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\newcommand{\Limg}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~<~#2}} #3~$}
\newcommand{\Limd}[3]{$\displaystyle \lim_{\substack{#1 \to #2\\#1~>~#2}} #3~$}

\newcounter{numexos}%Création d'un compteur qui s'appelle numexos
\setcounter{numexos}{0}%initialisation du compteur
\newcommand{\exercice}[2]{%Création d'une macro ayant un paramètre
\vspace{0.5cm}
\addtocounter{numexos}{1}%chaque fois que cette macro est appelée, elle ajoute 1 au compteur numexos
{{\LARGE \textbf{Exercice\,\thenumexos}\,:}}\,{\large #1}\,\hfill {\LARGE #2}%Met en rouge Exercice et la valeur du compteur appelée par \thenumeexos
\vspace{0.5cm}
}
\newcommand{\pg}{\geqslant}			%plus grand ou égal
\newcommand{\pp}{\leqslant}			%plus petit ou égal
\newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}	% équivalent
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\newcommand{\entetecor}[4]{%
                  
\rhead{#3}
\chead{\shadowbox{Corrigé baccalauréat S  #1 du #2}}
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           % \rfoot{#3}
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                  }

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\begin{document}
%\SetWatermarkText{Lycée Henri IV}
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\entetecor{Antilles - Guyane}{16 juin 2017}{TS}{}

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{0ex plus 0ex minus 0ex}%␣espace␣avant
{0ex plus 0ex}%␣espace␣après
[0pt]%␣retrait␣à␣droite

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct. On considère l'équation 

\[(E) :\qquad  z^4 + 2z^3 - z - 2 = 0\] 

ayant pour inconnue le nombre complexe $z$.

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Donner une solution entière de $(E)$. 
\begin{solution}
$z=1$ est une solution évidente de $(E)$
\end{solution}

\item Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$, 

\[z^4 + 2z^3 - z - 2 = \left(z^2 + z - 2\right)\left(z^2 + z + 1\right).\] 

\begin{solution}
$\left( z^2+z-2\right)\left(z^2+z+1 \right) = z^2+z^3+z^2+z^3+z^2+z-2z^2-2z-2 = z^4+2z^3-z-2$

On a donc bien $\forall z \in \C~,~z^4+2z^3-z-2=\left( z^2+z-2\right)\left(z^2+z+1 \right)$ 
\end{solution}

\item Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble des nombres complexes. 

\begin{solution}
$(E) \equi \begin{cases}
z^2+z-2=0\\z^2+z+1=0
\end{cases}$

\hspace{1cm} \begin{minipage}{0.8\linewidth}
\underline{\textbf{Résolution de $z^2+z-2=0$}}:

$z^2+z-2=(z-1)(z+2)$ d'où $z^2+z-2=0 \equi \begin{cases} z=1\\ou\\z=-2 \end{cases}$
\end{minipage}

\vspace{0.3cm}
\hspace{1cm} \begin{minipage}{0.8\linewidth}
\underline{\textbf{Résolution de $z^2+z+1=0$}}:

$\Delta=b^2-4ac=-3=\left(\text{i}\sqrt{3} \right)^2<0$ on en déduit que l'équation admet deux solutions complexes conjuguées

$\begin{cases} z_1=\dfrac{-b-\text{i}\sqrt{-\Delta}}{2a}=-\dfrac{1}{2}-\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \\z_2=\overline{z_1}=-\dfrac{1}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$
\end{minipage}

\vspace{0.5cm}
Finalement $(E) \equi z \in \left\lbrace -2~;~1~;~-\dfrac{1}{2}-\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}~;~-\dfrac{1}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right\rbrace$ 
\end{solution}

\item Les solutions de l'équation $(E)$ sont les affixes de quatre points A, B, C, D du plan complexe tels que ABCD est un quadrilatère non croisé. 

