

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.75cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
 \hline
Années &2010& 2011& 2012& 2013& 2014& 2015& 2016\\\hline
Rang de l'année: $x_i$& 1 &2& 3& 4 &5 &6 &7\\\hline
Prix d'un hectare en euros: $y_i$& \np{5070}& \np{5360} &\np{5410}& \np{5750}& \np{5910}&\np{6010} &\np{6030}\\\hline
\multicolumn{8}{r}{\emph{Source : Agreste.}}\\
\end{tabularx}

\smallskip

On se propose d'estimer, en utilisant deux modèles différents, l'année à partir de laquelle
le prix d'un hectare de terre dépassera pour la première fois \np{7000} \euro.
}
\bigskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A~}-- Premier modèle.

\medskip

Le nuage de points de coordonnées $(x_i, y_i)$ est représenté sur le graphique ci-dessous.
On a également tracé la droite $D$ d'ajustement affine de ce nuage, obtenue par la méthode
des moindres carrés.



\begin{center}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.0045cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-0.75,-80)(14,2550)
\multido{\n=0+1}{15}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](\n,-50)(\n,2200)}
\multido{\n=0+100}{23}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](0,\n)(14,\n)}
 \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=1,Oy=5000,Dy=500,]{->}(0,0)(14.6,2250)
 \psdots[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](1,70)(2,360)(3,410)(4,750)(5,910)(6,1010)(7,1030)
\def\Func{x 167.1429 mul 20 sub}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{13}{\Func}
  \uput[u](-1.5,1400){\rotatebox{90}{\footnotesize Prix d'un hectare en euros $y_i$}}
 \uput[d](28,- 30){\footnotesize Rang de l'année $x_i$}
%  
%  \uput[ul](3,362){\textcolor{red}{$G$}}
%  \psset{arrowscale=2}
%   \psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 24.07 def \Func)(!24.07 /x 24.07 def \Func)(24.07,0)
% \psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.3,dotangle=45](3,362)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  À l'aide de la calculatrice une équation de la droite $D$ est $y=\np{167.1}x+\np{4980}$. %Les coefficients sont arrondis à \np{0.1} si nécessaire.
\item On suppose que cet ajustement restera valide jusqu'en 2022.
	\begin{enumerate}
		\item  Estimons le prix d'un hectare de terre en 2021 . En 2021, $x= 12$.

 En remplaçant  $x$ par 12 dans l'équation de la courbe, nous obtenons 

$y= \np{167.1}\times 12+\np{4980}=\np{6985.2}$.
 
Le prix d'un hectare de terre en 2021  selon ce modèle, peut être estimé à \np{6985.20}~\euro.
		\item Pour déterminer l'année à partir de laquelle le prix d'un hectare de terre dépassera \np{7000}~\euro, résolvons $y\geqslant \np{7000}$.

$\np{167.1}x+\np{4980}\geqslant \np{7000} \iff \np{167.1}x \geqslant \np{7000}-\np{4980} \iff x \geqslant \dfrac{\np{2020}}{ \np{167.1}}$

$\dfrac{\np{2020}}{ \np{167.1}}\approx \np{12.09}$. 

 Selon ce modèle, le prix d'un hectare de terre dépassera les \np{7000}~\euro{} l'année de rang 13 soit en 2022.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B~}-- Second modèle.

\medskip

On suppose dans cette partie qu'à partir de l'année 2016, chaque année, le prix d'un
hectare de terre augmentera de 3\,\%.

On note $U_n$ le prix en euros d'un hectare de terre pour l'année $2016 + n$.

Ainsi $U_0 = \np{6030}$.

À une augmentation de  3\,\% correspond un coefficient multiplicateur de \np{1.03}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item   $U_1 = \np{6030}\times \np{1.03}=\np{6210,9}$.
\item  Passant d'un terme au suivant  en le multipliant par \np{1.03} la suite $\left(U_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{1.03}.
\item  Le terme général d'une suite géométrique  de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est :

 $u_n=u_0\times (q)^n$. $u_n=\np{6030}\times (\np{1.03})^n$.

En 2021 $n=5$,  calculons $u_5$. $u_5=\np{6030} \times \np{1.03}^5 \approx \np{6990.42}$. Selon ce modèle, le prix d'un hectare en 2021 serait de \np{6990.42}~\euro.
\item  On donne l'algorithme suivant:

\begin{center}

\begin{tabular}[]{|l|}
\hline
$U \leftarrow  \np{6030}$\\
$N \leftarrow 0$\\
Tant que U < \np{7000}\\
\hspace{2em}$U \leftarrow U \times 1,03$\\
\hspace{2em}$N \leftarrow N+ 1$\\
Fin Tant que\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

On admet que la valeur prise par la variable $N$ en fin d'exécution de l'algorithme est 6.

Ce résultat, dans le contexte de l'exercice, est la valeur de $n$ pour laquelle le prix d'un hectare de terre dépasse les \np{7000}~\euro.
\end{enumerate}
\end{document}