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%Tapuscrit : Jean-Paul GOUALARD
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\thispagestyle{empty}
\lhead{\small STMG}  
\lfoot{\small{Polynésie}}
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\rfoot{\small{17 juin 2014}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
%\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Correction du baccalauréat STMG Polynésie~\decofourright\\17 juin 2014}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un Q.C.M.}

\medskip 

%Pour chaque question posée, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte. 
%
%Une réponse exacte rapporte un point ; une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte pas de point et n'en enlève pas.
% 
%Pour chaque question, recopier sur votre copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie.
%
%Aucune justification n'est demandée.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 

La valeur d'une action cotée en Bourse a baissé de 37,5\,\%.\\
Le coefficient multiplicateur associé est $C=1-\dfrac{37,5}{100}=0,625$.  
Sa valeur a été multipliée par $\boxed{\textcolor{red}{0,625}}$. C'est la réponse \textbf{d.}


%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} O,375& \textbf{b.~~} 1,375& 
%\textbf{c.~~} 1,625& \textbf{d.~~} 0,625
%\end{tabularx}
%\medskip

\item Le prix d'une denrée alimentaire a augmenté le premier mois de 2\,\% puis a baissé le second mois de 10\,\%.
Le coefficient multiplicateur global est $C=\left(1+\dfrac{2}{100}\right)\times \left(1-\dfrac{10}{100}\right)= 1,02\times 0,9=0,918$.\\
En notant $t$ le taux d'évolution moyen mensuel, le coefficient multiplicateur global est $(1+t)^2$.\\
On en édit $(1+t)^2=0,918$ donc $1+t=\sqrt{0,918}$ d'où $t=\sqrt{0,918}-1\approx -0,0419$, soit $\boxed{\textcolor{red}{-4,19\:\%}}$

Le taux d'évolution moyen mensuel est (à 0,01\,\% près)  -4,19\:\% ; c'est la réponse \textbf{c.}

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} $- 4\,\% $&\textbf{b.~~} $4,2\,\%$ &
%\textbf{c.~~} $- 4,19\,\%$ &\textbf{d.~~} $3,83\,\%$ 
%\end{tabularx}
\medskip

\item Le prix d'un article est de 87 euros. Ce prix augmente de 2\,\% chaque année.\\
Le coefficient multiplicateur annuel est $C=1,02$.\\
Au bout de $n$ années, le prix est $87\times 1,02^n$ (suite géométrique)

Le prix dépassera 106 euros à partir de la \fbox{\textcolor{red}{10\up{e} année}}, car $87\times 1,02^9\approx 104$ et $87\times 1,02^{10}\approx 106,1$ (on peut programmer les termes de la suite sur une calculatrice). Réponse \textbf{c.}

\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} 7\up{e} année& \textbf{b.~~} 9\up{e} année &
%\textbf{c.~~} 10\up{e} année &\textbf{d.~~} 14\up{e} année
%\end{tabularx}
%\medskip

\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.35\linewidth}{|X|} \hline
\textbf{VARIABLES}\\
$i, n, u$\\ 
\textbf{ENTRÉE}\\ 
Saisir $n$\\ 
\textbf{TRAITEMENT}\\ 
$u$ prend la valeur 5\\
Pour $i$ allant de 1 à $n$\\ 
\hspace{0,5cm} $u$ prend la valeur $0,94 \times u$\\
Fin Pour\\ 
\textbf{SORTIE}\\ 
Afficher $u$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
On remarque que cet algorithme calcule les termes d'une suite géométrique de raison 0,94 et de premier terme $5$.\\
Le terme affiché est donc $5\times 0,94^n$.\\
Si l'on choisit $n = 8$, l'algorithme affichera (à $0,01$~près)  $\boxed{\textcolor{red}{3,05}}$ (réponse \textbf{b)})

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} 3,24& 
%\textbf{b.~~} 3,05& 
%\textbf{c.~~} 0,61& 
%\textbf{d.~~} $0,94 \times 5$ 
%\end{tabularx}
%\medskip

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip 

\emph{Cet exercice comporte deux parties largement indépendantes}

\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip 

Dans un petit village, la mairie a organisé une fête locale : un certain nombre d'entrées gratuites ont été distribuées aux habitants et des stands ont été installés pour la vente de produits locaux.

Les organisateurs estiment que 40\,\% des visiteurs de la fête ont eu une entrée gratuite, les autres ont payé leur entrée.

De plus, parmi les visiteurs ayant une entrée gratuite, 45\,\% ont effectué un achat dans un des stands. Parmi ceux ayant payé leur entrée, 60\,\% n'ont rien acheté.