Le quadrilatère ABCD est-il un losange ? Justifier. 
\begin{solution}
On se place dans un repère $\left(O~;~\vect{u}~,~\vect{v} \right) $ orthonormé direct

Soit $A(-2)~,~B\left(-\dfrac{1}{2}-\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)~,~C(1) ~\text{et}~D\left(-\dfrac{1}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)$

$\vect{AC}(3\text{i})$ et $\vect{DB}(1)$ donc $\vect{AC}=3\vect{u}$ et $\vect{DB}(1)=\vect{v}$

on en déduit que $(AC)$ et $(BD)$ sont perpendiculaires

$\dfrac{z_A+z_C}{2}=-\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{z_B+z_D}{2}=-\dfrac{1}{2}$, on en déduit que $[AC]$ et $[BD]$ ont même milieu

Finalement $ABCD$ est un losange car ses diagonales ont même milieu et sont perpendiculaires. 
\end{solution}

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\begin{minipage}{\linewidth}
Dans une usine automobile, certaines pièces métalliques sont recouvertes d'une fine couche de nickel qui les protège contre la corrosion et l'usure. Le procédé utilisé est un nickelage par électrolyse. 

\smallskip

On admet que la variable aléatoire $X$, qui à chaque pièce traitée associe l'épaisseur de nickel déposé, suit la loi normale d'espérance $\mu_1 = 25$ micromètres ($\mu$m) et d'écart type $\sigma_1$. 

\smallskip

Une pièce est conforme si l'épaisseur de nickel déposé est comprise entre 22,8 µm et 27,2 µm. 

\smallskip

La fonction de densité de probabilité de $X$ est représentée ci-dessous. On a pu déterminer que $P(X > 27,2) = 0,023$.
\end{minipage} 

\begin{center}
\psset{xunit=1.15cm,yunit=14cm,algebraic=true}
\begin{pspicture}(20,-0.05)(30,0.4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=25](25,0)(20,0)(30,0)
%\psGauss[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,mue=25,sigma=1.1]{15}{35}
\def\f{1/(1.1*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-25)/1.1)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{20}{30}{\f}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{27.2}{30}{\f}
\psline(30,0)(27.2,0)(27.2,0.05)}
\uput[ur](27.5,0.02){2,3\,\%}
\uput[dr](27.2,0){27,2}

\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité qu'une pièce soit conforme. 
		\begin{solution}
			$X \hookrightarrow \mathcal{N}\left(25~;~\sigma_1^2 \right)$
			donc la courbe de la fonction densité est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=25$
			
			on en déduit $P(X>27,2)=P(X>25+2,2)=P(25-2,2<X)=P(22,8<X)=0,023$ 
			
			on a alors $P(22,8<X<27,2)=1-\left(P(22,8<X)+P(X>27,2) \right)=0,954$
			
			La probabilité qu'une pièce soit conforme est donc de 0,954 
			
			\begin{center}
			\psset{xunit=1.15cm,yunit=10cm,algebraic=true}
			\begin{pspicture}(20,-0.05)(30,0.4)
			\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=25](25,0)(20,0)(30,0)
			%\psGauss[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,mue=25,sigma=1.1]{15}{35}
			\def\f{1/(1.1*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-25)/1.1)^2)/2)}
			\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{20}{30}{\f}
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			\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{27.2}{30}{\f}
			\psline(30,0)(27.2,0)(27.2,0.05)}
			\uput[ur](27.5,0.02){2,3\,\%}
			\uput[dr](27.2,0){27,2}
			
			\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=red]{
			\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{20}{22.8}{\f}
			\psline(22.8,0.05)(22.8,0)(20,0)}
			\uput[ur](21.5,0.02){2,3\,\%}
			\uput[dl](22.9,0){22,8}
			
			\psline[linestyle=dashed](25,0)(25,0.4)
			
			\end{pspicture}
			\end{center}
			
		\end{solution}
			
		\item Justifier que 1,1 est une valeur approchée de $\sigma_1$ à $10^{-1}$ près. 
		
		\begin{solution}
			On sait que si $X \hookrightarrow \mathcal{N}\left(\mu~;~\sigma^2 \right)$ alors $P(\mu-2\sigma < X < \mu + 2\sigma)\approx 0,954$
			
			Ici on a donc $2\sigma_1\approx 2,2$ soit  $\sigma_1\approx 1,1$ à 10$^{-1}$ près
		\end{solution}
			
		\item Sachant qu'une pièce est conforme, calculer la probabilité que l'épaisseur de nickel déposé sur celle-ci soit inférieure à $24~\mu$m. Arrondir à $10^{-3}$.
		
		\begin{solution}
			On cherche $P_{X \in [22,8~;~27,2]}(X<24)$
			
			$P_{X \in [22,8~;~27,2]}(X \in [0~;~24])=\dfrac{P(X \in [0~;~24]\cap [22,8~;~27,2] )}{P(X \in [22,8~;~27,2] )}=\dfrac{P(22,8 < X  <24 )}{0,924}\approx 0,172$
		\end{solution}
			 
	\end{enumerate}
\item Une équipe d'ingénieurs propose un autre procédé de nickelage, obtenu par réaction chimique sans aucune source de courant. L'équipe affirme que ce nouveau procédé permet théoriquement d'obtenir 98\,\% de pièces conformes. 

