\documentclass[11pt,a4paper,answers,fancyhdr]{exam} % remplacer answers par noanswers pour ne pas afficher les solutions %\documentclass[a4paper ,11pt]{article} \usepackage{color} \renewcommand{\solutiontitle}{\noindent\textbf{\blue Solution : }\noindent} \shadedsolutions \definecolor{SolutionColor}{rgb}{0.95,0.9,1} %\framedsolutions \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage{colortbl} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{array} \usepackage{ulem} \usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma %** surlignage en jaune *** \newcommand{\sur}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math,pst-eucl,pstricks-add} \usepackage{lastpage} \usepackage{titlesec} \usepackage{enumitem} \newcommand{\surj}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}} \newcommand{\surr}[1]{\fcolorbox{red}{red}{#1}} \newcommand{\surv}[1]{\fcolorbox{green}{green}{#1}} \usepackage[np]{numprint} \usepackage{tabularx} \usepackage{fp} \usepackage{multido} \newcommand{\binomiale}[2]{\hookrightarrow \mathcal{B}\left(#1~;~#2 \right) } \newcommand{\expo}[1]{\hookrightarrow \mathcal{E}\left(#1 \right) } \newcommand{\normale}[2]{\hookrightarrow \mathcal{N}\left(#1~;~#2^2 \right) } \newcommand{\para}{$\slash{}\slash{}$} \newcommand{\Lim}[3]{$\displaystyle \lim_{#1 \to #2} #3~$} \newcommand{\Limg}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~<~#2}} #3~$} \newcommand{\Limd}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~>~#2}} #3~$} \newcounter{numexos}%Création d'un compteur qui s'appelle numexos \setcounter{numexos}{0}%initialisation du compteur \newcommand{\exercice}[2]{%Création d'une macro ayant un paramètre \vspace{0.5cm} \addtocounter{numexos}{1}%chaque fois que cette macro est appelée, elle ajoute 1 au compteur numexos {{\LARGE \textbf{Exercice\,\thenumexos}\,:}}\,{\large #1}\,\hfill {\LARGE #2}%Met en rouge Exercice et la valeur du compteur appelée par \thenumeexos \vspace{0.5cm} } \newcommand{\pg}{\geqslant} %plus grand ou égal \newcommand{\pp}{\leqslant} %plus petit ou égal \newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow} % équivalent \renewcommand{\d}{\,\text{d}} %le d de différentiation \newcommand{\e}{\,\text{e}} %le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\text{\,i}} %le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} %displaystyle \newcommand{\cg}{\texttt{]}} %crochet gauche \newcommand{\cd}{\texttt{[}} %crochet droit %\newcommand{\entetecor}[4]{% \usepackage{fancyhdr} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat STMG} \lfoot{\small Métropole -- La Réunion} \rfoot{\small 16 juin 2017} \setcounter{page}{1} \cfoot{page \thepage ~sur~ \pageref{LastPage}} \newcommand{\integ}[4]{$\displaystyle \int_{#1}^{#2}~#3~d#4~$} \newcommand{\equi}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \begin{document} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{Corrigé du baccalauréat STMG Métropole -- La Réunion\\[4pt]16 juin 2017}} \end{center} \medskip \titlespacing*{\subsubsection} {0pt}%␣retrait␣à␣gauche {0ex plus 0ex minus 0ex}%␣espace␣avant {0ex plus 0ex}%␣espace␣après [0pt]%␣retrait␣à␣droite \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \vspace{0.25cm} Selon l'INSEE (Institut national de la statistique et des études économiques), en 2015 : \begin{itemize} \item[---] 82,4\,\% des logements en France sont des résidences principales ; \item[---] 9,4\,\% des logements en France sont des résidences secondaires ou occasionnelles; \item[---] 8,2\,\% des logements en France sont