\documentclass[10pt,a4paper,french]{article} \usepackage{babel} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{xspace,setspace} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,amstext,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage[euler]{textgreek} \usepackage{textcomp,enumitem} \usepackage[table]{xcolor} \usepackage{graphicx} %tapuscrit Jean-Claude Souque \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \makeindex \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat STMG}, pdftitle = {Polynésie - 13 juin 2017}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \renewcommand\arraystretch{1.2} \newcommand{\e}{\text{e}} \frenchbsetup{StandardLists=true} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat Sciences et Technologies du Management et de la Gestion (STMG)} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{13 juin 2017}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STMG Polynésie~\decofourright\\[4pt]13 juin 2017}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \vspace{0.25cm} {\footnotesize Des sondages quotidiens ont été effectués avant le second tour d'une élection opposant deux candidats A et B. Les intentions de votes, en pourcentage, pour le candidat A sont données dans le tableau suivant: \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Dates:&24/04 &25/04& 26/04& 27/04& 30/04& 01/05& 02/05 &03/05 &04/05\\\hline Rang du jour $x_i$&1&2& 3& 4& 7& 8& 9& 10& 11\\\hline Pourcentage $y_i$&55 &55& 54,5& 55& 54& 53,5& 53& 53& 52\\\hline \end{tabularx} \smallskip Par exemple, le 24 avril les intentions de votes pour le candidat A étaient de 55\,\% et pour le candidat B de 45\,\%. Le scrutin aura lieu le 6 mai. Comme il est interdit de publier des résultats de sondages les deux derniers jours avant le scrutin, on ne dispose pas des sondages pour le 5 et le 6 mai. Le nuage de points de coordonnées $(x_i; y_i)$ pour $i$ variant de $1$ à $11$, est donné en \textbf{\textsc{Annexe} 1 à rendre avec la copie}. } \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés est $y=-\np{0.279}x+\np{55.594}$ ( les coefficients étant arrondis au millième). \item On décide d'ajuster le nuage avec la droite $D$ d'équation $y = -0,28x + 55,6$. \begin{enumerate} \item La droite $D$ est tracée sur le graphique figurant sur l'\textbf{\textsc{Annexe}}. \item Déterminons la valeur prévue par ce modèle le 6 mai, jour de l'élection. En ce jour $n=13$. En remplaçant $x$ par 13 dans l'équation de la droite, nous obtenons $y=-\np{0.28}\times 13+\np{55.6}=\np{51.96}$. \item Si l'élection n'avait pas eu lieu le 6 mai, déterminons d'après ce modèle, à partir de quelle date le candidat B serait passé en tête des sondages. Pour ce faire, résolvons $-\np{0.28}x+\np{55.6} <50$. $-\np{0.28}x+\np{55.6} <50 \quad -\np{0.28}x+ <50-\np{55.6} \quad -\np{0.28}x+ <-\np{5.6} \quad x> \dfrac{\np{5.6}}{\np{0.28}}\quad x>20$ À $x=20$ correspond le 13 mai par conséquent selon ce modèle, le candidat B serait en tête des sondages à partir du quatorze mai inclus. \end{enumerate} \item Des sondages ont été faits le jour de l'élection mais n'ont pas été communiqués. Un de ces sondages donnait le candidat A à 52\,\%. L'institut disait avoir effectué ce sondage sur un échantillon représentatif