La variable aléatoire $Y$ qui, à chaque pièce traitée avec ce nouveau procédé, associe l'épaisseur de nickel déposé suit la loi normale d'espérance $\mu_2 = 25 ~\mu$m et d'écart-type $\sigma_2$. 
	\begin{enumerate}
		\item En admettant l'affirmation ci-dessus, comparer $\sigma_1$ et $\sigma_2$.
		
		\begin{solution}
			$\sigma_2 < \sigma_1$ car la probabilité qu'un pièce soit conforme est supérieure dans le deuxième cas, ce qui signifie que la dispersion est moins grande autour de l'espérance.
			
		\end{solution}
			
		\item Un contrôle qualité évalue le nouveau procédé; il révèle que sur 500 pièces testées, $15$ ne sont pas conformes. 

Au seuil de 95\,\%, peut-on rejeter l'affirmation de l'équipe d'ingénieurs ? 

\begin{solution}
	Ici on répète $n=500$ fois de manière indépendante le test d'une pièce 
	
	La proportion annoncée de pièces conformes est $p = 0,98$.
	
	On a $n\geqslant 30~~,~~np=490\geqslant 5~~\text{et}~~n(1-p)=10\geqslant 5$.
	
	On peut donc bâtir l'intervalle de fluctuation asymptotique.
	
	On peut affirmer au seuil de 95\% que la fréquence observée de pièces conformes devrait appartenir à l'intervalle $I_n=\left[ p-1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}   ; p+1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}  \right]$.
	
	$p-1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \approx 0,9677$ et $p+1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \approx 0,9923$
	
	la fréquence observée est $f=\dfrac{485}{500}=0,97 \in I_n$.
	
	On peut donc pas rejeter l'affirmation au seuil de 95\%.  
\end{solution}
	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\begin{minipage}{\linewidth}
Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par 

\[f(x) = \text{e}^x\qquad \text{ et }\qquad  g(x) = \text{e}^{- x}.\] 

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\mathcal{C}_g$ celle de la fonction $g$ dans un repère orthonormé du plan. 

Pour tout réel $a$, on note $M$ le point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$ et $N$ le point de $\mathcal{C}_g$ d'abscisse $a$. 

La tangente en $M$ à $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en $P$, la tangente en $N$ à $\mathcal{C}_g$ coupe l'axe des abscisses en $Q$. 

À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique, on a représenté la situation pour différentes valeurs de $a$ et on a relevé dans un tableur la longueur du segment $[PQ]$ pour chacune de ces valeurs de $a$. 
\end{minipage}

\begin{center}
\parbox{0.6\linewidth}{\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture*}(-2.5,-1.5)(2.5,3.25)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2.5,-1.5)(2.5,3.25)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{2.5}{2.71828 x  exp}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1}{2.5}{2.71828 x neg   exp}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-2.5}{2.5}{1.649 x mul  0.825 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-2.5}{2.5}{  0.875 0.607 x mul sub}
\psline(0.5,-1.25)(0.5,3.25)
\end{pspicture*}
}\hfill
\parbox{0.39\linewidth}{
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
&A   &B\\ \hline   
1	&\footnotesize Abscisse $a$&   \scriptsize Longueur $PQ$\\ \hline   
2	&$- 3$		&   2 \\ \hline   
3	&$- 2,5$	&  2\\ \hline    
4	&$- 2$		&   2 \\ \hline   
5	&$-1,5$	&   2 \\ \hline   
6	&$-1$		&   2 \\ \hline   
7	&$- 0,5$	&   2\\ \hline     
8	&0 	&  2\\ \hline    
9	&0,5	&   2 \\ \hline   
10&1	&   2 \\ \hline   
11&1,5	&   2\\ \hline    
12&2	&   2 \\ \hline   
13&2,5	&   2\\ \hline    
14& 		&\\ \hline 
\end{tabularx}}
\end{center}