On interroge au hasard un des visiteurs de la fête à la fin de la journée.

On note 

$G$ l'évènement : \og le visiteur a eu une entrée gratuite \fg, 

$A$ l'évènement : \og le visiteur a effectué un achat \fg.

On notera $\overline{G}$ l'évènement contraire de $G$ et $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner la valeur de la probabilité $P_{G}(A)$. 
D'après l'énoncé, la probabilité $P_{G}(A)$ est $\boxed{\textcolor{red}{0,45}}$.

\item %Recopier et compléter sur votre copie l'arbre de probabilité ci-dessous 
L'arbre de probabilité est :
\begin{center}
\psset{nodesep=1mm,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{G}\taput{0,4}}
	{\TR{A}\taput{$0,45$}
	\TR{$\overline{\text{A}}$}\tbput{$0,55$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{G}$}\tbput{$0,6$}}
	{\TR{A}\taput{$0,4$}
	\TR{$\overline{\text{A}}$}\tbput{$0,6$}
	}
}
\end{center}

\item %Calculer la probabilité de l'évènement suivant : \og le visiteur a payé son entrée et a effectué un achat \fg. 
La probabilité de l'évènement suivant : \og le visiteur a payé son entrée et a effectué un achat \fg{} est :

$p\left(\overline{G}\cap A\right)=p_{\overline{G}}(A)\times p(\overline{G})=0,4\times 0,6=\boxed{\textcolor{red}{0,24}}$.

\item %Montrer que la probabilité que le visiteur ait effectué un achat est 0,42.
$A=(A\cap G)\cup (A\cap \overline{G})$ (réunion d'évènements incompatibles).

On en déduit :

$p(A)=p(A\cap G)+p\left(A\cap \overline{G}\right)=0,45\times 0,4+0,24=0?18+0,24=\boxed{\textcolor{red}{0,42}}$.

\item %Calculer la probabilité que le visiteur ait payé son entrée sachant qu'il a effectué un achat.
La probabilité que le visiteur ait payé son entrée sachant qu'il a effectué un achat est :\\
$p_A\left(\overline{G}\right) = \dfrac{p\left(A\cap \overline{G}\right)}{p(A)} = \dfrac{0,24}{0,42}=\dfrac{24}{42}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{4}{7}\approx 0,57}}$ à 0,01 près.
%\emph{On arrondira à $0,01$ près le résultat.} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%\emph{Dans cette partie, on arrondira les résultats à $0,01$ près}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %On rappelle que la probabilité qu'un visiteur ait effectué un achat vaut $0,42$.
% 
%On interroge un groupe de 15 visiteurs.
% 
%Dans cette question, on suppose que la réponse d'un visiteur est indépendante de celle des autres visiteurs.

%Calculer alors la probabilité que le nombre de visiteurs ayant effectué un achat soit égal à $10$. 
On a répétition d'épreuves identiques indépendantes à deux issues.\\
Si on note $X$ le nombre de visiteurs ayant effectué un achat, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p = 0,42$.

On calcule alors la probabilité que $X$ soit égal à 10 à la calculatrice.\\
On trouve : $p(X=10)\approx \boxed{\textcolor{red}{0,03}}$.

\item On estime que le modèle précédent n'est pas satisfaisant. 

On considère désormais que le pourcentage de visiteurs ayant effectué un achat suit une loi normale d'espérance $42$ et d'écart-type $4$.

Notons $Y$ ce pourcentage.

	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité d'avoir un pourcentage de ces visiteurs inférieur ou égal à $46$. 
		À la calculatrice, on trouve $p(Y\leqslant 46)\boxed{\textcolor{red}{\approx 0,84}}$
		
		\item %Calculer la probabilité d'avoir un pourcentage de ces visiteurs compris entre $34$ et $50$.
La probabilité d'avoir un pourcentage de ces visiteurs compris entre $34$ et $50$ est $p(34\leqslant Y\leqslant 50)$.

On remarque que c'est $p(\mu-2\sigma\leqslant Y\leqslant \mu+2\sigma)$ où $\mu=42$ est l'espérance et $\sigma=4$ l'écart-type.

D'après le cours, on trouve \boxed{\textcolor{red}{0,95}}.

Sinon, on effectue directement le calcul à la calculatrice.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

Une entreprise de livraison de colis à domicile demande à un cabinet comptable de réaliser une étude sur son activité. 

Une partie des données concerne les bénéfices (en milliers d'euros) réalisés chaque année depuis 2007.

