\documentclass[10pt,a4paper,french]{article} \usepackage{babel} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{xspace} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,amstext,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage[euler]{textgreek} \usepackage{textcomp,enumitem} \usepackage[table]{xcolor} \usepackage{graphicx} %tapuscrit et corrigé : Jean-Claude Souque \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat STMG}, pdftitle = {Pondichéry - 25 avril 2017 }, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \renewcommand\arraystretch{1.2} \newcommand{\e}{\text{e}} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat STMG} \lfoot{\small{Pondichéry}} \rfoot{\small{25 avril 2017}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STMG Pondichéry 25 avril 2017~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \medskip {\footnotesize Le service marketing d’un centre commercial veut évaluer l’impact des frais engagés en publicité, par mois, sur le nombre de clients. Pour cela, ce service s’appuie sur les données ci-dessous, relevées sur une période de 6 mois : \smallskip \begin{center} \begin{tabular}{|m{3cm}|*{6}{c|}}\hline Frais publicitaires $x_i$ (en milliers d’euros)& 1,9& 2,4& 1,5& 0,9& 2,3 &1,7\\ \hline Fréquentation $y_i$ (en milliers de clients)& 190& 250& 170& 150& 210 &180\\\hline \end{tabular} \end{center} \smallskip Le nuage de points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ est représenté ci-dessous.} \psset{xunit=3cm,yunit=0.025cm,comma=true} \begin{center} \begin{pspicture}(-0.4,-70)(3.6,300) \multido{\n=0+0.25}{15}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=gray,linestyle=dashed](\n,0)(\n,280)} \multido{\n=0+40}{8}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=gray,linestyle=dashed](0,\n)(3.6,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=40,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(3.6,280)%[Rang de l'année,140][CA en milliards d'euros,40] \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5,linecolor=blue](1.9,190)(2.4,250)(1.5,170)(0.9,150)(2.3,210)(1.7,180) \uput[d](2,-30){\scriptsize frais publicitaires $x_i$}\uput[d](-0.35,190){\rotatebox{90}{\scriptsize Fréquentation $y_i$}} \end{pspicture} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item À l’aide de la calculatrice une équation de la droite réalisant un ajustement affine de ce nuage de points, obtenue par la méthode des moindres carrés est, les coefficients étant arrondis au centième, $y=\np{58.34}x+\np{87.62}$. \item On décide d’ajuster ce nuage de points par la droite d’équation $y = 58,3x + 87,6$. \begin{enumerate} \item On estime alors que pour \np{4 000} euros de frais publicitaires engagés, la fréquentation s’élèverait à \np{321 000} clients. Pour vérifier la cohérence de l’estimation annoncée, calculons selon ce modèle, la fréquentation attendue lorsque $x=4$. $y=\np{58.3}\times 4+\np{87.6}=\np{320.8}$. La fréquentation attendue étant de \np{320800} lorsque les frais publicitaires s'élèvent à \np{4000}~euros, nous pouvons affirmer que les résultats sont cohérents. \item Déterminons le montant des frais publicitaires devant être engagés pour espérer \np{400 000} clients au cours d’un mois. Déterminons l'abscisse du point de la droite d'ordonnée 400. Résolvons $400 = \np{58.3}x+\np{87.6}\quad x=\dfrac{400-\np{87.6}}{\np{58.3}}\approx \np{5.358}$. Le montant des frais