Les questions 1 et 2 peuvent être traitées de manière indépendante. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la tangente en $M$ à $\mathcal{C}_f$ est perpendiculaire à la tangente en $N$ à $\mathcal{C}_g$.
\begin{solution}
$f$ et $f$ sont dérivables sur $\R$ et pour tout réel $x$ on a $f'(x)=\text{e}^x~~\text{et}~~g'(x)=\text{e}^{-x}$

La tangente à $\mathcal{C}_f$	en M d'abscisse $a$ a pour coefficient directeur $m_1=f'(a)=\text{e}^a$

La tangente à $\mathcal{C}_g$	en N d'abscisse $a$ a pour coefficient directeur $m_2=g'(a)=-\text{e}^{-a}$

$m_1\times m_2=-\text{e}^{a-a}=-1$ et le repère est orthonormé, on en déduit que les tangentes sont perpendiculaires.


\textbf{\underline{remarque}}: si on ne connaît pas cette propriété on peut passer par les vecteurs directeurs de ces deux droites: $\vect{u_1}\begin{pmatrix}
1\\\text{e}^a
\end{pmatrix}$ et $\vect{u_2}\begin{pmatrix}
1\\-\text{e}^{-a}
\end{pmatrix}$ puis montrer que leur produit scalaire est nul (toujours parce que l'on se situe dans un repère orthonormé)

\end{solution}

 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Que peut-on conjecturer pour la longueur $PQ$ ? 
		\begin{solution}
			D'après les données du logiciel, il semblerait que la longueur PQ soit constante
		\end{solution}
		\item Démontrer cette conjecture.
		\begin{solution}
			$\Delta_f$, la tangente à $\mathcal{C}_f$	en M d'abscisse $a$ a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$
			
			soit $\Delta_f: y= \text{e}^ax+(1-a)\text{e}^a$
			
			
			$\Delta_g$, la tangente à $\mathcal{C}_g$	en N d'abscisse $a$ a pour équation $y=g'(a)(x-a)+g(a)$
				
			soit $\Delta_g: y= -\text{e}^{-a}x+(1+a)\text{e}^{-a}$
			
			P($x_{_P}$~;~0) avec $x_{_P}$ tel que ~~~ $\text{e}^ax_{_P}+(1-a)\text{e}^a=0 \equi x_{_P}=a-1$
			
			Q($x_{_Q}$~;~0) avec $x_{_Q}$ tel que ~~~ $-\text{e}^{-a}x_{_Q}+(1+a)\text{e}^{-a}=0 \equi x_{_Q}=1+a$
			
			On a alors PQ~$=1+a-(a-1)=2$
			
			 
		\end{solution} 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel strictement positif. Le but de l'exercice est d'étudier l'équation 

\[\left(E_n\right) : \qquad  \dfrac{\ln (x)}{x}  = \dfrac{1}{n}\] 

ayant pour inconnue le nombre réel strictement positif $x$. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par

\[f(x) =  \dfrac{\ln (x)}{x}. \]

\begin{minipage}{\linewidth}
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$. 

On a donné en ANNEXE, qui n'est pas à rendre, la courbe représentative $\mathcal{C}_f$  de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. 
\end{minipage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$. 
\begin{solution}
$f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$

$f=\dfrac{u}{v}	\Longrightarrow f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $\begin{cases}
u(x)=\ln(x)\\v(x)=x
\end{cases} \Longrightarrow \begin{cases}
u'(x)=\dfrac{1}{x}\\v'(x)=1
\end{cases}$

$\forall x>0~,~f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}$

$x^2>0$ sur $]0~;~+\infty[$ donc $f'(x)$ est du signe de $(1- \ln(x))$, on en déduit les variations de $f$

\begin{center}
		\psset{unit=1cm}
		\begin{pspicture}(9,3)
		\psframe(9,3)\psline(0,2)(9,2)\psline(0,2.5)(9,2.5)\psline(1,0)(1,3)
		
		\psline(1.1,0)(1.1,3)
		\psline(1.2,0)(1.2,3)
		