vacants. \end{itemize} \medskip Chaque logement peut être une maison individuelle ou un logement dans un immeuble collectif. \medskip \begin{itemize} \item [---] Parmi les résidences principales, 56,9\,\% sont des maisons individuelles. \item[---] Parmi les résidences secondaires ou occasionnelles, 57,9\,\% sont des maisons individuelles. \item[---] Parmi les logements vacants, 48,3\,\% sont des maisons individuelles. \end{itemize} On choisit un logement au hasard et on note: \begin{description} \item[] $R~$ l'évènement \og le logement est une résidence principale\fg{} ; \item[] $S~$ l'évènement \og le logement est une résidence secondaire ou occasionnelle\fg{}; \item[] $V~$ l'évènement \og le logement est vacant\fg{} ; \item[] $M~$ l'évènement \og le logement est une maison individuelle\fg{} ; \item[] $I~$ l'évènement \og le logement est dans un immeuble collectif\fg. \end{description} \medskip Dans la suite de l'exercice, tous les résultats seront arrondis au millième. \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant les données de l'énoncé, compléter l'arbre pondéré donné en \textbf{annexe 1}. \begin{solution} \begin{center} \psset{nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt} \pstree[treemode=R]{\TR{}} {\pstree{\TR{$R$~}\taput{\np{0.824}}} { \TR{$M$}\taput{$\np{0.569}$} \TR{$I$}\tbput{\red $0,431$} } \pstree{\TR{$S$~}\tbput{$\np{0.094}$}} {\TR{$M$}\taput{\red $0,579$} \TR{$I$}\tbput{\red $0,421$} } \pstree{\TR{$V$~}\tbput{\red $0,082$}} {\TR{$M$}\taput{\red $0,483$} \TR{$I$}\tbput{\red $0,517$} } } \end{center} \end{solution} \item Quelle est la probabilité de l'évènement \og le logement est une maison individuelle et une résidence principale\fg{} ? \begin{solution} On cherche $P(R\cap M)$ $P(R \cap M)=P_{_R}(M)\times P(R)=0,569 \times 0,824 \approx 0,469 $ \end{solution} \item Montrer que la probabilité, arrondie au millième, pour que le logement soit une maison individuelle est égale à $0,563$. \begin{solution} On cherche $P(M)$ $R,\: S\:$ et \:$V$ forment une partition de l'univers donc d'après les probabilités totales on a $P(M) = P(R\cap M) + P(S\cap M) + P(V\cap M)$ $\hphantom{on a P(M)} = P_{_R}(M)\times P(R) + P_{_S}(M)\times P(S) + P_{_V}(M)\times P(V)$ $\hphantom{on a P(M)}\approx 0,469+0,054+0,040$ $\hphantom{on a P(M)}\approx 0,563$ \end{solution} \item Calculer la probabilité que le logement soit une résidence principale sachant qu'il s'agit d'une maison individuelle. \begin{solution} On cherche $P_{_M}(R)$ $P_{_M}(R)=\dfrac{P(R \cap M)}{P(M)}\approx \dfrac{0,469}{0,563}\approx 0,833$ \end{solution} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \vspace{0.25cm} \begin{minipage}{\linewidth} Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse correcte rapporte 1 point, une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point. \medskip Les deux parties A et B sont indépendantes. \medskip \textbf{Partie A} \medskip Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul, traduit l'évolution du SMIC (Salaire minimal interprofessionnel de croissance) horaire brut en euro entre 2011 et 2015. Il indique également les taux d'évolution annuels arrondis à 0,1\,\%. \end{minipage} \begin{center} \begin{tabular}{|c|m{5.2cm}|*{5}{c|}} \hline &\centering A& B& C& D &E& F\\\hline 1& Année &2011& 2012& 2013& 2014& 2015\\\hline 2& SMIC horaire brut en euro& 9 &9,31& 9,43& 9,53& 9,61\\\hline 3& Taux d'évolution en pourcentage&\cellcolor{lightgray}&&&&\\\hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Le taux d'évolution global du SMIC horaire brut entre 2011 et 2015, arrondi à 0,1\,\%, est de : \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $6,0\,\%$ &\surj{\textbf{b.