\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{lscape} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add} \usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} %Tapuscrit Denis Vergès %Corrigé : Isabelle Faure \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat S}, pdftitle = {Antilles Guyane S - 11 septembre 2014}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé du baccalauréat S} \lfoot{\small{Amérique du Nord}} \rfoot{\small 30 mai 2014} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \vspace{0,5cm} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat S Amérique du Nord~\decofourright \\[4pt]30 mai 2014}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{Dans cet exercice, tous les résultats demandés seront arrondis à \boldmath $10^{-3}$ \unboldmath près.} \medskip \textbf{Partie A : Conditionnement des pots} \medskip %Cette enseigne souhaite vendre la nouvelle crème sous un conditionnement de 50 mL et dispose pour ceci de pots de contenance maximale 55~mL. % %On dit qu'un pot de crème est non conforme s'il contient moins de 49~mL de crème. \medskip \begin{enumerate} \item %Plusieurs séries de tests conduisent à modéliser la quantité de crème, exprimée en mL, contenue dans chaque pot par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 50$ et d'écart-type $\sigma = 1,2$. %Calculer la probabilité qu'un pot de crème soit non conforme. On veut $p(X \leqslant 49) $. Avec la calculatrice $p(X \leqslant 49) \approx 0.202 $. \item %La proportion de pots de crème non conformes est jugée trop importante. En modifiant la viscosité de la crème, on peut changer la valeur de l'écart-type de la variable aléatoire $X$, sans modifier son espérance $\mu = 50$. On veut réduire à $0,06$ la probabilité qu'un pot choisi au hasard soit non conforme. On note $\sigma'$ le nouvel écart-type, et $Z$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{X - 50}{\sigma'}$ \begin{enumerate} \item La variable aléatoire $Z$ suit la loi normale centrée réduite. \item Une valeur approchée du réel $u$ tel que $p(Z \leqslant u) = 0, 06$ est $u \approx -1.555$. \item $ Z = \dfrac{X - 50}{\sigma'} \iff X = \sigma' Z + 50 $ $ p(X \leqslant 49) =0,06 \iff p\left(\sigma' Z + 50 \leqslant 49 \right) =0,06 \iff p \left( Z \leqslant -\dfrac{1}{\sigma'} \right) =0,06 $ On doit donc avoir $ -\dfrac{1}{\sigma'} = -1,555 \iff \sigma' = \dfrac{1}{1,555} \approx 0,643$ La valeur attendue de $\sigma'$ est donc $ 0,643 $. \end{enumerate} \item %Une boutique commande à son fournisseur 50 pots de cette nouvelle crème. %On considère que le travail sur la viscosité de la crème a permis d'atteindre l'objectif fixé et donc que la proportion de pots non conformes dans l'échantillon est $0,06$. % %Soit $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de pots non conformes parmi les 50 pots reçus. \begin{enumerate} \item %On admet que $Y$ suit une loi binomiale. En donner les paramètres. Ici, l'épreuve de Bernoulli consiste à tester si un pot est non conforme considéré comme succès de probabilité $0,06$,... ou pas. On répète $50$ fois cette épreuve. $Y$ suit donc la loi binomiale de paramètres $50$ et $0,06$. \item %Calculer la probabilité que la boutique reçoive deux pots non conformes ou moins de deux pots non conformes. On calcule $ p(Y \leqslant 2) $ avec la calculatrice. La probabilité que la boutique reçoive deux pots non conformes ou moins de deux pots non conformes est d'environ $ 0,416 $. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Campagne publicitaire} \medskip %Une association de consommateurs décide d'estimer la proportion de personnes satisfaites par l'utilisation de cette crème. % %Elle réalise un sondage parmi les personnes utilisant ce produit. Sur $140$~ personnes interrogées, $99$ se déclarent satisfaites. % %Estimer, par intervalle de confiance au seuil de $95$\,\%, la proportion de personnes satisfaites parmi les utilisateurs de la crème. On a $ n= 140 > 30, \quad f = \dfrac{99}{140} $ donc $ nf = 99 > 5 $ et $ n(1-f) = 41 > 5 $. Ainsi, $ \left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}}~;~f + \dfrac{1}{\sqrt{n}} \right] $ soit $\left[0,622~;~0,792 \right] $ est donc un intervalle de confiance au seuil de $95$\,\% de la proportion de personnes satisfaites parmi les utilisateurs de la crème. \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} %\medskip % %On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par % %\[f(x) = 5 \text{e}^{-x} - 3\text{e}^{-2x} + x - 3.\] % %On note $\mathcal{C}_{f}$ la représentation graphique de la fonction $f$ et $\mathcal{D}$ la droite d'équation $y = x - 3$ dans un repère orthogonal du plan. \medskip \textbf{Partie A : Positions relatives de \boldmath$\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{D}$\unboldmath} \medskip Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $g(x) = f(x) - (x - 3)$. \medskip \begin{enumerate} \item Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, \: $g(x)= 5 \text{e}^{-x} - 3\text{e}^{-2x} = \text{e}^{-x} \left( 5 - 3 \text{e}^{-x} \right) $. Comme $\text{e}^{-x}>0$ (exponentielle), $g(x)$ est du signe de $5 - 3 \text{e}^{-x} $. $5 - 3 \text{e}^{-x} > 0 \iff 5 > 3\text{e}^{-x} \iff \dfrac{5}{3} > \text{e}^{-x} \iff \ln \left( \dfrac{5}{3} \right) >-x \iff \ln \left( \dfrac{3}{5} \right) < x$ ce qui est toujours vrai car $\ln \left( \dfrac{3}{5} \right)<0 < x$. Finalement, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, \: $g(x)>0$. \item La courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\mathcal{D}$ ont un point commun d'abscisse $x$ sssi $ f(x) = x-3$ soit $ g(x) = 0 $ ce qui n'est pas possible car on vient de voir que $g(x) > 0$. La courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\mathcal{D}$ n'ont pas de point commun. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : Étude de la fonction }\boldmath $g$ \unboldmath \medskip On note $M$ le point d'abscisse $x$ de la courbe $\mathcal{C}_{f}$, $N$ le point d'abscisse $x$ de la droite $\mathcal{D}$ et on s'intéresse à l'évolution de la distance $MN$. \medskip \begin{enumerate} \item Comme $M$ et $N$ ont la même abscisse, pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[ $, $MN = |f(x) - (x-3)| = |g(x) | = g(x) $ car $g(x) > 0$ d'après la première question de la partie A. \item %On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. Si $u$ est dérivable, $\left( \text{e}^{u}\right)' = u' \text{e}^{u} $. La dérivée de $ x \mapsto \text{e}^{-x} $ est donc $ x \mapsto -\text{e}^{-x} $ et celle de $ x\mapsto \text{e}^{-2x} $ est $ x \mapsto -2 \text{e}^{-2x} $. Pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, $g'(x) =- 5 \text{e}^{-x} + 2 \times 3 \text{e}^{-2x} = 6\text{e}^{-2x} - 5\text{e}^{-x}$. \item $g$ étant dérivable sur $[0~;~+\infty[$, on étudie le signe de sa dérivée sur $[0~;~+\infty[$. Pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, $\begin{array}{lll} g'(x) \geqslant 0 & \iff 6\text{e}^{-2x} -5\text{e}^{-x} \geqslant 0 & \\ & \iff 6 \text{e}^{-x} -5 \geqslant 0 & \text{on a simplifié par } \text{e}^{-x}>0 \\ & \iff \text{e}^{-x} \geqslant \dfrac{5}{6} & \\ & \iff - x \geqslant \ln \left( \dfrac{5}{6} \right)& \text{ par croissance de la fonction } \ln \\ & \iff x \leqslant -\ln \left( \dfrac{5}{6} \right) \iff x \leqslant \ln \left( \dfrac{6}{5} \right)\\ \end{array}$ En $ \ln \left( \dfrac{6}{5} \right) $, la dérivée s'annule en changeant de signe $ (+ ; -) $, donc $g\left( \ln \left( \dfrac{6}{5} \right)\right) $ est un maximum pour $g$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. $g\left(\ln \left(\dfrac{6}{5}\right)\right) = 5\times \text{e}^{-\ln \left(\dfrac{6}{5} \right)} - 3 \times \left( \text{e}^{-\ln \left(\dfrac{6}{5} \right)}\right)^2 = 5\times \text{e}^{\ln \left(\dfrac{5}{6} \right)} - 3 \times \left(\text{e}^{\ln \left(\dfrac{5}{6} \right)}\right)^2 = 5 \times \dfrac{5}{6} - 3 \times \left( \dfrac{5}{6}\right)^2 = \dfrac{25}{6} - \dfrac{25}{12} = \dfrac{50}{12} - \dfrac{25}{12} = \dfrac{25}{12}$. La distance entre un point de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et le point de même abscisse sur la droite $\mathcal{D}$ est donc maximale lorsque $ x = \ln \left(\dfrac{6}{5} \right) $. Cette distance maximale vaut $ \dfrac{25}{12}$ unités. Remarque : Comme le repère est orthogonal (à priori pas orthonormé), il s'agit d'unité en ordonnée. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : Étude d'une aire} \medskip On considère la fonction $\mathcal{A}$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par \[\mathcal{A}(x) = \displaystyle\int_{0}^x [f(t) - (t - 3)]\: \text{d}t.\] \medskip \begin{enumerate} \item %Hachurer sur le graphique donné en \textbf{annexe 1 (à rendre avec la copie)} le domaine dont l'aire est donnée par $\mathcal{A}(2)$. $\mathcal{A}(2) = \displaystyle\int_{0}^2 [f(t) - (t - 3)]\: \text{d}t = \displaystyle\int_{0}^2 g(t)\: \text{d}t $ et $g>0$ sur $[0;2]$. $\mathcal{A}(2)$ mesure donc (en unités d'aires) l'aire du domaine limité par les droites d'équation $x=0$, $x=2$, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et la droite $\mathcal{D}$. \item La fonction $g$ est continue sur $ [0 ; +\infty [ $ et $ \mathcal{A}(x) = \displaystyle\int_{0}^x g(t)\: \text{d}t $, la fonction $ \mathcal{A} $ est donc dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et $\mathcal{A}' = g > 0 $. La fonction $\mathcal{A}$ est donc bien croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. \item Pour tout réel $x$ strictement positif, $ \begin{array}{lll} \mathcal{A}(x) & = \displaystyle\int_{0}^x g(t)\: \text{d}t & \\ &= 5\displaystyle\int_{0}^x \text{e}^{-t} \: \text{d}t - 3\displaystyle\int_{0}^x \text{e}^{-2t} \: \text{d}t & \text{ par linéarité de l'intégrale} \\ & = 5\displaystyle \left[-\text{e}^{-t} \right]_0^x -3\displaystyle \left[-\dfrac{1}{2}\text{e}^{-2t} \right]_0^x \\ &= 5\left( -\text{e}^{-x} +1 \right) - 3 \left( -\dfrac{1}{2}\text{e}^{-2x} + \dfrac{1}{2} \right) & \\ & = 5 - 5 \text{e}^{-x}+ \dfrac{3}{2}\text{e}^{-2x} -\dfrac{3}{2} \\ \mathcal{A}(x)& = \dfrac{3}{2}\text{e}^{-2x}- 5 \text{e}^{-x} +\dfrac{7}{2} \end{array} $ \item $\mathcal{A}(x) = 2 \iff \dfrac{3}{2}\text{e}^{-2x}- 5 \text{e}^{-x} +\dfrac{7}{2} = 2 \iff \dfrac{3}{2}\text{e}^{-2x}- 5 \text{e}^{-x} +\dfrac{3}{2} = 0$ On pose $ X = \text{e}^{-x} $ $\begin{array}{lll} x \text{ solution de } \dfrac{3}{2}\text{e}^{-2x}- 5 \text{e}^{-x} +\dfrac{3}{2} = 0 & \iff X \text{ solution de } \dfrac{3}{2}X^2 - 5 X + \dfrac{3}{2}= 0 \\ &\iff X \text{ solution de } 3X^2-10X+3=0 & \text{ équation du second degré} \\ &\iff X = \dfrac{1}{3} \text{ ou } X = 3 \\ &\iff \text{e}^{-x} =\dfrac{1}{3} \text{ ou } \text{e}^{-x} = 3 & \text{on revient à } x \text{ et } X = \text{e}^{-x} \\ &\iff x = \ln 3 \text{ ou } x = - \ln 3 & - \ln \dfrac{1}{3} = -(-\ln 3) = \ln 3 \\ &\iff x = \ln 3 & \text{car } x \geqslant 0 \text{ et } -\ln3 <0 \end{array}$ \end{enumerate} Finalement, $\mathcal{A}(x) = 2 \iff x = \ln 3$. \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip % %On considère un cube ABCDEFCH donné en annexe 2 (à rendre avec la copie). % %On note M le milieu du segment [EH], N celui de [FC] et P le point tel que $\vect{\text{HP}} = \dfrac{1}{4} \vect{\text{HG}}$. % %\medskip \textbf{Partie A : Section du cube par le plan (MNP)} \medskip \begin{enumerate} \item %Justifier que les droites (MP) et (FG) sont sécantes en un point L. Dans le plan (EFG), les droites (PM) et (FG) ne sont pas parallèles, elles sont donc sécantes. %Construire le point L \item %On admet que les droites (LN) et (CG) sont sécantes et on note T leur point d'intersection. % %On admet que les droites (LN) et (BF) sont sécantes et on note Q leur point d'intersection. \begin{enumerate} \item %Construire les points T et Q en laissant apparents les traits de construction. Les droites (LN), (BF) et (CG) sont coplanaires (dans le plan (BCG))... d'où les constructions de T et Q. \item L'intersection des plans (MNP) et (ABF) est une droite. Plusieurs manières de faire cette construction : \begin{itemize} \item On peut construire 2 points de la droite intersection : Q est un point de l'intersection des plans (MNP) (car appartient à (LN), où L et N sont dans (MNP)) et (ABF) (car appartient à (BF)). Dans le plan (EFG), les droites (MP) et (EF) ne sont pas parallèles, donc elles sont sécantes en un point R qui est aussi un point de l'intersection des plans (MNP) (car sur (MP)) et (ABF) (car sur (EF)). L'intersection des plans (MNP) et (ABF) est donc la droite (RQ) \item On peut utiliser un point et la direction On a déjà vu que Q est un point de la droite cherchée. Les deux plans (ABF) et (CDG) sont parallèles, ils sont donc coupés par le plan (MNP) selon deux droites parallèles. Or, les points P et T sont à la fois dans (MNP) et (CDG), donc l'intersection de ces deux plans est (PT). L'intersection des plans (MNP) et (ABF) est donc la droite parallèle à (PT) passant par Q. \end{itemize} \end{enumerate} \item Notons S le point d'intersection de (AE) et (QR). La section du cube par le plan (MNP) est le polygone MPTQS. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} %\medskip % %L'espace est rapporté au repère $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}}, \vect{\text{AD}}, \vect{\text{AE}}\right)$. % %\medskip \begin{enumerate} \item M $ \left(0~;~\dfrac{1}{2}~;~1 \right) $, N$\left(1~;~\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2} \right) $ et P$\left(\dfrac{1}{4}~;~1~;~1 \right)$. \item L est le point d'intersection de (MP) et (FG). On cherche donc une représentation paramétrique de chacune des deux droites (MP) et (FG). (MP) passe par M $ \left(0~;~\dfrac{1}{2}~;~1 \right) $ et a pour vecteur directeur $ \vec{u} \left(\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2}~;~0 \right) $, une représentation paramétrique de cette droite est donc : $ \left\lbrace \begin{array}{ll} x = \dfrac{1}{4}t &\\ y = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} t & \text{où } t \in \R \\ z = 1 & \end{array} \right. $ (FG) passe par F $ \left(1~;~0~;~1 \right) $ et a pour vecteur directeur $\vect{v} \left( 0~;~1~;~0 \right) $, une représentation paramétrique de cette droite est donc : $ \left\lbrace \begin{array}{ll} x = 1 &\\ y = t' & \text{où } t' \in \R \\ z = 1 & \end{array} \right. $ $ L \in (MP) \cap (FG) \iff \left\lbrace \begin{array}{ll} x = \dfrac{1}{4}t &\\ y = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} t & \\ z = 1 & \\ x = 1 &\\ y = t' &\\ z = 1 & \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{ll} 1 = \dfrac{1}{4}t &\\ y = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} t & \\ z = 1 & \\ x = 1 &\\ y = t' &\\ \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{ll} 4 = t &\\ y = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \times 4 & \\ z = 1 & \\ x = 1 &\\ y = t' &\\ \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{ll} x=1 & \\ y = \dfrac{5}{2} & \\ z = 1 & \\ t= 4 &\\ t' = \dfrac{5}{2} &\\ \end{array} \right.