		\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.4,2.4){$0$} \uput[u](5,2.4){$\text{e}$} \uput[u](8.5,2.4){$+\infty$} 
		\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(2.5,2.25){+} \rput(5,2.25){0}\rput(7,2.25){-}
		\uput[u](1.5,0){$-\infty $}
		\uput[u](5,1.3){$\frac{1}{\text{e}} $}
		\uput[u](8.5,0){$0 $}
		\rput(0.5,1){$f(x)$}
		\psline{->}(2,0.3)(4.7,1.7)
		\psline{->}(5.3,1.7)(8,0.3)
		\end{pspicture}
\end{center}

$f(x)=\dfrac{1}{x}\times \ln(x)$

\Limd{x}{0}{\dfrac{1}{x}} =~$+\infty$ et \Limd{x}{0}{\ln(x)}=~$-\infty$ donc par opération sur les limites on a \Limd{x}{0}{f(x)}=~$-\infty$

\Lim{x}{+\infty}{f(x)}=~\Lim{x}{+\infty}{\dfrac{\ln(x)}{x}}=~0~~(limite de cours)

\end{solution}

\item Déterminer son maximum. 
\begin{solution}
$f(x)$ admet $f(\text{e})=\dfrac{1}{\text{e}}$ pour maximum sur $]0~;~+\infty[$
	
\end{solution}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour $n \geqslant 3$, l'équation $f(x) = \dfrac{1}{n}$ possède une unique solution sur [1~;~e] notée $\alpha_n$.  

\begin{solution}
$f(1)=0$ et $f(\text{e})=\dfrac{1}{\text{e}}\geqslant \dfrac{1}{3}$

sur $[1~;~\text{e}]$, $f$ est continue et strictement croissante à valeurs dans $[0~;~f(\text{e})]$ or pour tout entier naturel $n\geqslant 3$, $\dfrac{1}{n} \in [0~;~f(\text{e})]$ alors d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation $f(x)=\dfrac{1}{n}$ admet une solution unique $\alpha_n$ sur $[1~;~\text{e}]$ 	
\end{solution}

\item D'après ce qui précède, pour tout entier $n \geqslant 3$, le nombre réel $\alpha_n$ est solution de l'équation $\left(E_n\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Sur le graphique sont tracées les droites $D_3$, $D_4$ et $D_5$ d'équations respectives $y= \dfrac{1}{3}$, $y= \dfrac{1}{4}$, $y= \dfrac{1}{5}$. 

Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(a_n\right)$. 
	
	\begin{solution}
	D'après le graphique, la suite $\left(\alpha_n \right)$ semble décroissante 
	\end{solution}
	
		\item Comparer, pour tout entier $n \geqslant  3$, $f\left(\alpha_n\right)$ et $f\left(\alpha_n\right)$. 

Déterminer le sens de variation de la suite $\left(\alpha_n\right)$. 

\begin{solution}
	%On sait que sur $[1~;~e]$ $f$ est strictement croissante, elle conserve donc l'ordre entre antécédents et images
	
	Pour tout entier $n\geqslant 3,~f\left( \alpha_n\right)=\dfrac{1}{n}$
	
	or pour tout entier $n\geqslant 3,~0<\dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n}<\dfrac{1}{\text{e}}$ soit $f\left( \alpha_n\right) <f\left(\alpha_{n+1} \right)$
	
	On en déduit donc que $\left(\alpha_n \right)$ est décroissante.  
\end{solution}
	
		\item En déduire que la suite $\left(\alpha_n\right)$ converge. 

\emph{Il n'est pas demandé de calculer sa limite.} 

\begin{solution}
	$\left(\alpha_n \right)$ est décroissante et minorée par 1 car $\alpha_n \in [1~;~\text{e}]$	

	On en déduit que $\left(\alpha_n \right)$ est convergente vers $\ell \geqslant 1$
\end{solution}
	
	\end{enumerate}
\item On admet que, pour tout entier $n \geqslant 3$, l'équation $\left(E_n\right)$ possède une autre solution $\beta_n$ telle que 

\[1 \leqslant \alpha_n \leqslant \text{e} \leqslant \beta_n.\] 

	\begin{enumerate}
		\item On admet que la suite $\left(\beta_n\right)$ est croissante. 

