\documentclass[10pt,a4paper,answers,fancyhdr]{exam} % remplacer answers par noanswers pour ne pas afficher les solutions %\documentclass[a4paper ,11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{array} \usepackage{textcomp} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-node,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} %Corrigé : Alain Detant \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} %** surlignage en jaune *** \newcommand{\sur}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math,pst-eucl} \usepackage{lastpage} \usepackage{titlesec} \usepackage{enumitem} \newcommand{\surj}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}} \newcommand{\surr}[1]{\fcolorbox{red}{red}{#1}} \newcommand{\surv}[1]{\fcolorbox{green}{green}{#1}} \usepackage{tabularx} \usepackage{fp} \usepackage{multido} \newcommand{\binomiale}[2]{\hookrightarrow \mathcal{B}\left(#1~;~#2 \right) } \newcommand{\expo}[1]{\hookrightarrow \mathcal{E}\left(#1 \right) } \newcommand{\normale}[2]{\hookrightarrow \mathcal{N}\left(#1~;~#2^2 \right) } \newcommand{\para}{$\slash{}\slash{}$} \newcommand{\Lim}[3]{$\displaystyle \lim_{#1 \to #2} #3~$} \newcommand{\Limg}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~<~#2}} #3~$} \newcommand{\Limd}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~>~#2}} #3~$} \newcounter{numexos}%Création d'un compteur qui s'appelle numexos \setcounter{numexos}{0}%initialisation du compteur \newcommand{\exercice}[2]{%Création d'une macro ayant un paramètre \vspace{0.5cm} \addtocounter{numexos}{1}%chaque fois que cette macro est appelée, elle ajoute 1 au compteur numexos {{\LARGE \underline{\textbf{Exercice\,\thenumexos}}\,:}}\,{\large #1}\,\hfill {\LARGE #2}%Met en rouge Exercice et la valeur du compteur appelée par \thenumeexos \vspace{0.5cm} } \newcommand{\pg}{\geqslant}% plus grand ou égal \newcommand{\pp}{\leqslant}% plus petit ou égal \newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}% équivalent \renewcommand{\d}{\,\text{d}} % le d de différentiation \newcommand{\e}{\,\text{e}}% le e de l'exponentielle \renewcommand{\i}{\text{\,i}}% le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle}% displaystyle \newcommand{\cg}{\texttt{]}}% crochet gauche \newcommand{\cd}{\texttt{[}}% crochet droit %\newcommand{\entetecor}[4]{% %\rhead{#3} %\chead{\shadowbox{Corrigé du baccalauréat S #1 #2}} %\lfoot{Corrigé de #1 du #2} %\rfoot{A. Detant} \setcounter{page}{1} %\cfoot{page \thepage ~sur~ \pageref{LastPage}} % \rfoot{#3} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small{Corrigé du baccalauréat S}} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small{1\up{er} juin 2016}} \newcommand{\equi}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \usepackage[frenchb]{babel} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} %\SetWatermarkText{Lycée Henri IV} %\SetWatermarkScale{0.6} \begin{center} {\Large \textbf{Corrigé du baccalauréat S Amérique du Nord 1\up{er} juin 2016}} \end{center} \titlespacing*{\subsubsection} {0pt}%␣retrait␣à␣gauche {0ex plus 0ex minus 0ex}%␣espace␣avant {0ex plus 0ex}%␣espace␣après [0pt]%␣retrait␣à␣droite \subsection*{\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points}} \textbf{Commun a tous les candidats} \medskip Une entreprise fabrique des billes en bois sphériques grâce à deux machines de production A et B. L'entreprise considère qu'une bille peut être vendue uniquement lorsque son diamètre est compris entre 0,9 cm et 1,1 cm. \smallskip \emph{Les parties {\rm A, B} et {\rm C} sont indépendantes.} \smallskip \textbf{Partie A} \medskip Une étude du fonctionnement des machines a permis d'établir les résultats suivants : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]96\,\% de la production journalière est vendable. \item[$\bullet~~$]La machine A fournit 60\,\% de la production journalière. \item[$\bullet~~$]La proportion de billes vendables parmi la production de la machine A est 98\,\%. \end{itemize} \smallskip On choisit une bille au hasard dans la production d'un jour donné. On définit les évènements suivants : $A$ : \og la bille a été fabriquée par la machine A \fg{} ; $B$ : \og la bille a été fabriquée par la machine B \fg{} ; $V$ : \og la bille est vendable \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité que la bille choisie soit vendable et provienne de la machine A. \begin{solution} On peut construire un arbre pour illustrer la situation: \begin{minipage}{5.2cm} D'après l'énoncé on a $P(V)=0,96$ $P(A)=0,6\hspace{0.5cm}\text{et}\hspace{0.5cm} P_{_A}\left(V\right) =0,98$ Puis on complète une partie de l'arbre les données en bleu sont acquises après la question 2 \end{minipage}\hspace{1cm} \begin{minipage}{4cm} \begin{center} \psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=10mm} \pstree[treemode=R]{\Tdot} { \pstree {\Tdot~[tnpos=a]{$A$}\taput{\green \small $0,6$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$V$}\taput{\green \small $0,98$} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{V}$}\tbput{\red \small $0,02$} } \pstree {\Tdot~[tnpos=a]{$B$}\tbput{\red \small $0,4$}} { \Tdot~[tnpos=r]{$V$ {\blue ----->0,372}}\taput{\blue \small 0,93} \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{V}$}\tbput{\blue \small 0,07} } } \end{center} \end{minipage} On cherche $P\left(A \cap V \right) $ \surj{$P\left(A \cap V \right)=P(A)\times P_{_A}\left(V\right)=0,588$} \end{solution} \item Justifier que $P(B \cap V) = 0,372$ et en déduire la probabilité que la bille choisie soit vendable sachant qu'elle provient de la machine B. \begin{solution} $A$ et $B$ forment une partition de l'univers donc d'après les probabilités totales donc on a $P(V)=P \left( A \cap V\right)+P \left( B \cap V\right)=0,96$ On en déduit que \surj{$P \left( B \cap V\right)$}$=0,96-P \left( A \cap V\right)$\surj{$=0,372$}. Puis $P_B(V) = \dfrac{P(B \cap V)}{P(B)} = \dfrac{0,372}{0,4} =$ \surj{$0,93$}. La probabilité que la bille choisie soit vendable sachant qu'elle provient de la machine B est égale à $0,93$. \end{solution} \item Un technicien affirme que 70\,\% des billes non vendables proviennent de la machine B. A-t-il raison ? \begin{solution} On cherche $P_{_{\overline{V}}}(B)$ $P_{_{\overline{V}}}(B)=\dfrac{P\left(B \cap \overline{V} \right) }{P\left(\overline{V} \right) }=\dfrac{0,028}{1-0,96}=0,7$. Donc \surj{le technicien a raison} \end{solution} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans cette partie, on s'intéresse au diamètre, exprimé en cm, des billes produites par les machines A et B. \medskip \begin{enumerate} \item Une étude statistique conduit à modéliser le diamètre d'une bille prélevée au hasard dans la production de la machine B par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 1$ et d'écart-type $\sigma = 0,055$. Vérifier que la probabilité qu'une bille produite par la machine B soit vendable est bien celle trouvée dans la partie A, au centième près. \begin{solution} On cherche \surj{$P(0,9 \leqslant X \leqslant 1,1)\approx 0,93$. Cette valeur correspond bien à} \surj{ $P_{_B}\left(V\right)$} \end{solution} \item De la même façon, le diamètre d'une bille prélevée au hasard dans la production de la machine A est modélisé à l'aide d'une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 1$ et d'écart-type $\sigma',\: \sigma'$ étant un réel strictement positif. Sachant que $P(0,9 \leqslant Y \leqslant 1,1) = 0,98$, déterminer une valeur approchée au millième de $\sigma'$. \begin{solution} $Y \normale{1}{\sigma'} \Longrightarrow \dfrac{Y-1}{\sigma'} \normale{0}{1}$ Soit $Z=\dfrac{Y-1}{\sigma'}$ alors $0,9 \leqslant Y \leqslant 1,1 \Longleftrightarrow -\dfrac{0,1}{\sigma'} \leqslant Z \leqslant \dfrac{0,1}{\sigma'}$ $P(0,9 \leqslant Y \leqslant 1,1) = 0,98 \equi P\left(-\dfrac{0,1}{\sigma'} \leqslant Z \leqslant \dfrac{0,1}{\sigma'} \right)=0,98 \equi P\left( Z \leqslant \dfrac{0,1}{\sigma'} \right)=0,99$ d'après la calculatrice on trouve $\dfrac{0,1}{\sigma'}\approx 2,326$ . On en déduit que \surj{$\sigma'\approx 0,043$} \end{solution} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip \begin{minipage}{0.9\linewidth} Les billes vendables passent ensuite dans une machine qui les teinte de manière aléatoire et équiprobable en blanc, noir, bleu, jaune ou rouge. Après avoir été mélangées, les billes sont conditionnées en sachets. La quantité produite est suffisamment importante pour que le remplissage d'un sachet puisse être assimilé à un tirage successif avec remise de billes dans la production journalière. Une étude de consommation montre que les enfants sont particulièrement attirés par les billes de couleur noire. \end{minipage} \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question seulement, les sachets sont tous composés de 40 billes. \begin{enumerate} \item On choisit au hasard un sachet de billes. Déterminer la probabilité que le sachet choisi contienne exactement 10 billes noires. On arrondira le résultat à $10^{-3}$. \begin{solution} La probabilité qu'une bille tirée au hasard dans la production journalière est $p=\dfrac{1}{5}=0,2$ car les 5 couleurs sont équiprobables. On répète 40 fois de manières indépendantes une expérience n'ayant que deux issues: bille noire ou non dont la probabilité du succès est $p=0,2$. Soit $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de billes noires dans le sac alors $X \binomiale{40}{0,2}$ On cherche \surj{$P(X=10)=\begin{pmatrix} 40\\10 \end{pmatrix}\times 0,2^{10}\times 0,8^{30}\approx 0,107$} \end{solution} \newpage \item Dans un sachet de $40$ billes, on a compté $12$ billes noires. Ce constat permet-il de remettre en cause le réglage de