de \np{1225} personnes. \begin{enumerate} \item Au vu de ce dernier sondage, établissons l'intervalle de confiance au niveau de 95\,\%, pour le résultat du candidat A à l'élection. L'intervalle de confiance au niveau de 95\,\% est $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ d'où $\left[\np{0.52}-\dfrac{1}{\sqrt{\np{1225}}}~;~\np{0.52}+\dfrac{1}{\sqrt{\np{1225}}}\right]\approx [\np{0.491}~;~\np{~0.549}]$ soit en pourcentage l'intervalle [49,1~;~54,9]. \item Au vu de cet intervalle, la victoire de ce candidat ne semble pas assurée puisque la probabilité que le résultat soit inférieur à 50\,\% n'est pas nulle. $[49,1~;~54,9]\cap[0~;~50[\not=\emptyset$ %\emph{Justifier la réponse}. \end{enumerate}\end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points} \vspace{0.25cm} {\footnotesize En 2016 une étude réalisée dans une grande entreprise révèle que 60\,\% des employés peuvent venir travailler grâce aux transports en commun. Parmi ceux-ci, 72\,\% déclarent venir tout de même en voiture. Parmi ceux qui n'ont pas accès aux transports en commun, 96\,\% viennent travailler en voiture. \medskip \textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On choisit au hasard un employé de cette entreprise et on considère les évènements suivants: \begin{description} \item[~~] $T$ : \og L'employé peut utiliser les transports en commun \fg ; \item[~~] $V$ : \og l'employé vient travailler en voiture\fg. \end{description} On notera $\overline{T}$ et $\overline{V}$ les évènements contraires. Les résultats seront tous donnés à 0,001 près. } \begin{enumerate} \item Complétons l'arbre pondéré donné ci-dessous. \begin{center} \pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}} { \pstree{\TR{$T$~}\taput{\np{0.6}}} { \TR{$V$}\taput{\np{0.72}} \TR{$\overline{V}$}\tbput{\np{0.28}} } \pstree{\TR{$\overline{T}$~}\tbput{\np{0.4}}} { \TR{$V$}\taput{\np{0.96}} \TR{$\overline{V}$}\tbput{\np{0.04}} } } \end{center} \item Calculons la probabilité de l'évènement $T\cap V$. $p(T\cap V)=p(T)\times p_{T}(V)=\np{0.6}\times \np{0.72}=\np{0.432}$. \item La probabilité que l'employé ne puisse pas utiliser les transports en commun et ne vienne pas travailler en voiture est notée $p(\overline{T}\cap \overline{V})$. $p(\overline{T}\cap \overline{V})=p(\overline{T})\times p_{\overline{T}}(\overline{V})=\np{0.4}\times \np{0.04}=\np{0.016}$. \item Justifions que la probabilité de l'évènement $V$ est égale à $0,816$. $p(V)=p(T\cap V)+p(\overline{T}\cap V)= p(T)\times p_{T}(V)+p(\overline{T})\times p_{\overline{T}}(V)$. $p(V)= \np{0.6}\times \np{0.72}+\np{0.4}\times \np{0.96}=\np{0.432}+\np{0.384}=\np{0.816}$. \item Sachant que l'employé vient en voiture, la probabilité qu'il ait accès aux transports en commun est notée~$p_{V}(T)$. $p_{V}(T)=\dfrac{p(T\cap V)}{p(V)}=\dfrac{\np{0.432}}{\np{0.816}}\approx\np{0.529}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip L'entreprise souhaite, par diverses incitations, diminuer de 5\,\% par an le pourcentage de ceux qui viennent travailler en voiture. On note $U_0$ le pourcentage de ces employés en 2016 et pour tout entier $n$, $U_n$ le pourcentage espéré l'année $(2016 + n)$. On a montré dans la partie A que $U_0 = 81,6$. \begin{enumerate} \item À une baisse de 5\,\% correspond un coefficient multiplicateur de $1-\frac{5}{100}$ soit \np{0.95}. $U_1=U_0\times \np{0.95}=\np{81.6}\times\np{0.95}=\np{77.52}$. $U_2=U_1\times \np{0.95}=\np{77.52}\times\np{0.95}=\np{73.644}$. \item Passant d'un terme au suivant en le multipliant par un même nombre la suite $\left( U_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{0.95} et de premier terme \np{81.6}. Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $ u_n=u_0q^n$. $U_n=\np{81.6}\times\left(\np{0.95}\right)^{n}$. \item Calculons le pourcentage attendu d'employés venant en voiture en 2020.En 2020 $n=4$ d'où $U_4=\np{81.6}\times\left(\np{0.95}\right)^{4}\approx\np{66.46}$. \item D'après ce modèle, déterminons à partir de quelle année, il y aura moins d'un employé sur deux qui viendra travailler en voiture. Pour ce faire, résolvons $\np{81.6}\times\left(\np{0.95}\right)^{n}<50$ \begin{align*} \np{81.6}\times\left(\np{0.95}\right)^{n}&<50\\ \left(\np{0.95}\right)^{n}&<\dfrac{50}{\np{81.6}}\\ \np{0.95}^n&<\np{0.612745}\\ \ln \np{0.95}^n&<\ln(\np{0.612745})\\ n\ln(\np{0.95})&<\ln (\np{0.612745})&\text{inversion du sens de l'inégalité car }\quad \ln \np{0.95} <0\\ n&>\dfrac{\ln (\np{0.612745})}{\ln (\np{0.95})}\\ n&>\np{9.54913}\\ \end{align*} $n\in\N$ le plus petit entier vérifiant l'inégalité est 10, à partir de 2016+10 soit 2026 moins d'un employé sur deux viendra travailler en voiture. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points} \vspace{0.25cm} {\footnotesize Une étude de l'INSEE a listé l'évolution en France des salaires nets annuels moyens de 1990 à 2010. \medskip \textbf{Partie A} \medskip On a reporté quelques valeurs dans le tableau ci-dessous : \medskip \begin{center} \begin{tabular}{|m{3.9cm}|c|c|c|} \hline Années:& 1990& 2000& 2010\\\hline Salaire net annuel moyen pour les hommes(\euro{}) : & \np{17643}&\np{21498} & \np{26831}\\\hline Salaire net annuel moyen pour les femmes (\euro{}) : &\np{13 258}& \np{17259}& \np{22112}\\\hline \end{tabular} \end{center} } \medskip \begin{enumerate} \item Le taux d'évolution $\mathcal{T}$ est défini par $\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. Calculons le taux d'évolution du salaire net moyen entre 1990 et 2000 \begin{description} \item[]des hommes : $\mathcal{T_H}=\dfrac{\np{21498}-\np{17643}}{\np{17643}}\approx \np{0.2185}$, soit en pourcentage \np{21.85}\,\% \item des femmes : $\mathcal{T_F}=\dfrac{\np{17259}-\np{13258}}{\np{13258}}\approx \np{0.3018}$ soit en pourcentage \np{30.18}\,\%. \end{description} \item Entre 1990 et 2000 les femmes ont eu la plus forte progression du salaire net moyen. Vérifions si cette tendance s'est confirmée durant les dix années suivantes : \begin{description} \item[]pour les hommes $\mathcal{T'_H}=\dfrac{\np{26831}-\np{21498}}{\np{21498}}\approx \np{0.24807}$ soit en pourcentage environ \np{24.81}\,\%. \item[] pour les femmes $\mathcal{T'_F}=\dfrac{\np{22112}-\np{17259}}{\np{17259}}\approx \np{0.28119}$ soit en pourcentage environ \np{28.12}\,\%. \end{description} Cette tendance s'est confirmée durant les dix années suivantes, cependant nous pouvons remarquer que l'écart entre les taux d'évolution s'est resserré. \item Calculons le taux annuel moyen d'évolution du salaire net des hommes entre 