Établir que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3,

\[\beta_n \geqslant n\dfrac{\beta_3}{3}.\] 

\begin{solution}
	$f\left(\beta_n \right)=\dfrac{1}{n} \equi \dfrac{\ln\left(\beta_n \right)}{\beta_n} =\dfrac{1}{n} \equi \ln\left(\beta_n \right) = \dfrac{\beta_n }{n} $
	
	
	de même $\ln\left(\beta_3 \right) = \dfrac{\beta_3 }{3}$
	
	on a admis que $\left(\beta_3 \right)$ est croissante, on en déduit donc que pour tout entier $n\geqslant 3~,~\ln\left(\beta_n \right) \geqslant \ln\left(\beta_3 \right)$ ce qui entraîne $\dfrac{\beta_n }{n}\geqslant \dfrac{\beta_3 }{3}$
	
	Finalement on a bien pour tout entier $n\geqslant 3~,~\beta_n \geqslant n\dfrac{\beta_3}{3}$
\end{solution}

		\item En déduire la limite de la suite $\left(\beta_n\right)$.
		
		\begin{solution}
			$\beta_3>0$ donc \Lim{n}{+\infty}{n\dfrac{\beta_3}{3}}=~$+\infty$
			
			donc par comparaison, \Lim{n}{+\infty}{\beta_n}=~$+\infty$
		\end{solution}
		
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip

On considère la suite définie par son premier terme $u_0 = 3$ et, pour tout entier naturel $n$, par 

\[u_{n+1} = 2u_n + 6.\] 

\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, 

\[u_n = 9 \times  2^n - 6.\] 

\begin{solution}
On procède par récurrence

\textbf{\underline{initialisation}}:
$u_0=3$ et $9\times 2^0-6=9-6=3$ donc l'égalité est vérifiée au rang $n=0$

\textbf{\underline{hérédité}}: Soit $n$ un entier naturel tel que l'égalité $u_n=9\times 2^n-6$ soit vérifiée

alors on a $u_{n+1}=2u_n+6=2\left(9\times 2^n-6 \right)+6=9\times 2^{n+1}-6$
, l'égalité est donc héréditaire à partir du rang $n=0$

or l'égalité est vérifiée au rang $n=0$ donc par le principe de récurrence $\forall n \in \N~,~u_n=9\times 2^n-6$  	
\end{solution}


\item  Démontrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$,\: $u_n$ est divisible par 6. 

\begin{solution}
Pour tout $n\geqslant 1~,~u_n=9\times 2^n-6=18\times 2^{n-1}-6=6\times \left(3\times 2^{n-1}-1 \right)$ or $\left( 3\times 2^{n-1}-1\right)  \in \N$ car $(n-1) \in \N$

on en déduit que pour tout entier $n\geqslant 1~,~u_n$ est divisible par 6.  	
\end{solution}

On définit la suite d'entiers $\left(v_n\right)$ par, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, $v_n = \dfrac{u_n}{6}$. 
\item  On considère l'affirmation : \og pour tout entier naturel $n$ non nul, $v_n$ est un nombre premier \fg. 

Indiquer si cette affirmation est vraie ou fausse en justifiant la réponse. 

\begin{solution}
$u_6=9\times 2^6-6=570$ et $v_6=\dfrac{570}{6}=95$ qui n'est pas un nombre premier

L'affirmation est donc fausse	
\end{solution}

\item      
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$, \:$v_{n+1} - 2v_n = 1$.
			
		\begin{solution}
			$\forall n \in \N^*~,~v_{n+1}-2v_n=\dfrac{u_{n+1}}{6}-\dfrac{2u_n}{6}=\dfrac{2u_n+6-2u_n}{6}=1$
			
		\end{solution}
		  
		\item En déduire que, pour tout entier $n \geqslant 1$,\: $v_n$ et $v_{n+1}$ sont premiers entre eux. 
		
		\begin{solution}
			On a trouvé deux entiers relatifs $a=1$ et $b=-2$ tels que $av_{n+1}+bv_n=1$ on peut alors conclure d'après le théorème de Bezout que $v_{n+1}$ et $v_n$ sont premiers entre eux
		\end{solution}
		
		\item En déduire, pour tout entier $n \geqslant 1$, le PGCD de $u_n$ et $u_{n+1}$.
		
		\begin{solution}
			$\forall n \in \N^*~,~u_n=6v_n$ donc $\text{PGCD}\left( u_n~;~u_{n+1}\right)=~\text{PGCD}\left( 6v_n~;~6v_{n+1}\right)=6 \times \text{PGCD}\left( v_n~;~v_{n+1}\right)=6$ 
		\end{solution}
			 
