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%tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat Sciences et Technologies du Management\\et de la Gestion (STMG)}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{4 septembre 2018}}
\label{Polynesie}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STMG  Polynésie 4 septembre 2018~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

%L'indice du prix du beurre, au 1\up{er} de chaque mois de janvier à août 2017, est donné dans le tableau suivant (base 100 en janvier 2005).
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%	&A 		&B 		&C 	&D 	&E 	&F 	&G 	&H 	&I\\ \hline
%1	& Mois 	&janvier &février &mars &avril &mai &juin &juillet &août\\ \hline
%2	& Indice du prix du beurre &123,5 &123,5 &123,5 &123,5 &139,6 &161,1 &174,6 &179,9\\ \hline
%3&\small Taux d'évolution mensuel du prix du beurre en \%&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&0 &0 &0 &13 &15,4 &8,4 &3\\ \hline
%4& Prix de la tonne de beurre en euros &\np{4500}&	&	&	&	&	&	 &\\ \hline
%\multicolumn{10}{r}{\footnotesize \emph{D'après INSEE}}
%\end{tabularx}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Quel était le prix de la tonne de beurre au 1\up{er} janvier 2005 ?
Le prix de la tonne de beurre au 1\up{er} janvier 2005 était $\dfrac{\np{4500}}{123,5} \approx \np{3643,724}$ soit environ \np{3643,72}~\euro.
\item %Proposer une formule à écrire dans la cellule C4, et à recopier vers la droite jusqu'à la cellule I4, qui permet de calculer le prix de la tonne de beurre au 1\up{er} de chaque mois.
Formule : =B4*C2/B\$2
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer le taux d'évolution, en pourcentage arrondi au dixième, du prix du beurre de janvier à août 2017.
De janvier à août le prix a été multiplié par $\dfrac{179,9}{123,5} \approx \np{1,45668}$, soit un taux d'évolution au dixième près de 45,7.
		\item %En déduire que le taux d'évolution mensuel moyen est d'environ 5,5\,\% sur cette période.
Chaque mois en moyenne le prix a été multiplié par $\np{1,45668}^{1/7} \approx \np{1,0552}$ donc le taux d'augmentation moyen sur cette période de sept mois est environ 5,5\,\%.
 	\end{enumerate}
\item %Calculer le prix de la tonne de beurre le 1\up{er} mai 2017 à l'euro près.
Le 1\up{er} mai 2017 le prix de la tonne de beurre était : $\np{4500} \times \dfrac{139,6}{123,5} \approx \np{5086,64}$~\euro.
\item Le prix de la tonne de beurre était de \np{6500}~euros le 1\up{er} octobre 2017.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer l'indice (base 100 en janvier 2005) du prix du beurre le 1\up{er} octobre 2017, au dixième près.
L'indice (base 100 en janvier 2005) du prix du beurre le 1\up{er} octobre 2017 est :

$\np{6500}\times \dfrac{\np{6500}\times 123,5}{\np{4500}} \approx 178,389$, soit 178,4 au dixième près.
		\item %L'évolution moyenne trouvée dans la question 3. b. s'est-elle poursuivie après le mois d'août ?
		Si le taux d'évolution moyen de 5,5\,\% s'était maintenu le taux au 1\up{er} octobre 2017 aurait du être à peu près $179,9 \times 1,055^2 = 200,233$ ce qui correspond à un prix de :
		
$\np{4500} \times \dfrac{200,233}{123,5} \approx \np{7295,95}.$ La réponse est non.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 9 points}

\medskip

\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A : Campagne de publicité}

\medskip

%Une entreprise réalise une campagne de publicité sur six mois pour la sortie d'un nouveau
%téléviseur.
%
%Elle estime que la probabilité qu'une personne prise au hasard connaisse ce téléviseur après $x$ semaines de publicité est donnée par :
%
%\[f(x) = \dfrac{9x}{10x + 40} \quad \text{pour}\: x \in  [0~;~26].\]

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la probabilité que cette personne connaisse ce téléviseur après une semaine de publicité ? Après deux semaines ?
La probabilité que cette personne connaisse ce téléviseur après une semaine de publicité est $f(1) = \dfrac{9}{10+40} = \dfrac{9}{50} = \dfrac{18}{100} = 0,18$.

La probabilité que cette personne connaisse ce téléviseur après deux semaines de publicité est $f(2) = \dfrac{18}{20+40} = \dfrac{18}{60} = \dfrac{3}{10} = 0,30$.
\item  %On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$. Montrer que $f'(x) = \dfrac{360}{(10x + 40)^2}$.
En calculant cette dérivée comme celle d'un quotient $\dfrac{u}{v}$, dérivée  qui est de la forme $\dfrac{u'v - uv'}{v^2}$, on obtient :

$f'(x) = \dfrac{9(10x + 40) - 10 \times 9x}{(10x + 40)^2} = \dfrac{360}{(10x + 40)^2}$
\item  %Donner le signe de $f'(x)$ pour $x \in [0~;~26]$ et en déduire le sens de variation de $f$ sur l'intervalle [0~;~26].
$f'(x)$ est un quotient dont les deux termes sont supérieurs à zéro, donc $f'(x) > 0$ : la fonction est donc croissante sur l'intervalle [0~;~26]
\item  Voici un algorithme :