publicitaires, arrondi à la centaine d’euros, devant être engagés pour espérer \np{400000} clients au cours d’un mois est de \np{5400}~euros. \item Le centre commercial décide d’engager \np{5 000} euros pour la campagne publicitaire du prochain mois. Lors du bilan, on dénombre \np{330 000} clients ayant fréquenté le site au cours de ce mois. Calculons, selon ce modèle, le nombre de clients attendus. $y=\np{58.3}\times 5+\np{87.6}=\np{379.1}$. Selon ce modèle, pour des frais publicitaires de \np{5000}~euros, le centre commercial aurait dû avoir une fréquentation de \np{379100} personnes. Nous pouvons analyser ce résultat de différentes façons : \begin{itemize} \item Le modèle n'est pas adapté; \item Le modèle est adapté, la campagne est alors peu efficace ou il y a une saturation de la fréquentation. \end{itemize} %Comment peut-on analyser ce résultat ? \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} {\footnotesize \medskip \emph{Le diabète de type 1 est une maladie qui apparaît le plus souvent durant l'enfance ou l’adolescence. Les individus atteints par cette maladie produisent très peu ou pas du tout d'insuline, hormone essentielle pour l’absorption du glucose sanguin par l'organisme.} \smallskip En 2016, \np{542 000} enfants dans le monde étaient atteints de diabète de type 1. Des études récentes permettent de supposer que le nombre d’enfants diabétiques va augmenter de 3\,\% par an à partir de 2016. On note $u_n$ le nombre d’enfants diabétiques dans le monde pour l'année (2016+$n$). Ainsi $u_0=\np{542000}$. } \begin{enumerate} \item Étude de la suite $(u_n )$ : \begin{enumerate} \item Calculons $u_1$ . À un taux d'évolution de 3\,\% correspond un coefficient multiplicateur de \np{1.03}. $u_1=\np{542000}\times \np{1.03}=\np{558260}$ \item La suite $(u_n )$ est une suite géométrique de raison \np{1.03} puisque l'on passe d'un terme au suivant en multipliant par \np{1.03}. \item Pour tout entier naturel $n$, exprimons $u_n$ en fonction de $n$. Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0q^n$. $u_n=\np{542000}(\np{1.03})^n$ \item La feuille de calcul ci-dessous, extraite d’un tableur, permet de calculer les termes de la suite $(u_n)$. Les cellules de la colonne C sont au format \og nombre à zéro décimale\fg. Une formule, saisie dans la cellule C3 puis recopiée vers le bas, permettant d’obtenir les valeurs de la colonne C est =\$C2*1,03 ou =C2*1,03 \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|*{2}{c|}} \hline &A&B&C\\\hline 1&Année&$n$&$u_n$\\\hline 2&2016&0&\np{542000}\\\hline 3&2017&1&\\\hline \dots&\dots&\dots&\dots\\\hline \end{tabular} \end{center} \end{enumerate} \item Calculons le nombre d’enfants atteints de diabète de type 1 dans le monde en 2021. En 2021, $n=5$ d'où $u_5=\np{542000}\times \np{1.03}^5\approx\np{628327}$. Nous pouvons prévoir, selon ce modèle, environ \np{628327}enfants atteints de diabète de type 1 en 2021. \item On considère l’algorithme suivant : \setlength\parindent{20mm} \begin{tabular}{|ll} \textbf{Initialisation}& $U$ prend la valeur \np{542000}\\ &$N$ prend la valeur 0\\ \textbf{Traitement}&Tant que $U$<\np{625000}\\ & \phantom{mm} $U$ prend la valeur $\np{1.03}\times U$\\ & \phantom{mm} $N$ prend la valeur $N+1$\\ &Fin Tant que \end{tabular} \setlength\parindent{0mm} \begin{enumerate} \item Complétons le tableau ci-dessous. \emph{\footnotesize Les valeurs de $U$ sont arrondies à l’unité.