~~} $6,8\,\% $}&\textbf{c.~~}$7,0\,\% $& \textbf{d.~~} $- 6,3\,\%$ \end{tabularx} \smallskip \begin{solution} \textbf{\surj{Réponse b}} $\dfrac{9,61-9}{9}\times 100\approx 6,78 \approx 6,8$ \end{solution} \item Le taux d'évolution moyen annuel du SMIC horaire brut entre 2011 et 2015, arrondi à 0,1\,\%, est de: \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $\np{1.1}\,\%$ &\surj{\textbf{b.~~} $\np{1.7}\,\% $}&\textbf{c.~~}$\np{0.7}\,\% $& \textbf{d.~~} $- \np{1.6}\,\%$ \end{tabularx} \smallskip \begin{solution} \textbf{\surj{Réponse b}} Le coefficient multiplicateur global sur ces 4 évolutions est $C=1,068$. Soit $c$ le coeeficient multiplicateur annuel moyen alors $c^4=C$ soit $c=1,068^{\frac{1}{4}}\approx 1,017$ ce qui correspond à une hausse de 1,7\% \end{solution} \item Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C\,3 pour obtenir, par recopie vers la droite, les taux d'évolution d'une année à l'autre ? La plage de cellules C\,3 : F\,3 est au format pourcentage arrondi à 0,1\,\%. \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} = (C2 $-$ B2)/C2 &\textbf{b.~~} = (C2 $-$ B\$2)/C2\\ \surj{\textbf{c.~~} = (C2 $-$ B2)/B2} &\textbf{d.~~}= (C2 $-$ \$B\$2)/B2 \\ \end{tabularx} \begin{solution} \textbf{\surj{Réponse c}} \og = (C2 $-$ B2)/B2 \fg \end{solution} \smallskip \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On considère $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne 60 et d'écart type 5. \begin{enumerate} \item La probabilité $p (50\leqslant X\leqslant 70)$ arrondie à 0,01 est égale à : \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $0,60$ &\textbf{b.~~} $0,68$&\surj{\textbf{c.~~}$0,95$}& \textbf{d.~~} $0,99$ \end{tabularx} \smallskip \begin{solution} \textbf{\surj{Réponse c}} \textbf{\underline{méthode 1}}: $p(50 \leqslant X \leqslant 70)=p(\mu-2\sigma \leqslant X \leqslant \mu+2\sigma) \approx 0,95$ d'après le cours \textbf{\underline{méthode 2}}: $p(50 \leqslant X \leqslant 70) \approx 0,95$ avec la calculatrice \end{solution} \item La probabilité $p(X \geqslant 65)$ arrondie à 0,01 est égale à : \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} $0,05$ &\surj{\textbf{b.~~} $0,16$}&\textbf{c.~~}$0,50$& \textbf{d.~~} $0,80$ \end{tabularx} \smallskip \begin{solution} \textbf{\surj{Réponse b}} \textbf{\underline{méthode 1}}: $p( X \geqslant 65)=p(X \geqslant \mu+\sigma)$ Or $p(\mu-\sigma \leqslant X \leqslant \mu+\sigma)\approx 0,68$ et donc d'après la symétrie de la courbe par rapport à l'axe d'équation $x=\mu$ on a $p(\mu \leqslant X \leqslant \mu+\sigma)\approx 0,34$ et enfin $p(X \geqslant \mu+\sigma)=0,5-p(X \leqslant \mu+\sigma)\approx 0,16$ d'après le cours \begin{center} \def\m{60}% moyenne \def\s{5}% écart type \def \pshlabel{\small} \def \psvlabel{\tiny} \psset{xunit=0.4cm,yunit=20cm,algebraic=true} \def\xmin {44} \def\xmax {76} \def\ymin {-0.045} \def\ymax {0.15} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)} \psplot{44}{76}{\f} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=red] {\psplot{55}{60}{\f} \psline(60,0)(55,0) } \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray] {\psplot{60}{65}{\f} \psline(65,0)(60,0) } \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=yellow] {\psplot{65}{76}{\f} \psline(76,0)(65,0) } \psaxes[ticksize=-1pt 1pt, Ox=60,Dx=5, Dy=0.5]% (60,0)(44,-0.1)(76,0.15) \psline{->}(55.5,0.08)(57.5,0.05) \uput[u](55.5,0.08){$\approx 