%\parbox{0.3\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%$x \gets 0$\\
%$y \gets 0$\\
%Tant que $y < 0,75$\\
%\hspace{0.4cm}$x \gets x+1$\\
%\hspace{0.4cm}$y \gets \dfrac{9x}{10x+40}$\\
%Fin Tant que\\ \hline
%\end{tabularx}}\hfill
%\parbox{0.65\linewidth}
%{
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la valeur de la variable $x$ à la fin de l'exécution de cet algorithme ?
L'algorithme donne la plus grande valeur entière de $x$ vérifiant l'inéquation :

$f(x) < 0,75 \iff \dfrac{9x}{10x+40} < 0,75 \iff 9x < 0,75(10x + 40) \iff 9x < 7,5x + 30 \iff 1,5x < 30 \iff 0,5x < 10 \iff x < 20$.

L'algorithme donnera $x = 19 +1 = 20$ à la fin de l'exécution de l'algorithme puisque le compteur $x$ est incrémenté de 1 tant que $y < 0,75$.
		\item %Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
		Le résultat précédent montre que jusqu'à la 19\up{e} semaine moins des trois quarts des personnes connaîtront ce téléviseur.
 	\end{enumerate}
%}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : Durée de vie d'un téléviseur}

\medskip

%On décide de modéliser la durée de vie, en mois, d'un téléviseur par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart type $\sigma$. Sa fonction de densité est représentée
%ci-dessous ainsi que la probabilité $P(X \leqslant 44) = 0,025$.
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=0.07cm,yunit=150cm,algebraic=true}
%\begin{pspicture}(0,-0.005)(160,0.02)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=200,Dy=2](84,0)(0,0)(160,0.02)
%%\psGauss[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,mue=84,sigma=20]{0}{160}
%\def\f{1/(20.4*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-84)/20.4)^2)/2)}
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{160}{\f}
%\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=red]{
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{24}{44}{\f}
%\psline(44,0)(24,0)}
%\multido{\n=24+20}{7}{\uput[d](\n,0){\n}}
%\psline(64,0.0008)(64,-0.0007)
%\psline(104,0.0008)(104,-0.0007)
%\psline(124,0.0008)(124,-0.0007)
%\psline(144,0.0008)(144,-0.0007)
%%\uput[ur](27.5,0.02){2,3\,\%}
%%\uput[dr](27.2,0){27,2}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %À l'aide des informations fournies par le graphique, déterminer une valeur de :
	\begin{enumerate}
		\item %l'espérance $\mu$,
On lit sur le graphique $\mu = 84$
		\item %$P(44 \leqslant  X \leqslant 124)$.
Par symétrie de la courbe autour de la droite $x = 84$, on a $P(X \geqslant 124) = 0,025$, donc 

$P(44 \leqslant  X \leqslant 124) = 1 - 2P(X \leqslant 44) = 1 - 0,05 = 0,95$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
Dans la suite on admet que l'écart-type est $\sigma = 20,4$.

\begin{enumerate}[resume]
\item %Calculer $P(X > 120)$. Arrondir au centième.
La calculatrice donne $P(X > 120) \approx 1 - 0,961 \approx 0,039$, soit 0,04 au centième près.
\item %La campagne de publicité de ce modèle de téléviseur vantait sa fiabilité et affirmait que la durée de vie de ce modèle serait de plus de $10$~ans pour au moins les trois quarts d'entre eux. Qu'en pensez-vous ?
10 ans représente 120 mois. On a vu dans la question précédente que la probabilité de vie d'un téléviseur après 120 mois était de 0,04 ; on est donc loin des 0,75 promis par la publicité.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Service après-vente}

\medskip

Une enquête a été réalisée dans une grande surface de multimédia sur des clients ayant acheté un téléviseur deux ans plus tôt. On a constaté que :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$40$\,\% de ces clients ont souscrit une garantie de deux ans. Parmi eux :
	\begin{itemize}
		\item un quart a contacté une seule fois le service après-vente (SAV) ;
		\item 28\,\% n'ont pas contacté le SA V ;
		\item les autres ont contacté le SA Vau moins deux fois.
	\end{itemize}
\item[$\bullet~~$]Parmi les clients n'ayant pas souscrit de garantie de deux ans :
	\begin{itemize}
		\item $80$\,\% n'ont pas contacté le SAV ;
		\item $15$\,\% ont contacté le SAV une seule fois;
		\item les autres ont contacté le SAV au moins deux fois.
	\end{itemize}
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

On choisit au hasard un client ayant acheté un téléviseur dans ce magasin deux ans plus tôt et on note les évènements :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item $G$ : \og Le client a souscrit une garantie de deux ans \fg{} ;
\item $A$ : \og Le client n'a pas contacté le SAV \fg{} ;
\item $B$ : \og Le client a contacté le SAV une seule fois\fg{} ;
\item $C$ : \og Le client a contacté le SAV au moins deux fois \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Compléter l'arbre de probabilités donné en annexe à rendre avec la copie.
Voir à la fin.
\item %Calculer la probabilité que le client ait souscrit une garantie de deux ans et qu'il n'ait pas contacté le SAV.
On a $P(G \cap A) = P(G) \times P_G(A) = 0,40 \times 0,28 = 0,112$.
\item %Calculer la probabilité que le client n'ait pas contacté le SAV.
On calcule de même :

$P\left(\overline{G} \cap A\right) = P(\overline{G}) \times P_{\overline{G}}(A) = 0,60 \times 0,8 = 0,48$.

