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%Tapuscrit Denis Vergès
%CorrigéFrançois Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}


\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STMG -- Corrigé}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{1\up{er} septembre 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \decofourleft~\textbf{Corrigé du baccalauréat STMG Polynésie ~\decofourright\\[10pt]
1\up{er} septembre 2020}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}  

\bigskip

Dans un lycée, on considère les élèves ayant obtenu le baccalauréat STMG :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}[label=\textbullet]
\item 55\,\% de ces élèves poursuivent leurs études en BTS ou DUT et parmi eux, 35\,\% après l'obtention du BTS ou DUT poursuivent leurs études et obtiennent une licence.
\item Les autres élèves poursuivent d'autres études après le baccalauréat, et parmi eux, 15\,\% obtiennent une licence.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On appelle :

\begin{description}
\item[ ] $T$ l'évènement: \og pour suivre ses études en BTS ou DUT\fg{} ;
\item[ ] $A$ l'évènement: \og pour suivre d'autres études après le baccalauréat\fg{} ; 
\item[ ] $L$ l' évènement : \og obtenir une licence \fg.
\item[ ] $\overline{L}$ désigne l'évènement contraire de l'évènement $L$.
\end{description}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On complète l'arbre suivant qui modélise la situation:

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,treesep=1.5cm,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$T$} \naput{$0,55$}}
	{\TR{$L$} \naput{$0,35$}
	\TR{$\overline{L}$} \nbput{$0,65$}
	}
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$A$} \nbput{$0,45$}}
	{\TR{$L$} \naput{$0,15$}
	\TR{$\overline{L}$} \nbput{$0,85$}
	}
}
\end{center}
\item $p(T \cap L) = p(T)\times p_{T}(L) = 0,55 \times 0,35 = \np{0,1925}$

\item $p(L) = p(T \cap L) + p(A\cap L) = \np{0,1925} + 0,45\times 0,15 
=  \np{0,1925} +  \np{0,0675}= 0,26$.

\item La probabilité d'avoir suivi une formation en BTS ou DUT sachant que l'on a obtenu une licence, est:
$p_{L}(T) = \dfrac{p(L \cap T)}{p(L)} = \dfrac{\np{0,1925}}{0,26}\approx 0,74$.

\item %Déterminer la valeur arrondie à $0,01$\,\% de la probabilité $p_L(A)$. Interpréter.
$p_{L}(A)=\dfrac{p(A\cap L)}{p(L)} = \dfrac{\np{0,0675}}{0,26} \approx 0,26$

C'est la probabilité de ne pas avoir suivi une formation en BTS ou DUT sachant que l'on a obtenu une licence.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}  

\bigskip
 
 Le tableau suivant donne le nombre de morts sur les routes françaises par an de 1998 à 2006.
 
 \begin{center}
 \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &1998 &1999 &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006\\ \hline
Rang $\left(x_i\right)$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ \hline
Nombre de morts $\left(y_i\right)$& \np{8437} & \np{8029} & \np{7643} & \np{7720} & \np{7242} & \np{5731} & \np{5593} & \np{5318} & \np{4703}\\ \hline
\multicolumn{10}{r}{\footnotesize Source: d'après www.securite-routiere.gouv.fr}
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Sur l'annexe 1, on a représenté une partie du nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$.

On complète ce nuage de points à l'aide du tableau en plaçant le point d'abscisse 4 et le point d'abscisse 7.

\item À l'aide de la calculatrice, on donne l'équation réduite de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés: $y=-485,97x+9142,22$.

\item L'année 2010 correspond au rang 13.

À l'aide de la droite d'ajustement tracée en annexe, par lecture graphique, on détermine une prévision du nombre de morts en 2010: environ \np{2800}.

\item On a observé en réalité que le nombre de personnes ayant perdu la vie sur les routes françaises en 2010 a diminué de 48\,\% par rapport à l'année 2000. 

%Quel est le nombre réel de victimes sur les routes françaises en 2010 ? On donnera le résultat arrondi à l'unité.

En 2000, il y avait \np{7643} morts; en 2010 il y en a eu:
$\np{7643} \times \left (1-\dfrac{48}{100}\right ) \approx \np{3974}$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}  

\bigskip
 
Le tableau suivant indique, sur la période 2002-2012, en France, la proportion de déchets recyclés exprimée en pourcentage des déchets d'emballages ménagers.

%\begin{center}
\begin{tabularx}{1.02\linewidth}{|m{2.5cm}|*{11}{>{\footnotesize \centering \arraybackslash}X|}}\hline
\footnotesize Année 		&2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008 &2009 &2010 &2011 &2012\\ \hline
\footnotesize Pourcentage de
déchets recyclés (en \,$\%$)&45,4 &47,9 &50,7 &53,3 &54,8 &57 &55,2 &56,4 &61,1 &61,3 &64,9 \\ \hline
\multicolumn{12}{l}{\footnotesize Source: extrait d'une étude Eurostat : \og déchets d'emballages par opération de gestion des déchets et flux des déchets\fg}\\
\end{tabularx}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item \textbf{Étude du tableau}

	\begin{enumerate}
		\item Le taux global d'évolution, arrondi à l'unité, entre 2002 et 2012 est:
		
$\dfrac{\text{pourcentage en 2012} - \text{pourcentage en 2002}}{\text{pourcentage en 2002}}\times 100 = \dfrac{64,9-45,4}{45,4}\times 100 \approx 42,95$ soit $43\,\%$.		