0,34$} \psline{->}(64.5,0.08)(62.5,0.05) \uput[u](64.5,0.08){$\approx 0,34$} \psline{->}(69.5,0.05)(67.5,0.01) \uput[u](69.5,0.05){$\approx 0,16$} \end{pspicture*} \end{center} \textbf{méthode 2}: $p( X \geqslant 65)=0,5-p(60 \leqslant X \leqslant 65) \approx 0,16$ avec la calculatrice \end{solution} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip \begin{minipage}{\linewidth} Une entreprise produit et vend un tissu en coton de forme rectangulaire de 1 mètre de large; on note $x$ sa longueur exprimée en kilomètre, $x$ étant un nombre compris entre 0 et 10. Le coût total de production en euro de ce tissu est donné, en fonction de $x$, par : \[C(x) = 15x^3 - 120x^2 + 350x + \np{1000}.\] La courbe de la fonction $C $ est représentée sur le graphique ci-dessous. \end{minipage} \begin{center} \psset{xunit=1.2cm,yunit=0.001cm,labelFontSize=\scriptstyle} \begin{pspicture}(-1,-250)(11,8500) \multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,-25)(\n,7900)} \multido{\n=0+500}{16}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-0.5,\n)(10.5,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=1000]{->}(0,0)(-0.7,-100)(11,8000) \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{10}{x x x 15 mul 120 sub mul 350 add mul 1000 add} \uput[u](0.75,7900){\footnotesize Coût total de production (en euro)}\uput[dr](9,- 500){\footnotesize Longueur (en km)} \psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=1.5pt](6,0)(6,2020) \psline[linestyle=dashed,linecolor=red,linewidth=1.5pt](0,2020)(6,2020) \psline[linestyle=dashed,linecolor=cyan,linewidth=1.5pt](9.073,0)(9.073,5500) \psline[linestyle=dashed,linecolor=cyan,linewidth=1.5pt](0,5500)(9.073,5500) \end{pspicture} \end{center} \medskip \textbf{Partie A : Étude du coût total} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le montant des coûts fixes. \begin{solution} Les coûts fixes sont payés pour une production nulle donc leur montant est \surj{$C(0)=\np{1000}$ \euro}. \end{solution} \item \begin{enumerate} \item Déterminer, par lecture graphique, le montant du coût total lorsque l'entreprise produit \np[km]{6} de tissu. \begin{solution} Le coût total pour une production de \np[km]{6} de tissu est très légèrement \surj{supérieur à \np{2000} \euro} car sur la courbe, le point d'abscisse 6 a une ordonnée légèrement supérieure à \np{2000}. \end{solution} \item Déterminer par un calcul sa valeur exacte. \begin{solution} \surj{$C(6)$}$=15\times 6^3-120\times 6^2+350\times 6 + \np{1000}$\surj{$=\np{2020}$}. \end{solution} \end{enumerate} \item Déterminer graphiquement la longueur, arrondie au kilomètre, de tissu produit lorsque le coût total s'élève à \np{5 500}\,\euro. \begin{solution} Sur la courbe, le point d'ordonnée \np{5500} a une abscisse très légèrement supérieure à 9 Donc il faut produire environ \surj{\np[km] {9}} de tissu pour une coût de \np{5500} \euro. \end{solution} \end{enumerate} \newpage \textbf{Partie B : Étude du bénéfice} \medskip \begin{minipage}{\linewidth} Le cours du marché offre un prix de 530\,\euro{} le kilomètre de tissu fabriqué par l'entreprise. Pour tout $x \in [0~;~10]$, on note $R(x)$ la recette et $B(x)$ le bénéfice générés par la production et la vente de $x$ kilomètres de tissu par l'entreprise. \end{minipage} \begin{enumerate} \item Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$. \begin{solution} \surj{$R(x)=530x$} car un kilomètre de tissu est vendu 530 \euro. \end{solution} \item Montrer que pour tout $x\in [0~;~10]$, $B(x) = -15x^3 + 120x^2 + 