	\end{enumerate}	
\item
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $2^4 \equiv  1\:\: [5]$. 
		
		\begin{solution}
			$2^4=16=15+1\equiv 1 [5]$
		\end{solution}
			
		\item En déduire que si $n$ est de la forme $4k + 2$ avec $k$ entier naturel, alors $u_n$ est divisible par $5$. 
		
		\begin{solution}
			Si $n=4k+2$ alors $u_n=9\times 2^{4k+2}-6=36\times \left( 2^4\right)^k-6$
			
			$2^4\equiv 1 [5] \Longrightarrow \left( 2^4\right)^k \equiv 1 [5] $
			
			$\hphantom{2^4\equiv 1 [5]} \Longrightarrow 36\times\left( 2^4\right)^k \equiv 36 [5] $
			
			$\hphantom{2^4\equiv 1 [5]} \Longrightarrow 36\times\left( 2^4\right)^k-6 \equiv 30 [5] \equiv 0 [5]$
			
			Donc si $n=4k+2$ alors $u_n$ est divisible par 5
		\end{solution}
		
		\item Le nombre $u_n$ est-il divisible par 5 pour les autres valeurs de l'entier naturel $n$ ? 

Justifier.

\begin{solution}
	Tout entier naturel $n$ s'écrit $n=4k$ ou $n=4k+1$ ou $n=4k+2$ ou $n=4k+3$ avec $k$ un entier naturel
	
	de la même manière que précédemment on montre que
	
	\begin{itemize}[label=\checkmark]
	
	\item Si $n=4k$ alors  $u_n=9\times 2^{4k}-6\equiv 3 [5]$
	
	\item Si $n=4k+1$ alors  $u_n=9\times 2^{4k+1}-6=18\times 2^{4k}-6 \equiv 2[5]$
	
	\item Si $n=4k+3$ alors  $u_n=9\times 2^{4k+3}-6=72\times 2^{4k}-6 \equiv 1[5]$
	\end{itemize}
	
	donc si $n \neq 4k+2$, $u_n$ n'est pas divisible par 5 
\end{solution}
	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 5} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip

On note $\R$ l'ensemble des nombres réels. 

L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk. 

On considère les points A$( -1~;~2~;~0)$, B(1~;~2~;~4) et C$( -1~;~1~;~1)$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. 
		
		\begin{solution}
			$\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}
			2\\0\\4
			\end{pmatrix}~~\text{et}~~\vect{\text{AC}}\begin{pmatrix}
				0\\-1\\1
				\end{pmatrix}$
			
			il n'existe pas de réel $k$ non nul tel que $\vect{\text{AB}}=k\vect{\text{AC}}$ donc les vecteurs ne sont pas colinéaires ce qui entraîne que les points A, B et C ne sont pas alignés
			
		\end{solution}
			
		\item Calculer le produit scalaire $\vect{\text{AB}} \cdot  \vect{\text{AC}}$.
		
		\begin{solution}
			$\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}}=0+0+4=4$
		\end{solution}
			
			 
		\item En déduire la mesure de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$, arrondie au degré. 
		
		\begin{solution}
				$\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}}=\text{AB}\times \text{AC} \times \cos\left(  \widehat{\text{BAC}}\right)=4  $
				
				on a alors $\cos\left( \widehat{\text{BAC}}\right) =\dfrac{4}{\text{AB}\times \text{AC}}=\dfrac{4}{\sqrt{20}\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{40}}{10}=\dfrac{\sqrt{10}}{5}$
				
				on en déduit $\widehat{\text{BAC}}\approx 51$°
		\end{solution}	
	\end{enumerate}
\item Soit $\vect{n}$ le vecteur de coordonnées $\begin{pmatrix}2\\- 1\\- 1\end{pmatrix}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan (ABC). 
		
		\begin{solution}
			$\vect{n} \cdot \vect{\text{AB}}=4+0-4=0$ et $\vect{n} \cdot \vect{\text{AC}}=0+1-1=0$ 
			
			$\vect{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC), on en déduit que $\vect{n}$ est normal au plan (ABC)
		\end{solution}
		
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC). 
		