} \begin{tabular}{|m{2cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}p{1.4cm}|}} \hline \centering{$U$}& \np{542000}&\np{558260}&\np{575008}&\np{592258}&\np{610026}&\np{628327}\\\hline \centering{$N$} &0 &1&2&3&4&5\\\hline $U < \np{625 000}$ ?&Vrai&Vrai&Vrai&Vrai&Vrai&Faux\\\hline \end{tabular} \item Cet algorithme permet de calculer, dans le contexte de l’exercice, le nombre d'années depuis 2016 qu'il faudrait pour que le nombre d'enfants dans le monde atteints de diabète de type 1 dépasse \np{625000}. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.25cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} \medskip Une entreprise fabrique chaque jour des pièces métalliques pour l’industrie automobile. La production quotidienne varie entre 0 et 25 pièces. \medskip \textbf{Partie A : Lectures graphiques} \medskip À l’aide du graphique donné ci-dessous, répondons aux questions suivantes : \begin{enumerate} \item Le montant des charges pour 5 pièces produites par jour est d'environ \np{1500} euros. Nous lisons l'ordonnée du point de la courbe représentative de $C$ d'abscisse 5. \item Pour connaître combien de pièces sont produites par jour pour un montant des charges de \np{2000} euros, nous traçons la droite d'équation $y=\np{2000}$ et nous lisons l'abscisse du point d'intersection de cette droite avec la courbe représentative de $C$. Avec la précision permise par le graphique, nous obtenons 9. La production de 9 pièces entraîne un coût d'environ \np{ 2000}~euros. \item Les quantités produites par jour permettant à l’entreprise de réaliser un bénéfice sont les valeurs pour lesquelles la courbe représentant la recette est \og au-dessus \fg de celle représentant les coûts c'est-à-dire les valeurs comprises entre les abscisses des points d'intersection de la courbe représentative de $C$ et celle représentant la recette. Nous lisons les abscisses des points d'intersection environ \np{7.4} et \np{23.2}. Par conséquent, l'entreprise réalise un bénéfice lorsque les quantités produites appartiennent à l'intervalle [8~;~23]. \begin{center} \psset{xunit=0.4cm,yunit=0.001cm} \begin{pspicture}(-1,-1000)(26,7700) \multido{\n=0+1}{26}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=gray,linestyle=dashed](\n,-2.5)(\n,7400)} \multido{\n=0+500}{15}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=gray,linestyle=dashed](0,\n)(25,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=500,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(26,7500) \psplot[linecolor=blue,linewidth=0.75pt,plotpoints=200]{0}{25}{x 247 mul} \psplot[linecolor=red,linewidth=0.75pt,plotpoints=200]{0}{25}{x x x 30 sub mul 400 add mul 100 add} \uput[u](19.5,5500){\blue \scriptsize Chiffre d'affaires} \uput[d](21,4200){\red \scriptsize Charges}\uput[d](20,-500){\footnotesize Nombre de pièces par jour} \uput[d](-2.5,6000){\rotatebox{90}{\footnotesize Montant en euros}} \psset{arrowscale=1.6} \def\Func {x x x 30 sub mul 400 add mul 100 add} \psline[linewidth=0.75pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-< ]{<-}(!0 /x 5 def \Func)(!5 /x 5 def \Func)(5,0) \psline[linewidth=0.75pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 9.009711 def \Func)(!9.009711 /x 9.009711 def \Func)(9.009711,0) \psline[linewidth=0.5pt,linecolor=cyan,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(7.3575,1817.3025)(7.3575,0) \psline[linewidth=0.75pt,linecolor=cyan,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(23.228,5737.316)(23.228,0) \end{pspicture} \end{center} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : Étude du bénéfice} \medskip Le montant des charges correspondant à la fabrication de $x$ pièces, exprimé en euros, est modélisé par la fonction $C$ définie sur l’intervalle [0~;~25] par : \[C(x)=x^3-30x^2+400x+100.