\documentclass[10pt,a4paper,french]{article} \usepackage{babel} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{xspace} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,amstext,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage[euler]{textgreek} \usepackage{textcomp,enumitem} \usepackage[table]{xcolor} \usepackage{lscape} \usepackage{graphicx} %tapuscrit Jean-Claude Souque \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-tree,pst-plot,pst-text,pst-eucl,pst-func,pst-math,pst-node,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3cm, right=3cm, top=1.9cm, bottom=2.7cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \makeatletter \def\hlinewd#1{% \noalign{\ifnum0=`}\fi\hrule \@height #1 % \futurelet\reserved@a\@xhline} \makeatother \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat STHR}, pdftitle = {Nouvelle Calédonie - 27 novembre 2018 }, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \renewcommand\arraystretch{1.4} \newcommand{\e}{\text{e}} \frenchsetup{StandardLists=true} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat STHR} \lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}} \rfoot{\small{27 novembre 2018}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{ \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat Sciences et Technologies de l’Hôtellerie et de la Restauration~\decofourright\\[5pt] Nouvelle Calédonie 27 novembre 2018}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 9 points} \vspace{0.25cm} \textbf{Partie A} \vspace{0.25cm} {\footnotesize Léa et Jonathan étudient l'évolution du chiffre d'affaires (C.A.) de leur hôtel sur les cinq dernières années. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant: \smallskip \begin{center} \begin{tabular}[]{|m{4.25cm}|*{5}{c|}}\hline Année& 2013& 2014& 2015& 2016 &2017\\\hline Rang de l'année: $x_i$ & 1& 2& 3& 4& 5\\\hline C.A. : $y_i$( en milliers d'euros)& 92& 99& 103& 107& 112\\\hline \end{tabular} \end{center} \smallskip Léa décide de réaliser une estimation du chiffre d'affaires à l'aide d'un ajustement affine. Le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i~;~ y_i\right)$ est représenté dans le repère donné en \textbf{annexe 1 à rendre avec la copie.} } \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice une équation de la droite réalisant un ajustement affine de ce nuage de points obtenue par la méthode des moindres carrés est $y=\np{4.8} x+\np{88.2}$ \item On décide d'ajuster ce nuage de points par la droite $D$ d'équation $y = 5x + 88$. \begin{enumerate} \item La droite $D$ est tracée dans le repère fourni en \textbf{annexe 1 à rendre avec la copie}. \item Graphiquement une estimation du chiffre d'affaires en 2021 est, avec la précision due au graphique, d'environ 133 milliers d'euros. Nous lisons l'ordonnée du point d'abscisse 9 appartenant à la droite $D$. \item À l'aide de cet ajustement, calculons une estimation du chiffre d'affaires en 2024. Pour ce faire, remplaçons $x$ par 12, rang de l'année de 2024, dans l'équation de la droite. $y=5\times 12+88=148$. Une estimation du chiffre d'affaires en 2024 est de 148 milliers d'euros. \end{enumerate} \item Jonathan estime qu'il faudra embaucher du personnel quand le chiffre d'affaires dépassera les 140 milliers d'euros. En utilisant l'ajustement affine, déterminons en quelle année cette embauche pourra avoir lieu. Résolvons $5x+88>140$ $5x+88>140\ ;\quad 5x>140-88\ ; \quad x>\dfrac{52}{5}\ ;\quad x>\np{10.4}.$ Le plus petit entier supérieur à \np{10.4} est 11 , par conséquent en 2023, année de rang 11, une embauche pourra avoir lieu. \end{enumerate} \medskip Partie B \medskip \begin{enumerate} \item Déterminons le taux d'évolution global, arrondi à 0,01 \,\% du chiffre d'affaires entre 2013 et 2017. Le taux d'évolution $\mathcal{T}$ est défini par $\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. $\mathcal{T}=\dfrac{\np{112}-\np{92}}{92}\approx \np{0.2174}$. En pourcentage, arrondi à 0,01\,\%, le taux d'évolution global est de \np{21.74}\,\%. \item Montrons que le taux d'évolution annuel moyen du chiffre d'affaires entre 2013 et 2017 est de 5,04\,\% arrondi à 0,01 \,\%. En appelant $t_m$ le taux moyen, le coefficient multiplicateur global est aussi $(1+t_m)^4$ puisque le chiffre d'affaires a subi 4 évolutions durant cette période. $(1+t_m)^4=\dfrac{\np{112}}{\np{92}}\approx\np{1.2174}$ par conséquent $t_m=\np{1.2174}^{1/4}-1\approx \np{0.0504}$. Le taux d'évolution moyen annuel du chiffre d'affaires entre 2013 et 2017, arrondi à 0,01\,\%, est égal à \np{5.04}\,\%. \item Léa et Jonathan, en apprenant que la France a obtenu l'organisation des Jeux Olympiques de 2024, estiment que la modélisation