		\begin{solution}
			(ABC):~$2x-y-z+d=0$ car $\vect{n}\begin{pmatrix}
			2\\-1\\-1
			\end{pmatrix}$ est normal à (ABC)
			
			de plus A(-1~;~2~;~0) $\in$ (ABC), on en déduit $d=4$
			
			Finalement (ABC)~$2x-y-z+4=0$
		\end{solution}
		
	\end{enumerate}
\item Soient $\mathcal{P}_1$ le plan d'équation $3x + y - 2z + 3 = 0$ et 
$\mathcal{P}_2$ le plan passant par O et parallèle au plan d'équation $x - 2z + 6 = 0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le plan $\mathcal{P}_2$ a pour équation $x = 2z$. 
		
		\begin{solution}
			$\mathcal{P}_2$ est de vecteur normal $\vect{n_2}\begin{pmatrix}
			1\\0\\-2
			\end{pmatrix}$ donc $\mathcal{P}_2: x-2z+d=0$ 
			
			or O $\in \mathcal{P}_2$, on en déduit que $d=0$
			
			Finalement on a bien $\mathcal{P}_2: x=2z$
		\end{solution}
		
		\item Démontrer que les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont sécants. 
		
		\begin{solution}
			$\mathcal{P}_1$ est de vecteur normal $\vect{n_1}\begin{pmatrix}
				3\\1\\-2
				\end{pmatrix}$ et $\mathcal{P}_2$ est de vecteur normal $\vect{n_2}\begin{pmatrix}
					1\\0\\-2
					\end{pmatrix}$
					
			$\vect{n_1}$ et $\vect{n_2}$ ne sont évidemment pas colinéaires (il suffit de regarder l'ordonnée)		
			
			les plans ne sont donc pas parallèles, ils sont nécessairement sécants
		\end{solution}
		
		\item Soit la droite $\mathcal{D}$ dont un système d'équations paramétriques est 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& \phantom{-}2t\\ 
y &=& - 4t - 3,\\   
z &=& \phantom{- 4}t
\end{array}\right.\: t \in \R.\]

Démontrer que $\mathcal{D}$ est l'intersection des plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$.

\begin{solution}
	
	\textbf{\underline{méthode 1}}: 
	$\mathcal{D}$ est de vecteur directeur $\vect{v}\begin{pmatrix}
	2\\-4\\1
	\end{pmatrix}$
	
	$\vect{v} \cdot \vect{n_1}=0$ et $\vect{v} \cdot \vect{n_2}=0$ on en déduit que $\mathcal{D}$ est parallèle à $\mathcal{P}_1$ et à $\mathcal{P}_2$
	
	de plus M(0~;~-3~;~0) appartient à $\mathcal{D}$, on montre aisément que ce point appartient aux deux plans à la fois
	
	Finalement la droite $\mathcal{D}$ est parallèle aux deux plans et passe par un point commun aux deux plans, on en déduit que $\mathcal{P}_1 \cap \mathcal{P}_2 = \mathcal{D}$
	 
	 
	\textbf{\underline{méthode 2}}: on cherche à résoudre le système $\begin{cases}
	3x+y-2z+3=0\\\phantom{3}x\phantom{~+y}-2z\phantom{~+3}=0
	\end{cases}$
	
	$\begin{cases}
		3x+y-2z+3=0\\\phantom{3}x\phantom{~+y}-2z\phantom{~+3}=0
		\end{cases} \equi \begin{cases}
		x=2z\\y=-4z-3
		\end{cases}$ 
		
		en posant $z=t$ on obtient la représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ donc on a bien $\mathcal{P}_1 \cap \mathcal{P}_2 = \mathcal{D}$ 
\end{solution}
	 
	\end{enumerate}
\item Démontrer que la droite $\mathcal{D}$ coupe le plan (ABC) en un point I dont on déterminera les coordonnées. 

\begin{solution}
I($x~;~y~;~z$) $\in \mathcal{D}$ si et seulement si il existe un unique réel $t$ tel que $\begin{cases}
x=2t\\y=-4t-3\\z=t
\end{cases}$

I($x~;~y~;~z$) $\in $ (ABC) si et seulement si $2x-y-z+4=0$

on cherche donc $t$ tel que $2(2t)-(-4t-3)-t+4=0 \equi t=-1$

Finalement $\mathcal{D}$ coupe (ABC) en I$(-2~;~1~;~-1)$.
\end{solution}
\end{enumerate}
\end{document}