\documentclass[10pt,a4paper,french]{article} \usepackage{babel} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{xspace} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,amstext,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage[euler]{textgreek} \usepackage{textcomp,enumitem} \usepackage[table]{xcolor} \usepackage{graphicx} %tapuscrit et corrigé : Jean-Claude Souque \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat STMG}, pdftitle = {Métropole -- La Réunion -- 16 juin 2017 }, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \renewcommand\arraystretch{1.2} \newcommand{\e}{\text{e}} \frenchbsetup{StandardLists=true} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat Sciences et Technologies\\ du Management et de la Gestion (STMG)} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{16 juin 2017}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~ Corrigé du baccalauréat STMG Métropole 16 juin 2017~\decofourright\\[5pt] }} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \vspace{0.25cm} {\footnotesize Selon l'INSEE (Institut national de la statistique et des études économiques), en 2015 : \begin{itemize} \item[---] 82,4\,\% des logements en France sont des résidences principales ; \item[---] 9,4\,\% des logements en France sont des résidences secondaires ou occasionnelles; \item[---] 8,2\,\% des logements en France sont vacants. \end{itemize} \medskip Chaque logement peut être une maison individuelle ou un logement dans un immeuble collectif. \medskip \begin{itemize} \item [---] Parmi les résidences principales, 56,9\,\% sont des maisons individuelles. \item[---] Parmi les résidences secondaires ou occasionnelles, 57,9\,\% sont des maisons individuelles. \item[---] Parmi les logements vacants, 48,3\,\% sont des maisons individuelles. \end{itemize} On choisit un logement au hasard et on note: \begin{description} \item[] $R~$ l'évènement \og le logement est une résidence principale\fg{} ; \item[] $S~$ l'évènement \og le logement est une résidence secondaire ou occasionnelle\fg{}; \item[] $V~$ l'évènement \og le logement est vacant\fg{} ; \item[] $M~$ l'évènement \og le logement est une maison individuelle\fg{} ; \item[] $I~$ l'évènement \og le logement est dans un immeuble collectif\fg. \end{description} \medskip Dans la suite de l'exercice, tous les résultats seront arrondis au millième. } \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant les données de l'énoncé, complétons l'arbre pondéré donné en \textbf{annexe 1}. \item La probabilité de l'évènement \og le logement est une maison individuelle et une résidence principale\fg{} est notée $p(M\cap R)$. $p(M\cap R)=p(R)\times p_{R}(M)=\np{0.824}\times \np{0.569}\approx \np{0.469}$. \item Montrons que la probabilité, arrondie au millième, pour que le logement soit une maison individuelle est égale à $0,563$. $p(M)=p(M\cap R)+p(M\cap S)+p(M\cap V)=p(R)\times p_{R}(M)+p(S)\times p_{S}(M)+p(V)\times p_{V}(M)$. $p(M)=\np{0.824}\times \np{0.569}+\np{0.094}\times \np{0.579}+\np{0.082}\times \np{0.483}\approx \np{0.563}$ \item Calculons la probabilité que le logement soit une résidence principale sachant qu'il s'agit d'une maison individuelle c'est-à-dire $p_{(M)}{R}$. $p_{(M)}{R}=\dfrac{p(M\cap R)}{p(M)}=\dfrac{\np{0.469} }{\np{0.563}}\approx \np{0.833}$. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \vspace{0.25cm} {\footnotesize Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse correcte rapporte 1 point, une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point. \medskip Les deux parties A et B sont indépendantes. } \medskip \textbf{Partie A} \medskip Le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille de calcul, traduit l'évolution du SMIC (Salaire minimal interprofessionnel de croissance) horaire brut en euro entre 2011 et 2015. Il indique également les taux d'évolution annuels arrondis à 0,1\,\%. \begin{center} \begin{tabular}{|c|m{5.2cm}|*{5}{c|}} \hline &\centering A& B& C& D &E& F\\\hline 1& Année &2011& 2012& 2013& 2014& 2015\\\hline 2& SMIC horaire brut en euro& 9 &9,31& 9,43& 9,53& 9,61\\\hline 3& Taux d'évolution en pourcentage&\cellcolor{lightgray}&&&&\\\hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Le taux d'évolution global du SMIC horaire brut entre 2011 et 2015, arrondi à 0,1\,\%, est de : \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$6,0\,\%$} &\textbf{b.