la machine qui teinte les billes ? \begin{solution} On cherche si la fréquence observée appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\% On se trouve bien dans les conditions d'application puisque $n=40\geqslant30$ $np=8\geqslant 5 ~~\text{et}~~n(1-p)=32\geqslant5$ L'intervalle de fluctuation asymptotique seuil de 95\% est $I=\left[ p-1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~p+1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]=$ $\left[ 0,2-1,96 \dfrac{\sqrt{0,16}}{\sqrt{40}}~;~0,2+1,96 \dfrac{\sqrt{0,16}}{\sqrt{100}} \right]\approx [0,076~;~0,324]$ La fréquence observée de lancers à droite est $f=\dfrac{12}{40}=0,3 \in I$, \surj{il n'y a donc pas de raison de douter du réglage de la machine qui teinte} \surj{les billes}. \end{solution} \end{enumerate} \item Si l'entreprise souhaite que la probabilité d'obtenir au moins une bille noire dans un sachet soit supérieure ou égale à 99\,\%, quel nombre minimal de billes chaque sachet doit-il contenir pour atteindre cet objectif ? \begin{solution} Pour un sac contenant $n$ billes, la probabilité qu'au moins une soit noire est $P(X\geqslant 1)=1-P(X=0)=1-\begin{pmatrix} n\\0 \end{pmatrix}\times 0,2^{0}\times 0,8^{n}=1-0,8^n$ On doit donc résoudre $1-0,8^n\geqslant 0,99 \equi 0,8^n\leqslant 0,01 \leqslant n\ln(0,8)\leqslant\ln(0,01) \equi n \geqslant \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,8)}$ or $\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,8)}\approx 20,6$ \surj{L'entreprise doit donc mettre au minimum 21 billes dans chaque sac pour } \surj{atteindre l'objectif}. \end{solution} \end{enumerate} \newpage \subsection*{\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 6 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \parbox{0.45\linewidth}{Un particulier veut faire fabriquer un récupérateur d'eau. Ce récupérateur d'eau est une cuve qui doit respecter le cahier des charges suivant : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]elle doit être située à deux mètres de sa maison; \item[$\bullet~~$]la profondeur maximale doit être de deux mètres; \item[$\bullet~~$]elle doit mesurer cinq mètres de long; \item[$\bullet~~$]elle doit épouser la pente naturelle du terrain. \end{itemize} Cette cuve est schématisée ci-contre.}\hfill \parbox{0.5\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-1.5,-0.5)(7,5) %\psgrid \psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add} %\psplot[plotpoints=4000]{3}{5.437}{x 2 add 5.437 sub} \pspolygon(2,0)(2,1.8)(-1.3,2.5)(-1.3,0.7) \rput(-3.3,0.7){\psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add}} \psline(2.1,2.7)(5.4,2) \psline(-1.3,2.5)(2.1,2.7) \psline(2,1.8)(5.4,2) \psline[linewidth=0.5pt](2,1.8)(2,3)\psline[linewidth=0.5pt](-1.3,2.5)(-1.3,3.7) \psset{arrowsize=2pt 3} \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2,3)(-1.3,3.7) \psline[linewidth=0.5pt](2,1.8)(1.2,1.75)\psline[linewidth=0.5pt](2,0)(1.2,-0.05) \psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.2,1.75)(1.2,-0.05) \uput[l](1.2,0.85){2 m}\uput[u](1.35,3.35){5 m} \end{pspicture} } La partie incurvée est modélisée par la courbe $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[2~;~2 \text{e}]$ définie par: \[f(x) = x\ln \left( \dfrac{x}{2}\right) - x + 2.\] La courbe $\mathcal{C}_f$ est représentée ci-dessous dans un repère orthonormé \textbf{d'unité 1~m} et constitue une vue de profil de la cuve. On considère les points A(2~;~2), I(2~;~0) et B(2e~;~2). \begin{center} \psset{unit=2cm} \begin{pspicture}(-0.2,-0.25)(6,2.5) \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-0.2,-0.25)(6,2.5) \rput(1,1){Terrain}\rput(3.2,1.2){Cuve}\rput(4.7,0.5){Terrain} \uput[u](2.8,0.2){$\mathcal{C}_f$} \psframe(2,2)\psdots(2,2)(5.437,2) \psplot[plotpoints=4000]{2}{5.437}{x 2 div ln x mul x sub 2 add} \psplot[plotpoints=4000]{3}{5.8}{x 2 add 5.437 sub} \uput[u](2,2){A}\uput[u](5.437,2){B}\uput[ul](5.75,2.2){$\mathcal{T}$} \uput[dl](2,0){I}\uput[dr](3.437,0){D} \end{pspicture} \end{center} \medskip \textbf{Partie A} \medskip L'objectif de cette partie est d'évaluer le volume de la cuve. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que les points B et I appartiennent à la courbe $\mathcal{C}_f$ et que l'axe des abscisses est tangent à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point I. \begin{solution} $f\left(x_B \right)= f(2\text{e})=2\text{e}\times \ln\left( \dfrac{2\text{e}}{2}\right)-2\text{e}+2=2\text{e}-2\text{e}+2=2=y_B$ donc \surj{$B \in \mathcal{C}_f$} $f\left(x_I \right)= f(2)=2\times \ln\left( \dfrac{2}{2}\right)-2+2=0=y_I$ donc \surj{$I \in \mathcal{C}_f$} $f$ est dérivable sur $[2~;~2 \text{e}]$ comme produit et somme de fonctions dérivables sur $[2~;~2 \text{e}]$ $f=uv-u+2 \Longrightarrow f'=u'v+uv'-u'$ avec $\begin{cases} u(x)=x\\v(x)=\ln \left( \dfrac{x}{2}\right) \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} u'(x)=1\\v'(x)=\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{x}{2}}=\dfrac{1}{x} \end{cases}$ $\forall x \in [2~;~2 \text{e}]~,~f'(x)=\ln \left( \dfrac{x}{2}\right)$ et on a $f'(2)=0$ donc la tangente à $\mathcal{C}_f$ est horizontale en $I$ \surj{L'axe des abscisses est tangent à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point $I$.