\] On suppose que l’entreprise vend chaque jour sa production journalière. Chaque pièce est vendue au prix de 247 euros. \begin{enumerate} \item On note $B$ la fonction bénéfice, exprimée en euros. Le bénéfice étant égal à la différence entre les recettes et les coûts, nous avons donc $B(x)=247x-C(x)$. $B(x)=247x-(x^3-30x^2+400x+100)=-x^3+30 x^2 +(247-400)x-100$ L’expression de $B(x)$ sur l’intervalle [0~;~25] est bien : $B(x)=-x^3+30x^2-153x-100 $. \item On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$. Calculons $B'(x)$, pour tout nombre réel $x$ appartenant à l’intervalle [0~;~25]. $B'(x)=-(3x^2)+30(2x)-153=-3x^2+60x-153$ \item Justifions le tableau suivant : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(10,1.6) \psframe(10,1.55) \psline(0,1)(10,1) \psline(2.5,0)(2.5,1.5) \uput[d](1.15,1.5){$x$} \uput[d](2.75,1.5){$0$} \uput[d](5.25,1.5){$3$}\uput[d](7.5,1.5) {$17$} \uput[d](9.8,1.5){$25$} \rput(4,0.5){$-$}\rput(5.25,0.5){$0$}\rput(6.3,0.5){$+$}\rput(9,0.5){$-$}\rput(7.5,0.5){0} \rput(0.95,0.5){\footnotesize signe de $B'(x)$ } \psline[linestyle=dotted](5.25,0)(5.25,1)\psline[linestyle=dotted](7.5,0)(7.5,1) \end{pspicture} \end{center} Étudions le signe de $B'(x)$. Calculons $\Delta$ ; $\Delta= 60^2-4\times(-3)\times (-153)=1764=42^2$. $\Delta >0$ Le trinôme a donc deux racines $x_2= \dfrac{-60-42}{-6}=17\quad x_1=\dfrac{-60+42}{-6}=3$. $\Delta >0$ Le trinôme est du signe de $a$ ($a=-3$) pour tout $x\in ]-\infty~;~x_1[ \cup ]x_2~;~+\infty[$ et du signe de $(-a) \ (-a = 3)$ pour tout $x\in ]x_1~;~x_2[$, d'où le tableau. \item Étudions les variations de $B$. Si pour tout $ x\in I, \: f'(x) > 0$ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$ $B'(x)>0$ sur ]3~;~17[ par conséquent $B$ est strictement croissante sur cet intervalle. Si pour tout $ x\in I, \: f'(x) > 0$ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$ $B'(x) < 0$ sur ]0~;~3[ ou sur ]17~;~25] par conséquent la fonction $B$ est strictement décroissante sur chacun de ces intervalles. Dressons le tableau de variations de la fonction $B$ sur l’intervalle [0~;~25]. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,3) \psframe(8,3) \psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) \uput[u](0.5,2.45){$x$} \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](3.15,2.45){$3$} \uput[u](5.75,2.45){$17$} \uput[u](7.75,2.45){$25$} \uput[u](0.5,1.9){$B^{\prime}(x)$} \uput[u](3.15,1.97){$0$} \uput[u](4.55,1.97){$+$} \uput[u](6.75,1.97){$-$} \uput[u](2.05,1.97){$-$} \uput[u](5.75,1.97){$0$} \rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $B$} \uput[ur](1,1.5){$-100$}\uput[d](3.115,0.55){$-316$}\uput[u](5.75,1.5){$\np{1056}$}\uput[d](7.42,0.55){$-800$} \psline{->}(1.35,1.485)(3.1,0.5) \psline{->}(5.75,1.485)(7.3,0.5)\psline{->}(3.22,0.5)(5.65,1.485) \end{pspicture} \end{center} \item Le nombre de pièces que l’entreprise doit produire chaque jour pour que le bénéfice réalisé soit maximal est 17, la fonction $B$ admettant en 17 un maximum local. Ce bénéfice maximal vaut alors \np{1056}~euros. \end{enumerate} \smallskip \textbf{Partie C : Coût moyen} \medskip On appelle coût moyen la fonction $C_M$ définie sur l’intervalle ]0~;~25] par $C_M =\dfrac{C(x)}{x}$. \begin{enumerate} \item $C_M(x)=\dfrac{x^3-30x^2+400x+100}{x}=x^2-30x+400+\dfrac{100}{x}$. Calculons : \begin{description} \item[]$C_M(16)=16^2-30\times 16+400+\dfrac{100}{16}=\np{182.25}$ \item [] $C_M(17)\approx \np{184.88}$ \end{description} \emph{\footnotesize les résultats sont donnés à $10^{-2}$ près.