\documentclass[10pt,a4paper,french]{article} \usepackage{babel} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{xspace} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,amstext,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage[euler]{textgreek} \usepackage{textcomp,enumitem} \usepackage[table]{xcolor} \usepackage{colortbl} \usepackage{graphicx} %Sujet aimablement fourni par Clotilde Rouchon %Tapuscrit Denis Vergès %Corrigé Jean-Claude Souque \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat STMG}, pdftitle = {Nouvelle Calédonie - 28 novembre 2017 }, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \def\e{\text{e}} \frenchbsetup{StandardLists=true} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat STMG} \lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}} \rfoot{\small{28 novembre 2017}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STMG Nouvelle Calédonie~\decofourright\\[5pt]28 novembre 2017}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \medskip {\footnotesize Si nécessaire, les probabilités seront arrondies au millième. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Une coopérative de fruits doit calibrer sa production de cerises, c'est-à-dire les trier selon leur taille. Elle produit des cerises burlats et des cerises griottes. Les cerises qui ont un calibre trop petit seront écartées du stock et ne pourront pas être commercialisées. On sait que 70\,\% des cerises produites sont des burlats ; les autres sont donc des griottes. Parmi les burlats, 10\,\% sont écartées et parmi les griottes 25\,\% le sont également. On choisit au hasard une cerise dans le stock, avant le calibrage. On considère les évènements suivants : \setlength\parindent{11mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] $B$ : \og la cerise choisie est une burlat \fg, \item[$\bullet~~$] $C$ : \og la cerise choisie est une griotte \fg, \item[$\bullet~~$] $E$ : \og la cerise choisie est écartée du stock \fg. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip } \begin{enumerate} \item En utilisant les données de l'énoncé, complétons l'arbre de probabilités ci-dessous : \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$B$~}\naput{\np{0.7}}} {\TR{$E$} \taput{\np{0.1}} \TR{$\overline{E}$} \tbput{\np{0.9}} } \pstree{\TR{$G$~}\nbput{\np{0.3}}} {\TR{$E$} \taput{\np{0.25}} \TR{$\overline{E}$} \tbput{\np{0.75}} } } \end{center} \item \begin{enumerate} \item Calculons la probabilité de l'évènement $B \cap E$. $p(B\cap E)=p(B)\times p_{B}(E)=\np{0.7}\times \np{0.1}=\np{0.07}$ \item La probabilité que la cerise soit écartée du stock est notée p(E). B et G forment une partition de l'univers par conséquent $p(E)=p(B\cap E)+p(G\cap E)=p(B)\times p_{B}(E)+p(G)\times p_{G}(E)=\np{0.07}+\np{0.3}\times \np{0.25}=\np{0.145}$ La probabilité que la cerise soit écartée du stock est égale à 0,145. \end{enumerate} \item On sait à présent que la cerise choisie a été écartée du stock. On s'intéresse à la probabilité que ce soit une griotte. \begin{enumerate} \item Cette probabilité est notée $p_{E}(G)$. \item Calculons cette probabilité. $p_{E}(G)=\dfrac{p(G\cap E)}{p(E)}=\dfrac{\np{0.075}}{\np{0.145}}\approx \np{0.517}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip {\footnotesize \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie, on s'intéresse à une autre coopérative qui produit exclusivement des cerises du type bigarreaux. On admet que la taille $T$, en millimètres, de ces bigarreaux suit une loi normale d'espérance $\mu = 22$~mm et d'écart-type $\sigma = 1,6$~mm. Ces cerises sont réparties en trois catégories selon leur taille. \setlength\parindent{11mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] \og classique \fg{} si $21 \leqslant T \leqslant 23,6$ \item[$\bullet~~$] \og gourmande \fg{} si $T \geqslant 23,6$ \item[$\bullet~~$] \og déclassée \fg{} si $T \leqslant 21$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On choisit au hasard une cerise dans le stock de cette coopérative. \medskip } \begin{enumerate} \item La probabilité que la cerise choisie soit classique est $p(21 \leqslant T \leqslant 23,6)$. À l'aide de la calculatrice nous obtenons $p(21 \leqslant T \leqslant 23,6) \approx \np{0.575}$. \item Calculons les probabilités $P(T \geqslant 23,6)\approx \np{0.159}$. Ce résultat est la probabilité que la cerise choisie soit \og gourmande\fg. $P(T \leqslant 21)\approx \np{0.266}$. Ce résultat est la probabilité que la cerise choisie soit \og déclassée\fg. %Interpréter ces deux résultats dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points} \medskip {\footnotesize \emph{Les deux parties de l'exercice peuvent être traitées de manière indépendante.