180x - \np{1 000}$. \begin{solution} \surj{$B(x)=R(x)-C(x)$}$=530x-\left(15x^3 - 120x^2 + 350x + \np{1000} \right)=-15x^3 + 120x^2 + 180x - \np{1 000}$. \end{solution} \item Déterminer $B'(x)$ pour $x \in [0~;~10]$ où $B'$ désigne la fonction dérivée de $B$. \begin{solution} $B(x) = -15x^3 + 120x^2 + 180x - \np{1 000}$ donc \surj{$B'(x) = -45x^2 + 240x + 180$} \end{solution} \item Étudier le signe de $B'(x)$ et en déduire les variations de la fonction $B$ sur $ [0~;~10]$. \begin{solution} $\Delta=b^2-4ac=\np{90000}=300^2>0$ donc l'équation $B'(x)=0$ admet deux solutions distinctes $\begin{cases} x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=6\\x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=-\dfrac{2}{3} \notin [0~;~10]\end{cases}$ On en déduit le signe de $B'(x)$ ainsi que les variations de $B(x)$ : \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(9,3) \psframe(9,3)\psline(0,2)(9,2)\psline(0,2.5)(9,2.5)\psline(1,0)(1,3) \uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.4,2.4){$0$} \uput[u](5,2.4){$6$} \uput[u](8.5,2.4){$10$} \rput(0.5,2.25){$B'(x)$}\rput(2.5,2.25){+} \rput(5,2.25){0}\rput(7,2.25){-} \uput[u](1.5,0){$-\np{1000} $} \uput[u](5,1.5){$\np{1160} $} \uput[u](8.45,0){$-\np{2200} $} \rput(0.5,1){$B(x)$} \psline{->}(2.1,0.4)(4.6,1.6) \psline{->}(5.4,1.6)(7.9,0.4) \end{pspicture} \end{center} \end{solution} \item \begin{enumerate} \item Pour quelle longueur de tissu produit et vendu l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice maximal ? \begin{solution} Le bénéfice est maximal pour une production de \surj{\np[km] {6}} de tissu. \end{solution} \item Donner alors la valeur de ce bénéfice maximal. \begin{solution} Le bénéfice maximal est de \surj{\np{1160} \euro}. \end{solution} \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} \begin{minipage}{\linewidth} Le tableau suivant donne le prix moyen en dollar US de la tonne du cacao en provenance de la Côte d'Ivoire au 1\up{er} janvier des années 2011 à 2015. \end{minipage} \smallskip \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Année &2011& 2012& 2013& 2014& 2015\\\hline Rang de l'année: $x_i$& 1 &2 &3& 4& 5\\\hline Prix (en dollar) d'une tonne de cacao: $y_i$& \np{2589,70}&\np{2324,85} & \np{2507,55}&\np{2847,85} &\np{3081,45}\\\hline \multicolumn{6}{r}{Source: INSEE}\\ \end{tabularx} \end{center} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Le nuage de points de coordonnées $(x_i~;~y_i)$, pour $i$ variant de 1 à 5, est représenté en \textbf{annexe 2}. \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en fonction de $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients au centième. \begin{solution} La calculatrice donne \surj{$y=150,65x+\np{2218,33}$} \end{solution} \item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $D$ d'équation: \[y = 150,7x + 2 218,3.\] \begin{enumerate} \item Tracer la droite $D$ sur le graphique de l'\textbf{annexe 2}. \begin{solution} \psset{xunit=1.cm,yunit=0.0025cm,labelFontSize=\scriptstyle} \begin{pspicture}(-0.75,-450)(10.35,3300) \multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,-100)(\n,2900)} \multido{\n=-100+100}{31}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-0.55,\n)(10.5,\n)} \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=1,Oy=1500,Dy=500,]{->}(0,0)(10.5,3000) \psdots[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](1,1089.70)(2,824.85)(3,1007.55)(4,1347.85)(5,1581,45) \uput[u](0.5,3100){\footnotesize Prix d'une tonne de}\uput[u](0.5,3000){\footnotesize cacao(en