\documentclass[10pt,a4paper,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{xspace} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,amstext,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage[euler]{textgreek} \usepackage{textcomp,enumitem} \usepackage[table,dvips]{xcolor} \usepackage{graphicx} %Merci pour le sujet à Frédéric Jaëck (Culture maths) %tapuscrit Denis Vergès %Corrigé : François Hache \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pst-func,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat STMG}, pdftitle = {Nouvelle Calédonie - mars 2019}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\e}{\text{\,e}} \definecolor{aliceblue}{rgb}{0.94, 0.97, 1.0} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat STMG} \lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}} \rfoot{\small{mars 2019}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Corrigé du baccalauréat STMG Nouvelle Calédonie~\decofourright\\[5pt] mars 2019}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip Un fournisseur fabrique en grande quantité deux modèles de paires de chaussures : le modèle Sport et le modèle Ville. On sait que : \setlength\parindent{12mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] 60\,\% de la production correspond au modèle Sport et le reste de la production au modèle Ville. \item[$\bullet~~$] 1\,\% des modèles Sport présentent un défaut et 3\,\% des modèles Ville présentent un défaut. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip On choisit au hasard une paire de chaussures produite par cette entreprise et on note: \setlength\parindent{12mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $S$ l'évènement : \og la paire choisie est un modèle Sport \fg, \item[$\bullet~~$] $V$ l'évènement : \og la paire choisie est un modèle Ville \fg, \item[$\bullet~~$] $D$ l'évènement : \og la paire choisie présente un défaut \fg, \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item L'arbre pondéré ci-dessous résume la situation: \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=3cm,nrot=:U]{\TR{}} {\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$S$}\naput{$0,6$}} {\TR{$D$}\naput{$0,01$} \TR{$\overline{D}$} \nbput{\blue $1-0,01=0,99$} } \pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$V$}\nbput{\blue $1-0,6=0,4$}} {\TR{$D$}\naput{$0,03$} \TR{$\overline{D}$} \nbput{\blue $1-0,03=0,97$} } } \bigskip \end{center} \item $P(V \cap D)=P(V)\times P_{V}(D) = 0,4\times 0,03 = 0,012$. \item La probabilité de choisir un modèle avec un défaut est $P(D)$.%égale à $0,018$. D'après la formule des probabilités totales: $P(D)= P(S\cap D) + P(V\cap D) = 0,6\times 0,01 + 0,012 = 0,06+0,012 = 0,018$. \item La probabilité de choisir un modèle Sport sachant qu'il présente un défaut est: $P_{D}(S)=\dfrac{P(S\cap D)}{P(D)} = \dfrac{0,006}{0,018}=\dfrac{1}{3}$ dont l'arrondi au millième est $0,333$. %On arrondira les réponses au millième. \item Une étude statistique a montré que la pointure de chaussures pour les femmes en France peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale dont la courbe de densité est représentée ci-dessous. \end{enumerate} \psset{xunit=0.45cm,yunit=20cm} \begin{center} \begin{pspicture}(0,0)(22,0.27) \psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=28,Dx=1,labels=none](0,0)(22,0.001) \pscustom[fillstyle=hlines]{ \psGauss[mue=11,sigma=1.5]{14}{22} \psplot{22}{14}{0} \closepath } \pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=blue]{ \psGauss[mue=11,sigma=1.5]{8}{14} \psplot{14}{8}{0} \closepath } \psGauss[mue=11,sigma=1.5]{0}{22} \rput(18,0.06){$P(X > 42) \approx 0,023$} \multido{\n=0+1,\na=28+1}{23}{\uput[d](\n,0){\footnotesize \na}} \multido{\n=0+1}{23}{\psline(\n,-0.0005)(\n,0.0005)} %%% corrigé \psline[linecolor=blue,linestyle=dashed,dash=3pt 3pt](11,0)(11,0.27) \rput(6,0.12){\blue $P(36 39 +3) = P(X>42)$; donc $P(X<36)\approx 0,023$. $P(36\leqslant X \leqslant 42) = 1 - P(X<36) - P(X>42)\approx 1-0,023-0,023$ donc $P(36\leqslant X \leqslant 42) \approx 0,954$ \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points} \medskip Une entreprise produit et vend du safran, une épice de grande qualité. On note $x$ le nombre de kilogrammes que produit et vend l'entreprise en un an, $x$ étant compris entre 0 et 10. Le montant des charges correspondant à la production de $x$ kilogrammes de safran, exprimé en milliers d'euros, est modélisé par la fonction $C$ définie sur l'intervalle [0~;~ 10] par : $C(x) = 2x^3 - 23x^2 + 90x + 10$. On a tracé ci-dessous la représentation graphique de cette fonction $C$ dans un repère