~~} \psframebox{$6,8\,\% $}&\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$7,0\,\% $}& \textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$- 6,3\,\%$} \end{tabularx} \smallskip \item Le taux d'évolution moyen annuel du SMIC horaire brut entre 2011 et 2015, arrondi à 0,1\,\%, est de: \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$\np{1.1}\,\%$} &\textbf{b.~~}\psframebox{ $\np{1.7}\,\% $}&\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$\np{0.7}\,\% $}& \textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $- \np{1.6}\,\%$} \end{tabularx} \smallskip \item Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C\,3 pour obtenir, par recopie vers la droite, les taux d'évolution d'une année à l'autre ? La plage de cellules C\,3 : F\,3 est au format pourcentage arrondi à 0,1\,\%. \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}} \textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{= (C2 $-$ B2)/C2 }&\textbf{b.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{= (C2 $-$ B\$2)/C2}\\ \textbf{c.~~} \psframebox{= (C2 $-$ B2)/B2} &\textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{= (C2 $-$ \$B\$2)/B2} \\ \end{tabularx} \smallskip \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip On considère $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne 60 et d'écart type 5. \begin{enumerate} \item La probabilité $p (50\leqslant X\leqslant 70)$ arrondie à 0,01 est égale à : \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$0,60$} &\textbf{b.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$0,68$}&\textbf{c.~~}\psframebox{$0,95$}& \textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$0,99$} \end{tabularx} \smallskip \item La probabilité $p(X \geqslant 65)$ arrondie à 0,01 est égale à : \smallskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$0,05$ }&\textbf{b.~~}\psframebox{ $0,16$}&\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$0,50$}& \textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$0,80$} \end{tabularx} \smallskip \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \medskip {\footnotesize Une entreprise produit et vend un tissu en coton de forme rectangulaire de 1 mètre de large; on note $x$ sa longueur exprimée en kilomètre, $x$ étant un nombre compris entre 0 et 10. Le coût total de production en euro de ce tissu est donné, en fonction de $x$, par : \[C(x) = 15x^3 - 120x^2 + 350x + \np{1000}.\] La courbe de la fonction $C $ est représentée sur le graphique ci-dessous. \begin{center} \psset{xunit=1.1cm,yunit=0.001cm,labelFontSize=\scriptstyle} \begin{pspicture}(-1,-250)(11,8500) \multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,-25)(\n,7900)} \multido{\n=0+500}{16}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-0.5,\n)(10.5,\n)} \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=1000]{->}(0,0)(-0.7,-100)(11,8000) \psplot[linewidth=1pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0}{10}{x x x 15 mul 120 sub mul 350 add mul 1000 add} \uput[u](0.75,7900){\footnotesize Coût total de production (en euro)}\uput[dr](9,- 500){\footnotesize Longueur (en km)} \psset{arrowscale=2} \def\Func{x 15 mul 120 sub x mul 350 add x mul 1000 add} \psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-< ]{-<}(!0 /x 6 def \Func)(!6 /x 6 def \Func)(6,0) \psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 9.0727 def \Func)(!9.0727 /x 9.0727 def \Func)(9.0727,0) \uput[l](0,5500){\footnotesize \textcolor{violet}{\np{5500}}} \psplot[linewidth=1pt,linecolor=cyan,plotpoints=5000]{0}{10}{x 530 mul} \psbrace(6,2020)(6,3180){\scriptsize bénéfice maximal} \end{pspicture} \end{center} } \medskip \textbf{Partie A : Étude du coût total} \medskip \begin{enumerate} \item Le montant des coûts fixes est $C(0)$ soit \np{1000}\,euros. \item \begin{enumerate} \item Par lecture graphique, le montant du coût total lorsque l'entreprise produit \np[km]{6} de tissu est d'environ \np{2000}\,\euro. Nous lisons l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 6. \item Calculons sa valeur exacte. $C(6)= 15\times 6^3 - 120\times 6^2 + 350\times 6 + \np{1000}=\np{2020}$. Le coût de \np[km]{6} de tissu est de \np{2020}\,\euro. \end{enumerate} \item Déterminons graphiquement la longueur, arrondie au kilomètre, de tissu produit lorsque le coût total s'élève à \np{5 500}\,\euro . Nous lisons l'abscisse du point d'intersection de la courbe représentative de $C$ avec la droite d'équation $y=\np{5500}$. En arrondissant au kilomètre le plus proche, nous trouvons \np[km]{9}. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B : Étude du bénéfice} \medskip Le cours du marché offre un prix de 530\,\euro{} le kilomètre de tissu fabriqué par l'entreprise. Pour tout $x \in [0~;~10]$, on note $R(x)$ la recette et $B(x)$ le bénéfice générés par la production et la vente de $x$ kilomètres de tissu par l'entreprise. \begin{enumerate} \item Le cours du marché offre un prix de 530\,\euro{} le kilomètre de tissu par conséquent $R(x)=530x$. \item Montrons que pour tout $x\in [0~;~10]$, $B(x) = - 15x^3 + 120x^2 + 180x - \np{1000}$. Le bénéfice étant la différence entre la recette et les coûts, nous avons : $B(x)=R(x)-C(x) =530x-\left(15x^3 - 120x^2 + 350x + \np{1000}\right)= - 15x^3 + 120x^2 + 180x - \np{1000}$. Ce qui est la réponse attendue. \item Pour tout $x \in [0~;~10],\ B'(x)= -15 (3x^2) + 120 (2x) + 180= -45x^2+240x+180$ où $B'$ désigne la fonction dérivée de $B$. \item Étudions le signe de $B'(x)$. Nous avons donc le signe d'un trinôme du second degré à déterminer. Déterminons d'abord les solutions, si elles existent, sur $\R$ de $-45x^2+240x+180=0$. Calculons $\Delta$. $\Delta= b^2-4ac =240^2-4(-45)(180)=\np{90000}$. Le trinôme admet donc deux racines. $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}~;\quad x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$. $x_1=\dfrac{-240-\sqrt{\np{90000}}}{2\times (-45)}= \dfrac{240+300}{90}=6~;\quad x_2=\dfrac{240 - 300}{90}=\dfrac{-2}{3}$. Lorsque $x_10$ Il en résulte alors sur [0~;~10] : Si $x\in[0~;~6[,\ B'(x)>0$ et si $x\in]6~;~10],\ B'(x)<0$. Étudions maintenant le sens de variation de la fonction $B$ sur $ [0~;~10]$. Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$. Sur $[0~;~6[,\:B'(t)>0$ par conséquent $B$ est strictement croissante sur cet intervalle. Si pour tout $x\in I, \: f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$. Sur $]6~;~10],\: B'(t) < 0$ par conséquent $B$ est strictement décroissante sur cet intervalle. Construisons le tableau de variation de $B$ sur [0 ; 10]. \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(8,3) \psframe(8,3) \psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) %\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3) \uput[u](0.5,2.45){$x$} \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](4.5,2.45) {$6$} \uput[u](7.73,2.45){$10$} \uput[u](0.5,1.9){$B^{\prime}(x)$}\uput[u](2.76,2){$+$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$-$} \rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $B$} \uput[d](1.391,0.45){$-1000$}\uput[d](7.32,0.45){$-\np{2200}$} \psline{->}(1.7,0.55)(4,1.55)\psline{->}(5,1.5)(7.3,0.55) \uput[u](4.5,1.5){$1160$} \end{pspicture} \end{center} \item \begin{enumerate} \item L'entreprise réalise un bénéfice maximal pour une longueur de tissu produit et vendu de \np[km]{6}. La fonction $B$ admet un maximum local en $x=6$. \item Ce bénéfice maximal vaut alors \np{1160}\,\euro. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points} {\footnotesize Le tableau suivant donne le prix moyen en dollar US de la tonne du cacao en provenance de la Côte d'Ivoire au 1\up{er} janvier des années 2011 à 2015. \smallskip \begin{center} \begin{tabular}{|m{3.35cm}|*{5}{c|}} \hline Année &2011 & 2012 & 2013 & 2014 & 2015\\\hline Rang de l'année: $x_i$ &1 &2 &3 & 4 & 5\\\hline Prix (en dollar) d'une tonne de cacao: $y_i$ &\np{2589,70}&\np{2324,85} &\np{2507,55} &\np{2847,85} &\np{3081,45}\\\hline \multicolumn{6}{r}{Source: INSEE}\\ \end{tabular} \end{center} \smallskip \textbf{Partie A} \smallskip Le nuage de points de coordonnées $(x_i~;~y_i)$, pour $i$ variant de 1 à 5, est représenté en \textbf{annexe 2}. } \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en fonction de $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés est $y=\np{150.65}x+\np{2218.33}$, les coefficients étant arrondis au centième. \item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $D$ d'équation :$y = 150,7x + 2 218,3$. \begin{enumerate} \item La droite $D$ est tracée sur le graphique de l'\textbf{annexe 2}. \item À l'aide de ce modèle d'ajustement, donnons une estimation du prix moyen d'une tonne de cacao en provenance de la Côte d'Ivoire au 1\up{er} janvier 2020. Nous avons alors $n=10$. En remplaçant $x$ par 10 dans l'équation de la droite $y=\np{150.7}\times 10+\np{2218,3} = \np{3725,3}$. Une estimation du prix moyen d'une tonne de cacao au début 2020 est de \np[\$]{3725,30}. {\footnotesize \textsc{Remarque :} Nous trouvons une estimation similaire par la lecture graphique.