\smallskip

Ces informations sont résumées dans le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.25cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année &2007& 2008 &2009& 2010& 2011& 2012\\ \hline
Rang de l'année : $x_{i}$& 1& 2& 3& 4& 5& 6\\ \hline
Bénéfice en milliers d'euros : $y_{i}$& 10,2& 12,8& 13,8& 14,4& 16,7& 17,5\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Déterminer le taux d'évolution global du bénéfice entre 2007 et 2012.
Le taux d'évolution global du bénéfice entre 2007 et 2012 est :

$\dfrac{17,5-10,2}{10,2}=\dfrac{7,3}{10,2}\approx 0,71568$, soit $\boxed{\textcolor{red}{71,57\:\%}}$ à $0,01\,\%$ près.

%\emph{Arrondir le résultat à $0,01\,\%$ près.} 

\item Voilà la feuille de calcul obtenue avec un tableur.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A		& B		& C			& D\\ \hline 
1 	&Année	& Rang	& Bénéfice	& Taux\\ \hline 
2	&2007	& 1 	&10,2		&\cellcolor{lightgray} \\ \hline 
3	&2008 	&2 		&12,8		& \\ \hline  
4	&2009	& 3		&13,8		& \\ \hline  
5	&2010 	&4 		&14,4		& \\ \hline  
6	&2011 	&5 		&16,7		& \\ \hline  
7	&2012 	&6 		&17,5		& \\ \hline  
8	&		&		&			& \\ \hline 
\end{tabularx} 
\end{center}



%Indiquer une formule à entrer dans la cellule D3 pour obtenir les taux d'évolution d'une année sur l'autre par copier-glisser dans la colonne D.
Pour obtenir les taux d'évolution d'une année sur l'autre par copier-glisser dans la colonne D, il faut taper dans la cellule D3 la formule : $\boxed{\textcolor{red}{=(\text{C}3-\text{C}2)/C2}}$

Les données du tableau ci-dessus sont représentées par le nuage de points ci-dessous. 
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(11,28)
\psset{algebraic=true}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(11,28)
\multido{\n=0.0+0.5}{23}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,28)}
\multido{\n=0+2}{15}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=cyan](0,\n)(11,\n)}
\uput[u](10,0){rang de l'année}
\uput[r](0,27.5){bénéfice (milliers d'euros)}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](1,10.2)(2,12.8)(3,13.8)(4,14.4)(5,16.7)(6,17.5)
\psplot[linecolor=red,linewidth=1pt]{0}{11}{1.4*x+9.4}
\end{pspicture}
\end{center}

\item %À l'aide de la calculatrice, déterminer pour cette série statistique une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
À la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés est : $\boxed{\textcolor{red}{y=1,39x+9,35}}$
%\emph{Arrondir les coefficients à $0,01$ près.} 

\item Pour les deux questions suivantes, on prend comme ajustement affine la droite d'équation 

$y = 1,4x + 9,4$.

	\begin{enumerate}
		\item %Tracer cette droite sur l'annexe 1 de l'exercice. 
		La droite est tracée dans le nuage de points ci-dessus.
		
		\item %On suppose que cet ajustement restera valide jusqu'en 2015.
		 
%Déterminer le bénéfice en euros que l'on peut prévoir pour l'année 2015. 
2015 correspond à un rang égal à 9.

On remplace $x$ par 9.

$1,4\times 9 + 9,4 = 12,6 + 9,4 = \boxed{\textcolor{red}{22}}$.

Le bénéfice que l'on peut estimer avoir en 2015 est de \textbf{\textcolor{red}{22 milliers d'euros}}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

Un entrepreneur lance sur le marché de nouvelles coques haut de gamme pour les téléphones mobiles.

\smallskip

Sur le graphique ci-dessous sont tracées les courbes représentant les recettes (en trait plein) et les coûts (en pointillés), en fonction du nombre de produits fabriqués exprimé en centaines d'unités.

On admet que la fabrication est comprise entre 0 et 700 unités.

Les recettes et les coûts sont exprimés en milliers d'euros.