} \item On donne le tableau de variations de la fonction $C_M$ : \begin{center} \psset{unit=0.7cm} \begin{pspicture}(10,2.6) \psframe(9,2.4) \psline(0,1.6)(9,1.6)\psline(3,0)(3,2.4) \rput(1.45,2){$x$}\rput(3.7,2){$0$}\rput(6,2){$\np{15.2}$}\rput(8.5,2){$25$} \rput(1.45,1){$C_M(x)$}\rput(8.5,1.35){$279$}\rput(6,0.35){$\np{181.6}$} \psline[linewidth=0.2pt](3.65,0)(3.65,1.6)\psline[linewidth=0.2pt](3.7,0)(3.7,1.6) \psline[linewidth=0.3pt]{->}(4,1.2)(5.2,0.4)\psline[linewidth=0.2pt]{->}(6.7,0.4)(8,1.1) \end{pspicture} \end{center} L’affirmation suivante \emph{\og Lorsque le bénéfice de l’entreprise augmente, le coût moyen diminue\fg} est fausse. Le bénéfice de l'entreprise augmente sur [\np{15.2}~;~17]. Il en est ainsi aussi du coût moyen. \end{enumerate} \vspace{0.25cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill (6 points)} \medskip \textbf{Les parties A, B et C de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.} \smallskip \textbf{Partie A} \smallskip {\footnotesize On s’intéresse au nombre de dons de sang lors de collectes organisées au sein de l’Établissement Français du Sang (EFS) depuis 2010. \smallskip \begin{center} \begin{tabular}[]{|m{2.55cm}|*{5}{c|}}\hline Année &2010& 2011& 2012& 2013& 2014\\\hline Nombre de dons de sang (en milliers)& \np{2 473} &\np{2 586}& \np{2 612}& \np{2 589}&\np{ 2 547}\\\hline \multicolumn{6}{r}{\footnotesize Source : site de l’EFS} \end{tabular} \end{center} } \begin{enumerate} \item Déterminons à 0,01\,\% près, le pourcentage d’augmentation de dons de sang entre 2010 et 2014. Le taux d'évolution $\mathcal{T}$ est défini par $\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. $\mathcal{T}=\dfrac{\np{2547}-\np{2473}}{\np{ 2473}}\approx \np{0.02992}$. Le pourcentage d’augmentation de dons de sang entre 2010 et 2014, arrondi à 0,01\,\% près est \np{2.99}\,\%. \item Montrons que l’augmentation annuelle moyenne entre 2010 et 2014 est de 0,74\,\% arrondie à 0,01\,\% . En appelant $t_m$ le taux moyen, le coefficient multiplicateur global est aussi $(1+t_m)^4$ puisque le nombre de dons du sang a subi 4 évolutions durant cette période. $(1+t_m)^4=\dfrac{\np{2547}}{\np{2473}}\approx\np{1.02992}$ par conséquent $t_m=\np{1.02992}^{\tfrac{1}{4}}-1\approx \np{0.0073983}$. Le taux annuel moyen d'évolution du nombre de dons du sang entre 2010 et 2014, arrondi à 0,01\,\%, est bien égal à \np{0.74}\,\%. \item En supposant que l’augmentation du nombre de dons suivra la même évolution, calculons le nombre de dons de sang que l'EFS peut espérer collecter en 2017. Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 0,0074 est 1,0074. Entre 2014 et 2017, il y a eu 3 évolutions. $\np{2547}\times \np{1,0074}^3\approx \np{2603.9629}$. Le nombre de dons de sang que l'EFS peut espérer collecter en 2017, arrondi au millier, est \np{2604000}. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip {\footnotesize Dans une région, 54\,\% des donneurs sont des hommes. Parmi eux, 37\,\% ont moins de 40 ans. Parmi les femmes donnant leur sang, 48\,\% ont moins de 40 ans. On interroge au hasard un donneur de sang dans cette région et on considère les événements suivants : \begin{itemize} \item [$\bullet$~~]$H$: \og la personne interrogée est un homme\fg \item [$\bullet$~~]$Q$: \og la personne interrogée a moins de 40 ans\fg. \end{itemize} $\overline{H}$ désigne l’événement contraire de $H$ et $P_H(Q)$ la probabilité de $Q$ sachant $H$. } \begin{enumerate} \item À l’aide de l’énoncé, \begin{description} \item[]$P(H)=\np{0.54}$ car 54\,\% des donneurs sont des hommes \item[]$P_H(Q)=\np{0.37}$ car parmi eux, 37\,\% ont moins de 40 ans. \end{description} \item Complétons l’arbre pondéré ci-contre. \hspace{2cm} \begin{minipage}[t]{5cm} \psset{nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt} \pstree[treemode=R]{\TR{}} {\pstree{\TR{$H$~}\taput{$\np{0.54}$}} { \TR{$Q$}\taput{$\np{0.37}$} \TR{$\overline{Q}$}\tbput{$\np{0.63}$} } \pstree{\TR{$\overline{H}$~}\tbput{$\np{0.46}$}} {\TR{$Q$}\taput{$\np{0.48}$} \TR{$\overline{Q}$}\tbput{$\np{0.52}$} } } \end{minipage} \item Calculons $P(H\cap Q)$. $P(H\cap Q) = p(H)\times P_{H}(Q) = \np{0.54}\times \np{0.37}=\np{0.1998}$ La probabilité que la personne interrogée soit un homme de moins de quarante ans est \np{0.1998}. \item Démontrons que la probabilité que la personne interrogée ait moins de 40 ans est 0,4206. $P(Q) = P(H\cap Q)+ P\left(\overline{H}\cap Q\right)=p(H)\times P_{H}(Q)+ p\left(\overline{H}\right)\times P_{\overline{H}}(Q) = \np{0.1998} + \np{0.46}\times \np{0.48} = \np{0.4206}$ \item La personne interrogée a plus de 40 ans. La probabilité que ce soit un homme est notée $P_{\overline{Q}}(H)$. $P_{\overline{Q}}(H)=\dfrac{P\left(H\cap \overline{Q}\right)}{P\left(\overline{Q}\right)}= \dfrac{\np{0.54}\times \np{0.63}}{1 - \np{0.4206}}\approx \np{0.587159}$. La probabilité, arrondie à $10^{-4}$ que la personne interrogée soit un homme sachant qu'elle a plus de quarante ans est \np{0.5872}. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip L’EFS affirme que dans une région donnée : \og 23\,\% de la population donne son sang au moins une fois par an\fg. On interroge au hasard un échantillon de \np{1000} personnes habitant cette région. Parmi elles, 254 ont donné au moins une fois leur sang au cours de la dernière année. L'EFS fait l'hypothèse qu'une proportion de \np{0,23} de la population donne son sang au moins une fois par an\fg. Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique au niveau de confiance de 0,95 de la fréquence de personnes donnant leur sang pour un échantillon de taille \np{1000}. % $n=1000>30$; $np=1000\times 0,23 = 230 >5$ et $n(1-p)=1000\times (1-0,23) = 770 >5$ % Les conditions sont vérifiées donc on détermine l'intervalle de fluctuation: \[\left [\np{0.23} - \dfrac{1 }{\sqrt{\np{1000}}}~,~\np{0.23} - \dfrac{1 }{\sqrt{\np{1000}}}\right ]\approx [\np{0.1984}~;~\np{0.2616}]\] Parmi elles, 254 ont donné au moins une fois leur sang au cours de la dernière année. La fréquence constatée de 0,240 appartient à l'intervalle de fluctuation donc on peut considérer que l'hypothèse selon laquelle il y a 23\,\% de personnes donnant leur sang ne permet pas mettre en doute l’affirmation de l’EFS. \vfill Si vous photocopiez ce corrigé pensez à en créditer l'\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}, merci. \end{document}