} \end{solution} \item On note $\mathcal{T}$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point B, et D le point d'intersection de la droite $\mathcal{T}$ avec l'axe des abscisses. \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de la droite $\mathcal{T}$ et en déduire les coordonnées de D. \begin{solution} $\mathcal{T}~:~y=f'(2\text{e})(x-2\text{e})+f(2\text{e})$ or $f'(2\text{e})=1~~\text{et}~~f(2\text{e})=2$ On a donc \surj{$\mathcal{T}~:~y=x+2-2\text{e}$} et on en déduit \surj{$D(2\text{e}-2~;~0)$} \end{solution} \item On appelle $S$ l'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, les droites d'équations $y = 2, x = 2$ et $x = 2\text{e}$. $S$ peut être encadrée par l'aire du triangle $ABI$ et celle du trapèze $AIDB$. Quel encadrement du volume de la cuve peut-on en déduire ? \begin{solution} $\mathcal{A}_{ABI}=\dfrac{1}{2}\times AB \times AI=(2\text{e}-2) m^2$ $\mathcal{A}_{AIDB}=\dfrac{(AB+ID)\times AI}{2}=(4\text{e}-6) m^2$ La longueur de la cuve étant de 5 $m$, on en déduit \surj{$10\text{e}-10 \leqslant V \leqslant 20\text{e}-30$} Autrement dit \surj{le volume de la cuve est compris entre 17,183 $m^3$ et 24,366 $m^3$} \end{solution} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, sur l'intervalle [2~;~2e], la fonction $G$ définie par \[G(x) = \dfrac{x^2}{2}\ln \left( \dfrac{x}{2}\right) - \dfrac{x^2}{4}\] est une primitive de la fonction $g$ définie par $g(x) = x\ln \left( \dfrac{x}{2}\right)$. \begin{solution} $G$ est dérivable sur $[2~;~2 \text{e}]$ comme produit et somme de fonctions dérivables sur $[2~;~2 \text{e}]$ $G=uv-\dfrac{1}{2}u \Longrightarrow f'=u'v+uv'-\dfrac{1}{2}u'$ avec $\begin{cases} u(x)=\dfrac{x^2}{2}\\v(x)=\ln \left( \dfrac{x}{2}\right) \end{cases} \Longrightarrow$ $ \begin{cases} u'(x)=x\\v'(x)=\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{x}{2}}=\dfrac{1}{x} \end{cases}$ $\forall x \in [2~;~2 \text{e}]~,~G'(x)= x\ln \left( \dfrac{x}{2}\right)+\dfrac{x^2}{2}\times\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2}x=x\ln \left( \dfrac{x}{2}\right) = g(x)$. Donc \surj{$G$ est bien une primitive de la fonction $g$ sur $[2~;~2 \text{e}]$} \end{solution} \item En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [2~;~2e]. \begin{solution} $f(x)=g(x)-x+2$ donc \surj{$F(x)$}$=G(x)-\dfrac{x^2}{2}+2x$\surj{$=\dfrac{x^2}{2}\ln \left( \dfrac{x}{2}\right) - \dfrac{3x^2}{4}+2x$ est primitive de $f$ sur} \surj{ $[2~;~2\text{e}]$} \end{solution} \item Déterminer la valeur exacte de l'aire $S$ et en déduire une valeur approchée du volume $V$ de la cuve au m$^3$ près. \begin{solution} \surj{$S=\displaystyle \int_{2}^{2\text{e}} (2-f(x))~dx$}$=\left[\vphantom{\sqrt{\frac{numérateur}{dénominateur}}}2x-F(x) \right]_{2}^{2\text{e}}=\left(4\text{(e)} F(2\text{e})\right) -\left(4- F(2)\right) =(\text{e}^2)-(3)$\surj{$=\text{e}^2-3 $} \surj{$V=5S\approx 22 \:\text{m}^3$} \end{solution} \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \parbox{0.5\linewidth}{Pour tout réel $x$ compris entre 2 et 2e, on note $v(x)$ le volume d'eau, exprimé en m$^3$, se trouvant dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est égale à $f(x)$. On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [2~;~2e], \[v(x) = 5\left[\dfrac{x^2}{2}\ln \left( \dfrac{x}{2}\right) - 2x\ln\left( \dfrac{x}{2}\right) - \dfrac{x^2}{4} + 2x - 3\right].\]}\hfill \parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(6,3.5) %\psgrid \psline(0,-0.5)(0,3.5) \pscurve(2,0.1)(3,0.316)(4,0.87)(4.15,1.)(5,1.68)(5.437,2.1) \multido{\n=0+1}{4}{\psline(-0.1,\n)(0.1,\n)} \rput{3}(0,0){\psline(-0.5,0)(6,0) \multido{\n=0+1}{6}{\psline(\n,0.1)(\n,-0.1)\uput[d](\n,0){\n}}} \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2,0.1)(2,1.2)(0.35,2.05)(0.35,0.9) %\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](2,1.5)(0.35,2.3)(3.1,2.3)(4.15,1.7) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gray]{ \pscurve(2,0.1)(3,0.316)(4,0.87)(4.15,1.)