D'après la loi des probabilités totales :

$P\left(A\right) = P(G \cap A) + P\left(\overline{G} \cap A\right) = 0,112 + 0,48 = 0,592$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

%En France, le temps moyen quotidien, en heures, passé par une personne devant un écran
%d'ordinateur, de tablette ou de smartphone est donné dans le tableau suivant:
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année 					&2013 	&2014 	&2015 	&2016 	&2017\\ \hline
%Rang de l'année $x_i$	&0 		&1 		&2 		&3 		&4\\ \hline
%Temps en h passé devant
% un écran $y_i$		&2,78 	&3,27 	&3,52 	&3,77 	&3,97\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.}
%
%\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ est donné en annexe à rendre avec la copie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au millième.
La calculatrice donne une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés : $y = 0,288x + 2,886$
\item  Dans la suite de l'exercice, on prend la droite d'équation $y = 0,3x + 2,9$ comme
ajustement du nuage de points.
	\begin{enumerate}
		\item %Tracer cette droite dans le repère donné en annexe à rendre avec la copie.
Voir l'annexe.
		\item %En utilisant cet ajustement, déterminer une estimation du temps quotidien passé devant un écran en 2018.
Solution géométrique : la droite d'équation $y = 5$, (5 correspondant à l'année 2018), coupe la droite d'ajustement en un point d'ordonnée approximative 4,4. Voir l'annexe.
		\item %D'après ce modèle, en quelle année va-t-on atteindre les $5$ heures quotidiennes devant un écran ?
Toujours géométriquement : la droite d'équation $y = 5$ coupe droite d'ajustement en un point d'abscisse 7 ; d'après cet ajustement on devrait atteindre les 5 heures en 2020.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%D'après une étude, le temps quotidien passé devant un écran devrait augmenter de 5\,\% chaque année à partir de 2017.
%
%On note $u_n$ le temps quotidien en heures passé devant un écran l'année $2017 + n$.
%
%On a donc $u_0 = 3,97$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Préciser sa raison.
Augmenter de 5\,\%, c'est multiplier par $1 + \dfrac{5}{100} = 1 + 0,05 = 1,05$.

On a donc $u_{n+1} = 1,05 \times u_n$ pour tout $n \in \N$ : la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,05 et de premier terme 3,97.
\item %Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
On sait que pour tout naturel $n$, \: $u_n = u_0 \times r^n = 3,97 \times 1,05^n$.
\item %À l'aide de ce modèle, donner une estimation, arrondie au centième, du temps quotidien passé devant un écran en 2019.
2019 correspond à $n = 2$.

En utilisant le modèle $u_n  = 3,97 \times 1,05^n$, on obtient avec $n = 2$, 

$u_2 = 3,97 \times 1,05^2 = \np{4,376925}$, soit environ 4,38 h au centième près.
\item %D'après ce modèle, en quelle année devrait-on dépasser les 5 heures quotidiennes passées devant un écran ?
Il faut résoudre dans $\N$, l'inéquation :

$3,97 \times 1,05^n > 5 \iff 1,05^n > \dfrac{5}{3,97} \iff n\ln 1,05 > \ln \dfrac{5}{3,97} \iff n > \dfrac{\ln \dfrac{5}{3,97}}{\ln 1,05}$.

Or $\dfrac{\ln \dfrac{5}{3,97}}{\ln 1,05} \approx 4,7$ : il faut prendre au moins $n = 5$, ce qui correspond à 2022.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\large Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{1.5cm}
\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 2}
\end{flushleft}
\bigskip

\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=1cm,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$G~$} \taput{0,4}}
	{\TR{$A$} \taput{0,28}
	\TR{$B$}\taput{0,25}
	\TR{$C$} \tbput{0,47}
	}
\pstree{\TR{$\overline{G}~$} \tbput{0,6}}
	{\TR{$A$} \taput{0,80}
	\TR{$B$}\taput{0,15}
	\TR{$C$} \tbput{0,05}
	}
}

\vspace{1.5cm}

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 3}
\end{flushleft}

\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 5}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(11,10)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(11,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(11,10)
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.7,linecolor=red](0,2.78)(1,3.27)(2,3.52)(3,3.77)(4,3.97)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{9}{0.3 x mul 2.9 add}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt,ArrowInside=->]{->}(5,0)(5,4.4)(0,4.4)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=1.25pt,ArrowInside=->]{->}(0,5)(7,5)(7,0)
\uput[l](0,4.4){$\approx 4,4$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}