effectuée dans la partie A est trop prudente. On suppose à présent que le chiffre d'affaires augmente de 5\,\% par an à partir de 2017. Suivant ce modèle, on note $u_n$ le chiffre d'affaires en milliers d'euros pour l'année $2017 + n$, où $n$ est un entier naturel. Ainsi, $u_0 = 112$. À une augmentation de 5\,\% correspond un coefficient multiplicateur de 1,05. \begin{enumerate} \item $u_1=112\times \np{1.05}=\np{117.6}$. \item Passant d'un terme au suivant en le multipliant par 1,05 la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison \np{1.05} et de premier terme 112. \item Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est : $u_n=u_0\times (q)^n$. Donc ici $u_n=112\times \left(\np{1.05}\right)^n$. \item Déterminons le chiffre d'affaires prévu en 2024. En 2024, $n=7$. Calculons $u_7$. $u_7=112\times (\np{1.05})^7\approx \np{157.6}.$ En 2024, une estimation du chiffre d'affaires est de 157,6 milliers d'euros. %\emph{On arrondira la réponse à $0,1$ millier d'euros.} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.25cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points} \vspace{0.25cm} {\footnotesize Une enquête a été réalisée dans une entreprise sur les habitudes alimentaires des salariés. Dans cette entreprise, on distingue trois types de salariés: des agents de maîtrise, des ouvriers et des cadres. Parmi les résultats obtenus, on peut remarquer que: \begin{itemize} \item 25\,\% des salariés interrogés sont des agents de maîtrise et parmi ceux-ci 80\,\% déjeunent au moins une fois par semaine au restaurant d'entreprise. \item L'entreprise compte 65\,\% d'ouvriers et parmi ceux-ci 88\,\% déjeunent au moins une fois par semaine au restaurant d'entreprise. \item Parmi les cadres, 50\,\% déjeunent au moins une fois par semaine au restaurant d'entreprise. \end{itemize} \medskip Les parties A et B sont indépendantes. } \medskip \textbf{Partie A} {\footnotesize On choisit au hasard un salarié de l'entreprise. On considère les évènements suivants: \medskip \begin{itemize} \item $O$ : \og Le salarié interrogé est un ouvrier \fg. \item $M$ : \og Le salarié interrogé est un agent de maîtrise \fg. \item $C$ : \og Le salarié interrogé est un cadre \fg. \item $R$ : \og Le salarié interrogé déjeune au moins une fois par semaine au restaurant d'entreprise \fg. \end{itemize} } \begin{enumerate} \item En utilisant les données de l'énoncé, nous avons complété l'arbre de probabilité donné en \textbf{annexe~2 à rendre avec la copie.} \item $O \cap R$ est l'événement : \og Le salarié interrogé est un ouvrier et déjeune au moins une fois par semaine au restaurant d'entreprise \fg. $P(O \cap R)=P(O)\times P_{O}(R)=\np{0.65}\times \np{0.88} =\np{0.572}$. \item Justifions que $P(R) = 0,822$. Les événements $O$, $M$ et $C$ forment une partition de l'univers. $P(R)=P(O)\times P_{O}(R)+P(M)\times P_{M}(R)+P(C)\times P_{C}(R)=\np{0.65}\times \np{0.88}+\np{0.25}\times \np{0.8}+\np{0.1}\times \np{0.5}$. $P(R)=\np{0.572}+\np{0.2}+\np{0.05}=\np{0.822}$. Nous obtenons bien le résultat attendu. \item Calculer $P_{R} (O)$. $P_R(O)= \dfrac{P(R\cap O)}{P(R)}= \dfrac{\np{0.572}}{\np{0.822}}=\np{0.696}$. Cette probabilité est celle de choisir au hasard un salarié ouvrier sachant qu'il déjeune au moins une fois par semaine au restaurant d'entreprise. %\emph{On arrondira au millième}. \end{enumerate} \vspace{0.25cm} \textbf{Partie B} \vspace{0.25cm} {\footnotesize Le nombre de salariés qui mangent au restaurant d'entreprise varie chaque jour. Le nombre de salariés déjeunant au restaurant d'entreprise est modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance \textmu = 410 et d'écart-type \textsigma = 10. \emph{On arrondira les résultats au centième.} } \begin{enumerate} \item Calculons $P(390 \leqslant X \leqslant 430)$. À l'aide de la calculatrice nous trouvons, $P(390 \leqslant X \leqslant 430)\approx \np{0.9545}$ soit au centième \np{0.95}. {\footnotesize \emph{Remarque :} 390=\textmu $-2$\textsigma{} et 410 = \textmu $-2$\textsigma. $P(\mu -2 \sigma \leqslant X\leqslant \mu+2\sigma )\approx \np{0.95}$} \item On ne peut pas préparer plus de 430 repas. Déterminons la probabilité qu'il n'y ait pas suffisamment de repas. Celle-ci se note $P(X\geqslant 430)$. $P(X\geqslant 430)=\dfrac{(1-\np{0.9545})}{2}\approx \np{0.023}$. \end{enumerate} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \medskip {\footnotesize \textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).} \emph{Pour chaque question, \textbf{une seule des quatre réponses proposées est correcte}. Indiquer sur la copie le numéro de la question suivie de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'enlève pas de point.