\medskip
\begin{center}
\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.035cm}
\begin{pspicture}(-0.8,-30)(8,260)

\multido{\n=0.00+0.25}{33}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,260)}
\multido{\n=0+9}{30}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(8,260)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0}{7}{20 x mul 10 add}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6.8}{ x dup mul 4.5 mul 62 x mul add x 3 exp 2 mul sub}
\uput[u](7.8,0){$x$}\uput[l](0,255){$y$}
\uput[u](4,190){Recettes}\rput{29}(4,80){Coûts}
\psline[linestyle=dotted,linecolor=red,linewidth=1pt](0,140)(8,140)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=red,linewidth=1pt](2.26,140)(2.26,0)
\psline[linestyle=dotted,linecolor=red,linewidth=1pt](5.56,140)(5.56,0)

\end{pspicture}

\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A lecture graphique}

\medskip

Répondre aux questions suivantes en vous aidant du graphique.
\medskip

\begin{enumerate}
\item %Combien faut-il fabriquer de produits pour avoir une recette égale à \np{140000}~euros ? 
Graphiquement, on trouve que pour avoir une recette de \numprint{140000} \euro{}, il faut fabriquer  environ 2,3 centaines d'objets donc \textbf{\textcolor{red}{230 objets}} ou 5,6 centaines, soit \textbf{\textcolor{red}{560 objets}}.

\item %Combien de produits doit-on fabriquer pour obtenir un bénéfice positif ou nul ?
Le bénéfice est positif ou nul tant que la recette est supérieure ou égale aux coûts, donc on regarde les abscisses de points pour lesquels  la courbe des recettes est au-dessus de la courbe des coûts.\\
On trouve que $x$ doit être compris approximativement entre 0,25 et 5,75 ; il faut donc fabriquer \textbf{\textcolor{red}{entre 25 et 575 objets}}.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B étude du bénéfice}

\medskip

On modélise :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] les recettes par la fonction $R$ définie sur [0~;~7] par 

\[R(x) = - 2x^3 + 4,5x^2 + 62x,\]

\item[$\bullet~~$] les coûts par la fonction $C$ définie sur [0~;~7] par 

\[C(x) = 20x + 10.\]

\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer la recette et le coût pour $300$ produits fabriqués.
399 produits fabriqués correspondent à $x=3$.\\
$R(3)=172,5$ et $C(3)=70$.\\
La recette correspondant à 300 objets est de \textbf{\textcolor{red}{172,5 milliers d'euros}} et le coût est de \textbf{\textcolor{red}{70 milliers d'euros}}.

%En déduire le bénéfice correspondant. 
Le bénéfice correspondant est donc de \textbf{\textcolor{red}{102,5 milliers d'euros}}.

\item On note $B$ la fonction bénéfice.

%Donner l'expression de $B(x)$ sur l'intervalle [0~;~7]. 
Pour tout $x$, on a :

$B(x)=R(x) - C(x)=\left( - 2x^3 + 4,5x^2 + 62x\right)-(20x+10)=-2x^3+4,5x^2+62x-20x-10=$

$B(x) = \boxed{\textcolor{red}{-2x^3+4,5x^2+42x-10}}$.

\item %Vérifier que $B'(x) = -6x^2 + 9x + 42$ où $B'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $B$. 
$B'(x)=-2\times 3x^2+4,5\times 2x+42=\boxed{\textcolor{red}{-6x^2+9x+42}}$.

\item %Étudier le signe de $B'(x)$. Donner le tableau de variations de $B$.
$B''(x)$  est un polynôme du second degré.

Le discriminant est $\Delta=b^2 - 4ac$ avec $a= - 6$, $b = 9$ et $c = 42$.

$\Delta=9^2-4\times (-6)\times 42=\numprint{1089}=33^2$.

Les deux solutions de l'équation $B((x)=0$ sont

$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-9+33}{-12}=\boxed{\textcolor{red}{-2}}$ ~;~ $x_2=\dfrac{-b+-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-9-33}{-12}=\dfrac{42}{12}=\dfrac{7}{2}=\boxed{\textcolor{red}{3,5}}$.

$B'(x)$ est du signe du coefficient de $x^2$, donc de $-6$ (négatif) à l'extérieur de l'intervalle formé par les solutions de l'équation $B'(x)=0$, donc pour $x > 3,5$ (car $- 2$ n'appartient pas à l'intervalle d'étude).

On en déduit le signe de $B'(x)$ et les variations de $B$.

\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&3,5&&7\\
\hline
B'(x)&&+&\z&-&\\
\hline
\m{B(x)}&-10&\c&\h{106,375}&\d&-181,5\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %En déduire la valeur du bénéfice maximal ainsi que le nombre de produits à fabriquer pour l'obtenir. 
Le bénéfice est maximal pour \textbf{\textcolor{red}{350 objets fabriqués}} et vaut \textbf{\textcolor{red}{\numprint{106375} euros.}}
\end{enumerate} 
\label{fin}
\end{document}