dollar)} \uput[dr](8,- 150){\footnotesize Rang de l'année} \psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt](0,718.3)(10.5,2300.7) \psline[linecolor=cyan,linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](10,0)(10,2225.3) \psline[linecolor=cyan,linewidth=1.5pt,linestyle=dashed](0,2225.3)(10,2225.3) \end{pspicture} \end{solution} \item À l'aide de ce modèle d'ajustement, donner une estimation du prix moyen d'une tonne de cacao en provenance de la Côte d'Ivoire au 1\up{er} janvier 2020. \begin{solution} janvier 2020 correspond au rang $x=10$ ; or le point d'abscisse 10 a pour ordonnée $150,7\times 10 + 2218,3=3725,3$. On peut donc prévoir le prix d'une tonne de cacao à environ \surj{\np{3725,30} \euro} en janvier 2020. On peut accepter la réponse \np{3700} avec une référence au graphique \end{solution} \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{minipage}{\linewidth} On suppose que le prix moyen d'une tonne de cacao en provenance de la Côte d'Ivoire augmente de 4\,\% par an à partir du 1\up{er} janvier 2015. On note $u_n$ le prix moyen d'une tonne de cacao, exprimé en dollar, au 1\up{er} janvier de l'année $2015 + n$. \end{minipage} \begin{enumerate} \item En utilisant le tableau précédent, donner $u_0$ puis calculer $u_1$ arrondi au centième. \begin{solution} $u_0$ correspond au prix en 2015 donc \surj{$u_0=\np{3081,45}$} le coefficient multiplicateur associé à une hausse de 4\,\% est $1,04$ ; donc \surj{$u_1=u_0\times 1,04 \approx \np{3204,71}$} \end{solution} \item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique et donner sa raison. \begin{solution} Pour passer d'une année à la suivante le prix augmente de 4\,\%, il est donc multiplié par $1,04$ on a alors $u_{n+1} = 1,04u_n$ donc \surj{$\left(u_n \right) $ est géométrique de raison $q = 1,04$ et de 1\up{er} terme $u_0=\np{3081,45}$} \end{solution} \item Exprimer le terme général $u_n$ en fonction de $n$. \begin{solution} pour tout entier naturel $n~,~$\surj{$u_n=u_0\times q^n=\np{3081,45}\times 1,04^n $} \end{solution} \item En déduire une estimation, arrondie au centième, du prix moyen d'une tonne de cacao en provenance de la Côte d'Ivoire au 1\up{er} janvier 2020. \begin{solution} 2020 correspond au rang $n=5$ et $u_5=\np{3081,45}\times 1,04^5 \approx \np{3749,06}$ Donc en 2020, on peut prévoir un prix de \surj{\np{3749,06} \euro la tonne de cacao} \end{solution} \item On considère l'algorithme suivant: \begin{center} \begin{tabular}{|l|} \hline \begin{minipage}{5.5cm} \rule[1ex]{7cm}{0pt} \textbf{VARIABLES} $n$ est un nombre entier $u$ et $k$ sont des nombres réels \textbf{TRAITEMENT} Saisir $k$ $n$ prend la valeur 0 $u$ prend la valeur \np{3081,45} Tant que $u < k$ Faire \hspace{1.5em}$u$ prend la valeur $1,04 \times u$ \hspace{1.5em}$n$ prend la valeur $n + 1$ Fin Tant que Afficher $n$ \rule[-1ex]{7cm}{0pt} \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \end{center} \smallskip Si l'on choisit $k = \np{4000}$, quelle valeur affichera cet algorithme ? Interpréter ce résultat dans le contexte étudié. \begin{solution} L'algorithme affiche la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n>\np{4000}$ $u_6\approx \np{3899}$ et $u_7\approx \np{4055}$ donc \surj{l'agorithme va afficher 7} Il s'agit du rang de \surj{l'année 2022 à partir de laquelle le prix de la tonne dépassera} \surj{\np{4000} \euro}}. \end{solution} \end{enumerate} \vfill Si vous photocopiez ce corrigé pensez à en créditer l'\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}, merci. \end{document}