		\item% Déterminer le taux annuel moyen entre 2002 et 2012. On donnera le résultat en pourcentage arrondi au centième.
Le coefficient multiplicatif qui fait passer de 2002 à 2012 est:
$\dfrac{64,9}{45,4} \approx \np{1,4295}$.
		
Le coefficient multiplicatif annuel moyen sur cette décennie est donc:\\
$\ds\sqrt[10]{\dfrac{64,9}{45,4}} = \left ( \dfrac{64,9}{45,4}\right )^{\frac{1}{10}} \approx \np{0,03638}$, ce qui correspond à environ $3,64\,\%$..		
		
		\item On conjecture qu'à partir de 2012, le taux annuel est de $+ 3,64$\,\%.
		
De 2012 à 2020, il y a 8 ans, et le taux en 2012 est de $64,9\,\%$.

Le taux en 2020 est donc:
$64,9\times \left (1+\dfrac{3,64}{100}\right )^8$ soit environ $86,4\,\%$.

	\end{enumerate}
\item \textbf{Modélisation à l'aide d'une suite} 

Pour tout entier naturel $n$, on note $V_n$ la proportion de déchets recyclés en pourcentage des déchets d'emballages ménagers en l'année $(2012 + n)$. 
Ainsi, $V_0 = 64,9$.

On suppose que la suite $\left(V_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q=\np{1,0364}$.
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $n$, $V_n = V_0\times q^n = 64,9\times \np{1,0364}^n$.
		
		\item $V_3 = 64,9\times \np{1,0364}^{3} \approx 72,25$ et 
		$V_{10} = 64,9\times \np{1,0364}^{10} \approx 92,79$
\end{enumerate}

\item \textbf{Algorithme}

On considère le modèle de la question 2. On propose l'algorithme suivant:

\begin{center}
\fbox{
\begin{tabular}{l}
$V \gets  64,9$\\
$n \gets  0$\\
tant que $V < 75$\\
\phantom{tant que }$V \gets \np{1,0364} \times V$\\
\phantom{tant que }$n \gets  n+1$\\
fin tant que\\ 
\end{tabular}
}
\end{center}

	\begin{enumerate}
	\item $V_{4}\approx 74,88<75$ et $V_{5}\approx 77,60\geqslant 75$ donc $n$ vaut 5 en sortie d'algorithme.
		\item C'est donc en $2012+5$ soit 2017 que le taux de recyclage a dépassé $75\,\%$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}  

\bigskip
 
\emph{Les trois parties de l'exercice sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

On a tracé dans le repère ci-dessous les représentations graphiques $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ de deux fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $[-3~;~9]$.

La droite $T$ est la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point M(1~;~6).

La droite $T$ passe par le point de coordonnées $(- 2~;~0)$.

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-4,-10)(10,10)
\psdots[dotstyle=o,dotscale=2,linecolor=red,linewidth=2pt](7,0)(5,6)(-1,0)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridcolor=gray]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-10)(10,10)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{9}{3 x mul 3.5 add x dup mul 0.5 mul sub}\uput[r](6.5,2.5){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=red](-3,-2)(9,10)\uput[dr](2,3){\red $\mathcal{C}_g$}
\psline[linewidth=1pt](-4,-4)(3,10)\uput[ul](-1,2){$T$}
\psline[linewidth=1pt,linestyle=dashed](0,6)(1,6)(1,0)
\uput[ul](1,6){M}
\end{pspicture}
\end{center}


%Répondre aux questions suivantes par lecture graphique sans justification: 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item $f(x) > 0$ quand la courbe $\mathcal{C}_f$ est au dessus de l'axe des abscisses, donc pour $x \in ]-1~;~7[$.

\item Les solutions de l'équation $f(x) =g(x)$ sur l'intervalle $[-3~;~9]$ sont les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ et de $\mathcal{C}_g$, soit $x=-1$ et $x=5$.

\item% Déterminer le coefficient directeur de la tangente $T$.
La tangente $T$ passe par les points de coordonnées $(0~;~4)$ et $(1~;~6)$ donc le coefficient directeur de $T$ vaut:
$\dfrac{6-4}{1-0}=2$.

\end{enumerate}

%\bigskip
\newpage 

\textbf{Partie 2}

\medskip

\emph{Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.\\
Indiquer sur la copie la partie, le numéro de l'affirmation et la réponse VRAI ou FAUX choisie.\\
Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

On étudie une fonction $h$ définie sur l'intervalle $[-15~;~20]$.