orthogonal. \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=0.01cm} \begin{pspicture}(-0.5,-50)(10.5,750) \multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.25pt,linestyle=dashed](\n,0)(\n,700)} \multido{\n=0+100}{8}{\psline[linewidth=0.25pt,linestyle=dashed](0,\n)(10,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100]{->}(0,0)(10.5,750) \uput[d](8.5,-50){Nombre de kilogrammes} \rput{90}(-1,500){Charges (en milliers d'euros)} \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{x 3 exp 2 mul x dup mul 23 mul sub 90 x mul add 10 add} \psline[linecolor=red,linestyle=dashed,ArrowInside=->,arrowsize=3pt 3](5,0)(5,135)(0,135) \uput*{9pt}[l](0,135){\red $135$} \psline[linecolor=red,linestyle=dashed,ArrowInside=->,arrowsize=3pt 3](0,200)(7,200)(7,0) \uput*{9pt}[d](7,0){\red $7$} \end{pspicture} \end{center} \medskip \textbf{Partie A - Étude des charges} \medskip \begin{enumerate} \item Le montant des charges lorsque l'entreprise produit 5 kilogrammes de safran est $C(5)$ milliers d'euros; $C(5) = 135$ donc le montant des charges est de $\np{135000}$~\euro{}. \item Le nombre de kilogrammes de safran à produire pour que le montant des charges soit égal à \np{200000}~euros est environ 7 (voir graphique). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B - Étude du bénéfice}ø \medskip L'entreprise vend la totalité de sa production. Chaque kilogramme de safran est vendu au prix de 50 milliers d'euros. \medskip \begin{enumerate} \item Le chiffre d'affaires $R(x)$, en milliers d'euros, réalisé pour la vente de $x$ kilogrammes de safran est $R(x)=50x$. \item Le bénéfice $B(x)$, en milliers d'euros, réalisé pour la vente de $x$ kilogrammes de safran est: $B(x) = R(x)-C(x) = 50x - \left ( 2x^3 - 23x^2 + 90x + 10 \right )=- 2x^3 + 23x^2 - 40x - 10$. \item On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction B. \begin{enumerate} \item $B'(x) = -2\times 3x^2 + 23 \times 2x - 40 = -6x^2 + 46x - 40$ \item On résout dans l'intervalle $\left [0~;~10\strut\right ]$, l'équation $B'(x) = 0$: $\Delta = 46^2 - 4\left (-6\right ) \left ( -40\right ) = \np{1156} = 34^2$ L'équation admet 2 solutions sur l'intervalle $\left [0~;~10\strut\right ]$: $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-46+34}{2\times (-6)}=1$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-46-34}{2\times (-6)}=\dfrac{20}{3}$. \item On dresse le tableau de variations de la fonction $B$ sur l'intervalle $\left [0~;~10\strut\right ]$. Le trinôme du second degré $B'(x)$ admet deux racines, donc il est du signe de $a$, donc négatif, à l'extérieur des racines; \begin{center} { \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \def\esp{\hspace*{2cm}} $\begin{array}{|c | *{7}{c} |} \hline x & 0 & \esp & 1 & \esp & \frac{20}{3} & \esp & 10 \\ \hline B'(x) & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &\\ \hline \end{array}$ } \end{center} $B(0)=-10$, $B(1)=-20$, $B\left (\frac{20}{3} \right ) = \dfrac{\np{4130}}{27}\approx 153$ et $B(10) = -110$ On établit le tableau de variations de la fonction $B$ sur $\left [0~;~10\strut\right ]$: \begin{center} {\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3} % paramètres \def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur $\begin{array}{|c| *6{c} c|} \hline x & 0 & \esp & 1 & \esp & \frac{20}{3} & \esp & 10 \\ \hline B'(x) & & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline & \Rnode{max1}{-10} & & & & \Rnode{max2}{\approx 153} & & \\ B(x) & & & & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & & & \Rnode{min1}{-29} & & & & \Rnode{min2}{-110} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{max1}{min1} \ncline{->}{min1}{max2} \ncline{->}{max2}{min2} \\ \hline \end{array}$ } \end{center} \item Pour réaliser le bénéfice maximal, il faut vendre $\dfrac{20}{3}$ kilogrammes de safran, soit environ $6,667$~kg. Le bénéfice maximal est, arrondi au millier d'euro, de $153$ milliers d'euros. %Quel est ce bénéfice maximal, arrondi au millier d'euros ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points} \medskip Le tableau suivant donne la part (en pourcentage) des voitures diesel dans les ventes de voitures neuves, en France, entre 2012 et 2017. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2012 &2013 &2014 &2015 &2016 &2017\\ \hline Rang de l'année $x_i$ &0 &1 &2 &3 &4 &5\\ \hline Part des voitures diesel $y_i$ (en \:\%) &73 &67 &64 &58 &52 &48\\ \hline \multicolumn{7}{r}{\footnotesize \emph{Source : Comité de Constructeurs Français d'Automobile}} \end{tabularx} \end{center} Les points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ sont représentés dans le graphique ci-après. \begin{figure}[!t] \centering \psset{xunit=1.4cm,yunit=0.25cm} \begin{pspicture}(-0.5,-3)(6.25,34) \multido{\n=0.0+0.5}{13}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,34)} \multido{\n=0.0+3}{12}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(6,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=40,Dy=3]{->}(0,0)(0,0)(6.25,34) \uput[d](5.5,-1.5){Rang de l'année} \uput[ur](3.5,15){\blue $D$} \rput{90}(-0.75,27){Part des voitures diesel} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](0,33)(1,27)(2,24)(3,18)(4,12)(5,8) %%% Corrigé \psplot[linecolor=blue]{0}{6}{-5 x mul 73 add 40 sub} \end{pspicture} \end{figure} \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, on donne une équation de la droite réalisant un ajustement affine de ce nuage de points, obtenue par la méthode des moindres carrés avec les coefficients arrondis au dixième: $y=- 5x +72,9$. %On arrondira les coefficients au dixième. \item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $D$ d'équation : $y = - 5x + 73$. On suppose que la tendance observée se poursuivra jusqu'en 2022. \begin{enumerate} \item La part des voitures diesel en 2018 correspond au rang $x=6$: pour $x=6$, $y=-5\times 6 + 73 = 43$. Selon ce modèle, la part des voitures diesel en 2018 est de $43$\,\%. \item L'année à partir de laquelle on peut estimer que la part des voitures diesel sera inférieure ou égale à 25\,\% correspond à la valeur entière de $x$ telle que $-5x + 73 \leqslant 26$; on résout cette inéquation: $-5x + 73 \leqslant 26 \iff 73-25 \leqslant 5x \iff 48 \leqslant 5x \iff 9,6 \leqslant x$ C'est donc à partir de $x=10$, donc de l'année 2022, que la part des voitures diesel sera inférieure à 25\,\%. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \medskip Le tableau ci-dessous donne le nombre de smartphones vendus en France (en millions d'unités) de 2011 à 2015. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &2011 &2012 &2013 &2014 &2015\\ \hline Nombre de smartphones vendus (en millions) &11,4 & &15,8 &18,2 &20,5\\ \hline Taux d'évolution (arrondi à 0,01\,\%) &\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&18,42\,\% &17,04\,\% & &12,64\,\% \\ \hline \multicolumn{6}{r}{\footnotesize \emph{Source: GFK}} \end{tabularx} \end{center} \smallskip \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item Les ventes de smartphones ont progressé de $18,42$\,\% de 2011 à 2012. Augmenter de $18,42$\,\%, c'est multiplier par $1+\dfrac{18,42}{100}=1,1842$. $1,14\times 1,1842$ qui a pour arrondi au dixième $13,5$. On peut donc estimer à $13,5$ millions le nombre de smartphones vendus en 2012. %Calculer le nombre de smartphones vendus en France en 2012. % %\emph{On arrondira la réponse à $0,1$ million}. \item Le taux d'évolution des ventes de smartphones en France entre 2013 et 2014 est calculé par la formule $\dfrac{18,2-15,8}{15,8}\approx \np{0,151899}$ qui donne un taux, arrondi à $0,01\,\%$ égal à $15,19\,\%$. \item Le taux d'évolution global des ventes de smartphones en France entre 2011 et 2015 est calculé par la formule $\dfrac{20,5 - 11,4}{11,4} \approx \np{0,7982}$ qui donne un taux de $79,82$\,\%. \item Le taux d'évolution annuel moyen des ventes de smartphones en France entre 2011 et 2015, donc sur 4 années, est le nombre $t$ tel que $(1+t)^{4} = 1,7982$ donc $t=1,7982^{\frac{1}{4}}-1$ ce qui fait, arrondi à l'unité, 16\,\%. %\emph{On arrondira la réponse à l'unité}. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On considère qu'à partir de l'année 2015, le nombre de smartphones vendus en France va augmenter chaque année de 16\,\%. On note $u_n$ le nombre de smartphones (en millions) vendus en France en $2015 + n$, avec $n$ entier naturel. On a ainsi $u_0 = 20,5$. \medskip \begin{enumerate} \item On obtient $u_1$ en ajoutant $16\,\%$ à $u_0$, donc en multipliant par $1+\dfrac{16}{100}$ soit $1,16$: $u_1=1,16\times u_0 = 1,16\times 20,5 = 23,78$. On peut donc estimer à $23,78$ millions le nombre de smartphones vendus en 2016. %Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice. \item %Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Justifier et donner sa raison. Ajouter $16\,\%$, c'est multiplier par $1,16$ donc, pour tout $n$, $u_{n+1}=1,16 u_n$. La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=1,16$. \item %Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. On a donc, pour tout $n$, $u_n=u_0\times q^n = 20,5 \times 1,16^{n}$. \item Comme $2020=2015+5$, une estimation du nombre de smartphones vendus en France en 2020 est $u_5= 20,5 \times 1,16^{5} \approx 43,057$ donc en arrondissant à $0,1$ million, cette estimation est de $43,1$ millions. %\emph{On arrondira la réponse à $0,1$ million}. \end{enumerate} \end{document}