(4.75,1.45) \psline(4.15,1.45)(2,1.2) } \psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](4.75,0.22)(4.75,1.45)(0,1.12) \uput[d](4.75,0.2){$x$}\uput[l](0,1.12){$f(x)$} \multido{\n=0+1}{4}{\uput[l](0,\n){\n}} %\psline[linecolor=green](4.15,1)(2.5,1.85) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](3.1,2.3)(4.75,1.45)(2,1.2)(0.35,2.05) \pspolygon(5.437,2.1)(2,1.85)(0.35,2.7)(3.787,2.95) \psline(2,1.85)(2,1.2) \psline(0.35,2.7)(0.35,2.05) \pscurve(0.35,0.9)(1.35,1.16)(2.35,1.72)(3.35,2.5)(3.787,2.95) \end{pspicture}} \begin{enumerate} \item Quel volume d'eau, au m$^3$ près, y a-t-il dans la cuve lorsque la hauteur d'eau dans la cuve est de un mètre ? \begin{solution} on cherche $x_0$ tel que $f\left( x_0\right) =1$ On sait qu'il existe un unique $x_0$ vérifiant cette équation car $f$ est continue et strictement croissante sur $[2~;~2\text{e}]$ à valeurs dans $[0~;~1]$ donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, $x_0$ existe et est unique. Par balayage on a $x_0\approx 4,311$ \surj{$v(4,311)\approx 7 m^3$} \end{solution} \item On rappelle que $V$ est le volume total de la cuve, $f$ est la fonction définie en début d'exercice et $v$ la fonction définie dans la partie B. \medskip \parbox{0.3\linewidth}{On considère l'algorithme ci-contre. Interpréter le résultat que cet algorithme permet d'afficher.} \hfill \parbox{0.65\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|lX|}\hline Variables : &$a$ est un réel\\ &$b$ est un réel\\ Traitement :& $a$ prend la valeur 2\\ &$b$ prend la valeur 2 e\\ &Tant que $v(b) - v(a) > 10^{-3}$ faire :\\ &\hspace{0.4cm}\begin{tabular}{|l} $c$ prend la valeur $(a+b)/2$\\ Si $v(c) < V/2$, alors :\\ \hspace{0.4cm}\begin{tabular}{|l} $a$ prend la valeur c\\ \end{tabular}\\ Sinon\\ \hspace{0.4cm} \begin{tabular}{|l} $b$ prend la valeur $c$\\ \end{tabular}\\ Fin Si\\ \end{tabular}\\ &Fin Tant que\\ Sortie : &Afficher $f(c)$\\ \hline \end{tabularx}} \end{enumerate} \begin{solution} L'algorithme permet d'afficher la hauteur d'eau dans la cuve correspondant à 10$^{-3} m^3$ près à un remplissage à moitié de la capacité totale. \end{solution} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 3 points}} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{minipage}{0.9\linewidth} Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \Ouv. On considère le point A d'affixe 4, le point B d'affixe 4i et les points C et D tels que ABCD est un carré de centre O. Pour tout entier naturel non nul $n$, on appelle $M_n$ le point d'affixe $z_n = (1 + \text{i})^n$. \end{minipage} \medskip \begin{enumerate} \item Écrire le nombre $1 + \text{i}$ sous forme exponentielle. \begin{solution} \surj{$1 + \text{i}$}$=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)$\surj{$=\sqrt{2}\text{e}^{^{\text{i}\frac{\pi}{4}}} $} \end{solution} \newpage \item Montrer qu'il existe un entier naturel $n_0$, que l'on précisera, tel que, pour tout entier $n \geqslant n_0$, le point $M_n$ est à l'extérieur du carré ABCD. \begin{solution} \begin{minipage}{6cm} La distance maximale entre O et un point quelconque d'un côté du carré est 4. Un point $M_n$ sort du carré si $OM_n > 4$ \vspace{0.5cm} or $OM_n=\left|z_n \right|=\left( \sqrt{2}\right) ^n$ \vspace{0.5cm} $OM_n > 4 \equi \left( \sqrt{2}\right) ^n>4$ $\hphantom{OM_n>4} \equi \left( \sqrt{2}\right) ^n>\left( \sqrt{2}\right) ^4 $ $\hphantom{OM_n>4}\equi n>4$ \vspace{0.5cm} Donc pour $n_0=5$, pour tout entier $n \geqslant n_0$, le point $M_n$ est à l'extérieur du carré ABCD \vspace{5cm} \end{minipage}\hspace{1cm} \begin{minipage}{10cm} \newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.} \psset{xunit=0.6cm,yunit=0.6cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-4.36,-8.64)(5,5) \pspolygon[linecolor=zzttqq,fillcolor=zzttqq,fillstyle=solid,opacity=0.1](4.,0.)(0.,4.)(-4.,0.)(0.,-4.) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,labels=none,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-10.36,-10.64)(23.72,8.04) \psline[linecolor=zzttqq](4.,0.)(0.,4.) \psline[linecolor=zzttqq](0.,4.)(-4.,0.) \psline[linecolor=zzttqq](-4.,0.)(0.,-4.) \psline[linecolor=zzttqq](0.,-4.)(4.,0.) \psline{->}(0.,0.)(1.,0.) \psline{->}(0.,0.)(0.,1.) \begin{scriptsize} \psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0.,0.) \rput[bl](-0.26,-0.36){$O$} \psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](4.,0.) \rput[bl](4.08,0.08){$A$} \psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0.,4.) \rput[bl](0.08,4.08){$B$} \psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](-4.,0.) \rput[bl](-4.2,-0.32){$C$} \psdots[dotsize=2pt 0,dotstyle=*](0.,-4.) \rput[bl](0.38,-4.12){$D$} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.,1.) \rput[bl](1.08,1.2){\blue{$M_1$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,2.) \rput[bl](0.08,2.2){\blue{$M2$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-1.999697977195556,1.9996979771955565) \rput[bl](-2.34,2.2){\blue{$M3$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-4.,0.) \rput[bl](-4.36,0.28){\blue{$M4$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](-3.9364634508655096,-3.9364634508655105) \rput[bl](-3.86,-3.74){\blue{$M5$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](0.,-8.) \rput[bl](0.08,-7.8){\blue{$M6$}} \rput[bl](0.48,0.08){$u$} \rput[bl](-0.16,0.34){$v$} \end{scriptsize} \end{pspicture*} \end{minipage} \end{solution} \end{enumerate} \newpage \subsection*{\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}} \setlength\parindent{0mm} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On considère la pyramide régulière SABCD de sommet S constituée de la base carrée ABCD et de triangles équilatéraux représentée ci-dessous. %\begin{center} %\psset{unit=0.8cm} %\begin{pspicture}(15,9) %\psgrid %\pspolygon(4.5,0)(12.8,0.8)(9.4,2.2)(0.9,1.4)(12.8,0.8)(9.4,2.2)%ABCDBCA %\psline{->}(6.95,0)(6.95,8.8)%verticaleOS %\psline(6.95,7.4)(0.9,1.4)(4.5,0)(6.95,7.4)(12.8,0.8)(9.4,2.2)(6.95,7.4)%SDASBCS %\psdots(4.5,0)(12.8,0.8)(9.4,2.2)(0.9,1.4)(6.95,7.4)(6.95,1.1)(6.95,4.25)(4.95,5.4)(6.15,5.03) %\psline{->}(12.8,0.8)(14.7,0.6) %\psline{->}(9.4,2.2)(10.2,2.6) %\uput[ur](6.95,7.4){S} \uput[dr](4.5,0){A} \uput[ur](12.8,0.8){B} %\uput[ur](9.3,2.2){C} \uput[ul](0.9,1.4){D} \uput[ur](6.9,1.1){O} %\uput[r](6.95,4.25){I} %\end{pspicture} %\end{center} \begin{center} \psset{unit=0.6cm} \def\xmin{-0.5} \def\xmax{15} \def\ymin{-0.5} \def\ymax{9} \begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \pstGeonode[PosAngle={-135,-45,45,180},CurveType=polygon,PointSymbol=none] (4.5,0){A}(12.8,0.8){B}(6.8,7.4){S}(0.8,1.4){D} \pstGeonode[PosAngle=0,PointSymbol=none](9.4,2.2){C} \pspolygon[linecolor=red,fillcolor=red,fillstyle=solid,opacity=0.45] (B)(C)(K)(L) \pspolygon[linecolor=blue,fillcolor=blue,fillstyle=solid,opacity=0.45] (S)(A)(D) \psline(S)(A) \psline[linestyle=dashed](D)(C)(B) \psline[linestyle=dashed](S)(C) \psline[linestyle=dashed](A)(C) \psline[linestyle=dashed](B)(D) \pstInterLL[PosAngle=-45]{D}{B}{A}{C}{O} \pstMiddleAB[PosAngle=-30]{S}{O}{I} \pstInterLL[PosAngle=180]{I}{B}{S}{D}{K} \pstInterLL[PosAngle=0]{C}{I}{A}{S}{L} \pstLineAB[nodesep=-2,linewidth=0.2pt]{->}{O}{S} \pstLineAB[nodesep=-2,linewidth=0.2pt]{->}{A}{C} \pstLineAB[nodesep=-2,linewidth=0.2pt]{->}{D}{B} \end{pspicture} \end{center} Le point O est le centre de la base ABCD avec OB $= 1$. On rappelle que le segment [SO] est la hauteur de la pyramide et que toutes les arêtes ont la même longueur. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que le repère $\left(\text{O}~;~ \vect{\text{OB}},~\vect{\text{OC}},~\vect{\text{OS}}\right)$ est orthonormé. \begin{solution} On sait que les diagonales d'un carré sont perpendiculaires et de même longueur, on en déduit que $\vect{OB}$ et $\vect{OC}$ sont orthogonaux et de même norme 1. (SO) est la hauteur de la pyramide, elle est donc perpendiculaire à la bas ABCD, on en déduit que $\vect{\text{OS}}$ est orthogonal à $\vect{\text{OB}}$ et à $\vect{\text{OC}}$ ; de plus on sait que SOC est rectangle en O avec OC = OB = 1 et $\text{SC} =\sqrt{2}$ donc $\text{SO} = 1$. Finalement \surj{$\left(\text{O}~;~ \vect{\text{OB}},~\vect{\text{OC}},~\vect{\text{OS}}\right)$ est orthonormé} \end{solution} Dans la suite de l'exercice, on se place dans le repère $\left(\text{O}~;~ \vect{\text{OB}},~\vect{\text{OC}},~\vect{\text{OS}}\right)$. \item On définit le point K par la relation $\vect{\text{SK}} = \dfrac{1}{3} \vect{\text{SD}}$ et on note I le milieu du segment [SO]. \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du point K. \begin{solution} Dans $\left(\text{O}~;~ \vect{\text{OB}},~\vect{\text{OC}},~\vect{\text{OS}}\right)$ on a $S(0~;~0~;~1)~~,~~D(-1~;~0~;~0)$ donc $\vect{SD}\begin{pmatrix} -1\\0\\-1 \end{pmatrix}$ et $\vect{SK}\begin{pmatrix} -\dfrac{1}{3}\\\vphantom{\dfrac{numérateur}{dénominateur}}0\\-\dfrac{1}{3} \end{pmatrix}$. On en déduit \surj{$K\left(-\dfrac{1}{3}~;~0~;~\dfrac{2}{3} \right)$} \end{solution} \newpage \item En déduire que les points B, I et K sont alignés. \begin{solution} $I\left(0~;~0~;~\dfrac{1}{2} \right)~~\text{et}~~B(1~;~0~;~0)$ donc $\vect{BI}\begin{pmatrix} -1\\0\\\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$ et $\vect{BK}\begin{pmatrix} -\dfrac{4}{3}\\\vphantom{\dfrac{numérateur}{dénominateur}}0\\\dfrac{2}{3} \end{pmatrix}$. On remarque que $\vect{BK}=\dfrac{4}{3}\vect{BI}$ On peut donc conclure que \surj{$B, I$ et $K$ sont alignés} \end{solution} \item On note L le point d'intersection de l'arête [SA] avec le plan (BCI). Justifier que les droites (AD) et (KL) sont parallèles. \begin{solution} $(BCI)$ coupe $(ABC)$ suivant la droite $(BC)$ $(SAD)$ coupe $(ABC)$ suivant la droite $(AD)$ or $(AD) \para (BC)$ donc d'après le théorème du toit, $(BCI)$ et $(SAD)$ se coupent suivant une parallèle à $(AD)$ et comme on sait déjà que $K$ appartient à cette intersection, on en déduit que la parallèle à $(AD)$ passant par $K$ appartient à $(BCI)$ et coupe $[SA]$ On a bien \surj{$(AD) \para (KL)$} \end{solution} \item Déterminer les coordonnées du point L. \begin{solution} $(KL) \para (AD)$ donc $K$ et $L$ ont la même cote $L\in (SOC)$ donc son abscisse est nulle $L\left(0~;~y_L~;~\dfrac{2}{3} \right)$ Dans $SAD$, on a $K\in[SD]~~,~~L\in [SA]~~\text{et}~~(KL) \para (AD)$ donc d'après le théorème de Thalès on a $\dfrac{SL}{SA}=\dfrac{SK}{SD} \equi SL=SK$ car $SA=SD$ $SK^2=\dfrac{2}{9}$ voir 2.a. or $SL^2=y_L^2+\dfrac{1}{9} \imp y_L^2=\dfrac{1}{9}$ or $y_L<0$ Finalement \surj{$L\left(0~;~-\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{2}{3} \right)$} \end{solution} \end{enumerate} \item On considère le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$ dans le repère $\left(\text{O}~;~ \vect{\text{OB}},~\vect{\text{OC}},~\vect{\text{OS}}\right)$. \begin{enumerate} \item Montrer que $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan (BCI). \begin{solution} $\vect{BC}\begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix}$ et $\vect{n} \cdot \vect{BC}=0$ $\vect{BI}\begin{pmatrix} -1\\0\\\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$ et $\vect{n} \cdot \vect{BI}=0$ Donc \surj{$\vect{n}$ est normal au plan $(BCI)$} car il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. \end{solution} \item Montrer que les vecteurs $\vect{n},\: \vect{\text{AS}}$ et $\vect{\text{DS}}$ sont coplanaires. \begin{solution} $\vect{\text{AS}}\begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}$ et $\vect{\text{DS}}\begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}$ on remarque que $\vect{n}=\vect{\text{AS}}+\vect{\text{DS}}$ donc \surj{$\vect{n},\: \vect{\text{AS}}$ et $\vect{\text{DS}}$ sont coplanaires} \end{solution} \item Quelle est la position relative des plans (BCI) et (SAD) ? \begin{solution} $\vect{n}$ est normal au plan $(BCI)$ et $\vect{n}$ est coplanaire avec deux vecteurs non colinéaires du plan $(SAD)$ On en déduit que \surj{$(BCI) \perp (SAD)$} \end{solution} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \subsection*{\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On dispose de deux urnes U et V contenant chacune deux boules. Au départ, l'urne U contient deux boules blanches et l'urne V contient deux boules noires. On effectue des tirages successifs dans ces urnes de la façon suivante : chaque tirage consiste à prendre au hasard, de manière simultanée, une boule dans chaque urne et à la mettre dans l'autre urne. Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $X_n$ la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches que contient l'urne U à la fin du $n$-ième tirage. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Traduire par une phrase la probabilité $P_{(X_n=1)} \left(X_{n+1} = 1\right)$ puis déterminer les probabilités conditionnelles suivantes : \[P_{(X_n=0)} \left(X_{n+1} = 1\right) , P_{(X_n=1)} \left(X_{n+1} = 1\right)\:\: \text{et}\:\: P_{(X_n=2)} \left(X_{n+1} = 1\right).\] \begin{solution} $P_{(X_n=1)} \left(X_{n+1} = 1\right)$ est la probabilité qu'il y ait exactement une blanche dans l'urne U après le $(n+1)-$ième tirage sachant qu'il y en avait exactement une au $n-$ième tirage \surj{$P_{(X_n=1)} \left(X_{n+1} = 1\right)=\dfrac{1}{2}$} car il s'agit de choisir une blanche dans chaque urne avec une probabilité $\dfrac{1}{4}$ ou de choisir une boule noire dans chaque urne avec une probabilité de $\dfrac{1}{4}$ pour que la situation reste inchangée. \surj{$P_{(X_n=0)} \left(X_{n+1} = 1\right)=1$} car cela signifie que U ne contient que des boules noires et que l'on cherche la probabilité que l'urne V nous redonne une blanche (probabilité =1 car V ne contient que des blanches) \surj{$P_{(X_n=2)} \left(X_{n+1} = 1\right)=1$} car cela signifie que U ne contient que des boules blanches et que l'on cherche la probabilité que l'urne V nous redonne une noire (probabilité =1 car V ne contient que des noires) \end{solution} \item Exprimer $P\left(X_{n+1} = 1\right)$ en fonction de $P\left(X_n = 0\right),\: P\left(X_n = 1\right)$ et $P\left(X_n = 2\right)$. \begin{solution} $\left(X_n = 0\right)~,~\left(X_n = 1\right)~\text{et}~\left(X_n = 2\right)$ forment une partition de l'univers de départ du $(n+1)-$ième tirage on a donc \surj{$P\left(X_{n+1} = 1\right)$}$=P\left(}\left(X_{n+1} = 1\right)\cap\left(X_n = 0\right) \right) +P\left(}\left(X_{n+1} = 1\right)\cap\left(X_n = 1\right) \right) +P\left(}\left(X_{n+1} = 1\right)\cap\left(X_n = 2\right) \right) $ \vspace{0.5cm} $=P_{(X_n=0)} \left(X_{n+1} = 1\right)\times P\left(X_n = 0\right)+P_{(X_n=1)} \left(X_{n+1} = 1\right)\times P\left(X_n = 1\right)+P_{(X_n=2)} \left(X_{n+1} = 1\right)\times P\left(X_n = 2\right)$ \vspace{0.5cm} \surj{$=P\left(X_n = 0\right)+\dfrac{1}{2}P\left(X_n = 1\right)+P\left(X_n = 2\right)$} \end{solution} \end{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $R_n$ la matrice ligne définie par : \[R_n = \begin{pmatrix}P\left(X_n = 0\right)& P\left(X_n = 1\right)& P\left(X_n = 2\right)\end{pmatrix}\] et on considère $M$ la matrice $\begin{pmatrix}0&1&0\\\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{4}\\0&1&0\end{pmatrix}$. On note $R_0$ la matrice ligne $\begin{pmatrix}0 &0 &1\end{pmatrix}$. On admettra par la suite que, pour tout entier naturel $n,\: R_{n+1} = R_n \times M$. Déterminer $R_1$ et justifier que, pour tout entier naturel $n,\: R_n = R_0 \times M^n$. \begin{solution} \surj{$R_1$}$=R_0\times M=\begin{pmatrix}0 &0 &1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0&1&0\\\dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{4}\\0&1&0\end{pmatrix}$\surj{$=\begin{pmatrix}0 &1 &0\end{pmatrix} $} \vspace{1cm} \textbf{Démonstration par récurrence de $\forall n\in \N,\: R_n = R_0 \times M^n$} \vspace{0.3cm} Initialisation : $M^0=I_3$ et $R_0\times I_3=R_0$ \vspace{0.3cm} Hérédité : supposons que pour $n$ entier naturel on ait $R_n = R_0 \times M^{n}$ Alors $R_{n+1}=R_n\times M = R_0 \times M^{n}\times M=R_0 \times M^{n+1}$ la propriété est vraie au rang 0 donc et si elle vraie au rang $n \geqslant 0 $ elle l'est aussi au rang $n + 1$ donc d'après le principe de récurrence : \surj{$\forall n\in \N,\: R_n = R_0 \times M^n$} \end{solution} \item On admet que $M = P \times D \times P^{- 1}$ avec : \[P = \dfrac{1}{6} \begin{pmatrix}2&3&1\\- 1&0&1\\2&- 3&1\end{pmatrix}, \: \: D = \begin{pmatrix}- \dfrac{1}{2}&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\:\:\text{et}\:\: P^{-1} = \begin{pmatrix}1&-2&1\\1&0&- 1\\1&4&1\end{pmatrix}.\] Établir que, pour tout entier naturel $n,\: M^n = P \times D^n \times P^{-1}$. \newpage \begin{solution} \emph{Initialisation} : $M^0=I_3$ et $P\times D^0\times P^{-1}=P\times I_3\times P =P\times P^{-1}=I_3$ \vspace{0.3cm} \emph{Hérédité} : supposons que pour tout entier naturel $k$, on ait $M^k = P \times D^k \times P^{-1}$ Alors $M^{k+1}=M^k\times M=R_k\times M = P \times D^k \times P^{-1} \times M =P \times D^k \times P^{-1} \times P \times D \times P^{- 1}= P \times D^k \times D \times P^{- 1}=P \times D^{k+1} \times P^{-1}$. La propriété est donc héréditaire à partir du rang 0 et vraie au rang 0 donc on a bien d'après le principe de récurrence : \surj{$\forall n\in \N,\: M^n = P \times D^n \times P^{-1}$} \end{solution} On admettra que, pour tout entier naturel $n,\: D^n = \begin{pmatrix} \left(- \dfrac{1}{2} \right)^n&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$. \item \begin{enumerate} \item Calculer $D^n \times P^{-1}$ en fonction de $n$. \begin{solution} \surj{$D^n \times P^{-1}$}$=\begin{pmatrix} \left(- \dfrac{1}{2} \right)^n&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}1&-2&1\\1&0&- 1\\1&4&1\end{pmatrix}$\surj{$=\begin{pmatrix}\left(- \dfrac{1}{2} \right)^n&\left(- \dfrac{1}{2} \right)^{n-1}&\left(- \dfrac{1}{2} \right)^n\\0&0&0\\1&4&1\end{pmatrix}$} \end{solution} \item Sachant que $R_0P = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&- \dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{6} \end{pmatrix}$, déterminer les coefficients de $R_n$ en fonction de $n$. \begin{solution} $\forall n\in \N,\: R_n = R_0 \times M^n=R_0 \times P \times D^n \times P^{-1}=$ $\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&- \dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{6} \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}\left(- \dfrac{1}{2} \right)^n&\left(- \dfrac{1}{2} \right)^{n-1}&\left(- \dfrac{1}{2} \right)^n\\0&0&0\\1&4&1\end{pmatrix}$ On a donc \surj{$R_n=\begin{pmatrix}\vphantom{\sqrt{\dfrac{\dfrac{}{}}{\dfrac{}{}}}}\dfrac{1}{3}\left(- \dfrac{1}{2} \right)^n+\dfrac{1}{6}\quad&\quad\dfrac{1}{3}\left(- \dfrac{1}{2} \right)^{n-1}+\dfrac{2}{3}\quad&\quad\dfrac{1}{3}\left(- \dfrac{1}{2} \right)^n+\dfrac{1}{6}\end{pmatrix}$} \end{solution} \end{enumerate} \item Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} P\left(X_n = 0\right),\: \displaystyle\lim_{n \to + \infty} P\left(X_n = 1\right)$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} P\left(X_n = 2\right)$. Interpréter ces résultats. \begin{solution} \Lim{n}{+\infty}{\left(- \dfrac{1}{2} \right)^n}~=~\Lim{n}{+\infty}{\left(- \dfrac{1}{2} \right)^{n+1}}~=~0 Donc par produit et somme \surj{\Lim{n}{+\infty}{P\left(X_n = 0\right)}~=~\Lim{n}{+\infty}{P\left(X_n = 2\right)}~$=\dfrac{1}{6}$} et \surj{\Lim{n}{+\infty}{P\left(X_n = 1\right)}~$=\dfrac{2}{3}$} Cela signifie que la probabilité que les urnes se retrouvent dans la situation initiale se stabilise vers $\dfrac{1}{6}$ quand $n$ devient grand la probabilité que les urnes soient \og monochrome \fg~ se stabilise vers $\dfrac{1}{3}$ : ~~ $\left( \dfrac{1}{6} ~ \text{pour chaque couleur} \right) $ \end{solution} \end{enumerate} \vfill Si vous photocopiez ce corrigé pensez à en créditer l'\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}, merci. \end{document}