1990 et 2000. En appelant $t_m$ le taux moyen, le coefficient multiplicateur global est aussi $(1+t_m)^{10}$ puisque le salaire moyen a subi 10 évolutions durant cette période. $(1+t_m)^{10}=\dfrac{\np{21498}}{\np{17643}}\approx\np{1.02185}$ par conséquent $t_m=\np{1.2185}^{\tfrac{1}{10}}-1\approx \np{0.019959}$. Le taux annuel moyen d'évolution du salaire net moyen des hommes entre 1990 et 2000, arrondi à 0,01\,\%, est d'environ 2,00\,\%. Il est donc inférieur à celui des femmes qui est d'environ de 2,7\,\%. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip {\footnotesize En se servant des données de cette étude, on modélise l'évolution des salaires nets annuels moyens jusqu'en 2020 : \begin{itemize} \item[---] Pour les hommes par la fonction $h$ définie sur [0~;~30] par : $h(x) = 0,25x^3 + 2x^2 + 318x + \np{17865}$ \item[---] Pour les femmes par la fonction $f$ définie sur [0~;~30] par: $f(x) = 0,6x^3 - 13x^2 + 470x + \np{13324}$. \end{itemize} Ainsi, $h (0)$ désigne le salaire net annuel des hommes en 1990, $f(1)$ désigne le salaire net annuel des femmes en 1991, etc. } \begin{enumerate} \item $h(15)=0,25\times 15^3 + 2\times 15^2 + 318\times 15 + \np{17865}= \np{23928.75}$ $f(15)=0,6\times 15^3 - 13 \times 15^2 + 470\times 15 + \np{13324}=\np{19474}$. $h(15)$ (respectivement $f(15)$) désigne le salaire net annuel des hommes (respectivement des femmes) en 1990+15 c'est-à-dire en 2005. %puis interpréter les résultats. \item Calculons l'écart des salaires nets annuels moyens prévus par ce modèle entre les hommes et les femmes en 2020. En 2020, $x=30, \quad h(30)=\np{35955}, \quad f(30)=\np{31924}, \quad h(30)-f(30)=\np{4031}$. L'écart des salaires nets annuels moyens prévus par ce modèle entre les hommes et les femmes en 2020 est de \np{4031}. \item L'écart entre ces deux salaires peut être modélisé par la fonction $g$ définie sur [0~;~30] par : \[g(x) = -0,35x^3 + 15x^2 - 152x + \np{4541}.\] L'écart entre ces deux salaires est $h(x)-f(x)$ d'où $h(x)-f(x)=0,25x^3 + 2x^2 + 318x + \np{17865}-\left(0,6x^3 - 13x^2 + 470x + \np{13324}\right)$ $ h(x)-f(x)=-0,35x^3 + 15x^2 - 152x + \np{4541}=g(x)$. Nous obtenons bien la relation cherchée. \item On note $g'$ la dérivée de la fonction $g$. $g'(x)= -0,35(3x^2) + 15(2x) - 152=-\np{1.05}x^2+30x-152$. \item Déterminons le signe de $g'(x)$ sur [0~;~30]. Déterminons sur $\R$ le signe de $-\np{1.05}x^2+30x-152$. Nous avons un trinôme du second degré, calculons $\Delta$. $\Delta=30^2-4\times (-\np{1.05})(-152)=900-\np{638.4}= \np{261.6}$. $\Delta >0$, le trinôme admet deux racines distinctes : $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}~;\quad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$. $x_1=\dfrac{-30-\sqrt{\np{261.6}}}{2\times (-\np{1.05})}= \dfrac{30+\sqrt{\np{261.6}}}{\np{2.1}}\approx \np{21.99}~;\quad x_2=\dfrac{30-\sqrt{\np{261.6}}}{\np{2.1}}\approx \np{6.58}$. Lorsque $x_10$ Il en résulte alors sur [0~;~30] : Si $x\in[0~;~x_2[\cup]x_1~;~+30],\ g'(x)<0$ et si $x\in]x_2~;~x_1[,\ g'(x)>0$. $x_1$ et $x_2$ sont les valeurs définies précédemment. \item Nous ne pouvons affirmer que l'écart entre les salaires nets annuels moyens des hommes et des femmes n'a fait que diminuer depuis 1990 puisque entre $x_2$ et $x_1$ l'écart s'est accru, la fonction $g$ étant croissante. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip Le modèle choisi indique que l'écart entre le salaire des hommes et celui des femmes diminue à partir de 2012. On suppose que ce modèle peut être valable jusqu'en 2040. \begin{enumerate} \item L'algorithme écrit pour qu'il affiche à partir de quelle année, avec ce modèle, le salaire des femmes aura rattrapé celui des hommes est complété sur cette annexe. \item En utilisant le tableau donné ci-dessous, en sortie de l'algorithme nous obtiendrons 2031. {\small \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline Années& $x$& $h(x)$& $f(x)$\\\hline 1990& 0 &\np{17865} &\np{13324}\\\hline 1991& 1& \np{18185,25}&\np{13781,6} \\\hline 1992& 2& \np{18511}& \np{14216,8}\\\hline 1993 &3 &\np{18843,75} &\np{14633,2}\\\hline 1994 &4 &\np{19185} &\np{15034,4}\\\hline 1995 &5& \np{19536,25}&\np{15424} \\\hline $\vdots$&$\vdots$&$\vdots$&$\vdots$ \\\hline 2025 &35& \np{42163,75}&\np{39574} \\\hline 2026& 36& \np{43569} &\np{41389,6}\\\hline 2027& 37& \np{45032,25}&\np{43308,8} \\\hline 2028& 38 &\np{46555} &\np{45335,2}\\\hline 2029 &39& \np{48138,75}&\np{47472,4} \\\hline 2030 &40& \np{49785} &\np{49724}\\\hline \rowcolor{lightgray}2031& 41& \np{51495,25}& \np{52093,6}\\\hline 2032 &42& \np{53271}&\np{54584,8} \\\hline 2033& 43 &\np{55113,75}& \np{57201,2}\\\hline 2034 &44& \np{57025}& \np{59946,4}\\\hline 2035& 45& \np{59006,25}& \np{62824}\\\hline 2036 &46& \np{61059}& \np{65837,6}\\\hline 2037 &47& \np{63184,75} &\np{68990,8}\\\hline 2038&48& \np{65385} &\np{72287,2}\\\hline 2039 &49& \np{67661,25} &\np{75730,4}\\\hline 2040& 50& \np{70015} &\np{79324}\\\hline \end{tabular} \end{center} } \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\textsc{Annexe} 1 à rendre avec la copie} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 1}} \begin{center} \psset{xunit=0.5cm,yunit=0.3cm} \begin{pspicture}(-2,-2)(23,27) \multido{\n=0+1}{24}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,22)} \multido{\n=0+2}{12}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-0.5,\n)(23,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Oy=45,Dy=10,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(23,24) \psdots[dotstyle=Mul,dotsize=5pt](1,10)(2,10)(3,9.5)(4,10)(7,9)(8,8.5)(9,8)(10,8)(11,7) \uput[ur](-0.75,23){\footnotesize \%}\uput[d](23,-0.95){\footnotesize rang du jour } \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0}{22}{x 0.28 neg mul 10.6 add} \end{pspicture} \end{center} \textbf{\textsc{Exercice 3}} \begin{onehalfspace} \begin{center} \begin{tabular}{|l|} \hline \begin{minipage}{6.95cm} \phantom{xx} $X$ prend la valeur 0 H prend la valeur \np{17865} F prend la valeur \np{13324} Tant que \textcolor{violet}{F} < \textcolor{violet}{H} \hspace{1.2em}$X$ prend la valeur $X+1$ \hspace{1.2em}H prend la valeur $0,25 X^3+ 2X^2 + 318X + \np{17865}$ \hspace{1.2em}F prend la valeur $0,6 X^3-13X^2 + 470X + \np{13324}$ Fin tant que A prend la valeur 1990 + \textcolor{violet}{X} Afficher A \phantom{mm} \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{onehalfspace} \vfill Si vous photocopiez ce corrigé pensez à en créditer l'\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}, merci. \end{document}