} \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \smallskip {\footnotesize On suppose que le prix moyen d'une tonne de cacao en provenance de la Côte d'Ivoire augmente de 4\,\% par an à partir du 1\up{er} janvier 2015. On note $u_n$ le prix moyen d'une tonne de cacao, exprimé en dollar, au 1\up{er} janvier de l'année $2015 + n$.} \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant le tableau précédent, $u_0$ est le prix moyen d'une tonne en 2015 donc $u_0=\np{3081.45}$ puis calculons $u_1$ arrondi au centième. À une augmentation de 4\,\%, correspond un coefficient multiplicateur de $1+\frac{4}{100}$ soit \np{1.04}, d'où $u_1=\np{3081.45}\times \np{1.04} \approx\np{3204,71}$. \item Chaque terme se déduisant du précédent en le multipliant par \np{1,04}, la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison \np{1,04}. \item Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0q^n$. $ u_n=\np{3081.45}\times (\np{1.04})^n$. \item Une estimation, arrondie au centième, du prix moyen d'une tonne de cacao en provenance de la Côte d'Ivoire au 1\up{er} janvier 2020 est \np[\$]{3749,06}. En 2020, $n=5$, $u_5=\np{3081.45}\times \np{1.04}^5 \approx \np{3749,06}$ \item On considère l'algorithme suivant: {\footnotesize \begin{center} \begin{tabular}{|l|} \hline \begin{minipage}{5cm} \rule[0.3ex]{5cm}{0pt} \textbf{VARIABLES} $n$ est un nombre entier $u$ et $k$ sont des nombres réels \textbf{TRAITEMENT} Saisir $k$ $n$ prend la valeur 0 $u$ prend la valeur \np{3081,45} Tant que $u < k$ Faire \hspace{1.5em}$u$ prend la valeur $1,04 \times u$ \hspace{1.5em}$n$ prend la valeur $n + 1$ Fin Tant que Afficher $n$ \rule[-0.3ex]{5cm}{0pt} \end{minipage}\\ \hline \end{tabular} \end{center} } \smallskip Si l'on choisit $k = \np{4000}$, la valeur affichée par cet algorithme pour $n$ sera 7. $u_6=\np{3899.02},\quad u_7=\np{4054.98}$ Ce résultat dans le contexte étudié s'interprète comme le temps nécessaire pour que le prix moyen du cacao dépasse \np[\$]{4000}. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexes à rendre avec la copie} \end{center} \textbf{Annexe 1} \textbf{\textsc{Exercice 1}} \begin{center} \psset{nodesepA=0,nodesepB=2.5pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt} \pstree[treemode=R]{\TR{}} {\pstree{\TR{$R$~}\taput{\np{0.824}}} { \TR{$M$}\taput{$\np{0.569}$} \TR{$I$}\tbput{$\np{0.431}$} } \pstree{\TR{$S$~}\tbput{$\np{0.094}$}} {\TR{$M$}\taput{$\np{0.579}$} \TR{$I$}\tbput{$\np{0.421}$} } \pstree{\TR{$V$~}\tbput{$\np{0.082}$}} {\TR{$M$}\taput{$\np{0.483}$} \TR{$I$}\tbput{$\np{0.517}$} } } \end{center} \vspace{1cm} \textbf{Annexe 2} \textbf{\textsc{Exercice 4}} \medskip \psset{xunit=1.2cm,yunit=0.0025cm,labelFontSize=\scriptstyle} \begin{pspicture}(-0.75,-450)(10.35,4300) \multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,-100)(\n,2900)} \multido{\n=-100+100}{31}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](-0.55,\n)(10.5,\n)} \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=1,Oy=1500,Dy=500,]{->}(0,0)(10.5,3000) \psdots[dotstyle=+,dotscale =1.4,dotangle=45](1,1089.70)(2,824.85)(3,1007.55)(4,1347.85)(5,1581,45) \uput[u](0.5,3100){\footnotesize Prix d'une tonne de}\uput[u](0.5,3000){\footnotesize cacao(en dollar)} \uput[dr](8.75,- 150){\footnotesize Rang de l'année} \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10.1}{x 150.7 mul 718.3 add} \psset{arrowscale=2} \def\Func{x 150.7 mul 718.3 add} \psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-< ]{<-}(!0 /x 10 def \Func)(!10 /x 10 def \Func)(10,0) \uput[l](-0.08,2225,3){\textcolor{violet}{\footnotesize $\approx 3725$}}\uput[d](9.5,2150){$D$} \end{pspicture} \vfill Si vous photocopiez ce corrigé pensez à en créditer l'\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}, merci. \end{document}