} \medskip Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul donne l'évolution de la population en Inde de 1960 à 2010. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{2cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B &C &D &E &F &G &H &I &J &K &L\\ \hline 1 &\footnotesize Année &1960 &1965 &1970 &1975 &1980 &1985 &1990 &1995 &2000 &2005 &2010\\ \hline 2 &\footnotesize Rang de l'année $x_i$ &0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline 3 &\footnotesize Population $y_i$ (en millions) &449 &498 &555 &622 &699 &782 &869 &956 &\np{1042}&\np{1127}&\np{1206}\\ \hline 4 &\footnotesize Taux d'évolution de la population en \% arrondi à 0,1\,\% &\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad} &10,9 &11,4 &12,1 &12,4 &11,9 &11,1 &10,0 &9,0 &8,2 &7,0\\ \hline \multicolumn{13}{r}{\small \emph{Source : Banque mondiale (juillet 2015)}} \end{tabularx} \end{center} Lecture pour la ligne 4 : le taux d'évolution de la population entre les années 1990 et 1995 est d'environ 10\,\%. \bigskip \textbf{Partie A : Calcul du taux d'évolution} \medskip } \begin{enumerate} \item Le taux d'évolution $\mathcal{T}$ est défini par $\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. $\mathcal{T}=\dfrac{498-449}{449}\approx \np{0.10913}$ soit environ \np{10.9}\,\%. Cela correspond au taux d'évolution de la population en Inde entre 1960 et 1965, donné dans la cellule C4. \item Une formule qui peut être saisie dans la cellule C4 pour obtenir par recopie vers la droite jusqu'à la cellule L4, les taux d'évolution successifs jusqu'en 2010 est : =(C\$3-B\$3)/B\$3 \item Déterminons le taux d'évolution moyen de la population entre 1990 et 1995. En appelant $t_m$ le taux moyen, le coefficient multiplicateur global est aussi $(1+t_m)^5$ puisque la population a subi 5 évolutions durant cette période. $(1+t_m)^5=\dfrac{956}{869}\approx\np{1.100115}$ par conséquent $t_m=\np{1.100115}^{\tfrac{1}{5}}-1\approx \np{0.019266}$. Le taux moyen d'évolution de la population en Inde entre 1990 et 1995, arrondi à 0,01\,\%, est d'environ 1,93\,\%. Il est par conséquent faux de dire que le taux moyen d'évolution est de 0,22\,\% par an. \end{enumerate} \bigskip {\footnotesize \textbf{Partie B : Étude de la série statistique} \medskip Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ est donné en annexe à rendre avec la copie. \medskip } \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, une équation de la droite D qui réalise un ajustement affine de ce nuage de points par la méthode des moindres carrés est : $y=\np{78.2}x+\np{409.5}$. {\footnotesize Les coefficients sont arrondis au dixième.} \item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $D$ d'équation $y = 78x + 410$. \begin{enumerate} \item La droite $D$ est tracée dans le repère donné en annexe, à rendre avec la copie. \item À l'aide de ce modèle, donnons une estimation de la population en Inde en 2020. En 2020, $x=12$. En remplaçant $x$ par cette valeur dans l'équation de la droite, nous obtenons $y=78\times 12+410=\np{1346}$. La population en Inde peut être estimée à environ \np{1346} millions . \item Pour déterminer en quelle année la population en Inde devrait dépasser $1,5$ milliard d'habitants, selon ce modèle, résolvons $78x+410=\np{1500}$. $78 x+410=\np{1500}\quad 78x =\np{1500}- 410\quad 78x=\np{1090}\quad x=\dfrac{\np{1090}}{78}\approx \np{13.97}$. d'où $x=14$ cela correspond à 2030. Nous pouvons donc estimer que vers 2030, la population de l'Inde atteindrait \np{1.5} milliard. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \medskip \textbf{Dans cet exercice, les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip {\footnotesize On s'intéresse à l'évolution du prix de l'abonnement, proposé dans l'offre \og bleu ciel\fg d'un grand fournisseur français d'électricité. On a reporté dans le tableau ci-dessous les cinq augmentations successives de ce prix. \begin{center} \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Date &janvier 2014&novembre 2014&janvier 2015&août 2015&janvier 2016\\ \hline Augmentation en \,\%&+3\,\% &+2,5\,\% &+2,5\,\% &+2,5\,\% &+2\,\%\\ \hline \multicolumn{6}{r}{Source : cre.fr} \end{tabularx} \end{center} } \begin{enumerate} \item Justifions que le taux d'évolution global de ces cinq augmentations entre janvier 2014 et janvier 2016 est 13,1\,\% (valeur arrondie à 0,1\,\%). Calculons le produit des coefficients multiplicateurs obtenus. $\left(1+\dfrac{3}{100}\right)\left((1+\dfrac{\np{2.5}}{100}\right)\left(1+\dfrac{\np{2.5}}{100}\right)\left(1+\dfrac{\np{2.5}}{100}\right)\left(1+\dfrac{2}{100}\right)\approx \np{1.131381}$ arrondi à 0,1\,\% le taux d'évolution global est bien de 13,1\,\% \item Justifions que le taux d'évolution annuel moyen du prix de l'abonnement sur cette période est 2,5\,\%, arrondi à 0,1\,\%. $t_m=\np{1.131381}^{1/5}-1\approx \np{0.024995}$ Par conséquent le taux moyen annuel,à 0,1\,\% près, est bien 2,5\,\%. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip {\footnotesize En janvier 2016, le prix de l'abonnement, proposé dans l'offre \og bleu ciel\fg était de 54 euros TTC. On admet qu'à partir de janvier 2016, le tarif augmente tous les six mois (en janvier et en juillet) de 2,5\,\%. Pour tout entier naturel $n$,\: $V_n$ désigne une estimation du prix TTC de cet abonnement à l'électricité, $n$ semestres après janvier 2016. Ainsi, $V_0 = 54$. \medskip } \begin{enumerate} \item À un taux d'évolution de 2,5\,\% correspond un coefficient multiplicateur de $1+ \frac{2,5}{100}$ soit 1,025. Passant d'un terme au suivant en le multipliant par \np{1.025} la suite $\left(V_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{1.025} et de premier terme $V_0=54$. \item Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0q^n$. $V_n=54\times(1,025)^n$. \item $V_3=54\times (1,025)^3\approx \np{58.15}$. Le résultat obtenu serait, selon ce modèle, le prix de l'abonnement arrondi au centième au bout de 3 semestres c'est-à-dire en juillet 2017. \item Pour déterminer à partir de quand le prix de l'abonnement aura dépassé $65$ euros utilisons la table d'une calculatrice. En écrivant $y = 54*1,025 \verb|^| x$ et en faisant calculer $y$ pour $x$ variant de 0 à 10 avec un pas de 1, nous trouvons \np{64.189} pour $x = 7$ et \np{65.794} pour $x = 8$. Par conséquent, au bout de 8 semestres soit en janvier 2020, le prix de l'abonnement dépassera 65~euros. \item On considère l'algorithme suivant : {\footnotesize \begin{center} \begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X} \textbf{Initialisation:}& $V$ prend la valeur 54\\ &$N$ prend la valeur $0$\\ \textbf{Traitement :} &Tant que $V < 70$\\ &\hspace{1.1cm}$V$ prend la valeur $1,025 \times V$\\ &\hspace{1.1cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\ &Fin Tant que\\ \textbf{Sortie : } &Afficher $N$\\ \end{tabularx} \end{center} } La valeur de $N$ affichée en sortie est 11. Cette valeur dans le contexte de l'exercice représente le nombre de semestres avant que le prix de l'abonnement dépasse 70 euros. \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill (5 points)} \medskip Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $[-2~;~6]$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}$ est donnée ci-dessous. On considère les points A(0~;~30), B$(2~;~14)$, D$(4~;~-10)$ et E$(4~;~- 2)$. La droite (BD) est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point B. Les tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ aux points A et E sont parallèles à l'axe des abscisses. \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=0.2cm} \begin{pspicture*}(-2,-16)(6.5,46) %\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10] \multido{\n=-2+1}{9}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](\n,-15)(\n,45)} \multido{\n=-15+5}{13}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](-2,\n)(6,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5]{->}(0,0)(-2,-15)(6,45) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5](0,0)(0,0)(6,45) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{6}{x 3 exp x dup mul 6 mul sub 30 add} \psplot[plotpoints=3000]{-0.5}{4.2}{38 12 x mul sub} \uput[l](5.8,27.5){\blue $\mathcal{C}$} \psdots(0,30)(2,14)(4,-10)(4,-2)%ABDE \uput[ur](0,30){A} \uput[dl](2,14){B} \uput[dl](4,-10){D} \uput[dr](4,-2){E} \end{pspicture*} \end{center} \textbf{Partie A :} \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide des informations précédentes, complétons le tableau ci-dessous : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(9.5,3) \psframe(9.5,3) \psline(0,2)(9.5,2)\psline(0,2.5)(9.5,2.5)\psline(2,0)(2,3) \uput[u](1,2.4){$x$}\uput[u](2.2,2.4){$- 2$}\uput[u](4.5,2.4){$0$}\uput[u](7,2.4){$4$}\uput[u](9.35,2.4){$6$} \rput(1,2.25){\footnotesize Signe de $f'(x)$}\uput[u](3.25,2){$+$}\uput[u](4.5,2){$0$} \uput[u](5.75,2){$-$}\uput[u](7,2){$0$}\uput[u](8.25,2){$+$} \rput(1,1){\footnotesize Variations de $f$}\uput[u](2.2,0){$- 2$}\uput[d](4.5,2){$30$} \uput[u](7,0){$- 2$}\uput[d](9.3,2){$30$} \psline{->}(2.5,0.5)(4,1.5)\psline{->}(5,1.5)(7,0.5)\psline{->}(7.5,0.5)(9,1.5) \end{pspicture} \end{center} \item Le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ est 3. \item Le coefficient directeur de la droite (BD) est $\dfrac{y_\text{D}-y_{\text{B}}}{x_\text{D}-x_{\text{B}}}=\dfrac{-10-14}{4-2}= - 12$. Il en résulte $f'(2)=-12$. \item Parmi les courbes suivantes celle qui représente la fonction dérivée $f'$ est celle de la proposition~1. Nous savons que sur $[-2~;~0], \ f'(x)>0$ de même que sur $]4~;~+6]$ et $f'(x)<0$ sur $]2~;~4[$, ce qui élimine la proposition 2. Nous avons $f'(2)=-12$ ce qui élimine la proposition 3. {\footnotesize Cette dernière condition suffisait à justifier la proposition 1.} \end{enumerate} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}} \psset{xunit=0.55cm,yunit=0.125cm} \begin{pspicture}(-2,-15)(6.2,42) \multido{\n=-2+1}{9}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](\n,-15)(\n,40)} \multido{\n=-15+5}{12}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](-2,\n)(6,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-15)(6.2,40) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2,-15)(6.2,40) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(6.2,40) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2}{6}{x dup mul 3 mul x 12 mul sub} \end{pspicture}& \psset{xunit=0.55cm,yunit=0.125cm} \begin{pspicture}(-2,-40)(6.2,15) \multido{\n=-2+1}{9}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](\n,-40)(\n,15)} \multido{\n=-40+5}{12}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](-2,\n)(6,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-40)(6.2,15) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-2,-40)(6.2,15) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(6.2,15) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2}{6}{x dup mul 3 mul x 12 mul sub neg} \end{pspicture}& \psset{xunit=0.55cm,yunit=0.228cm} \begin{pspicture}(-2,-10)(6.2,20) \multido{\n=-2+1}{9}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](\n,-10)(\n,20)} \multido{\n=-10+5}{7}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](-2,\n)(6,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-10)(6.2,20) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-2,-10)(6.2,20) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(6.2,20) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2}{6}{x dup mul x 4 mul sub 1.5 mul} \end{pspicture}\\ Proposition 1&Proposition 2&Proposition 3\\ \end{tabularx} \end{center} \textbf{Partie B :} \medskip L'expression de la fonction $f$ est donnée, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[-2~;~6]$ par \[f(x) = x^3 - 6x^2 + 30.\] \begin{enumerate} \item $f'(x)=3x^2 -6(2x)=3x(x-4)$, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle $[-2~;~6]$. \item Une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $5$ est $y=f'(5)(x-5)+f(5)$. $f'(5)=3\times 5(5-4)=15\quad f(5) =5^3-6\times5^2+30=125-150+30=5$ d'où $y=15(x-5)+5$ soit $y=15x -70$. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large Annexe à rendre avec la copie} \vspace{.5cm} \textbf{EXERCICE 2 - PARTIE B} \vspace{1cm} \psset{xunit=1cm,yunit=0.01cm} \begin{pspicture}(-1,-80)(13.5,1550) \multido{\n=0+1}{14}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](\n,0)(\n,1550)} \multido{\n=0+100}{16}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](0,\n)(13,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(13.5,1550) \uput[d](6.5,-50){Rang de l'année} \rput{90}(-1.1,760){Population (en millions)} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4,linecolor=red](0,449)(1,498)(2,555)(3,622)(4,699)(5,782)(6,869)(7,956)(8,1042)(9,1127)(10,1206) \psplot[linewidth=1pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{0}{13}{x 78 mul 410 add } \end{pspicture} \end{center} \vfill Si vous photocopiez ce corrigé pensez à en créditer l'\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}, merci. \end{document}