On donne ci-dessous le tableau de signe de sa fonction dérivée $h'$.

\begin{center}
{
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{1.4cm}}
$\begin{array}{|l | *{7}{c} |} 
\hline
\text{Valeur de }x  & -15 & \esp & -5 & \esp & 4 & \esp & 20 \\
\hline
\text{Signe de } h'(x) &  & \pmb{+} &  \hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} & \hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

%\begin{center}
%\begin{pspicture}(10.5,2)
%\psframe(10.5,2)\psline(0,1)(10.5,1)\psline(2.5,0)(2.5,2)
%\rput(1.25,1.5){Valeurs de $x$}\uput[u](2.8,1.2){$~-15$}\uput[u](6.5,1.2){$-5$} \uput[u](8.5,1.2){$4$} \uput[u](10,1.2){$20$}
%\uput[u](1.25,0.3){Signe de $h'(x)$}\uput[u](4.5,0.3){+}\uput[u](6.5,0.3){0}\uput[u](7.5,0.3){$-$}
%\uput[u](8.5,0.3){0} \uput[u](9.5,0.3){+}
%\end{pspicture}
%\end{center}

De plus, on sait que $h(-5) = 20$ et $h(4) = 2$.

\medskip

\textbf{Affirmation 1 :} La fonction $h$ est croissante sur l'intervalle [4~;~20].

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth} }
Sur l'intervalle [4~;~20], $h'(x)\geqslant 0$ donc la fonction $h$ est croissante sur cet intervalle.

\textbf{VRAI}
\end{tabular}

\medskip

\textbf{Affirmation 2 :} L'équation réduite de la tangente à la représentation graphique de la fonction $h$ au point d'abscisse $x = -7$ est $y = -3x +5$.

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth} }
D'après le tableau, $h'(-7)>0$ donc le coefficient de la tangente à la courbe au point d'abscisse $-7$ ne peut être égal à $-3$.

\textbf{FAUX} 
\end{tabular}

\medskip

\textbf{Affirmation 3:} $h'(3)$ est négatif.

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.03\linewidth}} | p{0.95\linewidth} }
Sur $[-5~;~4]$ $h'(x)<0$, et $3 \in [-5~;~4]$ donc $h'(3)<0$.

\textbf{VRAI}
\end{tabular}

\bigskip

\textbf{Partie 3}

\medskip

On considère la fonction $B$ définie sur l'intervalle [-5~;~5] par $B(x) = x^3 + 4x^2 - 3x$.  On note $B'$ la fonction dérivée de $B$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour $x$ appartenant à l'intervalle $[-5~;~5]$, déterminer 
$B'(x) = 3x^2 + 8x-3$.

\item On résout, sur l'intervalle $[-5~;~5]$, l'équation $3x^2 + 8x - 3 = 0$.

$\Delta = b^2-4ac = 8^2 - 4\times 3 \times (-3) = 100=10^2$

L'équation admet deux solutions:

$x'=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-8+10}{6}=\dfrac{1}{3}$ et 
$x''=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-8-10}{6}=-3$

\item La dérivée $B'(x)$ est du signe de $a$, donc positive, à l'extérieur des racines.

On calcule les valeurs intéressantes:
$f(-5) = -10$, $f(-3)=10$, $f\left (\frac{1}{3}\right )=-\frac{14}{27}$ et $f(5)=210$. 

On établit le tableau de variation de la fonction $B$ sur l'intervalle $[-5~;~5]$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{30pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *6{c} c|}
\hline
 x & -5 & \esp & -3 & \esp & \frac{1}{3} & \esp & 5 \\
 \hline
B'(x) &  &  \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  &  &  & \Rnode{max1}{10} & & & &  \Rnode{max2}{210} \\
B & &  & & & & & \rule{0pt}{\hauteur}\\
 & \Rnode{min1}{-10} & & & & \Rnode{min2}{-\frac{14}{27}} & & \rule[-8pt]{0pt}{\hauteur} 
\ncline{->}{min1}{max1} 
\ncline{->}{max1}{min2}
\ncline{->}{min2}{max2} \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE 1}

\bigskip

\textbf{À RENDRE AVEC LA COPIE}

\medskip

\textbf{Exercice 2}

\bigskip

\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.0016cm}
\begin{pspicture}(-1,-200)(15,7500)
\multido{\n=0.0+0.5}{31}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.4pt](\n,0)(\n,7500)}
\multido{\n=0+250}{31}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.4pt](0,\n)(15,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Oy=2500,Dy=500]{->}(0,0)(0,0)(15,7500)
\psdots(1,5937)(2,5529)(3,5143)(5,4742)(6,3231)(8,2818)(9,2203)
%\psline[linewidth=1.25pt](-1,7200)(14,-150)
\psplot[linecolor=red]{-1}{14}{-485.967 x mul 9142.722 add 2500 sub}
\uput[u](14.8,0){$x$} \uput[r](0,7500){$y$}
%%%%%%%% corrigé
\psset{linecolor=blue,dotstyle=x,dotscale=2,linestyle=dashed}
\psdots(4,5220)(7,3093)
\psline(13,0)(13,325.16)(0,325.16) \uput[l](0,325.16){\blue \footnotesize 2800}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}