$ Les coordonnées du point L sont $ \left(1~;~\dfrac{5}{2}~;~1 \right) $. \item %On admet que le point T a pour coordonnées $\left(1~;~1~;~\frac{5}{8}\right)$. $\vect{TP} \left(-\dfrac{3}{4}~;~0~;~\dfrac{3}{8} \right) $ et $ \vect{TN} \left(0~;~-\dfrac{1}{2}~;~-\dfrac{1}{8} \right) $. Le repère étant orthonormé, on peut utiliser l'expression analytique du produit scalaire : $ \vect{TP} \cdot \vect{TN} = - \dfrac{3}{8} \times \dfrac{1}{8} \neq 0$ Le triangle TPN n'est donc pas rectangle en T. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Un volume constant de \np{2200}~m$^3$ d'eau est réparti entre deux bassins A et B. %Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d'équilibre thermique on crée un courant d'eau entre les deux bassins à l'aide de pompes. % %On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante : %\setlength\parindent{8mm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$] au départ, le bassin A contient 800~m$^3$ d'eau et le bassin B contient \np{1400}~m$^3$ d'eau ; %\item[$\bullet~~$] tous les jours, 15\,\% du volume d'eau présent dans le bassin B au début de la journée est transféré vers le bassin A ; %\item[$\bullet~~$] tous les jours, 10\,\% du volume d'eau présent dans le bassin A au début de la journée est transféré vers le bassin B. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %Pour tout entier naturel $n$, on note : % %\setlength\parindent{8mm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$] $a_{n}$ le volume d'eau, exprimé en m$^3$, contenu dans le bassin A à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement ; %\item[$\bullet~~$] $b_{n}$ le volume d'eau, exprimé en m$^3$, contenu dans le bassin B à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %\medskip % %On a donc $a_{0} = 800$ et $b_{0} = \np{1400}$. % %\medskip \begin{enumerate} \item "Un volume constant de \np{2200}~m$^3$ d'eau est réparti entre deux bassins A et B." donc $$ a_n+b_n = 2200. $$ \item Au début du $n+1$-ième jour, la bassin A contient $a_n$, on ajoute 15\,\% du volume d'eau présent dans le bassin B soit $ 0,15 b_n $ et on enlève 10\,\% du volume présent dans A au début de la journée : $ a_{n+1}= a_n + 0,15 b_n -0,1 a_n = a_n + 0,15 (2200 - a_n)- 0,1a_n = 0,75a_n + 330 = \dfrac{3}{4}a_{n} + 330$. On a bien, pour tout entier naturel $n,\: a_{n+1} = \dfrac{3}{4}a_{n} + 330$. \item ~ %L'algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite valeur de $n$ à partir de laquelle $a_{n}$ est supérieur ou égal à \np{1100}. % %Recopier cet algorithme en complétant les parties manquantes. \begin{center} \begin{tabular}{|l l l|}\hline \textbf{Variables}&:& $n$ est un entier naturel\\ &&$a$ est un réel\\ \textbf{Initialisation}&:&Affecter à $n$ la valeur $0$\\ && Affecter à $a$ la valeur 800\\ \textbf{Traitement}&:& Tant que $a < \np{1100}$, faire :\\ &&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l} Affecter à $a$ la valeur $ \dfrac{3}{4} a + 330 $\\ Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\ \end{tabular}\\ && Fin Tant que\\ \textbf{Sortie}&:&Afficher $n$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \item %Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n} = a_{n} - \np{1320}$. \begin{enumerate} \item %Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. Remarque : On peut calculer les premiers termes pour avoir la raison. Pour tout entier naturel $n$, on a $ \begin{array}{lll} u_{n+1} &= a_{n+1} - \np{1320} & \text{définition de } u_n \\ &=\frac{3}{4} a_{n} + 330 - \np{1320} & \text{question 2. } \\ &= \frac{3}{4} a_{n} -990 & \\ & = \frac{3}{4}\left( a_{n} - 1320\right) & \\ & = \frac{3}{4} u_{n} & \text{définition de } u_n \\ \end{array} $ On reconnait la définition d'une suite géométrique de raison $ \dfrac{3}{4} $. Son premier terme est $u_0 = a_0 - \np{1320} = 800 - \np{1320} = - 520 $ \item On a donc, pour tout entier naturel $n$, \:$u_{n} = u_0 q^n = - 520\times \left(\dfrac{3}{4} \right)^n$. Mais, par définition de $u_n$, on a $u_{n} = a_{n} - \np{1320} \iff a_n = u_n + \np{1320} \iff a_{n} = \np{1320} - 520 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n$. \end{enumerate} \item On cherche à savoir si, un jour donné, les deux bassins peuvent avoir, au mètre cube près, le même volume d'eau. Si ce jour arrive, on aura $a_n + b_n = 2a_n $ mais la conservation du volume global s'écrira alors $2a_n = \np{2200} \iff a_n = \np{1100}$. Il faut donc résoudre l'équation $ \np{1320} - 520 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n = \np{1100}$ d'inconnue $n$. $\np{1320} - 520 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n = \np{1100} \iff 520 \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^n = 220 \iff \left(\dfrac{3}{4}\right)^n = \dfrac{11}{26} \iff n \ln \left( \dfrac{3}{4} \right) = \ln \left(\dfrac{11}{26}\right)$ Finalement $n = \dfrac{\ln \left( \dfrac{11}{26} \right)}{\ln \left( \dfrac{3}{4} \right) } \approx 2,99$ Or : $a_3 = \np{1100,625} $ et $b_3 = \np{1099.375}$ donc $ a_3 - b_3 = 1,25 > 1$. Conclusion : les deux bassins n'auront jamais le même contenu à 1 mètre cube près. \end{enumerate} %\vspace{0,5cm} % %\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} % %\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} % %\medskip % %Un volume constant de \np{2200}~m$^3$ d'eau est réparti entre deux bassins A et B. % %Le bassin A refroidit une machine. Pour des raisons d'équilibre thermique on crée un courant d'eau entre les deux bassins à l'aide de deux pompes. % %On modélise les échanges entre les deux bassins de la façon suivante : % %\setlength\parindent{8mm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$] au départ, le bassin A contient \np{1100}~m$^3$ d'eau et le bassin B contient \np{1100}~m$^3$ d'eau ; %\item[$\bullet~~$] tous les jours, 15\,\% du volume d'eau présent en début de journée dans le bassin B est transféré vers le bassin A ; %\item[$\bullet~~$] tous les jours, 10\,\% du volume d'eau présent en début de journée dans le bassin du bassin A est transféré vers le bassin B, et pour des raisons de maintenance, on transfère également 5~m$^3$ du bassin A vers le bassin B. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %\medskip % %Pour tout entier naturel $n$, on note : % %\medskip % %\setlength\parindent{8mm} %\begin{itemize} %\item[$\bullet~~$] $a_{n}$ le volume d'eau, exprimé en m$^3$, contenu dans le bassin A à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement ; %\item[$\bullet~~$] $b_{n}$ le volume d'eau, exprimé en m$^3$, contenu dans le bassin B à la fin du $n$-ième jour de fonctionnement. %\end{itemize} %\setlength\parindent{0mm} % %On a donc $a_{0} = \np{1100}$ et $b_{0} = \np{1100}$. % %\emph{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante} % %\medskip % %\textbf{Partie A} % %\medskip % %\begin{enumerate} %\item Traduire la conservation du volume total d'eau du circuit par une relation liant $a_{n}$ et $b_{n}$. %\item On utilise un tableur pour visualiser l'évolution du volume d'eau dans les bassins. % %Donner les formules à écrire et à recopier vers le bas dans les cellules B3 et C3 permettant d'obtenir la feuille de calcul ci-dessous : % %\begin{center} %\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline %&A &B &C \\ \hline %1& Jour $n$& Volume bassin A& Volume bassin B\\ \hline %2 &0 &1100,00 &1100,00\\ \hline %3 &1 & &\\ \hline %4 & 2 &\np{1187,50} &\np{1012,50}\\ \hline %5 &3 &\np{1215,63} &984,38\\ \hline %6 &4 &\np{1236,72} &963,28\\ \hline %7 &5 &\np{1252,54} &947,46\\ \hline %8 & 6 &\np{1264,40} &935,60\\ \hline %9 &7 &\np{1273,30} &926,10 \\ \hline %10 &8 &\np{1279,98} &920,02 \\ \hline %11 &9 &\np{1234,98} &915,02\\ \hline %12 &10 &\np{1288,74} &911,26\\ \hline %13 &11 &\np{1291,55} &908,45\\ \hline %14 &12 &\np{1293,66} &906,34\\ \hline %15 &13 &\np{1295,25} &904,75\\ \hline %16 &14 &\np{1296,44} &903,56\\ \hline %17 &15 &\np{1297,33} &902,67\\ \hline %18 &16 &\np{1298,00} &902,00\\ \hline %19 &17 &\np{1298,50} &901,50\\ \hline %20 &18 &\np{1298,87} &901,13\\ \hline %\end{tabularx} %\end{center} % %\item Quelles conjectures peut-on faire sur l'évolution du volume d'eau dans chacun des bassins ? %\end{enumerate} % %\bigskip % %\textbf{Partie B} % %\medskip % %On considère la matrice carrée $M = \begin{pmatrix}0,9& 0,15\\0,1&0,85 %\end{pmatrix}$ et les matrices colonnes $R = \begin{pmatrix}-5\\5 \end{pmatrix}$ et $X_{n} = \begin{pmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{pmatrix}$. % %On admet que, pour tout entier naturel $n,\: X_{n+1} = M X_{n} + R$. % %\medskip % %\begin{enumerate} %\item On note $S = \begin{pmatrix} \np{1300}\\ 900\end{pmatrix}$. % %Vérifier que $S = MS + R$. % %En déduire que, pour tout entier naturel $n,\: X_{n+1} - S = M\left(X_{n} - S\right)$. % %\medskip % %Dans la suite, on admettra que, pour tout entier naturel $n,\: X_{n} - S = M^n\left(X_{0} - S\right)$ et que $M^n = \begin{pmatrix} 0,6 + 0,4 \times 0,75^n& 0,6 - 0,6 \times 0,75^n\\ %O,4 - 0,4 \times 0,75^n& 0,4 + 0,6 \times 0,75^n \end{pmatrix}$. % %\item Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: X_{n} = \begin{pmatrix}\np{1300} - 200 \times 0,75^n\\900 + 200 \times 0,75^n \end{pmatrix}$. %\item Valider ou invalider les conjectures effectuées à la question 3. de la partie A. %\item On considère que le processus est stabilisé lorsque l'entier naturel $n$ vérifie % %\[\np{1300} - a_{n} < 1,5\quad \text{et} \quad b_{n} - 900 < 1,5.\] % %Déterminer le premier jour pour lequel le processus est stabilisé. %\end{enumerate} % %\newpage % %{\large \textbf{Annexe 1}} % %\vspace{0,5cm} % %\textbf{À rendre avec la copie} % %\vspace{1.5cm} % %\begin{center} % %{\textsc{\textbf{EXERCICE 2}}} % %\vspace{1cm} % %\psset{xunit=2.5cm,yunit=2cm,comma=true} %\begin{pspicture}(-0.25,-3.2)(4.5,1.5) %\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.25,-3.2)(4.5,1.5) %\multido{\n=0+1}{5}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,-3.2)(\n,1.25)} %\multido{\n=-3.00+0.25}{18}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(4.5,\n)} %\psline[linestyle=dashed](0,-3)(4.5,1.5) %\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4.4}{5 2.71828 x exp div 3 2.71828 x 2 mul exp div sub x add 3 sub} %\uput[ul](4,1.15){$\mathcal{C}_{f}$} %\uput[dr](4,1){$\mathcal{D}$}\uput[dl](0,0){O} %\end{pspicture} %\end{center} % %\newpage % %{\large \textbf{Annexe 2}} % %\vspace{0,5cm} % %\textbf{À rendre avec la copie} % %\begin{center} % %\textbf{EXERCICE 3} % %\vspace{4cm} % %\psset{unit=1cm} %\begin{pspicture}(7,8.5) %\psframe(0.3,0.3)(6.3,6.3)%ABFE %\psline(6.3,0.3)(8,2.8)(8,8.8)(6.3,6.3)%BCGF %\psline(8,8.8)(2,8.8)(0.3,6.3)%GHE %%\psline(1.15,7.55)(3.5,8.8)%MP %\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(2,2.8)(8,2.8)%ADC %\psline[linestyle=dashed](2,2.8)(2,8.8)%DH %\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](1.15,7.55)(7.15,4.55)(3.5,8.8) %\uput[dl](0.3,0.3){A} \uput[dr](6.3,0.3){B} \uput[r](8,2.8){C} %\uput[ur](2,2.8){D} \uput[ul](0.3,6.3){E} \uput[ul](6.3,6.3){F} %\uput[ur](8,8.8){G} \uput[ul](2,8.8){H} \uput[ul](1.15,7.55){M} %\uput[dr](7.15,4.55){N} \uput[u](3.5,8.8){P} %\end{pspicture} %\end{center} \end{document}