\documentclass[10pt,a4paper,french]{article} \usepackage{babel} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{xspace,setspace} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,amstext,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage[euler]{textgreek} \usepackage{textcomp,enumitem} \usepackage[table]{xcolor} \usepackage{graphicx} %tapuscrit Jean-Claude Souque \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat STMG}, pdftitle = {Polynésie - 20 juin 2018}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \renewcommand\arraystretch{1.2} \newcommand{\e}{\text{e}} \frenchbsetup{StandardLists=true} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{20 juin 2018}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STMG Polynésie 20 juin 2018~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \medskip {\footnotesize \emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.\\ Pour chaque affirmation, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est attendue.\\ Une réponse correcte rapporte un point, une réponse incorrecte ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.} \medskip Une espèce d'oiseaux rares voit sa population diminuer de 3\,\% chaque année. On recense 300 oiseaux de cette espèce en 2017. On modélise le nombre d'oiseaux de cette espèce en l'année $2017 +n$ par une suite $\left(u_n\right)$. Ainsi $u_0 = 300$. } \medskip \begin{enumerate} \item En 2018, la population sera de : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.~~} \psframebox{$291$ oiseaux}&\textbf{B.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$297$ oiseaux}&\textbf{C.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$90$ oiseaux}&\textbf{D.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $210$ oiseaux} \end{tabularx} \medskip \item La suite $\left(u_n\right)$ est : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{A.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ arithmétique de raison $- 9$}&\textbf{B.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{géométrique de raison $0,03$}\\ \textbf{C.~~} \psframebox{géométrique de raison $0,97$}&\textbf{D.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ ni arithmétique, ni géométrique} \end{tabularx} \medskip \item On donne la feuille de tableur ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B\\ \hline 1 &$n$ &$u(n)$\\ \hline 2 &0 &300\\ \hline 3 &1 &\\ \hline 4 &2 &\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Quelle formule saisie dans la cellule B3 permettra d'afficher les termes successifs de la suite $\left(u_n\right)$ en l'étirant vers le bas ? \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ = B2 $- 0,03$ }&\textbf{B.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ = B2 $* 0,03$ }&\textbf{C.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{=B$2 * 0,97$\verb+^+A3 }&\textbf{D.~~}\psframebox{= B2 $* 0,97$} \end{tabularx} \medskip \item On donne un extrait des résultats obtenus dans la feuille de tableur précédente: \begin{center} \begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &A &B\\ \hline 22 &20 &163\\ \hline 23 &21 &158\\ \hline 24 &22 &153\\ \hline 25 &23 &149\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On peut en déduire que la population aura diminué de moitié par rapport à 2017 à partir de : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{A.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{2039} &\textbf{B.~~}\psframebox{ 2040} &\textbf{C.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ 2041} &\textbf{D.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{2042} \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points} \medskip On choisit au hasard un salarié dans une première entreprise. On modélise l'âge du salarié par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $40$ et d'écart type $5$. \emph{Si besoin, on arrondira les probabilités à } $10^{-2}$. \medskip \begin{enumerate} \item La probabilité que le salarié ait entre 35 et 50 ans est notée $p(35\leqslant X\leqslant 50)$. À l'aide de la calculatrice, nous trouvons, arrondi à $10^{-2}$, $p(35\leqslant X\leqslant 50)\approx \np{0.82}$. \item Calculons la probabilité de l'évènement $(X \geqslant 45)$. À l'aide de la calculatrice, $p(X\geqslant 45)=\np{0.16}$ \item Dans une deuxième entreprise, on choisit