} \emph{Les quatre questions sont indépendantes.} La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous est la représentation d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 45]. La droite $T$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 5. } \medskip \textbf{ Ce graphique sera utilisé uniquement pour les questions 1 et 2.} \vspace{1cm} \begin{center} \scalebox{0.8}{ \psset{xunit=0.15cm,yunit=0.0005cm,labelFontSize=\scriptstyle} \begin{pspicture}(-3,-500)(55,15500) \multido{\n=0+5}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](\n,0)(\n,14000)} % \multido{\n=0+1}{51}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-100)(\n,100)} \multido{\n=0+1000}{15}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](0,\n)(50,\n) } %\uput[l](0,\n){\np{\n}}} \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=5,Dy=1000]{->}(0,0)(-2.5,-500)(52,14800) \psplot[linewidth=1.15pt,plotpoints=5000]{0.2}{40}{x 375 mul 875 sub} %\pscurve[linewidth=1.15pt,linecolor=blue,plotpoints=5000](0,0)(5,1000)(10,3500)(20,10000)(23,12000)(26.5,13000)(30,13500)(35,12250)(40,8000)(45,0) \psplot[linewidth=1.15pt,linecolor=blue,plotpoints=2000]{0.2}{40}{x dup mul 45 mul x 3 exp sub} \uput[u](40,9000){\blue $\mathcal{C}$}\uput[u](40,13000){$T$} \end{pspicture}} \end{center} \medskip \begin{enumerate} \item L'image de $10$ par la fonction $f$ est égale à : \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline \textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $0$} &\textbf{b.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $\np{2875}$}&\textbf{c.~~}\psframebox{$\np{3500}$}& \textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$\np{13500}$}.\\\hline \end{tabularx} \item $f' (5)$ est égal à : \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}}\hline \textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$-\np{1000}$} &\textbf{b.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $0$}&\textbf{c.~~}\psframebox{$375$}& \textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$\np{1 000}$}.\\ \hline \end{tabularx} \item La solution de l'équation $3^x = 5$ est: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{X|}} \hline \textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$\frac{5}{3}$}&\textbf{b.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$\log(5) + \log(3)$}&\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$\log \left(\frac{5}{3}\right)$}&\textbf{d.~~}\psframebox{ $\frac{\log 5}{\log 3}$}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$ par: \[B(X) = 0,5x^3 - 36x^2 + 648x + 738.\] La fonction dérivée de $g$ est définie sur l'intervalle $[0; +\infty[$ par: \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{X|}}\hline \textbf{a.~~} \psframebox{$g'(x) = 1,5x^2 - 72x +648$ }&\textbf{b.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$ g'(x) = 3x^2 - 2x + 1$}\\\hline \textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$g'(x) = 1,5x^2 - 72x + \np{1386}$}& \textbf{d.~~}\psframebox{ $g'(x) = 0,5 x^2 - 36x + 648$}.\\\hline \end{tabularx} \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe à rendre avec la copie} \end{center} \textbf{Annexe 1: \textsc{Exercice 1}} \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=0.2cm,labelFontSize=\scriptstyle} \begin{pspicture}(-0.75,-5)(12,65) \multido{\n=0+1}{11}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,60)} \multido{\n=0+5}{13}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray](0,\n)(10,\n)} \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=1,Oy=80,Dy=5,]{->}(0,0)(10.3,64) % \psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.3,dotangle=45](3,362) \psdots[dotstyle=+,dotscale =1.6,dotangle=45](1,12)(2,19)(3,23)(4,27)(5,32) \uput[ul](-1,40){\rotatebox{90}{\footnotesize Chiffre d'affaires (en milliers d'euros)}} \uput[u](9,- 4.57){\footnotesize Rang de l'année} %\uput[ul](3,362){\textcolor{red}{$G$}} \psset{arrowscale=2} \def\Func{x 5 mul 8 add} \psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-< ]{<-}(!0 /x 9 def \Func)(!9 /x 9 def \Func)(9,0) \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{\Func} \end{pspicture} \end{center} \vspace{1cm} \textbf{ Annexe 2 : \textsc{ Exercice 2}} \vspace{1cm} \begin{center} \psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.85,labelsep=0.1pt} \pstree[treemode=R]{\TR{}} {\pstree{\TR{$O$~}\taput{$\np{0.65}$}} { \TR{$R$}\taput{$\np{0.88}$} \TR{$\overline{R}$}\tbput{$\np{0.12}$} } \pstree{\TR{$M$~}\tbput{$\np{0.25}$}} {\TR{$R$}\taput{$\np{0.8}$} \TR{$\overline{R}$}\tbput{$\np{0.2}$} } \pstree{\TR{$C$~}\tbput{$\np{0.1}$}} {\TR{$R$}\taput{$\np{0.5}$} \TR{$\overline{R}$}\tbput{$\np{0.5}$} } } \end{center} \end{document}