un salarié. L'âge du salarié choisi est modélisé par une variable aléatoire $Y$ suivant une loi normale telle que $P(Y \geqslant 45) = 0,5$ et $P(37 \leqslant Y \leqslant 53) \approx 0,95$. Déterminons les valeurs de l'espérance \textmu{} et de l'écart type $\sigma$ de la loi normale suivie par $Y$. Nous savons que $p(\mu-2\sigma\leqslant X\leqslant \mu+2\sigma)\approx 0,95$. Par conséquent nous obtenons $\begin{cases} \mu-2\sigma=37 \\\mu +2\sigma=53\\\end{cases}$ En résolvant ce système, nous trouvons $\mu=45$ et $\sigma=4$ \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip {\footnotesize Le tableau ci-dessous donne le nombre de catastrophes naturelles dans le monde en 1955, 1966, 1977, 1988 et 1999 : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Année &1955 &1966 &1977 &1988 &1999\\ \hline Rang de l'année $x_i$& 0 &11 &22 &33 &44\\ \hline Nombre de catastrophes naturelles $y_i$& 30 &81 &140 &237 &414\\ \hline \multicolumn{6}{r}{\footnotesize \emph{Source : https://www.notre-planete.info}} \end{tabularx} \end{center} } \medskip \begin{enumerate} \item Dans le repère fourni en annexe (à rendre avec la copie), nous avons représenté le nuage de points $M_i\left(x_i~;~y_i\right)$ associé au tableau précédent. \item \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés est $y=8,4x-4,4$. Cette droite est tracée sur le graphique fourni en annexe. \item En se servant de cet ajustement, estimons le nombre de catastrophes naturelles ayant eu lieu en 1990. En 1990, le rang de l'année est 35. Remplaçons dans l'équation de la droite $x$ par 35. Nous obtenons alors $y=8,4\times 35-4,4$ soit $y=289,6$ Selon ce modèle, nous pouvons estimer à 290 le nombre de catastrophes naturelles survenues en 1990. \end{enumerate} \item De 1999 à 2000 on a enregistré une augmentation de 27\,\% du nombre de catastrophes naturelles. Combien de catastrophes naturelles l'année 2000 a-t-elle comptées ? À une augmentation de 27\,\% correspond un coefficient multiplicateur de $1+\dfrac{27}{100}$ soit 1,27. $414\times 1,27= \np{526.78}$, nous pouvons considérer qu'en 2000 il y a eu 527 catastrophes naturelles. \item De 2000 à 2016, le nombre de catastrophes naturelles a diminué de 43,5\,\%. Déterminons le taux d'évolution annuel moyen sur cette période. En appelant $t_m$ le taux moyen, le coefficient multiplicateur global est $(1+t_m)^{16}$ puisque le nombre de catastrophes naturelles a subi 16 évolutions durant cette période. $(1+t_m)^{16}=1-\dfrac{\np{43.5}}{100}=\np{0.565}$ par conséquent $t_m=\np{0.565}^{\tfrac{1}{16}}-1\approx -\np{0.0355054}$. Le taux moyen d'évolution du nombre de catastrophes naturelles entre 2000 et 2016, arrondi à 0,01\,\%, est d'environ $-\np{3.55}\,\%$. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 8 points} \medskip \emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Dans le pays Écoland, en 2080, les véhicules roulent exclusivement à l'électricité ou aux biocarburants. Par ailleurs, il existe des véhicules sans chauffeur. 70\,\% des véhicules sont avec chauffeur. Parmi eux, $\dfrac{4}{7}$ roulent aux biocarburants et les autres roulent à l'électricité. 30\,\% des véhicules sont sans chauffeur. Parmi eux, $\dfrac{2}{3}$ roulent aux biocarburants et les autres roulent à l'électricité. \smallskip On choisit un véhicule de ce pays au hasard et on note : \begin{description} \item[ ] $C$ l'évènement: \og le véhicule est avec chauffeur \fg{} ; \item[ ] $B$ l'évènement: \og le véhicule roule aux biocarburants \fg{} ; \item[ ] $E$ l'évènement: \og le véhicule roule à l'électricité \fg. \end{description} \emph{Les probabilités seront exprimées en valeur exacte (fraction irréductible ou forme décimale).} \medskip \begin{enumerate} \item Complétons l'arbre de probabilités ci-dessous permettant de modéliser la situation : \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}} {\pstree{\TR{$C$~}\naput{\np{0.70}}} {\TR{$B$}\naput{$\frac{4}{7}$} \TR{$E$}\nbput{$\frac{3}{7}$} } \pstree{\TR{$\overline{C}$~}\nbput{\np{0.30}}} {\TR{$B$}\naput{$\frac{2}{3}$} \TR{$E$}\nbput{$\frac{1}{3}$} } } \end{center} où $\overline{C}$ désigne l'évènement contraire de $C$. \medskip \item La probabilité que le véhicule choisi roule aux biocarburants est $p(B)$. $p(B)=p(C)\times p_{C}(B)+p(\overline{C})\times p_{\overline{c}}(B)=\np{0.7}\times \dfrac{4}{7}+\np{0.30}\times \dfrac{2}{3}=\np{0.4}+\np{0.2}=\np{0.6}$ \item On suppose que le véhicule choisi roule aux biocarburants. La probabilité que ce soit un véhicule sans chauffeur sachant que le véhicule roule aux biocarburants est notée $p_{B}(\overline{C})$. $p_{B}(\overline{C})=\dfrac{p(B\cap\overline{C})}{p(B)}=\dfrac{\np{0.2}}{\np{0.6}}=\dfrac{1}{3}$ \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On s'intéresse à la consommation d'un véhicule roulant aux biocarburants en fonction de la vitesse de ce véhicule. Cette consommation est modélisée par la fonction $f$ définie sur [30~;~130] par : \[f(x) = \dfrac{8x^2 - 800x + \np{30000}}{x^2}\quad \text{pour}\: x\: \text{dans}\: [30~;~130]\] où $x$ est exprimé en km/h et $f(x)$ est exprimé en litres pour 100 km. \medskip \begin{enumerate} \item Suivant ce modèle, lorsque le véhicule roule à 30 km/h, sa consommation est $f(30)$. $f(30)=\dfrac{44}{3}\approx 14,67$. Sa consommation lorsqu'il roule à \np[km/h]{50} est $f(50)$. $f(50)=4$. \item Montrons que la dérivée $f'$ de $f$ sur [30~;~130] peut s'écrire $f'(x) = \dfrac{800x - \np{60000}}{x^3}$. $f'(x)=\dfrac{(8(2x)-800)x^2-2x(8x^2-800x+\np{30000})}{x^4}=\dfrac{x(16x^2-800x-16x^2+\np{1600}x-\np{60000})}{x^4}$ $f'(x)=\dfrac{800x-\np{60000}}{x^3}$. Nous obtenons bien le résultat attendu. \item Étudions le signe de $f'(x)$ sur [30~;~130] $x\in[30~;~130]$ par conséquent le signe de $f'(x)$ est celui de $800x-\np{60000}$ ou de $x-75$ Sur $\R,\ \ x-75>0 \iff x>75$. Il en résulte si $x\in [30~;~75[,\ f'(x)<0$ et si $x\in]75~;~130],\ f'(x)>0$ Étudions le sens de variation de $f$. Si pour tout $x\in I,\:f'(x)< 0$ alors $f$ est strictement décroissante sur $I$. Sur $[30~;~75[,\:f'(x)<0$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle. Si pour tout $x\in I, \:f'(x)>0 $ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$. Sur $]75~;~130[,\:f'(x)>0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle. Dressons le tableau de variation de $f$ sur cet intervalle : \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=1.3cm} \begin{pspicture}(10,3.5) \psframe(10,3) \psline(0,1.5)(10,1.5)\psline(0,2.5)(10,2.5) \psline(3.5,0)(3.5,3) \uput[u](1.75,2.5){$x$} \uput[u](3.75,2.5){$30$}\uput[u](6.4,2.5){$75$}\uput[u](9.2,2.5){$130$} \uput[u](1.3,1.75){Signe de $f'(x)$}\uput[u](1.3,0.5){Variation de $f$} \psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](6.4,1.5)(6.4,2.5) \uput[u](6.4,1.75){$0$} \uput[u](4.9,1.75){$-$}\uput[u](7.8,1.75){$+$} \psline{->}(4,1.25)(5.9,0.5)\psline{->}(6.85,0.5)(8.78,1.25)%\psline{->}(9.5,0.5)(11,1.25) \uput[d](4,1.6){\small $44/3$} \uput[u](6.4,0.25) {$8/3$} \uput[d](9.1,1.6){$612/169$} \end{pspicture} \end{center} \item La consommation est minimale pour la vitesse de \np[km/h]{75} Cette consommation vaut alors, arrondie à $0,01$ près,\np{2.67} pour \np[km]{100}. \item On considère l'algorithme ci-dessous : \begin{center} \begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline $x \gets 30$\\ $y \gets \dfrac{44}{3}$\\ Tant que $y \geqslant 4$\\ \hspace{1cm}$x \gets x+1$\\ \hspace{1cm}$y \gets \dfrac{8x^2 - 800x + \np{30000}}{x^2}$\\ Fin Tant que\\ \hline \end{tabularx} \end{center} La valeur de la variable $x$ à la fin de l'exécution de l'algorithme est 51. Nous avons montré que la consommation pour $x=50$ était de 4 litres pour \np[km]{100} et que sur [30~;~75[, la fonction était décroissante par conséquent l'algorithme s'arrêtera juste après 50 donc à 51. Une interprétation dans le contexte de l'exercice est que la consommation sera strictement inférieure à 4 litres aux 100 kilomètres lorsque la vitesse sera supérieure à \np[km/h]{51}. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large Annexe à l'exercice 3} \medskip \textbf{À rendre avec la copie} \vspace{2cm} \psset{xunit=0.225cm,yunit=0.02cm} \begin{pspicture}(-2,-20)(57,510) \multido{\n=0+1}{58}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,0)(\n,500)} \multido{\n=0+20}{26}{\psline[linewidth=0.25pt](0,\n)(57,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=100](0,0)(0,0)(57,510) \uput[u](56,0){$x$}\uput[r](0,505){$y$} \psdots[dotstyle=+,dotscale =1.8,dotangle=45](0,30)(11,81)(22,144)(33,237)(44,414) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{57}{x 8.4 mul 4.4 sub} \end{pspicture} \end{center} \end{document}